中考数学《反比例函数》练习（附答案解析）

中考数学《反比例函数》专项练习（附答案解析）

、综合题

已知：如图1,函数y=-和=>1）的图象相交于点A和点B

1XK

（1）求点A和点B的坐标（用含k的式子表示）；

（2）如图2,点C的坐标为（1,k）,点、D是第一象限内函数y1的图象上的动点，且

在点A的右侧，直线AC.BC、AD.BD分别与X轴相交于点E、F、G、H.

①判定ACEF的形状，并说明理由；

②点D在运动的过程中，NCAD和/CBD的度数和是否变化？如果变化，说明理由；

如果不变，求出ZCAD和NCBD的度数和.

2.在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1,1）,（-

2,-2）,（√2,√Σ）,…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个.

（1）若点P（2,m）是反比例函数y=7（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求

这个反比例函数的解析式；

（2）函数y=3kx+s-l（k,S为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出‘'梦

之点”的坐标，若不存在，说明理由.

3.如图，点A是坐标原点，点D是反比例函数y=3（%>0）图象上一点，点B在X轴上，

AD=BD,四边形ABCD是平行四边形，BC交反比例函数y=：（x>0）图象于点E.

(1)平行四边形BCD的面积等于；

(2)设D点横坐标为m,试用m表示点E的坐标；(要有推理和计算过程)

(3)求CE-.EB的值；

(4)求EB的最小值.

4.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=7的图象交于点A(-3,m+8),B(n,

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求AAOB的面积.

5.已知双曲线y=i(x>0),直线L：y-√∑=k(χ-√2)(k<0)过定点F且与双曲线交于A,

-

B两点，设A(x∣,y∣),B(x2,y2)(x1<x2),直线k：y=x+√2.

(1)若k=-l,求AOAB的面积S；

(2)若AB=I√Σ,求k的值；

(3)设N(0,2√2),P在双曲线上，M在直线b上且PM〃x轴，求PM+PN最小值，并求

PM+PN取得最小值时P的坐标.

(参考公式：在平面直角坐标系中，若A(x,,y,),B(¾,y2)贝∣∣A,B两点间的距离为

AB=JQi—％2尸+（%一丫2/）

6.已知反比例函数y=亨(m为常数)的图象在一、三象限.

(1)求m的取值范围.

(2)如图，若该反比例函数的图象经过口ABCD的顶点D,点A,B的坐标分别为(0,3),

(-2,0).

①求出反比例函数表达式；

②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP,则P点的坐标为▲-若以D,0,P为顶

点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为

7.绘制函数y=x+^的图象，我们经历了如下过程：确定自变量X的取值范围是XW0;列

观察函数图象，回答下列问题：

(1)函数图象在第象限;

(2)函数图象的对称性是

A.既是轴对称图形，又是中心对称图形B.只是轴对称图形，不是中心对称图形

C.不是轴对称图形，而是中心对称图形D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形

(3)在x>0时，当X=时，函数y有最(大，小)值，且这个最值等

于;

在XVO时，当X=时，函数y有最(大，小)值，且这个最值等于

(4)方程x÷i=-2x+l是否有实数解？说明理由.

8.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与BD的交点E恰好在y轴上，

过点D和BC的中点H的直线交AC于点F,线段DE,CD的长是方程Y-9x+18=0的两根，请解

(2)若反比例函数y='(k#0)的图象经过点H,则k=；

X---------

(3)点Q在直线BD上，在直线DH上是否存在点P,使以点F,C,P,Q为顶点的四边形是

平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

9.设P(X,0)是X轴上的一个动点，它与原点的距离为y1.

(1)求y］关于X的函数解析式，并画出这个函数的图象；

(2)若反比例函数y2=^的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2.

①求k的值；

②结合图象，当y1>y2时，写出X的取值范围.

10.受新冠肺炎疫情的影响，运城市某化工厂从2020年1月开始产量下降.借此机会，为了

贯彻''发展循环经济，提高工厂效益”的绿色发展理念；管理人员对生产线进行为期5个月的

升级改造，改造期间的月利润与时间成反比例函数；到5月底开始恢复全面生产后，工厂每月

的利润都比前一个月增加10万元.设2020年1月为第1个月，第X个月的利润为y万元，

其图象如图所示，试解决下列问题:

(1)分别写出该化工厂对生产线进行升级改造前后，y与X的函数表达式.

(2)到第几个月时，该化工厂月利润才能再次达到IOO万元？

(3)当月利润少于50万元时，为该化工厂的资金紧张期，问该化工厂资金紧张期共有几

个月？

11.(如图，四边形ABCD在平面直角坐标系的第一象限内，其四个顶点分别在反比例函数y∣

=X与丫2=~的图象上，对角线AC_LBD于点P,ACi.X轴于点N(2,0)

(1)若CN=I,试求n的值；

(2)当n=2,点P是线段AC的中点时，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

(3)直线AB与y轴相交于E点.当四边形ABCD为正方形时，请求出OE的长度.

12.如图点A、B分别在X,y轴上，点D在第一象限内，DC_LX轴于点C,AO=CD=2,AB=DA=√5,

反比例函数y=乙(k>0)的图象过CD的中点E.

X

(1)求证：Z∖AOB丝ADCA;

(2)求k的值；

(3)ABFG和aDCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例

函数的图象上，并说明理由.

13.如图所示，一次函数y=kx+b的图象与X轴、y轴分别交于点A、B,且与反比例

函数y=的图象在第二象限交于点C,CDIx轴，垂足为点D.若OB=2。/=300=

12.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)若两函数图象的另一个交点为E,连结DE,求aCDE的面积；

(3)直接写出不等式kx+b≤?的解集.

14.某校九年级数学小组在课外活动中，研究了同一坐标系中两个反比例函数月=半与丫2=

(七＞七＞0)在第一象限图象的性质，经历了如下探究过程：

操作猜想：

(1)如图①，当七=2,©=6时，在y轴的正方向上取一点/作％轴的平行线

交yι于点B,交y2于点C.当OA=I时，AB=,BC=,

*=；当0A=3时，/8=,BC=,穿=；当

AB------------------------------------------------------------------AB----------------------

OA=a时，猜想器=

ΔZ?--

(2)在y轴的正方向上任意取点A作久轴的平行线，交y1于点B、交y?于点C,

请用含七、k2的式子表示的值，并利用图②加以证明.

⑶如图③，若七=12，器=T,在y轴的正方向上分别取点/、D(OD>OA)

作%轴的平行线，交yι于点B、E,交y2于点C、F，是否存在四边形ADFB是

正方形？如果存在，求。4的长和点B的坐标；如果不存在，请说明理由.

15.如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数y=§(x>0)的图象交于点M,过

M作MHlx轴于点H,且tanNAHO=2.

(1)求H点的坐标及k的值；

(2)点P在y轴上，使aAMP是以AM为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的P

点坐标;

(3)点N(a,1)是反比例函数y=-(x>0)图象上的点，点Q(m,0)是X轴上的动

X

点，当AMNQ的面积为3时，请求出所有满足条件的m的值.

16.如图，双曲线y∣=幺与直线y?=ɪ的图象交于A、B两点.已知点A的坐标为(4,1),

Xκ2

点P(a,b)是双曲线y∣=色上的任意一点，且0VaV4.

X

(1)分别求出.、丫2的函数表达式；

(2)连接PA、PB,得到aPAB,若4a=b,求三角形ABP的面积；

(3)当点P在双曲线y∣=个上运动时，设PB交X轴于点E,延长PA交X轴于点F,判断

PE与PF的大小关系，并说明理由.

参考答案与解析

1.【答案】(1)解：由题意，联立∖y~l,解得E或

y=ɪIy=IIy=

k

•・•点A在第一象限，点B在第二象限，且k>l,

.∙.A(M1),BLk,-1)

(2)解：①ACEP是等腰直角三角形，理由如下：

设直线BC的解析式为y=k0x+b0,

将点代入得:｛飞JU，解得需,

则直线BC的解析式为y=x+k-l,

当y=O时，X+k-1=Q,解得X=1-k,即F(I-k,0),

同理可得：点E的坐标为E,(l+k,0),

.∙.CF=J(I-k-1)2+(0-k)2=√2fc,

CE=√(l+∕c-l)2+(0-∕c)2=√2∕c,

EF=1+k-(I-∕c)=2/c,

.∙.CE=CF,CE2+CF2=4∕c2=EF2,

.∙.ΔCEF是等腰直角三角形；

②由题意，设点D的坐标为D(jn,ɪ),贝IJnl>∕c>l,

∙∙∙ΔCEF是等腰直角三角形，

.∙.ZCFE=NCEF=45°,

：.NBFH=ZAEG=135°,

设直线BD的解析式为y=k1x+b1,

k(-kk1+b1=-1f/eɪ=-

将点BLk,-1),D(m,R代入得：［mkι+bι=l，解得I=信，

则直线BD的解析式为y=-χ+-,

/τnm

当y=0时，—X+=0,解得X=m-k,即H(m-k,0),

同理可得：点G的坐标为G(∕c+m,0),

•••DH=J(Zn—Zc—m)2+(0—ɪ)2=ɪʌ/l+m2,

DG=J(k+m-m)2+(0—ʌ)2=^√1+m2,

：.DH=DG,

.∙.NDHG=NDGH,

•：ZDHG=/BHF,

.∙.NDGH=NBHF,

.∙.ZCAD+NCBD=ZAEG+NDGH+NCBD,

=/BFH+/BHF+ZCBD,

=180σ,

即ZCAD与NCBD的度数和不变，度数和为180°

2.【答案】(1)解：根据题意，“梦之点”就是有关函数图象与直线y=%的交点，其坐标就

是对应的方程组的解.

由题意可得：m=2

由点P(2,2)在反比例函数y=；图象上，可得n=2×2=4

故所求的反比例函数的解析式为y=[

(2)解：由题意可得：

(I)当k=0时，y=s—1,此时“梦之点”的坐标为(s-l,s-l).

(II)当k丰Q时,(3k-l)x=l-s

显然，此方程的解的情况决定函数y=3-+s-l的图象上“梦之点”的存在情况,

当k4,SHl时，方程无解，不存在“梦之点”；

当k=∣,5=1时，方程有无数个解，此时存在无数个“梦之点”，

“梦之点”的坐标可表示为(/，力)(h为任意实数);

I-S

X

当k=3时，得\3/C-1

IyI-S

3k-l

即''梦之点”的坐标为(51，指

3.【答案】(1)12

(2)解：由题意D(Tn与,

由(1)可知AB=2m,

；四边形ABCD是平行四边形，

∕∙CD=AB=2m,

∙"(3m与.

VB(2m,0),C(3m,》,

二直线BC的解析式为丫=3％—”,

TΠΔm

y=-X—(√2+l)mX=(1-λ∕2)m

由6X12，解得6^2—6或6(l+√2)(舍弃),

y=D∖y=-m∖y=---m--

∙∙.F((√2+l)m,^);

(3)解：作EF1X轴于F,CGIx轴于G.

VEF//CG,

.CE_FG_3m-(√Σ+l)m_2-√Σ_B

•∙BE一BF一(√2+l)τn-2τn-√2-l-，

(4)解：•.啜=&

BE

∖BEAD

.=-√72^+l',

要使得BE最小，只要AD最小，

"∙"AD=Jm2+=J(m—ɪ)2+12,

.X。的最小值为，

：.BE的最小值为⅛=2√6-2√3.

√2+l

4.【答案】(1)解：将A(-3,m+8)代入反比例函数y=7得，

mC

三初+8,

解得m=-6,

m+8=-6+8=2,

所以，点A的坐标为（-3,2）,

反比例函数解析式为y=-；,

将点B（n,-6）代入y=-得，--=-6,

Xn

解得n=l,

所以，点B的坐标为（1,-6）,

将点A（-3,2）,B（1,-6）代入y=kx+b得,

（-3k+b=2

tk+b=—6'

解得｛之二3

所以，一次函数解析式为y=-2x-4；

（2）解：设AB与X轴相交于点C,

令-2χ-4=0解得X=-2,

所以，点C的坐标为（-2,0）,

所以，0C=2,

SΔAOB=SΔΛOC+SΛBOC,

11

二-×2×3+-×2×1,

22

=3+1,

5.【答案】(1)解:当k=T时，11:y=-x+2√2,

y=—X+2√2

联立得，1,化简得χ2-2√∑x+l=0,

y=-X

解得：Xι=√2-1,X2=√2+1,

设直线L与y轴交于点C,则C(0,2√2).

SZ∖OΛB=SAAOC-SABOC=]∙^y∕2,(X2-X∣)=2-\/2;

y—V2=k(x—V2)

2

(2)解：根据题意得:1整理得：kx+√2(1-k)χ-l=0(k<0),

y=-X

VΔ=[√2(l-k)]2-4×k×(-1)=2(l+k2)>0,

∙*.Xι,Xa是方程的两根,

√¾k-l)

.ɪi+X=

2\①,

X1-X2=-k

2

∙∙∙ΛB=√(ɪI-×yy)2=J(χι-χ2)2

2+(yi-2+⅛-ɪ)

2

=J(¾-χ2)(i+⅛)

2

4XX](1+

=J[(x1+x2)-12ʌ),

将①代入得，AB=叵正=也巴西(k<0),

7k2-k

.√Σ(∕2+I).5√∑

-k2

整理得：2k2+5k+2=0,

解得：k=-2,或k=∣;

(3)解：：直线L：y-√2=k(χ-√2)(k<0)过定点F,

/.F(√2,√2).

如图：

设P(x,ɪ),则M(-工+或，ɪ),

XXX

则PM=Xq-√2=J(X+1—√2)2=Jx2+ɪ-2√2(x+ɪ)+4,

∙∙∙PF=J(χ-√Σ)2+C―必2=卜+展-2√2(x÷i)+4,

PM=PF.

.∙.PM+PN=PF+PN2NF=2,

当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=-χ+2√∑,

由(1)知P(√2-1,√2+l),

二当P(√2-1,√2+l)时，PM+PN最小值是2.

6.【答案】(1)解：根据题意，得l-2m>0,解得m<l,的取值范围是m<i.

(2)解：①••・四边形ABCD是平行四边形，/1(0,3),5(-2,C.∙.0(2,3).

把£)(2,3)代入y=ɪɪɪɪ，得3=ɪɪɪ>ʌ1-2m=

・••反比例函数表达式为y=2；

X

②(3,2)或(-2,-3)或(-3,-2)；4

7.【答案】(1)一、三

(2)C

(3)1；小；2；—1；大；一2

(4)解：方程x+ɪ=-2x+l没有实数解，理由为：y=x+ɪ与y=-2x+l在同一直角

坐标系中无交点.

8.【答案】(1)解：x2-9x+18=0,

(x-3)(x-6)=O,

x=3或6,

VCD>DE,

ΛCD=6,DE=3,

：四边形ABCD是菱形，

ΛAC±BD,AE=EC=√62-32=3√3,

ΛZDCA=30o,ZEDC=60o,

RtZ∖DEM中，ZDEM=30o,

ΛDM=ɪDE=-,

22

VOMlAB,

.∙.Soabcd=IAC∙BD=CD∙OM,

Λ∣×6√3×6=60M,0M=3√3，

AD(-I,3√3)

(2)解：芷

...△DCB是等边三角形,

是BC的中点，

ΛDH±BC,

二当Q与B重合时，如图1,四边形CFQP是平行四边形,

VFC=FB,

ΛZFCB=ZFBC=30o,

ΛZABF=ZΛBC-ZCBF=120O-30°=90°,

ΛAB±BF,CP±AB,

RtAABF中，NFAB=30°,AB=6,

.∙.FB=2√3=CP,

；四边形QPFC是平行四边形，

ΛCQ√PH,

由①知:PHlBC,

ΛCQ±BC,

RtZ∖QBC中，BC=6,NQBC=60°,

ΛZBQC=30o,

ΛCQ=6√3,

连接QA,

VAE=EC,QE±AC,

QA=QC=6√3,

：.ZQΛC=ZQCΛ=60o,ZCAB=30o,

ΛZQAB=90o,

q

∙,∙Q(-,6√3),

由①知：F(I,2ʌ/ɜ),

由F到C的平移规律可得P到Q的平移规律，则P(-I-3,6√3-遮)，即P(-ɪ,

5√3);

③如图3,四边形CQFP是平行四边形，

同理知：Q(-I,6√3),F(I,2V3),C(^,3V3),

,P(ɪ，-√3);

综上所述，点P的坐标为：(3,B)或(-募，58)或

9.【答案】(1)解：由题意y1=∣x∣.

函数图象如图所示：

7

(2)解：①当点A在第一象限时，由题意A(2,2),

；・k=4.

同法当点/在第二象限时，Zc=—4,

②观察图象可知：当k>O时，X>2时，y1>y2或x<O时，y1>y2.

当∕c<0时，％<-2时，yι>y2或%>0时，Yι>y2∙

10.【答案】（1）解：由题意得，设前5个月中y=4,

X

把X=Ly=100代入得，k=100,

.∙.y与X之间的函数关系式为y=ɪ（0<x<5,且％为整数），

把x=5代入，得y=20,

由题意设5月份以后y与X的函数关系式为y=10x+b,

把x=5,y=20代入得，20=10X5+b,解得：b=-30,

.∙.y与X之间的函数关系式为y=10χ-30（x>5且%为整数）；

（2）解：在函数y=IOx-30中，令y=100,得IOx-30=100

解得：%=13

答：到第13个月时，该化工厂月利润再次达到100万元.

（3）解：在函数y=~中，当y=50时，X=2,

VlOO>0,y随X的增大而减小，

二当y<50时，X>2

在函数y=IOx-30中，当y<50时，得10支一30<50

解得：X<8

：.2<x<8且X为整数；：.X可取3,4,5,6,7；共5个月.

答：该化工厂资金紧张期共有5个月.

11.【答案】（1）解：：点N的坐标为（2,0）,CN_LX轴，且CN=|,

二点C的坐标为（2,\）.

：点C在反比例函数y∣=E的图象上，

/.n=2×-=1.

2

（2）解：四边形ABCD为菱形，理由如下：

CrLn24n8

当n=2时，（=嚏=展，丫2=三=1・

当x=2时，y1===1,y2=|=4,

.∙.点C的坐标为（2,1）,点A的坐标为（2,4）.

：点P是线段AC的中点，

点P的坐标为（2,|）.

5258

当y---

-⅛,一--

2X2X

解得：X=,X=γ,

.∙∙点B的坐标为（）”，点D的坐标为（募，I）,

/.BP=2-=I,DP=y-2=I,

/.BP=DP.

XVAP=CP,AC±BD,

二四边形ABCD为菱形.

（3）解：：四边形ABCD为正方形，

ΛAC=BD,且点P为线段AC及BD的中点.

当时，

x=2yl=ɪn,y2=2n,

.∙.点A的坐标为（2,2n）,点C的坐标为（2,∣n）,AC=∣n,

二点P的坐标为（2,7n）.

同理，点B的坐标为（：，：n）,点D的坐标为（£，ɪn）,BD=⅛.

54545

VAC=BD,

.312

'∙Ξn=T，

・

・・n=-8,

・•・点A的坐标为（2,γ）,点B的坐标为（（，2）.

设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0）,

将A（2,费），B（；2）代入y=kx+b,得：145«

55-k+b=2

I5

解得："W,

Ik=I

二直线AB的解析式为y=x+|.

当x=0时，y=x+9=3，

二点E的坐标为（0,|）,

，当四边形ABCD为正方形时，OE的长度为I.

12.【答案】(1)证明：：点A、B分别在X,y轴上，点D在第一象限内，DC±x⅛,

ΛZA0B=ZDCΛ=90o,

在Rt∆ΛOB和RtADCA中，

AO=CD,AB=DA

ΛRt∆AOB^Rt∆DCΛ(HL)

(2)解：在RtZ∖ACD中，CD=2,ΛD=√5,ΛΛC==1,

Λ0C=0A+AC=2+l=3,

.∙.D点坐标为(3,2),

；点E为CD的中点，

二点E的坐标为(3,1),k=3×l=3

(3)解：点G在反比例函数的图象上.理由如下：

,.∙ABFG和ADCA关于某点成中心对称，

Λ∆BFG^∆DCA,ΛFG=CA=I,BF=DC=2,ZBFG=ZDCA=90o,

而OB=AC=1,.∙.OF=OB+BF=1+2=3,

.∙.G点坐标为(1,3),

VIX3=3,

.∙.G(1,3)在反比例函数y=的图象上

13.【答案】(1)解：∖'0B=20A=30D=12

OA=6,OD=4

.∙.A(6,0),8(0,12)

把A(6,0),B(0,12)分别代入y=kx+b得：

产+1；0,解之得：m=-4×20=-80

(b=12

,一次函数的解析式为y=-2x+12

令》=—4,则y=20

ΛC(-4,20)

把C(-4,20)代入y=?得：

m=-4X20=-80

.∙.反比例函数的解析式为y=~^；

(y——2x+12

(2)解：解方程组80得：

Iy=-7

(x1=-4(x2=10

Iyi=20't∕2=-8

ΛE(10,-8)

•∙^ΔCDE=S21ADC+^ΔADE

11

=-AD∙(CO+IyED=2X(4+6)X(20+8)

=140

(3)解：如图：当χV-4时，y=?的图象在y=kx+b的下方，即kx+b>?；

当一4Wx<0时，y=^的图象在y=kx+b的上方，即∕cx+bW”；

当OVXVlO时，y=~的图象在y=kx+b的下方，即kx+b>Y；

当X210时，y=ɪ的图象在y=kx+b的上方，即kx+b≤?；

综上可得，不等式kx+b-X的解集为一4W%<0或％210.

14•【答案】⑴2；4；2；|；|；2；2数学思考：

(

2L)—=^i

ABk1

证明：'：AB-OA=k1,AC-OA=k2,

：.AC-OA-AB-OA=BC-OA=k2-k1,

.BC_BCOA_"kl

'∙AB一ABOA~k1

推广应用：

(3)解：若四边形ADFB是正方形，

设点B的坐标为(α,b)(α>0,b>O),

则有DF=DA=AB=a,OA=b,OD=a+b,

.∙.点F的坐标为(α,α+b).

・・7ɔBCk-k1

•七=1λ2,-=-21=-,

.12-kι_1

•∙k1一2，

解得：k1=8.

∙.∙点B在y=g图象上，点F在y=g图象上，

.'.ab=8,α(α+b)=12,

a2=12—8=4,

.'.a=2,

15.【答案】(1)解：由y=2x案可知A(0,2),即0A=2,VtanZAHO=2,Λ0H=1,

H(1,0),

VMH±x轴，

二点M的横坐标为1,

；点M在直线y=2x+2上，

.∙.点M的纵坐标为4,即M(1,4),

:点在上，

My=X-

Λk=l×4=4;

(2)解：①当AM=AP时,VA(0,2),M(1,4),

∙*∙AM=ʌ/ʒ，

贝!]AP=AM=√5,

二此时点P的坐标为(0,2-遍)或(0,2+√5);

②若AM=PM时，

设P(Oy),

贝"PM=J(I-O)2+(4—y)2,

•∙√(1—O)2