学习概率论与数理统计浙大四版第三章3讲

第五节

随机变量函数的分布

在第二章中，我们讨论了一维随机变量函数的分布，现在我们进一步讨论:我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量X1,X2,…,Xn的联合分布已知时，如何求出它们的函数

Yi=gi(X1,X2,…,Xn),i=1,2,…,m的联合分布?一、离散型分布的情形例1

若X、Y独立，P(X=k)=ak

,k=0,1,2,…,P(Y=k)=bk

,k=0,1,2,…,求Z=X+Y的概率函数.解:=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…解：依题意

例2

若X和Y相互独立,它们分别服从参数为的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…由卷积公式即Z服从参数为的泊松分布.r=0,1，…例3

设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为于是例4

设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度.

解:Z=X+Y的分布函数是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.二、连续型分布的情形化成累次积分,得固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X+Y的概率密度为:

由X和Y的对称性,fZ

(z)又可写成

以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域例5

若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式也即为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域如图示:也即于是由公式解例6

设两个独立的随机变量X与Y都服从标准正态分布,求Z=X+Y的概率密度.得用类似的方法可以证明:若X和Y独立,

结论又如何呢?此结论可以推广到n个独立随机变量之和的情形,请自行写出结论.若X和Y独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=X+Y服从正态分布N(0,2).有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.更一般地,可以证明:从前面例4可以看出，在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.休息片刻再继续三、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.又由于X和Y

相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:即有FM(z)=FX(z)FY(z)FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)

由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有分析：P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)

类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为

我们来求M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数.(i=0,1，…,n)

用与二维时完全类似的方法，可得

特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有

N=min(X1,…,Xn)的分布函数是

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n……若X1,…,Xn是连续型随机变量，在求得M=max(X1,…,Xn)和N=min(X1,…,Xn)的分布函数后，不难求得M和N的密度函数.留作课下练习.当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有

FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的意义和实用价值.例7解

下面我们再举一例，说明当X1,X2为离散型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1<n)记1-p=q例8

设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.n=0,1,2,…解二:P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)=P(max(X1,X2)≤n)-P(max(X1,X2)≤n-1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n-1,X2≤n-1)n=0,1,2,…

那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？留作课下思考这一讲，我们介绍了求随机向量函数的分布的原理和方法，需重点掌握的是：请通过练习熟练掌握.

1、已知两个随机变量的联合概率分布，会求其函数的概率分布；2、会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布．哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城(今俄罗斯加里宁格勒)的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题。这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。于是“七桥问题”就等价于上