组合数（教学设计）（人教A版2019选择性必修第三册）

.2.4组合数教学设计课时教学内容本节内容主要是组合数的概念及组合数公式，之前学生已经学习了两个基本计数原理以及排列概念、排列数、组合概念.本节作为组合概念的后续延伸，既是对前面所学知识的综合应用，也是为后续二项式定理的学习、随机变量及其分布的学习做好知识上的储备.课时教学目标1.能利用计数原理推导组合数公式.2.能解决有限制条件的组合问题.3.通过研究组合数公式及解决有限制条件的组合问题，提升逻辑推理及数学运算素养.教学重点、难点重点：组合数公式.难点：推导和应用组合数公式.教学过程设计环节一创设情境，引入课题问题1：在上一节中,我们通过列举数数的方式得到各问题的所有组合个数，但随着元素个数的增加，这样的方法就越来越烦琐了.是否能像排列数公式一样，也找到计算组合个数的公式，从而可以便捷地求出所有组合的个数？【师生活动】教师让学生阅读教材，获得组合数的概念及符号表示.问题2从集合{a,b引导语在问题1中，我们通过列举数数的方式得到各问题的组合个数，但随着元素个数的增加，这种方法越来越繁琐了。能否像排列一样，也能找到计算组合个数的公式，从而能便捷得求出组合个数？组合数与组合数公式类比排列数，我们引进组合数概念：1.组合数的定义:从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示．符号中的C是英文combination(组合)的第一个字母．组合数还可以用符号Cnm表示【设计意图】结合已解决的具体问题，类比排列数给出组合数的定义和表示，并与相似的组合概念做对比，引入组合数公式。例如，从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为．师：你能辨析组合与组合数这两个概念吗？生：组合与组合数是两个不同的概念，组合数是组合的个数.【设计意图】学生自己获得组合数的定义与组合数的符号表示，并用组合数的符号表示上一节的问题中涉及的组合数.让学生学以致用，为下面学习和推导组合数公式作铺垫.问题3：前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数来求组合数呢?环节二观察分析，感知概念前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以“元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系，并求得了从3个不同元素中取出2个元素的组合数．追问（1）求从4个不同的元素中取出3个元素的排列数A43和组合数运用同样的方法，我们来求从4个不同元素中取出3个元素的组合数．设这4个元素为a，b，c，d，那么从中取出3个元素的排列数，以“元素相同”为标准将这24个排列分组，一共有4组，如图6.2-8所示，因此组合数．观察图6.2-8，也可以这样理解求“从4个元素中取出3个元素的排列数”：第1步，从4个元素中取出3个元素作为一组，共有种不同的取法；第2步，将取出的3个元素作全排列，共有种不同的排法．于是，根据分步乘法计数原理，有．即．【师生活动】列举从4个不同的元素中取出3个元素的排列和组合，以“元素相同”作为标准将排列分为4组，每组中元素的全排列有A33=6种，得出A43=C43∙A33.分析等式两边的实际意义，可以发现“从4个不同元素中任取3环节三抽象概括，形成概念追问（2）将求C43的方法推广为一般形式，如何求组合数师生活动：求“从n个不同元素中任取m个元素的排列数An第1步：从n个不同元素中任取m个元素作为一组，共有Cn第2步：将取出的m个元素作全排列，共有Am根据分布乘法计数原理，有Anm同样地，求“从个元素中取出个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步，从个不同元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法；第2步，将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法．根据分步乘法计数原理，有．因此，．这里，并且，这个公式叫做组合数公式．因为，环节四辨析理解，深化概念追问（3）：由Anm的公式，你能得到【师生活动】AC所以，上面的组合数公式还可以写成．另外，我们规定．问题3：上述组合数公式有什么特点？使用公式需要注意什么？【师生活动】在解决问题3的过程中，教师可向学生提出以下问题：(1)与排列数公式比较，二者有什么相似和不同？(2)在求组合数时，应该如何选择两个公式？【设计意图】通过辨析公式，把握公式的特点，以便更好地记忆公式，加深对公式的理解，并规定．【设计意图】从一个具体问题出发，利用排列数求出组合数，由具体推广到到一般，用同样的方法得到组合数的公式，发展逻辑推理的核心素养。例6计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【师生活动】在完成例6的过程中，可以向学生提出下列问题：(1)比较用不同形式的组合数公式和结论求上述各题，你对公式和结论的选择有什么想法？(2)分别观察例中(1)与(2),(3)与(4)的结果，你有什么发现和猜想？【设计意图】通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解.解：根据组合数公式，可得（1）；（2）；（3）；（4）．思考：观察例的（1）与（2），（3）与（4）的结果，你有什么发现?（1）与（2）分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法?1.公式Cnm=AnmAmm=n(n-12.公式Cnm=n!m!(n-m)!(m,n∈N*,3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质Cnm=Cn【设计意图】通过利用公式求组合数，以把握公式的结构，加深对公式的理解。通过追问深入思考，发现组合数的对称性，提出猜想，并从组合数的计算和意义两个角度进行证明,提升数学运算、逻辑推理等核心素养。环节五概念应用，巩固内化例7在100件产品中，有98件合格品，2件次品、从这100件产品中任意抽出3件．（1）有多少种不同的抽法?（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?【师生活动】在完成例7的过程中，可以向学生提出下列问题：(1)这是一个排列问题还是组合问题？(2)应该根据什么计数原理解决问题？(3)能否对同一问题给出不同的方法？(4)能否归纳求组合问题的一般方法？【设计意图】通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法.分析：（1）从100件产品中任意抽出3件，不需考虑顺序，因此这是一个组合问题；（2）可以先从2件次品中抽出1件，再从98件合格品中抽出2件，因此可以看作是一个分步完成的组合问题；（3）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品的情况，因此可以看作是一个分类完成的组合问题．解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为；（2）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从98件合格品中抽出2件的抽法有种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为．从2件次品中抽出1件的抽法数可以是吗?（3）方法1：（直接法）从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为．方法2：（间接法）抽出的件中至少有件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即．当和取较小数值时，可以通过手算得出和．当和取较大数值时，可以使用信息技术工具，以使计算更快捷和准确．许多信息技术工具都有计算排列数和组合数的内部构造函数，输入和的值后，便可以直接得到结果．追问你能总结一下解决组合问题的思路和方法吗？【师生活动】引导学生梳理解决组合问题的一般思路——先分类，后分步；对于含有“至少”、“至多”等关键词的问题，可以使用直接法或间接法，通过分析两种方法的计算复杂度进行选择。演示：当n和m较小时，可以通过手算得出Cnm。当n和m较大时，可以利用【设计意图】通过应用公式解决问题，及时巩固组合数公式，形成解决组合问题的一般方法，提升数学建模和数学运算的核心素养，学会用计算工具来计算组合数。组合问题的基本解法(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.环节六归纳总结,反思提升1.教师引导学生回顾本节课学习的主要内容，并让学生回答下列问题：(1)提出一个组合问题，并结合问题说明组合与组合数的区别.(2)组合数公式是如何推导的？(3)如何解决组合问题？应用组合数公式时需要注意什么？2.组合数的公式

C3.组合数的性质C4.解决组合问题“先分类，后分步”直接法间接法5.发展能力提高分析问题、解决问题的能力，发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养【设计意图】通过问题形式，回顾本堂课的主要内容，明确组合数的概念、回顾组合数公式的推导和性质，总结解决组合问题的一般方法，提高学生分析问题、解决问题的能力，发展数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养。环节七 目标检测，作业布置完成教材：教材第26〜27页习题6.2第2,10,12,13,15,16题.练习（第25页）1．先计算，然后用计算工具检验：（1）； （2）； （3）； （4）．【答案】（1）15；（2）36；（3）20；（4）148．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．2．求证：．【解析】证明：因为，，所以，所以得证．3．有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成绩，现要从中选3门成绩．（1）共有多少种不同的选法？（2）如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法？（3）如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法．【答案】（1）20；（2）12；（3）16【解析】（1）从6门成绩中选3门成绩共有种不同的选法；（2）如果物理和化学恰有1门被选，则共有种不同的选法；（3）如果物理和化学至少有1门被选，则共有种不同的选法．习题6.2（第26页）1．先计算，然后用计算工具检验：（1）； （2）．1．【答案】（1）348（2）64【解析】（1）；（2）．2．先计算，然后用计算工具检验：（1）； （2）； （3）； （4）．2．【答案】（1）455；（2）1313400；（3）；（4）；【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．3．壹圆、伍圆、拾圆、贰拾圆的人民币各1张，一共可以组成多少种币值？【答案】15种【解析】因为四张人民币的面值不同，且组成的面值与顺序无关，所以可分为以下四类面值：由一张人民币组成：币值种数，由两张人民币组成：币值种数，由三张人民币组成：币值种数，由四张人民币组成：币值种数，所以可组成种币值．4．填空题（1）有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是________；（2）要从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，不同方法的种数是________；（3）5名工人各自在3天中选择1天休息，不同方法的种数是________；（4）集合A有m个元素，集合B有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是________．【答案】1060【解析】（1）5人中确定3人去参观，由组合的定义知，共有种．（2）从5件不同的礼物中选出3件分别送3位同学，由排列定义知，共有种．（3）每一个工人都有3种选择方法，故5名工人不同方法的种数有种．（4）从集合A的m个元素取1个元素，有m种，从集合B的n个元素取1个元素，有n种，根据分步计数原理，可知两个集合中各取1个元素，一共有种．故答案为：10；60；；5．一名同学有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，现要将这些书放在一个单层的书架上．（1）如果要选其中的6本书放在书架上，那么有多少种不同的放法？（2）如果要将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，那么有多少种不同的放法？5．【答案】（1）665280（2）103680【解析】（1）根据题意，共有本书，所以从中选出6本放在书架上，共有种选法；（2）根据题意，将全部的书放在书架上，且不使同类的书分开，则数学书有种放法，物理书有种放法，化学书有种放法，3种书共有种排法，共有种放法．6．（1）空间中有8个点，其中任何4个点不共面，过每3个点作一个平面，可以作多少个平面？（2）空间中有10个点，其中任何4个点不共面，过每4个点为顶点作一个四面体，可以作多少个四面体？6．【答案】（1）56；（2）210．【解析】（1）根据“三个不共线的点确定一个平面”，且所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面个数是个；（2）根据“四个不共面的点确定一个四面体”，且所确定的四面体与点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是：个．7．在一次考试的选做题部分，要求在第1题的4个小题中选做3个小题，在第2题的3个小题中选做2个小题，在第3题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法．【答案】24种．【解析】第一步选做第1题：选法有种，第二步选做第2题：选法有种，第三步选做第3题：选法有种，所以一共有：种选法．8．求证：（1）；（2）．8．【解析】（1），即．（2）当时，，∴结论成立，即．9．学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序．除第1个节目和最后1个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，有多少种不同的排法？【答案】288．【解析】第一步排音乐节目：有种排法；第二步排舞蹈节目：有种排法；第三步排曲艺节目：有种排法；所以共有种排法．10．班上每个小组有12名同学，现要从每个小组选4名同学组成一支代表队，与其他小组进行辩论赛．（1）每个小组的代表队有多少种选法？（2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组的代表队有多少种选法？（3）如果每支代表队还要分别指定第一、二、三、四辩手，那么每个小组的代表队有多少种选法？【答案】（1）495；（2）1980；（3）11880．【解析】（1）由题意从12名同学中选4名同学组成一支代表队，共有种选法．（2）完成这件事情分为两步：第一步先选出队长，有种选法；再选出3名队员，有种选法，故共有种选法．（3）由题意从12名同学中选4名同学担任不同的辩手，有种不同选法．11．一个数阵有m行n列，第一行中的n个数互不相同，其余行都由这n个数以不同的顺序组成．如果任意两行的顺序都不相同，那么m可以取多大的值？11．【答案】最大可取．【解析】n个互不相同的数的全排列有个，所以由n个不同的数值能以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同；为使每一行都不重复，可取的最大值为．12．（1）从0，2，4，6中任取3个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？（2）由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成多少个没有重复数字，并且比5000000大的正整数．12．【答案】（1）1224；（2）1440．【解析】（1）从0，2，4，6中任取3个数字有种，从1，3，5中任取2个数字有种，五个数全排列有种，其中首位是零的有种，所以一共可组成个没有重复数字的五位数；（2）若比5000000大，则有七位数，且首位是5或6，所以由数字0，1，2，3，4，5，6可以组成个没有重复数字，并且比5000000大的正整数．13．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛．（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？13．【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120【解析】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法．14．一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会．（1）如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的去法？（2）如果其中甲和乙两位同学要么都去，要么都不去，有多少种去法？14．【答案】（1）63；（2）31【解析】（1）一个宿舍的6名同学被邀请参加一个晚会，去1人时，有种去法；去2人时，有种去法；去3人时，有种去法；去4人时，有种去法；去5人时，有种去法；去6人时，有种去法；根据分类计数原理得：共有种去法；（2）当甲和乙两位同学都去，则至少要去2人，则有种去法；当甲和乙两位同学都不去，则有种去法；根据分类计数原理得：共有种去法．15．从含有3件次品的100件产品中，任意抽取5件进行检验．（1）抽出的产品都是合格品的抽法有多少种？（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有多少种？（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有多少种？15．【答案】（1）64446024；（2）442320；（3）446976；（4）75282864【解析】（1）100件产品中有97件合格品，则抽出的产品都是合格品的抽法有种；（2）抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法有种；（3）抽出的产品中至少有2件是次品的抽法有种；（4）抽出的产品中至多有2件是次品的抽法有种．16．根据某个福利彩票方案，每注彩票号码都是从1~37这37个数中选取7个数．如果所选7个数与开出的7个数一样（不管排列顺序），彩票即中一等奖．（1）多少注不同号码的彩票可有一个一等奖？（2）如果要将一等奖的中奖机会提高到以上且不超过，可在37个数中取几个数？16．【答案】（1）10295472；（2）6【解析】（1）根据某个福利彩票方案，在1至37这37个数字中，选取7个数字，如果选出的7个数字与开出的7个数字一样（不管排列顺序）即得一等奖，注彩票可有一个一等奖．（2），，则在37个数中取6个数，中一等奖的概率为，在37个数中取5个数，中一等奖的概率为，∴如果要将一等奖的机会提高到以上且不超过，可在37个数中取6个数．17．如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？【答案】【解析】先排I，II，III共有种，IV有种，不同的着色方法数有种．18．移动互联网给人们的沟通交流带来了方便．某种移动社交软件平台，既可供用户彼此添加“好友”单独交流，又可供多个用户建立一个“群”（“群里”的人彼此不一定是“好友”关系）共同交流．如果某人在平台上发了信息，他的“好友”都可以看到，但“群”里的非“好友”不能看到．现有一个10人的“群”，其中1人在平台上发了一条信息，“群”里有3人说看到了，那么这个“群”里与发信息这人是“好友