锐角三角函数完整版

28.1锐角三角函数(hánshù)（1）第一页，共三十九页。问题为了绿化荒山，某地打算从位于(wèiyú)山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题(wèntí)可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求ABABC

分析(fēnxī)：情境探究解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”即可得AB=2BC=70m,也就是说，需要准备70m长的水管第二页，共三十九页。在上面的问题中，如果(rúguǒ)使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？?思考结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于ABC50m30mB'C'解：根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”即可得AB'=2B'C'

=100m,也就是说，需要准备100m长的水管第三页，共三十九页。

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管(bùguǎn)这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于?思考

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？ABC在Rt△ABC中，使∠C＝90°，∠A＝45°，所以(suǒyǐ)Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得第四页，共三十九页。综上可知(kězhī)，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.

一般地，当∠A

取其他一定度数(dùshu)的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？结论(jiélùn)问题第五页，共三十九页。

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定(yīdìng)时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．任意(rènyì)画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究(tànjiū)ABCA'B'C'因为∠C＝∠C‘＝90°，∠A＝∠A’＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，第六页，共三十九页。在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做(jiàozuò)∠A的正弦，记作sinA，

注意：“sinA”是一个完整的符号，不要误解成“sin×A”，单独(dāndú)写符号sin是没有意义的,记号里习惯省去角的符号“∠”。正弦的表示(biǎoshì)：sinA、sin39°、sinβ

（省去角的符号）∠A的对边ABCcab斜边结论sin∠DEF、sin∠1（不能省去角的符号）例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有第七页，共三十九页。例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC34(1)ABC135(2)解：如图（1）在Rt△ABC中，ABC135(2)第八页，共三十九页。例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．ABC135(2)解：如图（2）在Rt△ABC中，第九页，共三十九页。练一练1.判断(pànduàn)对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一个(yīɡè)比值（注意比的顺序），无单位；第十页，共三十九页。练一练2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时(tóngshí)扩大

100倍，sinA的值（）

A.扩大100倍B.缩小

C.不变D.不能确定C2)如图，sinA=（）

×第十一页，共三十九页。3．如图，已知点P的坐标(zuòbiāo)是（a，b），则sinα等于（）

A．B.

C.练一练

4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，CD⊥AB，垂足(chuízú)为D，求sin∠ACDD第十二页，共三十九页。5、如图，在△ABC中，AB=CB=5，sinA=，求△ABC的面积。BAC55第十三页，共三十九页。回味无穷(huíwèiwúqióng)小结拓展1.锐角三角函数(hánshù)定义:2.sinA是线段之间的一个比值，sinA没有(méiyǒu)单位ABC∠A的对边┌斜边斜边∠A的对边sinA=Sin300=sin45°=第十四页，共三十九页。拓展思考1.sinA的取值范围(fànwéi)是什么？2．结合右图，思考∠A的其他两边的比值是不是也是唯一确定的？发挥你的聪明才智,动手试一试．思考第十五页，共三十九页。28.1锐角三角函数(hánshù)（2）第十六页，共三十九页。

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，ABC斜边c对边a邻边b★我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做(jiàozuò)∠A的余弦（cosine），记作cosA，即★我们把锐角A的对边与邻边的比叫做(jiàozuò)∠A的正切（tangent），记作tanA，即第十七页，共三十九页。注意(zhùyì)cosA，tanA是一个完整的符号，它表示∠A的余弦、正切，记号(jìhɑo)里习惯省去角的符号“∠”；cosA，tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比；cosA不表示“cos”乘以“A”，tanA不表示“tan”乘以“A”第十八页，共三十九页。

对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数。

同样地，

cosA，tanA也是A的函数。

锐角(ruìjiǎo)A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数.第十九页，共三十九页。ABC6例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=6，，求cosA和tanB的值．第二十页，共三十九页。例2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AB=3，求∠A，∠B的正弦(zhèngxián)、余弦、正切值．ABC23延伸：由上面的计算，你能猜想(cāixiǎng)∠A，∠B的正弦、余弦值有什么规律吗？结论：一个锐角的正弦等于它余角(yújiǎo)的余弦，或一个锐角的余弦等于它余角(yújiǎo)的正弦。第二十一页，共三十九页。28.1锐角三角函数(hánshù)（3）第二十二页，共三十九页。

AB

C∠A的对边a∠A的邻边b斜边c第二十三页，共三十九页。下图中∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足(chuízú)为D。指出∠A和∠B的对边、邻边。试一试：ABCD(1)tanA=

=AC()CD()(2)tanB=

=BC()CD()BCADBDAC第二十四页，共三十九页。

如图,在Rt△ABC中,锐角(ruìjiǎo)A的邻边和斜边同时扩大100倍,tanA的值（）

A.扩大100倍B.缩小100倍

C.不变D.不能确定ABC┌C试一试：第二十五页，共三十九页。?思考

请同学们拿出自己的学习(xuéxí)工具——一副三角尺，思考并回答下列问题：1、这两块三角尺各有几个锐角？它们分别(fēnbié)等于多少度？2、每块三角尺的三边之间有怎样的特殊关系(guānxì)？如果设每块三角尺较短的边长为1，请你说出未知边的长度。30°60°45°121145°第二十六页，共三十九页。新知(xīnzhī)探索:30°角的三角函数值sin30°=cos30°=tan30°=第二十七页，共三十九页。cos45°=tan45°=sin45°=新知(xīnzhī)探索:45°角的三角函数值第二十八页，共三十九页。sin60°=cos60°=tan60°=新知(xīnzhī)探索:60°角的三角函数值第二十九页，共三十九页。30°、45°、60°角的正弦值、余弦(yúxián)值和正切值如下表：

锐角a三角函数30°45°60°sinacosatana第三十页，共三十九页。例1求下列(xiàliè)各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）第三十一页，共三十九页。求下列(xiàliè)各式的值：第三十二页，共三十九页。例2（1）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．ABC第三十三页，共三十九页。（2）如图，已知圆锥(yuánzhuī)的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．ABO

当A，B为锐角(ruìjiǎo)时，若A≠B，则sinA≠sinB,cosA≠cosB,tanA≠tanB.第三十四页，共三十九页。1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A、∠B的度数．BAC第三十五页，共三十九页。2、求适合下列(xiàliè)各式的锐角α第三十六页，共三十九页。ABCD4、如图,△ABC中,∠C=900,BD平分∠ABC,BC=12,BD=,求∠A的度数及AD的长.第三十七页，共三十九页。小结(xiǎojié)

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我们学习(xuéxí)了30°