数列练习题(含答案)以及基础知识点训练篇-2

数列根底知识点总结——总结：河南师范大学数学院毋晓迪A、1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：假设数列称等差数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：公式：②等比数列：1°.定义假设数列〔常数〕，那么称等比数列；2°.通项公式：3°.前n项和公式：当q=1时2．简单性质：①首尾项性质：设数列1°.假设是等差数列，那么2°.假设是等比数列，那么②中项及性质：1°.设a，A，b成等差数列，那么A称a、b的等差中项，且2°.设a,G,b成等比数列，那么G称a、b的等比中项，且③设p、q、r、s为正整数，且1°.假设是等差数列，那么2°.假设是等比数列，那么④顺次n项和性质：1°.假设是公差为d的等差数列，组成公差为n2d的等差数列；2°.假设是公差为q的等比数列，组成公差为qn的等比数列.〔注意：当q=－1，n为偶数时这个结论不成立〕⑤假设是等比数列，那么顺次n项的乘积：组成公比这的等比数列.⑥假设是公差为d的等差数列,1°.假设n为奇数，那么而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和〕；2°.假设n为偶数，那么〔二〕学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用根本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a(1-qn)的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m〔或a-m,a,a+m〕”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2(或，a,aq)”③四数成等差数列，可设四数为“”④四数成等比数列，可设四数为“”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.[例1]解答下述问题：〔Ⅰ〕成等差数列，求证：〔1〕成等差数列；〔2〕成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，①②①②[评析]判断〔或证明〕一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.①②①②〔Ⅱ〕等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为，求项数n.[解析]设公比为〔Ⅲ〕等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出局部项组成的数列：求数列[解析]①，②①，②①②[评析]例2是一组等差、等比数列的根本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的根本功.[例3]解答下述问题：〔Ⅰ〕三数成等比数列，假设将第三项减去32，那么成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，那么有〔Ⅱ〕有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为,解得所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求假设干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.B、由递推公式求通项公式的方法一、型数列，〔其中不是常值函数)此类数列解决的方法是累加法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累加，变成，进而求解。例1.在数列中,解：依题意有逐项累加有，从而。注：在运用累加法时,要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：满足,,求的通项公式。二、型数列，〔其中不是常值函数)此类数列解决的方法是累积法，具体做法是将通项变形为，从而就有将上述个式子累乘，变成，进而求解。例2.数列中，求的通项公式。解：当时，将这个式子累乘，得到，从而，当时，，所以。注：在运用累乘法时,还是要特别注意项数,计算时项数容易出错.变式练习：在数列中,>0,,求.提示：依题意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型数列此类数列解决的方法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的方法有两种，一是待定系数法构造，设，展开整理，比拟系数有，所以，所以是等比数列，公比为，首项为。二是用作差法直接构造，,，两式相减有，所以是公比为的等比数列。例3.在数列中，，当时，有，求的通项公式。解法1：设，即有比照，得，于是得，即所以数列是以为首项，以3为公比的等比数列那么。解法2：由递推式，得，上述两式相减，得，即因此，数列是以为首项，以3为公比的等比数列。所以，即，所以。变式练习：数列满足求数列的通项公式.注：根据题设特征恰当地构造辅助数列,利用根本数列可简捷地求出通项公式.四、型数列〔p为常数〕此类数列可变形为，那么可用累加法求出，由此求得.例4数列满足,求.解:将递推式两边同除以得,设,故有，,从而.注：通过变形,构造辅助数列,转化为根本数列的问题,是我们求解陌生的递推关系式的常用方法.假设为的一次函数,那么加上关于的一次函数构成一个等比数列;假设为的二次函数,那么加上关于的二次函数构成一个等比数列.这时我们用待定系数法来求解.例5．数列满足解:作,那么,代入递推式中得:.令这时且显然,,所以.注：通过引入一些待定系数来转化命题结构,经过变形和比拟,把问题转化成根本数列,从而使问题得以解决.变式练习：〔1〕满足，求。〔2〕数列，表示其前项和，假设满足，求数列的通项公式。提示：〔2〕中利用，把条件转化成递推式。五、型数列〔为非零常数〕这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为型数列。例6．数列满足,求.解:两边取倒数得:,所以，故有。变式练习：数列中，，求的通项。六、型数列〔为常数〕这种类型的做法是用待定糸数法设构造等比数列。例7．数列中，且，求.C、求数列前项和公式法:利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法。(1)等差：;等比：;(2);例1.求和()分组法：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例2.求数列的前n项和错位相减法：〔考试重点〕主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差和等比.求和时一般在和式的两边都乘以等比数列的公比q；然后再将得到的式子和原式相减，转化为同倍数的等比数列求和。考前须知：1.公比是未知数要讨论当公比x=1时的特殊情况；2.错位相减时要注意末项例3.求和：例4.求和：裂项法:实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的.前面剩几项后面剩倒数第几项，对称性.例5．求和例6.求数列的前项和.并项求和法(或者奇数项和+偶数项和)一定是正负相间.例7.求和数列局部测试题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么此数列〔〕〔A〕为常数数列〔B〕为非零的常数数列〔C〕存在且唯一〔D〕不存在2.、在等差数列中，,且,,成等比数列，那么的通项公式为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕或〔D〕或3、成等比数列，且分别为与、与的等差中项，那么的值为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕不确定4、互不相等的三个正数成等差数列，是a,b的等比中项，是b,c的等比中项，那么，，三个数〔〕〔A〕成等差数列不成等比数列〔B〕成等比数列不成等差数列〔C〕既成等差数列又成等比数列〔D〕既不成等差数列，又不成等比数列5、数列的前项和为,,那么此数列的通项公式为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕6、，那么〔〕〔A〕成等差数列〔B〕成等比数列〔C〕成等差数列〔D〕成等比数列7、数列的前项和，那么关于数列的以下说法中，正确的个数有〔〕①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列④可能既不是等差数列，又不是等比数列⑤可能既是等差数列，又是等比数列〔A〕4〔B〕3〔C〕2〔D〕18、数列1,前n项和为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕9、假设两个等差数列、的前项和分别为、，且满足，那么的值为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕10、数列的前项和为,那么数列的前10项和为〔〕〔A〕56〔B〕58〔C〕62〔D〕60数列的通项公式为,从中依次取出第3，9，27，…3n,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，那么此数列的前n项和为〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕12、以下命题中是真命题的是()A．数列是等差数列的充要条件是()B．一个数列的前项和为,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列C．数列是等比数列的充要条件D．如果一个数列的前项和,那么此数列是等比数列的充要条件是二、填空题13、各项都是正数的等比数列，公比,成等差数列，那么公比=14、等差数列，公差,成等比数列，那么=15、数列满足,那么=16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，那么插入的这两个数的等比中项为三、解答题17、数列是公差不为零的等差数列，数列是公比为的等比数列，，求公比及。18、等差数列的公差与等比数列的公比相等，且都等于,，,,求。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。20、为等比数列，，求的通项式。21、数列的前项和记为〔Ⅰ〕求的通项公式；〔Ⅱ〕等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求22、数列满足〔I〕求数列的通项公式；〔II〕假设数列满足，证明：是等差数列；数列局部参考答案选择题题号123456789101112答案BDCAAACADDDD填空题13.14.15.16.6三、解答题 17.a=a1,a=a10=a1+9d,a=a46=a1+45d由{abn}为等比数例，得〔a1+9d〕2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-218.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1(1-3d2)=-2d①a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1(1-5d4)=-4d②eq\f(②,①),得=2，∴d2=1或d2=,由题意，d=,a1=-。∴an=a1+(n-1)d=(n-6)bn=a1dn-1=-·()n-119.设这四个数为那么由①，得a3=216,a=6③③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，1820.解:设等比数列{an}的公比为q,那么q≠0,a2=eq\f(a3,q)=eq\f(2,q),a4=a3q=2q所以eq\f(2,q)+2q=eq\f(20,3),解得q1=eq\f(1,3),q2=3,当q1=eq\f(1,3),a1=18.所以an=18×(eq\f(1,3))n－1=eq\f(18,3n－1)=