甘肃省武威市2023届高三第一次联考数学（理）试题（解析版）

武威市教育局第一次高三联考

数学(理科)

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A*'“},B=伸x>4},则他A)CBl)

A.[5,2)B，(a,？C.(2,+∞)D.[2,+∞)

K答案，B

K解析》

K祥解》解不等式求出集合AB,得到∖A,再根据交集定义计算(∖A)cB即可.

K详析H由4=3,〉4}得区4=卜卜20}=[_2,2],

8={x∣8x>4}={xk>g>,得(aA)CB=(g,2.

故选：B.

2.设复数Z在复平面内对应的点的坐标为(L-1),则(z+2)(z+2i)=()

A.1B.4-2iC.-4+2iD.4+2i

K答案DD

K解析D

"羊解H由复数的几何意义确定复数Z的代数形式，再结合复数的运算法则求(z+2)(z+2i).

K详析》因为复数Z在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),

所以Z=I—i,

所以(z+2)(z+2i)=(3T)(l+i)=4+2i.

故选：D.

3.在二ABC中，AB=3,AC=2,BC>6，则CoSA的范围是()

（答案HB

K解析》

K祥解》由余弦定理可得COsA表达式，结合BC>也可得K答案H.

I>v-j,t-ŋ,AB^+AC^—BC^13—BC^中小_rz-r-∣>∣ʌɪɪ

K7详析XCoSA=---------------------------------=-----------------，因为BC>J2，所f以COSA<—.

2ABAC1212

又A∈（0,τu）,所以COSA的范围是1-l,ɪɪj.

故选：B

4.某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）

/输瞥/

(⅛

A.计算6+60+600+6000B.计算6+60+600+6000+600∞

C.计算6+66+666+6666D.计算6+66+666+6666+66666

K答案DA

K解析H

R祥解》按流程图顺序计算可得结果.

K详析D初始值S=0,i=l：第1次循环，S=6"=2;第2次循环，5=60+6,z=3;

第3次循环，5=600+60+6,，=4；第4次循环，5=6()00+60()+60+6,/=5,

此时i>4,跳出循环，输出S.

故选：A

CG

9

K答案IC

K解析』

R祥解』先由诱导公式求出tan(α-^∣)的值，再利用拆分角tan(a-：]=tan一《求得结

果.

R详析U由tan(α—--=SinU^■=sin二=3■,

I12j332

也—3

/ππ5T√3

得tan[a-：）=tana-----

l12~9^

6i+小3

23

故选：C.

y+l>O

6.若X,>满足约束条件<2x+y-4≤0,则下列目标函数中最大值为。的是()

x-2>,+3≥0

A.z=3y-x+5B.z=3y-x-5

C.z=3y-x+4D.z=3y-x-4

K答案DB

K解析D

K祥解H画出可行域，求目标函数m=3y-X的最大值，从而求得正确K答案U.

X—2yH-3—0X—\

K详析》由C-',、解得〈C，设A(1，2)，

2x+y-4=0[y=2''

画出可行域如下图所示，由图可知，

目标函数加=3y—X在点A(l,2)处取得最大值m=3χ2-l=5,

所以z=3y-x-5的最大值为0.

故选：B

7.在正四棱柱ABCz)-ABC。中，E是8G的中点，AB=2,A41=√7,则破与平面88Q。所成角

的正弦值为()

A-B.-C.-D.—

4334

K答案，A

K解析2

K祥解》根据线面角定义，先证明/"BE为BE与平面8月所成的角，再根据题设条件求出

22

EH=；OC、=浮BE=λ∕(√7)+l=2√2,利用正弦的定义即可求解.

K详析》依题意，可得如图：

设底面A4G。的中心为。，

易得DDt±平面A1B1C1D1,OC1U平面AiBiClDi,所以。Q_LOG,

又BIDl1OC1,S1D1DDl=D1,BdDDlU平面BBlRD,

所以。G上平面BBQQ,

取。品的中点〃，连接E”，则

所以EHL平面B用。Q,连接3"，

则/HBE为BE与平面BBQ力所成的角.

因为AB=2,A41=币,

所以EH=；OG=^,BE=√(√7)2+12=2√2,.

EH1

所以sin/HBE="=上.

BE4

故选：A.

8.随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车

每年需要固定投入100万元，此外每生产X辆该汽车另需增加投资g(X)万元，当该款汽车年产量低于400

辆时，g(x)='f+2χ,当年产量不低于400辆时，g(x)=16x+西幽一3500,该款汽车售价为

802X

每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为()

A.1500万元B.2100万元C.2200万元D.3800万元

K答案DC

K解析D

K祥解11先表示利润函数/(x),利润等于销售收入减去投资g(x)和固定投入100万元，再分别利用二次

函数、均值不等式求最值.

R详析力设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为/(χ)(万元)，由题意可知，

isɪ-(ɪɪ2+-^∣-100,0≤%<400

“R=1802J

J\)(360000、

15%-16Λ+------------3500-100,%≥400

VXJ

f1ɔ21

——√+-x-100,0≤x<400

即〃X)=8°360()2，

-%-~60000+3400,X≥400

当OVX<4(X)时，/(x)的对称轴x=420>4(X),贝IJy(X)<∕(400)=2100；

当x2400时，/(x)=-1x+360000+3400≤-2√360000+3400=

=2200,当且仅当χ=600时,

/(x)取得最大值2200.

综上，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为2200万元.

故选：C.

TΓ

9.将函数/(x)=sin[2x+∙^的图象向右平移2个单位长度,再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的

6

j兀

一(。>0),纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若g(x)在0,-上恰有2个零点，则”的取值范围为

coL4_

()

(713^∣

A.

133」

K答案》B

R解析』

R祥解U根据题意得g(x)=SinI2cox--],由0≤x≤∙γ得—∙^≤rIcox—-<———,由g(x)在0,—

VOJ46626L4

MTtπ

上恰有2个零点，得兀<——-<2π,即可解决.

26

K详析H由题可知，/(x)=sin(2%+∙^j,

先将函数/(x)=sin[2x+∙^J图象向右平移/个单位长度，得y=sin∣2尤一看

再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的,(3>0),纵坐标不变，得g(x)=sin(20x-g1,

ω\6；

当0<x≤-时，——≤2ωx—≤------,

46626

因为g(x)在θ,ɪ上恰有2个零点，

所以兀4---------<2π,解得一≤o<一

2633

「713、

所以0的取值范围为-,y,

故选：B

10.已知正三角形ABC的边长为6,AP=λAB+μAC,2w[0,1],4e[0,1]且34+4〃=2,则点P到

直线BC距离的最大值为()

3√3

A.2√3B.3C3石D.

2

R答案ID

K解析』

33

K祥解』由AP=ITlA0+2〃AE结合不∕1+2M=1得出点P在线段。E上运动，进而得出点P到直线

BC距离的最大值.

3

R详析R因为3∕L+44=2,所以5力+2〃=1,

3212

所以AP=4AB+/AC=5X∙1AB+24∙5AC.如图，设AO=]A6,

AE=-AC,则AP=1；IAO+2χ∕4E.因为∕l∈[θ,l],;∕∈[θ,l],

所以点P在线段OE上运动，显然，当点P与点E重合时，点P到直线BC的距离取得最大值也.

11.已知P是离心率为2的双曲线C：/一匕=i("z>o)的右支上一点，则尸至【J直线12x-5y=0的距离

m

与P到点A(-2,0)的距离之和的最小值为()

504224

A.—B.—D.—

131313

K答案，A

K解析H

R祥解H由双曲线的定义，将点P到左焦点A的距离转化为到右焦点的距离，再求右焦点到直线

12x—5y=0的距离，进而得出结果.

2

K详析H已知双曲线G炉_21=1(m>0),可知e=11+m=2，则加=3,

m

所以A(-2,0),B(2,0)分别为C的左、右焦点,则|明一|2/=2〃=2,即IpH=IPH+2,

设P到直线12x—5y=0的距离为d,B到直线12x-5y=0的距离为4,且&=一，则

13

J+∣PA∣=J+∣PB∣+2≥J1+2=∣∣+2=γ^.

故选：A.

12.若函数/(x)=(x—if+alnx有两个极值点为，须，且不<々，贝∣J∕(w)取值范围为()

(l-21n2Qfl-ln2A(1"∣(1A

ʌ-lɔ-可b-lʃ`θnjc∙Γi5n°Jd∙匕ZnJ

K答案》A

K解析U

R祥解》求导/'(x)=H≡2",根据函数“力=(》一1)2+。111%有两个极值点毛,演，由

r=2χ2一2x+α在(0,+a)上有两个不等实根，求得“的范围，进而再根据％<々，%+々=1得到巧的

范围，再由26-2当+。=0,得到〃％2)=(工2—1)2+(-2*+29)InX2,利用导数法求解.

K详析H因为/(x)=(x-l)2+αlnx,

所以r(x)=2(x-l)+q=^≡^^

令O=2£-2x+a,

因为函数/(X)=(X-Iy+αlnX有两个极值点玉，x2,

所以函数r(x)在(0,+8)上有两个不等实根,

z(θ)=α>O1

则〈`),解得0<ɑ<一，

Δ=4-8a>02

因为王<工2，且芭+々=1，，(1)=Q>0,

所以;<%2<1,且-29+4=0,

所以/(%2)=(λ⅛-1)+々1叫=(X2—1)÷(-2xf+2X)Inx,'V/<1.

222■

令函数g(x)=(x-l『+(-2尤2+2χ)InX,-^<χ<l,

则8'(力=(2-4%)山>0在仁,1)上恒成立，

故g(χ)在(；，1)上单调递增,

则g(x)∈'二：n2,0),即/)的取值范围为Crn2,0).

故选：A

灯点石成金9关键r点石成金J：本题关键是根据题意，由《力=2/-2%+。在(0,+。)上有两个不等

实根，求得。的范围，进而再根据罚＜々，χ+∕=ι得到々的范围而得解.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把K答案X填在答题卡的相应位置.

13.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为4兀，9兀，该圆台的体积为19π,则该圆台的高为.

K答案D3

K解析R

K祥解》由圆台的体积公式V=gMe+J啊+邑)直接求得.

K详析》圆台的体积V=啊"+S2)=，(4K+J^^£+9兀)=19兀，得∕z=3.

所以该圆台的高为3.

故K答案H为：3.

14.将8个人分成三组，其中一组由2人组成，另外两组都由3人组成，则不同的分组方法种数为.

R答案，280

K解析D

K祥解》组合问题中既有均分又有非均分，先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，

注意均分分组中的顺序问题，剩余两人为一组.

K详析D先从8个人中选出3人为一组，再从5人中选出3人为一组，剩余两人为一组.

满足条件的分组方法种数为空器■=变电=280.

Aj2

故R答案H为：280.

15.定义在R上的奇函数/(x)满足/(X)=/(2-x),当xe[0,l]时，/(X)=加+2x+α+l,则

/(2023)=.

H案U-1

K解析D

K祥解X由题可得"())=(),/(x)周期为4,据此可得K答案L

R详析》因为/(x)是定义在R上的奇函数，所以/(O)=α+l=O,解得a=—1.

又/(x)=∕(2-x),所以/(X)=-F(X-2),贝IJy(X)=4X—4),

即/(x)是以4为周期的周期函数,

故"2023)=∕(T+4x506)="-l)=-〃I)=-L

故R答案H为：τ∙

16.P为椭圆工+二=1上一点，曲线N+∣y∣=l与坐标轴的交点为A,B,C,D,若

62211

∣Λ4∣+∣PB∣+∣PCj+∣PjD∣=4√6,则尸到X轴的距离为

K答案，也&

13

K解析H

2/_1

K祥解D首先表示出A,8,c,。的坐标，依题意可得IPq+|也=2«,即可得到P为椭圆日+

6

上一点，联立两椭圆方程，求出V,即可得解.

K详析。解:不妨设A(—2,0),B(2,0),C(0,-l),D(0,l),

22

则A,8为椭圆工+工=1的焦点，所以∣B4∣+∣P.=2几,

62

χ∣PA∣+∣Pβ∣+∣PC∣+∣PD∣=4√6,所以IPq+1Pa=2",

2a=2√6

a—ʌ/ð

且ICq=2<∣PC∣+∣PD∣,所以「在以C、O为焦点的椭圆上，且<c=l，所以《

⅛=√5,

c2=a2-b1

22

所以P为椭圆二+匕=1上一点,

56

俨+V

------一ɪ,I--

62⅛ZΘ.,2_6„.II√78

由,，,解2得)=Q，则>=不一

Xy2ɪɔ13

—+—=1

156

故尸到X轴的距离为叵∙

13

故R答案H为：叵

13

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.设等比数列｛%｝的前"项和为S“，己知S3=7,且巧一包=一7.

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)设a=α,,+2"-l,数列｛"｝的前W项和为T“，证明：当〃25时，7；,>56.

nx

K答案』⑴an=2-

(2)证明见K解析》

工解析H

R祥解X(1)根据等比数列的通项公式和求和公式列式求4M，即可得结果；

(2)利用分组求和可求得q=2"-1+"，再结合函数单调性证明.

K小问1详析》

设数列｛《,｝的公比为4，

M7

53=7=1

则《l-q，解得＜

4-%=—7=2'

4(1-力=-7

故α,,=2"τ.

R小问2详析D

由(1)知a=2"-∣+2〃-1,

n,,

所以7；=∕jl+⅛+∙∙∙+^=(l+l)+(2+3)+∙∙∙+(2^'+2π-l)=(l+2+L+2^')+(l+3+L+2n-l)

=y(1+2〃-1)=2一+/

1-22

∙.∙∕(X)=2Λ'-1+f在[1,+8)上单调递增，则数列｛[｝为递增数列，

.∙.当〃≥5时,Tn≥T5=56,

故当〃≥5时，Tn≥56.

18.为了丰富大学生的课外生活，某高校团委组织了有奖猜谜知识竞赛，共有5()0名学生参加，随机抽取了

100名学生，记录他们的分数，将其整理后分成4组，各组区间为[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

并画出如图所示的频率分布直方图•

(1)估计所有参赛学生的平均成绩(各组的数据以该组区间的中间值作代表)；

(2)若团委决定对所有参赛学生中成绩排在前50名的学生进行表彰，估计获得表彰的学生的最低分数线•

(3)以这100名学生成绩不低于80分的频率为概率，从参赛的5()()名学生中随机选20名，其中参赛学生

成绩不低于80分的人数记为X,求X的方差•

R答案H(1)82分

(2)95分

(3)4.8

R解析X

R祥解2(1)利用频率分布直方图进行数据分析，求出〃？，再求出这100名参赛学生的平均成绩，由此估

计出所有参赛学生的平均成绩；

(2)求出可以获得表彰的学生人数的频率，设获得表彰的学生的最低分数线为X,根据条件建立关于X的

方程求解即可；

(3)根据条件,可知X~B(20,0.6),然后由方差公式求解即可.

K小问1详析?

由IoX(0.01+0.03+/%+2〃?)=1,得加=0.02.

这100名参赛学生的平均成绩约为0.01x10x65+0.03x10x75+0.04x10x85+0.02x10x95=82分,

故估计所有参赛学生的平均成绩为82分•

工小问2详析H

获得表彰的学生人数的频率为一=0.1,

500

设获得表彰的学生的最低分数线为X，

由分数在区间［90,100］的频率为10X0.02=0.2，可知x∈(90,1()0),

由(Ioor)XO.02=0.1,得尤=95,

故估计获得表彰的学生的最低分数线为95分∙

K小问3详析3

这100名学生成绩不低于80分的频率为(〃?+2m)X10=0.6,

由题意，可知X~B(20,0.6),

故。(X)=20×0.6X(1-0.6)=4.8.

19.如图，在四棱锥P—ABCO中，四边形ABCr)是直角梯形，ADJ.AB.ABHCD,

PB=CD=2AB=2AD,PD=CAB，PCVDE,E是棱心的中点.

FB

(1)证明：QDJ_平面ABCO；

(2)若AF=4AB,求平面OE下与平面PAO所成的锐二面角的余弦值的最大值.

K答案》(1)证明见K解析Il

(2)B

2

K解析D

K祥解II(I)由线面垂直判定可证得DEl平面PBC,进而得到OE"L8C;利用勾股定理和线面垂直

的判定得到BCl平面尸班＞,从而得到JBC_L~D；利用勾股定理可证得Pz)_LBC),由此可得结论；

(2)以。为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=2，由二面角的向量求法可求得COSe=I7

√3Λ2-22+3

结合二次函数的性质可求得CoSe的最大值.

R小问1详析H

连接BD，

AB^AD,ABLAD,;.BD=&B，又PD=亚AB，：.PD=BD，

E为棱PB中点、，.∙.DELPB,又PCDE,PCPB=P,PC,PBU平面P8C,

.•.DEL平面PBC,又BCU平面PBC,..DELBC;

在直角梯形ABC。中，取CO中点M,连接BM，

CD=2AB,:.DM=AB，又DMllAB,AB=AD,ABLAD,

•・四边形ABMD为正方形，.∙.8W=AD,BM上CD,

：.BC=41BM=√2AD=√2AB-又BD=®AB，：.BD?+BC?=CD°，：.BC上BD,

BDDE=D,BDf)EU平面PJgZ),.∙.BC_L平面PQ,

PDU平面PBD，..BCLPD：

PD=BD=OAB，PB=2AB,:.PD2+BD2=PB2>：.PD±BD

又BCBD=B,6。,5。<=平面他8,，「£>3_平面48。。.

K小问2详析］

以。为坐标原点，D4,OC,DP正方向为％XZ轴，可建立如图所示空间直角坐标系，

设AB=2,则A(2,0,0),3(2,2,0),O(0,0,0),“似旬,P(θ,θ,2√2),

：.DE=[1,1网,^A=(2,0,-2√2),PB=(2,2-242),AB=(0,2,0)；

AF=4AB=(0,240),.∙.b(2,2∕l,0),.∙.OF=(2,2∕l,0);

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z),

n-DE=x+y+V∑z=OL.

则〈，令χ=√∑4,解得：j=-√r2,Z=I-4，

n-DF=2x+2λy=Q

.∙.tt=(√2Λ-√2,l-Λ);

)'轴1平面R4O,二平面尸AO的一个法向量加=(0,1,0),

设平面DEF与平面PAD所成的锐二面角为夕，

CII∣m-H√2√2

则cosθ=cos<m,n>∖=JJ=/=,

pM∣∙∣η+2+(1-2)2√322-2Λ+3

*=；时，(3>22+3%=∣,'∙(c°s叽=1W,

即平面DEF与平面P4。所成的锐二面角余弦值的最大值为也.

2

20.已知直线y=gx—1与抛物线Gf=-2py(p>0)交于M(巧,，儿)，N(巧,，/)两点，且

(XM+ι)(∕+ι)=-8.

(1)求C的方程•

3

(2)若直线y=kx--(kWo)与C交于AB两点，点A与点A'关于V轴对称，试问直线AB是否过定点？

若过定点，求定点的坐标；若不过定点，说明理由•

K答案Il(I)%2=-6y

(2)过定点，(θ,∙∣)

R解析D

K祥解D(I)联立直线y=gx—1与抛物线∕=-2py,写出根与系数关系，化简已知条件来求得“，进

而求得抛物线C的方程.

3

(2)连值直线y=区—]仅。0)抛物线/=-2py,写出根与系数关系，求得直线AB的方程，并求出

定点的坐标.

R小问1详析H

将y=ɪɪ-ɪ代入f--2py,得f+px-2,=°，

2

则XM+XN=-p,XMXN=~P，

则(XM+1)(XN+1)=%+乐+XMXN+1=—3p+1=-8,解得p=3,

故。的方程为/=—6y

K小问2详析》

设4(石,)),8(%,必)，则4(f,y),

y=kx——(攵≠0)ʌʌ

联立方程组『2'),整理得幺+6西一9=0,『36二+36>()，

f=-6y

当一,_考一片一/一可

则x1+x2=-6k,X1X2=-9,所以kA.B

%2一(—X])—6(4+3)—6

2、

⅞ɪɔ~xι(\

因此直线AB的方程为y--T2)，

整理得y=一7元(工2—X])—，即y=—WX(X2一%)+：，

当X=O时，y=∣^,故直线AB过定点(o,∙∣

21.已知函数/(X)=*

(1)求/(x)在(―3,+∞)上的极值;

若Vx∈(-3,+oo),|j-3≤αr2-2x,求〃的最小值.

案》⑴/⑵=3为极小值，/(x)无极大值•

K答

e

(2)\_

2

R解析』

K祥解D(1)求导后，借助导数分析单调性，借助单调性分析极值的情况；

ɪ_1_ɜ

⑵令g(x)=—-——3-0χ2+2χ,令MX)=g'(χ),设〃(无)="(χ),再借助“(X)导函数的正负性，分析

e

原函数的单调性确定极值，再反推g(x)的单调性，判断g(x)极大值情况.

K小问1详析工

■Ta)=；：：/,令/'(x)=0,得x=—2,

/'(x)在(一3,-2)为负，/(x)单调递减，

「⑴在(-2,+∞)为正,/(x)单调递增，

故/(2)=《为极小值，/(x)无极大值.

R小问2详析H

1ʌx+3x+3ɔ

由题知冗=一—3o,令g(x)=「_一3-ax+2x,

ɪɔ

g，(X)=--2ax+2,g(O)=O,g<0)=0,

X+2Y+1

令〃(X)=g,(X)=一Δɪ±-20r+2,贝∣J/(X)=ʌɪʌ—20,

evex

X-I-1Y

设U(X)=(X)=一;——2a贝IJM(X)=一一-,

ee

-3<x<0,M'(X)为正，"O)=∕z'(x)在(-3,0)单调递增，

χ>0,"'(X)为负，“(X)=/?’(X)在(0,+8)单调递减，

故w(0)=Λ,(0)=1-2«为极大值，

若1—2α≤0,即0≥g,此时/(x)40,则Mx)=g'(x)在(-3,+8)单调递减，

又g'(0)=0,所以一3<x<0时g<x)>0,g(x)在(一3,0)单调递增，

X>0时，g'(x)<0,g(x)在(0,+8)单调递减，

故g(0)=0为极大值，所以g(x)≤0,则当。2工时，符合条件；

2

l-2α>0,即α<,此时"(X)>0,

2

存在一3<x∣<0,在(.O)上；“(尤)=∕(x)>0,则〃(X)=g'(x)在(石,())单调递增，

又/z(θ)=g'(0)=0,则在区间(玉,0)上g'(x)<g'(0)=0

所以在区间(玉,0)上，g(χ)单调递减，则g(x)>g(O)=O,不满足条件.

综上所述“的最小值为g.

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一个题目计分.

选修4-4：坐标系与参数方程

X=2CoSa,

22.在直角坐标系Xo)，中，曲线C的参数方程为Vc.(α为参数).以坐标原点O为极点，X轴的