以圆为载体的几何压轴综合问题-2023年中考数学真题练习（全国通用）【解析版】

备战2023年中考数学必刷真题考点分类专练（全国通用）

专题34以圆为载体的几何压轴综合问题

一、解答题

1.（2022•四川绵阳•中考真题）如图，AB为。。的直径，C为圆上的一点，。为劣弧死的中点，过点。作

。。的切线与AC的延长线交于点尸，与AB的延长线交于点F,A。与BC交于点E.

(1)求证：BCIIPF;

（2）若。。的半径为右，DE=X,求AE的长度;

（3）在（2）的条件下，求ADCP的面积.

【答案】（1）见解析

(2)3

(3匕

【分析】（1）连接OD，利用垂径定理可得0。由Pr为③。的切线可得ODLPF,由平行线的判定定

理可得结论；

22

（2）连接。。，BD,设4E=X,则AD=x+l,由△DCEZMC可得=x+ι,BD=CD=X+1,

在RtAADB中，利用勾股定理可得X=3,即4E=3；

（3）连接0D,BD,设0。与BC交于点H,利用COSNEDH=CoS4048=当可得DH=誓，在RtaOHB中

利用勾股定理可得BH=卓,所以CH=BH=^,又证明四边形HDPC为矩形,所以△CCP面积为矩形HCPC

面积的一半，进而可得ADCP的面积.

【详解】（1）解：证明：如图，连接。。，

•••D为劣弧耶的中点，

・•・CD=能,

・•・OD1BC,

又∙.∙PF为。。的切线,

.∙.ODLPF,

设ZE=x,则AZ)=X+1,

∙.∙D为劣弧死的中点，

.∙.CD=B-D,

∙∙∙CD—BD,乙DCE—/.DAC,

又•；∆CDE=Z.ADC)

∙,∙ΔDCE-'ΔDAC,

DE_CD

"CD~AD,

.∙.CD2=DF∙/1D=1×(x+1)=X+1,

BD2=CD2=x+l,

∙∙∙AB为③。的直径，

.∙.∆ADB=90°,

又••・。。的半径为

.∙.AB=2√5,

22

.∙.由m+BD2=极得(X+I)+(x+1)=(2√5),

解得X=3或X=-6(舍)，

(3)解：如图，设。。与BC交于点H,

由(2)知AE=3,

ʌAD=3+1=4,BD=√3÷1=2,

在RtZMOB中，

,AD42√5

cos∆yDnABd=—=-7==—,

AB2√55

•・,OA=ODf

・•・（EDH=Z.DAB,

：•CosZ-EDH=cos∆DAB=管，

又・・,DE=1,

nuncKZ2√5

・•.DH=DE×—=—,

■■■OH=OD-DH=y∕5-'^=--,

∙.∙OH1BC,

.∙.CH=BH=√OB2-OH2=/，

∙∙∙ZB为OO的直径，

ʌ乙ACB=90°,

由（1）可知OCJ.PC,OH1BC,

四边形HDPC为矩形，

.∙.CP=DH=咨DP=CH=哈

【点睛】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定与性

质，圆的切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握这些性质并能灵活运用

是解题的关键.

2.（2022•广西柳州•中考真题）如图，已知AB是。。的直径，点E是G）O上异于A,B的点，点F是改的

中点，连接AE,AF,BF,过点尸作FCLAE交AE的延长线于点C,交A8的延长线于点O,NAOC的平

分线。G交A尸于点G,交FB于点、H.

EjF

(1)求证：CZ)是。。的切线；

(2)求SinNFHG的值；

(3)若G"=4√ΣHB=2,求。。的直径.

【答案】(1)见解析

(3)00的直径为6√5

【分析】(1)连接。凡先证明OFllAC,则∕0FD=∕C=9(Γ,根据切线的判定定理可得出结论.

(2)先证NQFB=NOA凡NADG=NFDG,根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出

NFGH=NFHG=45。,从而可求出sin∕F"G的值.

(3)先在△GFH中求出厂”的值为4,根据等积法可得瞿=靠=2,再证△DFBSADAF,根据对应边成

DBHB

比例可得器=整=2,又由角平分线的性质可得器=名从而可求出AG、AF.在RtAAF3中根据勾股定

DFDBDFGF

理可求出A8的长，即。。的直径.

(1)

证明：连接Of

'：OA=OF,

：.AOAF=AOFA,

,:扉=厢，

：.ZCAF=ZFAB,

ΛZCAF=ZAFOf

.♦・OFWAC9

VAC±CD,

・・・OFLCD,

・・・。尸是半径，

.∙.C力是。。的切线.

(2)

〈AB是直径,

：・ZΛFB=90o,

YOFLCD,

ΛZOFD=ZAFB=90o,

/./AFO=NDFB,

Y40AF=40FA,

：,/DFB=/OAF,

TGO平分NAO尸，

：,/ADG=NFDG,

VZFGH=ZOAF+ZADG,/FHG=∕DFB+/FDG,

工NFGH=NFHG=45。,

ΛsinZFHG=sin45°=-

2

(3)

解：过点”作尸于点M,HNLAD于•点、N.

Y"。平分NAOR

：,HM=HN,

SΔDHF:SΔDHB=FH:HB=DF:DB

•••△/G”是等腰直角三角形，GH=4^2

:∙FH=FG=4,

.DF4ɔ

・.—=-=Z

DB2

设。8=A,DF=Ih

AFDB=AADFfZDFB=ZDAFf

：・ADFBsADAF,

：.DF2=DB-DA.

：.AD=Akf

••・GO平分NAPb

.FGDF1

..—=—=-

AGAD2

.∙.AG=8,

VZAFB=90o,AF=12,FB=6,

222z

.∙.AB=y∕AF+BF=√12+62=6√5

.∙.OO的直径为6√5

【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分

线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键.

3.(2022・广东深圳・中考真题)一个玻璃球体近似半圆0,AB为直径，半圆。上点C处有个吊灯EF,EF//AB,

COJ.4B,EF的中点为D,04=4

图③

(1)如图①，CM为一条拉线，M在。B上，OM=I.6,0F=O.8,求CO的长度.

(2)如图②，一个玻璃镜与圆。相切，H为切点,M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，乙OHM=

∆0HN=45o,tanzC0H=2,求ON的长度.

(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，NHOM=50。,"N为反射光线交圆。于点N,在M从。运动

到8的过程中，求N点的运动路径长.

【答案】(1)2

20

⑵ON=γ

(3)4+T兀

【分析】(1)由CF=O.8,。M=I.6,。尸IlOB,可得出D尸为△C。M的中位线，可得出。为CO中点，即可得

出的长度；

(2)过N点作NDIoH,交OH于点ZX可得出△NHD为等腰直角三角形，根据tan∕C0H=：,可得出

tanZ.∕VOD=—=设ND=3x=D”，则。。=4x,根据。。+DH=OH,即可求得其=±再根据勾股定

OD47

理即可得出答案；

(3)依题意得出点N路径长为：0B+IBT,推导得出NBOT=80。，即可计算给出⅛τ,即可得出答案.

【详解】(DVDF=0.8,OM=1.6,DF||OB

：.DF为4CoM的中位线

，O为CO的中点

•：CO=AO=4

：.CD=2

(2)过N点作NDIoH,交。”于点。，

'：Z.OHN=45°,

二ANHD为等腰直角三角形，即ND=DH,

又YtanNCOH=三，

4

3

JtanzJVOD=

4

AtanzWOD=-=

OD4

:・ND:OD=3:4,

设ND=3x=DH,贝∣JOD=4x,

V0D+DH=OH,

：•3x+4x=4,

解得％=:

：.ND=-,OD=-,

77

.,.在Rt∆NOD中，ON=√∕VD2+OD2=J(≡)2+(y)2=y；

(3)如图，当点M与点。重合时，点N也与点O重合.当点M运动至点A时，点N运动至点T,故点N

路径长为：0B+IBT.

乙,乙

,:2NHO=MHOTHo=∆MH0f∆H0M=50°.

工乙OHA=∆OAH=65°.

/.∆THO=65。/TOH=50°.

∙"80T=80。，

∙*∙lgγ=2TT×4×—~=—TT1

En36009

・・・N点的运动路径长为：0B+z^τ=4+~π,

故答案为：4+―7Γ.

【点睛】本题考查了圆的性质，弧长公式、勾股定理、中位线，利用锐角三角函数值解三角函数，掌握以

上知识，并能灵活运用是解题的关键.

4.（2022.江苏常州•中考真题）（现有若干张相同的半圆形纸片，点。是圆心，直径AB的长是12cm,C是半

圆弧上的一点（点C与点4、B不重合），连接4C、BC.

AOBAOB

备用图

⑴沿AC、BC剪下A4BC,则△4BC是_____三角形(填“锐角”、“直角”或“钝角”)；

(2)分别取半圆弧上的点E、F和直径AB上的点G、H.已知剪下的由这四个点顺次连接构成的四边形是一个

边长为6cm的菱形.请用直尺和圆规在图中作出一个符合条件的菱形(保留作图痕迹，不要求写作法)；

(3)经过数次探索，小明猜想，对于半圆弧上的任意一点C,一定存在线段4C上的点M、线段BC上的点N和

直径4B上的点P、Q,使得由这四个点顺次连接构成的四边形是一个边长为4cm的菱形.小明的猜想是否正

确？请说明理由.

【答案】(1)直角

(2)见详解

(3)小明的猜想正确，理由见详解

【分析】(DAB是圆的直径，根据圆周角定理可知/478=90。，即可作答；

(2)以A为圆心，AO为半径画弧交。。于点E再以E为圆心，EO为半径画弧交于。。点尸连接E/、

FO.EA,G、4点分别与A、。点重合，即可；

(3)当点C靠近点A时，设CM=TC4,CNWCB,可证MNIIAB,推出MN==4cm,分别以M,N为

圆心，MN为半径作弧交AB于点P,。，可得MN=MP=NQ=4cm,进而可证四边形MNQP是菱形；当

点C靠近点8时，同理可证.

【详解】(1)解：如图，

AOB

=AB是。。的直径，

二NACB=90°,

/./AC8是直角，

即△48C是直角三角形，

故答案为：直角；

(2)解：以4为圆心，AO为半径画弧交C)O于点E,再以E为圆心，Eo为半径画弧交于OO点/连接EF、

FO、EA,G、，点分别与A、。点重合，即可，

作图如下：

由彳乍图UJ知AE=EF=FH=HG=OA《AB=6,

即四边形EFHG是边长为6cm的菱形;

（3）解：小明的猜想正确，理由如下:

如图，当点C靠近点A时，设CM=IC4,CN=gCB，

・CM_CN_1

■∙CA~~CB~~3,

・♦・MN∖∖ABy

.MN_CM_1

，∙AB~~CA~3,

/.MN=-AB=ɪ×12=4cm.

33

分别以M,N为圆心，MN为半径作弧交43于点P,Q,作MDI4B于点O,NE上AB于点E,

：,MN=MP=NQ=4cm.

・.,MN∖∖AB.MDLAB,NEJLAB,

/.MD=NE9

在RtΔMDP和RtΔNEQ中，

(MP=NQ

^MD=NE'

.β.RtΔMDP三RtANEQ(HL),

：•乙MPD=LNQE,

：.MP//NQ,

又。:MP=NQ9

・・・四边形MNQP是平行四边形，

又•：MN=MP,

・・・四边形MNQ尸是菱形；

同理，如图，当点C靠近点8时，采样相同方法可以得到四边形MNQP是菱形,

故小明的猜想正确.

【点睛】本题考查了圆周角定理、尺规作图、菱形的性质与判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运

用上述知识解决问题.

5.(2022•北京.中考真题)在平面直角坐标系XOy中，已知点M(α,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右

(a≥0)或向左(α<0)平移Ial个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移网个单位长度，得到点P',点P'

关于点N的对称点为Q,称点Q为点P的“对应点”.

⑴如图，点M(LI),点N在线段OM的延长线上，若点P(—2,0),点Q为点P的“对应点”.

①在图中画出点Q；

②连接PQ,交线段ON于点厂求证：NT=i(9M;

(2)。。的半径为1,M是。。上一点，点N在线段OM上，且ON=tG<t<l),若P为。。外一点，点Q为

点P的“对应点”，连接PQ.当点M在C)O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差(用含t的式子表示).

【答案】⑴见解析

(2)4t-2

【分析】(1)①先根据定义和M(1,1)求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N的对称点为Q求出点。的坐标;

②延长ON至点4(3,3),连接AQ,利用AAS证明AAQTmXOPT,得到TA=TO=∖θA,再计算出OA,OM,

CW即可求出NT=ON-OT=当=；OM；

(2)连接。。并延长至S,使OP=OS,延长SQ至7,使ST=OM,结合对称的性质得出NM为AP'Q7的

中位线，推出NM=TQ7,得出SQ=Sr—TQ=I—(2-2t)=2t-l,则PQmaX-PQmin(PS+QS)-

(PS-QS)=2QS.

【详解】(D解：①点Q如下图所示.

Y点M(L1),

.∙.点P(-2,0)向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P',

ΛP,(-1,1),

；点P'关于点N的对称点为Q,∕V(2,2),

二点Q的横坐标为：2x2-(-l)=5,纵坐标为：2X2-1=3,

.∙.点Q(5,3),在坐标系内找出该点即可；

②证明：如图延长ON至点4(3,3),连接AQ,

*：AQ//0P,

.∖∆AQT=LOPT,

在A4Qr与ANOPr中，

(/-AQT=Z.0PT

∖∆ATQ=4OTP,

(AQ=OP

.♦.AAQTmAOPT(AAS),

：.TA=TO=-0A,

2

V4(3,3),M(l,l),N(2,2),

/.OA—yj32÷32=3√2,OM—Vl2÷I2—V2»ON—√22+22=2√2,

：・TO=LoAS

22

：.NT=ON-OT=2V2-->∕2=

22

.∙.NT/OM;

(2)解:如图所示,

连接Po并延长至5,使。P=OS,延长S。至T,使S7=OM,

VM(α,⅛),点P向右(α≥0)或向左(α<0)平移Ial个单位长度,再向上(b≥0)或向下(b<0)平移Ibl个单位

长度，得到点P',

ΛPP'=OM=1,

点P’关于点N的对称点为Q,

.∙.NP'=NQ,

又，：0P=OS,

：.OM∖∖ST,

.∙.MW为AP，QT的中位线，

.,.NM∕∕QT,NM=^QT,

VNM=OM-ON=l-t,

：.TQ=2NM=2-2t,

：.SQ=ST-TQ=l-(2-2t)=2t-l,

在APQS中，PS-QS<PQ<PS+QS,

结合题意，PQmax=PS+QS,PQmin=PS-QS,

:∙PQmaX-PQmin=(PS+QS)-(PS-QS)=2QS=4t-2,

即PQ长的最大值与最小值的差为4t-2.

【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值

问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q和点P'的轨迹是解题的关键.

6.（2022•贵州遵义•中考真题）探究与实践

“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继续利用

上述结论进行探究.

提出问题：

如图1,在线段4C同侧有两点B,D,连接4D,AB,BC,CD,如果48=N。，那么4B,C,。四点在同

一个圆上.

图1

探究展示：

如图2,作经过点4,C,。的O0,在劣弧AC上取一点E（不与A,C重合），连接4E,CE则NAEC+4D=180°

图2

,：LB=Z.D

.∙.∆AEC+∆B=180°

•••点4,B,C,E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）

.∙.点B,。在点4,C,E所确定的。。上（依据2）

•••点4,B,C,E四点在同一个圆上

⑴反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？

依据1：；依据2：.

（2）图3,在四边形ABCo中，∕1=N2,/3=45。，则/4的度数为

（3）拓展探究：如图4,已知△4BC是等腰三角形，4B=4C,点。在BC上（不与BC的中点重合），连接AD.作

点C关于4。的对称点E,连接EB并延长交4。的延长线于F,连接4E,DE.

图4

①求证：A,D,B,E四点共圆;

②若AB=2√ΣAD∙AF的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由.

【答案】（1）圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

（2）45°

（3）①见解析；②不发生变化，值为8

【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可；

（2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解；

（3）①根据（1）中的结论证明NaEn=N4BD即可得证：②证明ABADSAR4B,根据相似三角形的性质

即可求解.

(1)

如图2,作经过点4,C,。的。0,在劣弧AC上取一点E（不与4,C重合），连接AE,CE则NAEC+NC=180°

（圆内接四边形对角互补）

图2

V乙B—乙D

・・.∆AEC+NB=180°

.∙.点4,B,C,E四点在同一个圆上(对角互补的四边形四个顶点共圆)

.∙.点B,。在点4,C,E所确定的。。匕(同圆中，同弧所对的圆周角相等)

•••点4,B,C,E四点在同一个圆上

故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等

(2)

在线段CD同侧有两点A,B,N1=42

.∙.4B,C,D四点共圆，

∙.∙AD=AD

■■■z4=Z3=45°

故答案为：45°

(3)

®"：AB=AC,

：•Z-ABC=∆ACBf

∙∙∙E点与C点关于4。对称，

・•・Z,ACD=∆AEDf

••・∆AED=∆ABD,

•••4DB,E四点共圆；

②4D∙4F=8,理由如下，

如图，∙∙∙4DB,E四点共圆，

•••乙FBD=/.DAE,

∙.∙4E,4C关于4D对称，

∆DAE=Z.DAC,

ʌ∆DAC=乙DBF,

∙.∙∆ADC=乙BDF,

ʌ∆F=∆ACD>

-AB=ACf

・•.∆ABD=∆ACD,

ʌZ.F=乙ABD,

又乙BAD=Z-FAB,

••・△BADFAB,

ABAD

Λ---=-----，

AFAB

.∙.AD-AF=AB2,

∙.∙AB=2√2,

【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质

与判定，掌握以上知识是解题的关键.

7.(2022∙黑龙江哈尔滨•中考真题)已知CH是。。的直径，点A,点B是。O上的两个点，连接O4OB,点

。，点E分别是半径04,。B的中点，连接CD,CE,BH,S,∆AOC=2∆CHB.

(1)如图1,求证：乙ODC=乙OEC；

(2)如图2,延长CE交BH于点F,若CDJ.04,求证：FC=FH-,

(3)如图3,在(2)的条件下，点G是责/上一点，连接4G,BG,HG,。凡若4G:BG=5:3,HG=2,求。F的

长.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)0F="

【分析】(1)根据SAS证明ACOC三ZXCOE即可得至I］结论：

(2)证明NH=NECO即可得出结论；

(3)先证明OFJ.CH,连接4H,证明AH=BH,设ZG=5x,BG=3x,在AG上取点例，使得4M=BG,

连接MH,证明△MHG为等边三角形，得MG=HG=2,根据4G=4M+MG可求出X=1,得4G=5,BG=3,

过点H作HNlMG于点M求出HB=√Π,再证HF=2。/，根据HB=30F=g可得结论.

(1)

如图1.；点。，点E分别是半径04OB的中点

图I

：

.OD=-20A,2OE=-OB

VOA=OB9

：.0D=OE

■:(BOC=2乙CHB,乙AOC=2乙CHB

.∖∆AOC=乙BOC

,：0C=OC

∕∙ΔCOD=∆COE9

.∖∆CDO=∆CEO;

(2)

如图2.VCD1OAf

"CDO=90o

由(1)得乙CEo=乙CDO=90°,

AsinZ.OCE=^f=I

ΛzOCE=30°,

."COE=90°-NoCE=60°

VzH=-∆BOC=i×60°=30°

22

：.Z.H=乙ECO,

：.FC=FH

(3)

如图3.VCO=OH,FC=FH

：.0FICH

.∖∆FOH=90°

.∖∆AOH=乙BOH=120°,

o

：.AH=BH9∆AGH=60

AG:BG=5:3

设AG=5x,

：.BG=3x

在4G上取点M,使得AM=BG,连接MH

V∆HAM=乙HBG,

ΛΔHAM=^HBG

：.MH=GH,

，ZiMHG为等边三角形

：.MG=HG=2

∖ΛAG=AM-^MG,

5x=3x÷2

/.X=1,

：.AG=5

：.BG=AM=3,

过点H作HN1MG于点N

MN=-GM=-×2=l,HN=HG-sin60o=√3

22

...4V=MN+4M=4,

：.HB=HA=>JNA2+HN2=√19

∖'∆FOH=90o,∆OHF=30o,

：.AOFH=60o

•：OB=OH,

：・乙BHO=乙OBH=30o,

:•乙FoB=M)BF=30°

：.OF=BF.

在RtZkOFH中，∆OHF=30°,

：.HF=20F

：.HB=BF-VHF=30F=√19,

,∖0F=-.

3

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形

的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键.

8.(2022•黑龙江绥化•中考真题)如图所示，在。O的内接ZkAMN中，NMAN=90o,AM=24N,作力B1MN

于点尸，交。。于另一点2,C是用M上的一个动点(不与A,M重合)，射线MC交线段B4的延长线于点。，

分别连接AC和BC,BC交MN于点、E.

(1)求证：Δ,CMAMCBD.

(2)若MN=10,MC=MC,求BC的长.

(3)在点C运动过程中，当tan∕MDB=衬，求能的值.

4NE

【答案】(1)证明见解析

(2)3√Tθ

熊

【分析】(D利用圆周角定理得到/CMA=ZABC,再利用两角分别相等即可证明相似；

(2)连接。C,先证明MN是直径，再求出A尸和NP的长，接着证明ACOEBPE,利用相似三角形的

性质求出。E和PE,再利用勾股定理求解即可；

(3)先过C点作CGLMN,垂足为G,连接CN,设出GM=3x,CG=4x,再利用三角函数和勾股定理分

别表示出PB和尸G,最后利用相似三角形的性质表示出EG,然后表示出ME和NE,算出比值即叽

(1)

解：ABVMN,

.φ.NAPM=90°,

.∙.N。+NZ)MP=90。，

又'.'NDM尸+NNAC=180°,NMAN=90。,

o

：.ZDMP+ZCAM=90t

：.ZCAM=ZDf

•・•NCMA=N∕WC,

.,.ΔCMA—△CBD,

(2)

连接OC,

ZMAN=90°,

二MN是直径，

•：MN=10,

：.OM=ON=OC=S,

'JAM=2AN,KAM2+AN2=MN2,

：.AN=2√5,AM=4√5,

'∙"SAAMN=∖AM-AN=∖MN∙AP,

：.AP=4,

.'.BP=AP=4,

：.NP=>JAN2-AP2=2,

.".OP=5—2=3,

VΛTC=ΛΓC,

：,OC-LMN9

：.NCoE=90。，

•：ABLMN,

：.NBPE=90。,

：.ZBPE=ZCOEf

XVZBEP=ZCEO,

：・〉COEfBPE

・COOECE

,.—————,

BPPEBE

即三=丝=生

4PEBE

由OE+PE=OP=3,

ς4

Λ0E=-,PE=M,

33

.∙.CE=√0C2+OE2=J52+(∣y=∣√To,

BE=√BP2+PE2=J42+(T=∣√10,

ΛBC=∣√10+^√10=3√Tθ.

(3)

过C点作CGJ垂足为G,连接CM则/CGM=90。,

NCMG+NGCM=9(Γ,

YMN是直径，

NMCN=9》,

：.NCNM+NDMP=90。,

"：ZD+ZDMP=90o,

：.ND=∕CNM=NGCM,

VtanZMDB=-,

4

.∙.tan∕CNM=tanzGCM=-,

4

MGCM吗

.■GM=3x,CG=4x,

ΛCM=5x,

KIΓ16X

∙"N=等NG=——3

2≡r

:∙NM=~T

2Sx

，

OM=ON=6

"：AM=2AN,^.AM2+AN2=MN2,

....5√5λ..10√5

=-T-

..AN=—3x>3AM

SEAMN=∖AM-AN≈∖MN-AP,

J.AP=-x=PB,

3

：

.NP=-3x,

.,16511

•・PnzG=-X---X=-χ

3339

Y∕CGE=NBPE=900,ZCEG=∕BEP,

∙,.△CGEs&BPE,

,CGGECE

.■—=—=—,

BPPEBE

即箸=生=空

-XPEBE

3

=2x,

.*.GEPE=-3X

：.ME=Sx,NE=萼

3

：.ME:NE=3:2,

唠的值号

【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动

点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴

题.

9.(2022•湖北鄂州•中考真题)如图1,在平面直角坐标系中，OAB的直角边OA在y轴的正半轴上,

且OA=6,斜边OB=I0,点尸为线段AB上一动点.

(1)请直接写出点8的坐标；

⑵若动点P满足/尸08=45。，求此时点P的坐标；

(3)如图2,若点E为线段。8的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将AAPE折叠，点A的对应点为

4,当物」03时，求此时点尸的坐标；

(4)如图3,若尸为线段4。上一点，且A尸=2,连接FP,将线段在绕点尸顺时针方向旋转60。得线段尸G,

连接0G,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段尸P扫过的面积.

【答案】⑴(8,6)

⑵§6）

⑶号，6)

(4)0G的最小值为4,线段FP扫过的面积为三

【分析】(1)由勾股定理即可求解；

(2)连接0P,过点尸作尸。_L08于点Q,因为ZPoB=45。，所以P。=。。，设尸0=OQ=x,则8。=IO-x,

根据tan8的值，即可求得X的值，再利用勾股定理，即可求解；

(3)令Rr交OB于点力，由点E为线段08的中点，可得AE=4E=^0B=5,BE=-OB=5,利用折

22

叠的性质、正切函数、勾股定理，即可求解；

(4)当以点尸为圆心，OF的长为半径画圆，与A8的交点即为点P,再将线段尸尸绕点尸顺时针方向旋转

60。得线段尸G,此时OG最小，利用三角函数、等边三角形的判定与性质、扇形的面积公式，即可求解.

【详解】（1）解：在RtAOAB中，AB=y∕0B2-OA2=√102-62=8,

:•点、B的坐标为（8,6）；

（2）解：连接OR过点尸作PQLOB于点Q,如图,

∙.βNpoB=45。,

・•・NoPQ=45。,

/.ZPOB=ZOPQf

：.PQ=OQ,

设PQ=0Q=x,W∣JB(2=10-Λ,

在RtLOAB中，tanB=—=-=ɪ,

AB84

在&ZkBPQ中，tanB=^=ɪ=

上BQIO-X4

解得χ=3

:.0Q=PQ=与

22

在RtAPOQ中，OP=yJθQ+PQ=竿,

在RtAAOP中，AP=V"-。〃2=

7

.∙.点P的坐标为§6)i

(3)解：令RV交。8于点£),如图，

∙.∙点E为线段08的中点，

：.AE=-OB=5,BE=-OB=5,

22

..._PD_OA_6_3

•ta∏D——————,

BDAB84

设PD=3a,贝IJBC=4a,

：.BP=∖∕BD2+PD2=5a,DE=BE-BD=5-4a

：.AP=AB-BP=8-5a,

由折叠的性质，可得AE=AE=5,A,P=AP=8-5α,

.".A'D=A'P-PD=8-8α,

在放△4'CE中，A'D2+DE2=A'E2,BP(8-8a)2+(5-4a)2=52,

解得即=T，。2=/

YBD〈BE,即4a<5,

.’5

•∙CL<

4

.1

••a=-»

2

.,.A'P=8-5×i=-,

22

...点P的坐标为肖,6)；

(4)解：以点F为圆心，OF的长为半径画圆，与AB的交点即为点P,再将线段FP绕点下顺时针方向旋

转60。得线段FG,连接OG,此时OG最小，如图，

由题可知，FP=FG=FO=OA-AF=6-2=4,

在RtUPF中,CoS〃尸P=I=：=}

：.Z.AFP=60°,

VzPFG=60o,

ΛzOFG=60o,

・・・△。尸G是等边三角形，

：.OG=F。=4,

・・・0G的最小值为4,

・・・线段Q扫过的面积=嘿Q=与.

36U3

【点睛】本题主要考查了勾股定理、三角函数、直角三角形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性

质、扇形的面积公式.

10.(2022•广西中考真题)已知4时。7=即点4,B分别在射线OM,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①,若a=90°,取AB中点D,点A,B运动时，点。也随之运动,点A,8,。的对应点分别为A,巩D',

连接OD,判断OD与OD'有什么数量关系?证明你的结论：

(2)如图②，若a=60。，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点。与点C的最大距离：

(3)如图③，若a=45。，当点A,B运动到什么位置时，△4。B的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积

的最大值.

【答案】(I)OD=OD',证明见解析

(2)3√3+3

(3)当OA=OB时，△4。B的面积最大；理由见解析，A40B面积的最大值为9√Σ+9

【分析】(1)根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD'^A'B',进而得出结论；

(2)作AAOB的外接圆/,连接C/并延长，分别交③/于0,和。，当。运动到。时，OC最大，求出CQ

和等边三角形AO'B上的高0'D,进而求得结果；

(3)以A8为斜边在其右侧作等腰直角三角形A8C,连接OC交A8于点7,在。T上取点E,使OE=BE,

连接BE,由(2)可知：当0CL48时，OC最大，87=3,当OA=OB时，ZtiOC=22.5o,此时OT最大，根

据等腰三角形的性质可得NOBE=NBOC=22.5。，由外角的性质可得NBE7≡45。，则E7⅛BT=3,利用勾股定

理可得OE,由OT=OE+ET可得07,然后根据三角形的面积公式进行计算.

(1)

解：OD=OD证明如下：

∙.∙∆AOB=a=90o,AB中点为D,

：.OD=-AB,

2

∙.∙D'为4B'的中点，∆A'OB'=a=90°,

..OD1=-A'B',

∙2

"AB=A1B',

：.OD=0D'i

(2)

作AAOB的外接圆/,连接C/并延长，分别交。/于。，和。，

当O运动到0,时，OC最大，

此时AAOB是等边三角形，

.,.B0'=AB=6,

OC⅛M=C<9-CD+DO,=∣AB+yβO,=3+3√3；

(3)

解：如图，当点A,8运动至∣JOA=OB时，AAOB的面积最大，证明如下：

以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,连接OC交48于点T,在07上取点E,使OE=BE,连接

BE,

由（2）可知，当OCJ_A8时，OC最大，

；等腰直角三角形ABC,AC=BC,NAC8=90。，

又。CLAB于T,

，TC=m8T=UB=3,

2

∖∙OC^OT+CT=OT+3,

二当OA=O8时•，此时OT最大，即。C最大，

二AAOB的面积最大，

ZBOT=-ZAOB=22.5o,

2

"：OE=BE,

；.NOBE=NBOC=22.5。,

乙BET=乙OBE+乙BOC=45"

•••OTɪAB

ʌ乙EBT=90°-乙BET=45°

乙EBT=4BET=45°

22

ET=BT=3,OE=BE=y∣ET+BT=3√2

.∙.OT=OE+ET=3∖f2+3

综上，当点A,B运动到OA=OB时，△AoB的面积最大,△AoB面积的最大值为1×6×（3√2+3）=9√2+9.

【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌

握“定弦对定角”的模型.

II.（2022.湖北荆州.中考真题）如图1,在矩形ABCD中，AB=4,AO=3,点。是边AB上一个动点（不

与点A重合），连接0£>,将AOAO沿。。折叠，得到AOEC;再以。为圆心，OA的长为半径作半圆，交

射线AB于G,连接AE并延长交射线8C于凡连接EG,设04=x.

DCDC

(1)求证：OE是半圆。的切线;

(2)当点E落在BQ上时，求X的值；

(3)当点E落在8。下方时，设AAGE与AAFB面积的比值为y,确定)，与X之间的函数关系式;

(4)直谈可也：当半圆。与△BCQ的边有两个交点时，X的取值范围.

【答案】(1)见详解

(2)|

(3)y=z⅛°<Y)

(4)∣<X≤3或m<x≤4

【分析】(1)根据切线的判定定理求解即可；

(2)如图，在RtAOE8,根据勾股定理列方程求解即可；

(3)先证AiMoSA4EG,求出AE,然后证明AaEGSΔΛBF,根据相似三角形面积比等于相似比的平方即

可求解；

(4)结合图形，分情况讨论即可求出X的取值范围.

【详解】(1)证明：在矩形ABCf)中，∆DAB=90°,

∙∙∙∆OED是4OAO沿0。折叠得到的，

.∙./.OED=/.DAB=90°,即0E_LDE,

ʌZ)E是半圆。的切线：

(2)解：•••△OED是小OAo沿0。折叠得到的，

・•・DE=AD=3,0A=OE=x,

・•・OB=AB-OA=4—x,

在RSZλ4B中，DB=yjAD2-^AB2=√32÷42=5,

・•・EB=DB-DE=5-3=2,

在RtAOEB中，OE2+EB2=OB2,

：.x2+22=(4—%)2,解得无=|,

(3)解：在RtADA。中，DO=y∕AD2+A02=√32+x2=√9+x2,

•••ΔOEO是AOAO沿OO折叠得到的，

.∙.AE1OD,

•••4G是。。的直径，

.∙./.AEG=90o,BP½f1EG,

0D∖∖EG,4DAO=∆AEG=90°

・∙・Z-AOD=∆EGA,

・•・LDAO〜LAEG,

DODA

AGAE

22

√9+x3.r,6x

ʌ~ZΓ~=AEfAE=每筋’

•・•∆AEG=∆ABC=90。,ZEAG=∆BAF,

・•・LAEG〜LABF,

；・黑=偿)：即y=(率)、缶,

∙∙∙y=缶（。＜尤＜9

AxQGB

(4)解：由(2)知，当E在。B上时，X=|,

如图，当点E在OC上时，x=3,

当∣<x≤3时，半圆。与△BCD的边有两个交点；

当半圆。经过点C时，半圆。与A8C。的边有两个交点,

连接OC,在RtAOBC中，OB=4-x,0C=X1BC=3,

•••OB2+BC2=OC2,

•••(4-x)2+32=X2,解得X=乌，

8

当g≤x≤4时，半圆。与△BCO的边有两个交点；

综上所述，当半圆。与△8CO的边有两个交点时，X的取值范围为：：<x≤3或个<x≤4.

ZO

【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称，勾股定理，切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，直径

所对的圆周角是直角，相似三角形的判定和性质是解本题的关键.

12.(2022.四川广元.中考真题)在Rf"BC中，AC=BC,将线段C4绕点C旋转α(0o<α<90o),得到线

段C£>,连接A£>、BD.

图1

⑴如图1,将线段CA绕点C逆时针旋转a,则/4。B的度数为

(2)将线段CA绕点C顺时针旋转a时

①在图2中依题意补全图形，并求NAOB的度数；

②若NBCo的平分线CE交BO于点R交DA的延长线于点E,连结BE.用等式表示线段A。、CE、BE

之间的数量关系，并证明.

【答案】⑴135。

⑵⑵①补全图形见解析；ZΛDB=450;®2BE-AD=y[2CE.理由见解析

【分析】（1）由题意得点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的。C上，利用圆内接四边形的性质即可求

解；

（2）①根据题意补全图形即可；同（1）,利用圆周角定理即可求解；

②过点C作CHLEC于点C,交EZ）的延长线于点”，证明BE=OE,ACEH是等腰直角三角形，推出

EH=2BE-AD,利用等腰直角三角形的性质即可证明结论.

【详解】（1）解：由题意得：CA=CD^CB,

点A、D、B都在以C为圆心，CA为半径的③C上，如图，

在优弧砂上取点G,连接AG,BG,

C中，NBcA=90°,

二NBGA=45°,

,.∙四边形A。BG是圆内接四边形,

，ZADB=180o-45°=135°,

故答案为：135。；

（2）①补全图形，如图:

A

D

BC

由题意得：CA^CD^CB,

.∙.点A、D、8都在以C为圆心，CA为半径的（DC上，如图,

「RSBC中，NBc4=90。，

.∙./408=45。；

②2BE-ADZiCE.理由如下：

过点C作C”,Ee于点C,交ED的延长线于点H,如图:

•：C，CB,CE是NBCD的平分线,

；•CE是线段8。的垂直平分线，

：.BE=DE,NEFD=90。,

由①知NAD8=45。，

二NQEF=45。，

/XCEH是等腰直角三角形，

：.NDEF=NH=45°,CE=CH,

"：CD^CA,

.,.NCAD=NCDA,则ZCAE=ZCDH,

：.LAEgLDHC,

：.AE=DH,

：.EH=2ED-AD=2BE-AD,

,."∕∖CEH是等腰直角三角形，

：.2BE-AD=6CE.

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质,

等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和等腰直角三角形解决问题.

13.（2022・山东泰安・中考真题）问题探究

（1）在AABC中，BD,CE分别是乙4BC与NBCA的平分线.

①若44=60。，AB=AC,如图，试证明BC=CD+BE；

B（

②将①中的条件'NB=AC”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由.

迁移运用

（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且乙4CB=2∆ACD,∆CAD=2∆CAB,如图，试探究线段4D,BC,

AC之间的等量关系，并证明.

【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2）4C=4。+BC,见解析

【分析】（1）①证明△力Be是等边三角形，得出E、。为中点，从而证明BC=CC+BE；

②在BC上截取BG=BE,根据角平分线的性质，证明AEBF三AGBF,ΔDFC≤ΔGFC,从而得到答案：

(2)作点B关于ZC的对称点E,证明N2+Z3=60°,从而得到NM=60°,再根