2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 　组合数及其性质 课件（41张）

知识梳理·自主探究师生互动·合作探究知识梳理·自主探究知识探究问题1:某人到某地旅游,要从4处景点A,B,C,D中选择2处,上午选1处,下午选1处,有多少种不同的旅游方案?如果仅从4处景点A,B,C,D中选择2处,又有多少种不同的旅游方案呢?提示:上午选1处,下午选1处,有4×3=12种不同的旅游方案,如果仅从4处景点A,B,C,D中选择2处有6种不同的旅游方案.1.组合的概念一般地,从n个不同元素中,任取m(m≤n,且m,n∈N+)个元素为

,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个

.我们把有关求组合的个数的问题叫作

.思考1:排列与组合有什么联系和区别?提示:排列与组合都是从n个不同元素中取出m个元素;不同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是有顺序的.一组组合组合问题做一做:求从2,3,4,5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数,得到的对数的个数有多少,是

问题;若求两个数相乘得到的积有几种,则是

问题.(用“排列”“组合”填空)

解析:对数式logab的值,与a,b取值顺序有关,属于排列问题;两个数a,b相乘,满足乘法交换律ab=ba,即ab的值与a,b取值顺序无关,属于组合问题.答案:排列组合问题2:假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛,包括体育委员在内,班上篮球运动员共有8人,按照篮球比赛规则,比赛时一个球队的上场队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案?我们又可以形成多少种队员不上场方案?这两种方案之间有什么关系?2.组合数及其性质(1)组合数及组合数公式.组合的个数组合数(2)组合数性质.思考2:组合与组合数的区别是什么?如何理解和记忆组合数的性质?提示:①组合是具体的一件事情,而不是一个数字;②组合数是一个数字.在性质1中体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想,即两边下标相同,上标之和等于下标.性质2中体现了“含”与“不含”的分类思想,即下标相同而上标差1的两个组合数之和,等于下标比原下标多1而上标与大的上标相同的一个组合数.师生互动·合作探究探究点一组合的概念[例1]下列问题是排列问题,还是组合问题?(1)从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会,共有多少种不同的选法?解:(1)根据题意,从9名学生中选出4名学生参加一个联欢会,选出的4名学生没有区别,所以是组合问题.[例1]下列问题是排列问题,还是组合问题?(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共有多少个不同的分数?解:(2)根据题意,从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,分子、分母位置不同,得到的分数也不同,所以是排列问题.[例1]下列问题是排列问题,还是组合问题?(3)已知空间中有8个点,其中任何4点都不共面,则从这8个点中任意选取4点作为顶点构成一个四面体,共可以构成多少个四面体?解:(3)根据题意,从这8个点中任意选取4点作为顶点构成一个四面体,选出的点相同,构成的四面体也相同,所以是组合问题.方法总结排列问题与组合问题的区别是元素之间是否有顺序,元素与顺序无关是组合问题,元素与顺序有关是排列问题.[针对训练]判断下列问题是组合问题还是排列问题.解:(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关,如甲→乙和乙→甲的车票是不同的,所以是排列问题.(1)某铁路上有4个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票?(2)把5本不同的书分给5个学生,每人一本;解:(2)由于书不同,每人拿到的书也不同,有顺序之分,所以是排列问题.(3)从7本不同的书中取出5本给某个同学.解:(3)从7本不同的书中,取出5本给某个同学,在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序,所以是组合问题.探究点二组合数及其性质的应用角度1组合数的应用方法总结A.0 B.1 C.2 D.3A.n=10B.n=11C.a=466D.a=233角度2组合数性质的应用[例3](1)(多选题)(2021·山东枣庄高二期末)已知n,m∈N+,且n>m,则(

)A.1 B.3 C.4 D.5方法总结探究点三组合的实际应用角度1无限制条件的组合问题[例4](1)某值日小组共有5名同学,假设任意安排3名同学负责教室内的地面卫生,其余2名同学负责教室外的走廊卫生,那么不同的安排方式种数是(

)A.10 B.20 C.60 D.100(2)(2021·山东肥城高二期中)一组学生共有7人.①如果从中选出3人参加一项活动,共有多少种选法?②如果从中选出男生2人,女生2人,参加三项不同的活动,要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有648种,问该组学生中男、女生各有多少人?方法总结无限制条件的组合问题,只需按照组合的定义,直接列出组合数即可,注意分清元素的总个数及取出元素的个数.有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步.[针对训练](2021·广东花都高二期末)平面内有A,B,C,D,E共5个点,(1)以其中2个点为端点的线段共有多少条?[针对训练](2021·广东花都高二期末)平面内有A,B,C,D,E共5个点,(2)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?角度2有限制条件的组合问题[例5](多选题)(2021·重庆高二期末)在含有3件次品的50件产品中,任取2件,则下列说法正确的是(

)方法总结解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法(排除法)”.(1)用直接法求解时,应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先安排”的原则.(2)选择间接法的原则是“正难则反”,也就是若正面问题分类较多、较复杂或计算量较大,不妨从反面问题入手,试试看是否简捷些,特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此.此时正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键.[针对训练](2021·浙江湖州高二期中)从5名男生和5名女生中选出4人去社区做志愿者.(1)如果4人中男生、女生各选2人,有多少种选法?(2)如果男生甲与女生乙至少有一人参加,有多少种选法?[针对训练](2021·浙江湖州高二期中)从5名男生和5名女生中选出4人去社区做志愿者.(3)如果4人中既有男生又有女生,有多少种选法?学海拾贝组合中的分组、分配问题组合问题中的分组、分配问题,学生不容易理解掌握,一般求解策略是:(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组问题有三种.①完全均匀分组,每组的元素个数均相等;②部分均匀分组,应注意不要重复,若有n组均匀,最后必须除以n!;③完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题.分配问题可以按要求逐个分配,也可以分组后再分配.典例探究:六本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法:(1)分给甲、乙、丙三人,每人两本;(2)分为三份,每份两本;典例探究:六本不同的书,按下列要求各有多少种不同的分法:(3)分为三份,一份一本,一份两本,一份三本;(4)分给甲、乙、丙三人,一人一本,一人两本,一人三本.应用探究1:某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数有(

)A.6B.24C.180D.90应用探究2:(2021·上海嘉定一模)四名志愿者参加某博览会三天的活动,若每人参加一天,每天至少有一人参加,其中志愿者甲第一天不能参加,则不同的安排方法一共有

种(结果用数值表示).

答案:24当堂检测B1.(2021·北京北师大实验中学期末)编号为1,2,3,4,5的五个人分别去坐编号为1,2,3,4,5的五个座位,其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有(

)A.10种

B.20种

C.30种

D.60种