2023级高三数学一轮学案直线、平面平行的判定与性质

考点一空间中平行关系的判定

例1（2021・河南•临颍县第一高级中学高二阶段练习）已知α,b,C为三条不同的直线α1,y

为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若a"b,bua,贝［|a〃aB.若αuα,bu0,ɑ//b,贝IJa〃£

C.若α〃夕，α∕∕α,贝∣Jα∕//5D.若α∏0=α,Sny=b,α∏y=c,

α∕∕b则b〃c

【答案】D

【详解】希buα,贝必〃α或αuα,故A选项错误；

若αuα,buβ,a〃b,则a〃夕或a与/?相交，故B选项错误.

若a〃。，a∕∕a,则a〃。或au£,故C选项错误；

若a∏S=a,BeY=b,aΓ∖γ=c,a〃b,贝IJb〃c,正确，

证明如下：ra〃b,aφγ,buy,.∙.a〃y,

又aua,且any=c,二a〃c,贝帕〃c,故D选项正确；

故选：D.

例2（2007•全国•高考真题（文））直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的

（）

A.一条直线不相交B,两条直线不相交

C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交

【答案】C

例3（2022•四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））下列命题为真命题的是（）

A.若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行

B.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

C.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

D.一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线也异面

【答案】B

【详解】若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平...

行或相交或异面，

BB

如图1,直线AB1BC,BB11BC,但4B与'相交，A错误；

B选项，如图2,直线GH〃平面ABCD,且直线G"//平面力DE匕平面

ABCDC平面/WEF=AD,

过直线GH的平面α,交平面ABCD与直线L

则GH〃4因为G”〃平面ADEF,而，C平面ADEF,

所以，〃平面力DEF,

因为，U平面ABCD,平面ABCDCi平面ADEF=AD,

所以〃/皿

故若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，B正确；

C选项，如图3,平面01α,交线为DE,在平面ɑ内有一直线2,1与DE平行，在直线Z

上，存在3点A8,C到另一个平面0的距离相等，故C错误；

若一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线异面或相交，

如图1,441与DC异面，AB与DC平行，但AB与441相交，D错误.

故选：B4

例4(2022•黑龙江・哈尔滨工业大学附属中学校高二阶段练习)已知m,n是不同的直线。,0

是不同的平面,下列命题中真命题为()

A.若mUa,MIla,则m||nB.若nɪIla,m||0,则aIlβ

C.若a∖∖β,mCL/?,则m〃aD.若aIlβ,mIla,则m〃S

【答案】C

例5(2022.广东.深圳市华美外国语(国际)学校高一期中)已知直线a,b,c,平面a.下

述命题中，真命题的个数是()

(1)若a与b是异面直线，b与C是异面直线，贝IJa与C是异面直线；

(2)若aIlb,bIlc,贝IJaIlC；

(3)若aIlb,bca,则a∣∣a；

(4)若aIla,b∖∖a,则aIlb.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【详解】(1)若a与b是异面直线，b与C是异面直线，贝M与C可能是异面直线，也可能不是

异面直线，故命题错误；

(2)由线线平行关系的传递性可知，命题正确；

(3)由线面平行的判断定理可得aIla或者aua,命题错误；

(4)由线面平行的概念可知，a与b相交，或者平行或者a与b异面，故命题错误.

综上所述，真命题的个数是L

故选：A.

例6(2022•安徽,高二阶段练习)平面a与平面£平行的充分条件是()

A.α内有无穷多条直线都与S平行B.直线aUa,直线bUβ,且α∣∣β,bWa

C.α内的任何一条直线都与0平行D.直线aHa,a∣∣β,且直线ɑ不在α内，也不

在S内

【答案】C

例7（2022•全国•高三专题练习）下列能保证直线α与平面α平行的条件是（）

A.h⊂α,a\\bB.αζtα,bc∑a,a∖∖b

C.buaκA,BEa,C,DEb,且力C∣∣BDD.bua,cHa,a∖∖b,a∣∣c

【答案】B

例8（2022・山东,高密三中高二阶段练习）设有两条不同的直线以”和两个不同的平面

`则下列命题正确的是（)

A若〃?〃&,〃〃or,则机〃”B岩mua、nua、mB贝IJa〃/?

C.若“〃",初Uα,贝［jw〃aD希a〃B、mua∣JJ∣JmlIβ

【答案】D

【详解】若加〃则犯〃可以平行、相交或异面，故A错误；

若机ue,"ua,/M〃4,〃〃夕,相与〃相交，则α〃夕，故B错误；

若〃则"〃α或〃uα,故C错误；若C〃⑸机ua,则，〃//"，故D正确.

故选：D.

例9（多选）（2022•江苏南通・高三期中）设a,夕是两个不重合的平面，下列选项中，是

'S'的必要不充分条件的是（）

A.a内存在无数条直线与月平行B.存在平面L满足且尸

C.存在直线/与a,6所成的角相等D.a内存在不共线的三个点到夕的距离

相等

【答案】ACD

【详解】解：a内存在无数条直线与夕平行不可以得到°〃,，反过来可以，A对；

存在/满足且则°〃尸，满足充分性，B错；

存在/与a,夕所成的角相等，«,夕有可能相交不能得到°〃?，反过来

一定存在/使得~夕所成角相等，C对；

a内存在不共线的三个点到夕的距离相等，也可能两平面相交，不能得到a〃1，反过来

0〃分时a内一定存在不共线的三个点到夕的距离相等，D对.

故选：ACD.

例10（多选）（2023•江苏・苏州中学高三阶段练习）在四棱锥尸-Aβ8中，底面ABC。为

梯形，ABHCD则（）

A.平面PBC内存在无数条直线与平面皿＞平行

B.平面尸A£＞和平面PBC的交线与底面A88平行

c.平面A钻和平面PS的交线与底面ABa）平行

D.平面弘。内任意一条直线都不与8C平行

【答案】ACD

【详解】解：设平面PBCC平面PAD=/,在平面PBC内存在无数条直线与/平行，且不

含于平面PA。，则在平面PBC内存在无数条直线与平面PAO平行，故A正确；

若/〃平面ABCa/u平面PBC平面PBCC平面ABCD=BC则〃/BC,

同理，〃/A〃，则BC〃4£＞,这与四边形ABCD为梯形矛盾，故B错误；

设平面PABC平面PCD=m,AB//CD,AB（Z平面PC/）,Cf）U平面PCD

:.AB〃平面PC。，

又ABu平面「A8,,AB〃加，ABu平面ABCWJa平面ABez）,

.∙.m〃平面468,故C正确；

若平面PAD内存在一条直线a与BC平行，则BC〃平面PAD,BCU平面ABCD

平面ASCDc平面皿）=4）,则Ba/A。矛盾，

・•・平面PAD内任意一条直线都不与BC平行，故D正确，

故选：ACD

例11（2022・上海・高二阶段练习）如图，E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边

AE

AB、BC、CD、DA上的点，且AC=6,BD=4,则当班=时，四边形EFGH为

菱形.

3

【答案】2

【详解】解：∙∙∙E∖F、GsH分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且

AC=6,BD=4,

AEahCFCG33

当BE=而=BFOG=彳时，EH〃BD〃FG,EF〃AC:〃GH,且EH=GF=MBD=

2Ie乜

5,EF=GH=5=5,

AE33

ʌ当BE=Q时，四边形EFGH为菱形.故答案为：2.

例12（2022・全国•高一课时练习）”也C为三条不重合的直线8民7为三个不重合的平

面，直线均不在平面内，给出六个命题：

a∕∕c}a∕∕v]a∕∕c]aUc∖allγ∖

5=>allb>=>allb>nallβ>=>alia∖=>alia

IbHeJ:②初/丹•,③BHCJ.（^allc∖，•⑤。〃川

其中正确的命题是.（将正确的序号都填上）

[答案]①®⑤

【详解】对于①，当“"J匕〃C且“力不重合时，a"①正确；

对于②，当“〃，凶7时，“力可能相交、平行或异面，②错误；

对于③，当aHc,"∕c时，区£可能相交或平行，③错误；

对于④，当a!∕ctα〃。且ONa时，a"a、④正确；

对于⑤，当W"且α<Zα时，alia⑤正确.

故答案为：d通⑤.

考点二直线与平面平行的判定与性质

例1（多选）（2022•全国•高一课时练习）如图，这是四棱锥尸一Aβ8的平面展开图，其中

四边形A38是正方形，E,F,G,H分别是PAPaPC,PB的中点，则在原四棱锥

中，下列结论中正确的有（）

A,平面EFGH〃平面ABCDB.PA〃平面BDG

C.EF〃平面PBCD.FH〃平面BDG

【答案】ABCD

【详解】由平面展开图还原四棱锥，如图所示，可知ABCD均正确.

若0为肛AC交点则0为町AC中点，

连接。G,G为PC中点，故OG〃PAOGU面BDGPAa面BDG

所以尸A〃平面的，B正确；

又F，H为PD,PB中点则F"//BD,BDU面BDG,FHa面BDG,

所以切〃平面BOG,D正确；

由E,尸为PAPo中点，则防〃AL>,BC//ADi故EFuBC,

又BCU面PBC,EFa面PBC,故EF〃平面PBC,C正确；

由EF//AD,AoU面ABCQEFZ面ABCD则£尸//面ABCf)

同理可得E“〃面ABC0而EHEF=EEH,EFu面EFGH,

所以平面历G"〃平面ABCe>,A正确.

故选：ABCD

例2（2022・甘肃定西高二开学考试）如图是正方体的平面展开图.在这个正方体

中①BM〃平面aend..②CNH平面ABFE;③平面BDM//平面AFN;④平面

BDE//平面NCE以上四个命题中，正确命题的序号是.

［答案］（≡③④

【详解】把正方体的平面展开图还原成正方体ABCA-EFMN,如图所示：

对于①，因为B""AN,BMU平面AEND,∙u平面AEND,所以在〃平面

AEND,命题］正确；

对于②，CN〃BE,CNU平面ABFE,BEu平面ABFE,所以CN〃平面ABFE,

命题②正确；

对于③BDHFNBM//ANJBf）U面AFN,BMa面AFN,

所以8。//面AFN,BM//面AFN,BDBM=BBDxJBMU平面BDN,

BDM

所以平面〃平面AFN1命题③正确；

对于④，BD"FNBEHCN,面NCF,BE（Z面NCF

所以BD//面NCF,BE//面NCF,BDCBE=B,BD、BEu平面BDE,

所以平面BDE//平面NCF,命题④正确.故答案为：①（2）③④.

例3（2022•四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））如图1,透明塑料制成的长方体

ABC"-ASGR内灌进一些水，固定容器底面一边8C于水平地面上，再将容器倾斜，如

图2.随着倾斜度不同，有下面五个命题：

①有水的部分可以为棱台；

②没有水的部分始终呈棱柱形；

③水面EFGH所在四边形的面积为

定值；

④棱AA始终与水面所在平面平图2图3

行；

⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值.

其中所有正确命题的序号是.

［答案］②Φ⑤

【详解】依题意，BC"水面EFGH,而平面'CC4c平面EFGH=FG,BCu平面

BCC4贝IJBC//FG

同理BC//E"而3C〃ADBC=FG=EH=AD又BC工平面ABB人平面

AB同A"平面。M)C,

因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱

柱形，①不正确，②正确；

水面EFG"是矩形，线段FG长一定，从图1到图2,再到图3的过程中，线段EF长逐渐

增大，

则水面EFG”所在四边形的面积逐渐增大，③不正确；

因ADJ/BCUFG,FGU平面EFGHARa平面EFG”，因此AA〃平面EFGH,4

正确；

当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高和体积都是定值，因此底

面MASEE的面积是定值，

SRFF=-BEBF

又2,于是得3E∙8户是定值，⑤正确，

所以所有正确命题的序号是②④⑤.P

故答案为：②3)⑤R

例4(2022・上海•高二专题练习)已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M,N分别\

是AB,PC的中点，求证：MN〃平面PAD.∖j

【详解】证明：取DC中点H,联结HM,HN,

因为H是DC中点，N是PC中点,AMB

所以HN〃DP,因为〃VZ平面PAD,PDU平面PAD

则HN〃平面PAD;

因为M是PC中点，ABCD为矩形,

所以HM〃DA,

因为“MS平面PAD,ADu平面PAD,贝IJ〃平面PAD；AMB

又"NU平面HNM,"Mu平面HNM,HNHM=H

故平面HNM〃平面PAD,

∙.∙MNu平面HNM,

MN〃平面PAD.

例5（2023・上海•高二专题练习）如图，长方体中，

IM=M=I"M∣=2,点,,为明的中点

⑴求证：直线8"〃平面PAC；

【详解】（1）设AC和8。交于点°,则。为8。的中点，连接P。，

•.*是明的中点，∙∙∕°〃町

又∙.∙POU平面PACBRa平面PAC

・••直线叫〃平面PAC；

例6（2022・全国・高三阶段练习（文））在三棱柱"SC-ABC中，ABYACBCL平面

ABC,E、F分别是棱AC、的中点.

小

⑴设G为8£的中点，求证：EF//平面8℃内.

√2

⑵若AB=AC=2,直线8片与平面ACq所成角的正切值为2,

求多面体A

E

与yGe的体积V.

B

2

【答案】⑴证明见解析(2)3

【详解】（1）连接尸G,GC

因为点E,F,G分别为AC,AA,BC的中点，

所以FG〃AG且/G=gAGECV/ACEC=^AC=^AtCt

所以EC〃尸G,且EC=FG,

所以四边形ECGF是平行四边形，所以E尸〃CG,

又因为CGU平面8CC4,EFCZ平面BCCS,

所以EF〃平面SC。4

J

⑵因为BC■平面ABC,所以BGAB,BtCYACι又因为ABUC,所以ABL平

面AC4,

tanZBβ1Λ=-=—

所以NBgA即是直线8片与平面ACg所成的角，所以AB12

因为AB=2,所以阴=2夜,因为BC'AC,AC=2,所以耳。=2,

因为A6//ABAB，平面AC用所以FBl1平面B1EC,

VF-%EC=ZFB]∙SABlEC=WFB∣•—EC-B∣C

所以§32,

v=1

因为A8=AC=gC=2,所以2=1,EC=I1所以-EC3,

例7（2022・陕西西安・模拟预测（文））如图，在棱长为2的正方体

ABCD-AIBCDl中，E为BBl的中点.

⑴求证:屿〃平面ADIE；

⑵在线段8C上（包括端点）任取一点P,求三棱锥「-A。IE的体积.

2

【答案】（1）证明见解析（2）3

【详解】（1）证明：由正方体的性质可知A8〃G口，且AB=CB,

•・.四边形abc'd,是平行四边形，∙∙∙g//ad'.

又BClU平面AAEAAU平面ARE,

.∙.8C∣〃平面AAE.

（2）∙∙∙BG∕/平面AR£

，直线BC上的点到平面ARE的距离相等.

.・•点P的位置变化，三棱锥P-AQE的体积不变，

匕-哂E=%-∕≡=!x（!x2xl]x2=∙∣

不妨让P点与B点重合，则’312J3.

例8（2022•四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（理））如图，E,F,G,”为空间

四边形ABCD的边A8,BC,CQ,D4上的点（除端点外），且EH"FG.

（1）求证：EHilBD-

里=2

⑵若E为AB的中点，F点满足FC,求证：ER"G,AC必交于一点

【详解】（1）在空间四边形ABa）中，因为RG为8C,CD上的点即FGU平面

BCD

而EH〃FG,EH0平面68,则£4//平面BCZ）,又U平面ABD,平面ABDc平

面BCD=BD,

所以EH//BD.

ɪBFC

EH=-BD——=2

（2）由（1）知，FGHEHHBD且E为AB的中点，则2,又FC,则有

FG=-BD

3I

因此E"*FG,即四边形同6"为梯形，EF与G”必相交，令EFGH=P

显然PWE尸，EFU平面ABC,即Pe平面ABC,PGGHG"u平面AoC即Pe平

面ADG

则?为平面ABC和平面AOC的公共点，而平面ABCC平面4）C=AC,因此PeAC,

所以EF,"G，AC必交于一点

例9（2022,全国•高三专题练习）如图①，在直角梯形∙CP中，APIIBC,APYABi

AB=BC=-APCC

2,。为AP的中点，E、F、G分别为PC、PD、CB的中点，将△pc。

沿8折起，得到四棱锥P-ABCD,如图②,求证：在四棱锥P-ABCD中，AP〃平面

EFG

【详解】证明：在四棱锥P-MCZ）中，E、G分别为PC、8C的中点，则EG//PB,

P30平面£FG,EGU平面£FG,PB//平面EFG,

在图①中，APilBC,且AP=2BC

。为AP的中点，则AD//BC且AD=BC,所以，四边形ABCo为平行四边形,

所以，ABIICD,

因为E、F分别为PC、PZ）的中点，所以，EFHCD则ΛB〃砂，

.∙.ABα平面£R7,JEFU平面£FG,/.ABIIΞμEFG

AB

PB=Bap^P8u平面PAB,所以，平面PAB〃平面EFG

APU平面∕¾B,因此，AP〃平面E尸G.

例10（2022•四川省峨眉第二中学校高二阶段练习（文））几何体E-ABC。是四棱

锥，ZXABO为正三角，BC=CD=2ZBCD=UOo”为线段AE的中点.

⑴求证：DM〃平面BEC；

BN

⑵线段所上是否存在一点N,使得RM,MC四点共面？若存在请求出正的

值；若不存在，并说明理由.

BN1

【答案】（1）证明见解析⑵存在，正一§

【详解】（1）记F为AB的中点，连接。£“尸，如图1,

因为AM分别为A8,AE的中点，板MFlIEB、

因为（Z平面EBC,EBU平面EBC,

所以MF〃平面EBC,

又因为AM）B为正三角形，所以ND84=60°,E>F±AB,

o

又ABCD为等腰三角形，ZBCD=∖20ι所以NOBC=30。

所以NAfiC=90。，即BCLAB

所以DF//BC,又。Fa平面EBC,8CU平面EBc

所以Z)F〃平面EBC,又DMCMF=F,DM,MFu平面DMF

故平面OMF〃平面EBC,

又因为DWU平面E8C,故。M〃平面BEC

(2)延长CaA8相交于点匕连接PM交BE于点、N,连接CN,

过点N作NO"AE交AB于点0,如图2,

因为。M//平面EC8,£>MU平面PnW,平面PDM平面

ECB=CN

。B

所以Z）M//CN,此时。,M,MC四点共面，图2

由（1）可知BC=CD=2,/PCB=60。,CB上BP得NCPB=30。,PC=4

PNCP42NQPN2

故PM-02一％—3,又因为NQ//AE,所以AM一尸M一§,

NQNQ」.2_1BNNQ1

则有AE2AM233,故BEAE3

例11(2022•全国•高三专题练习)如图，户为圆锥的顶点，°为圆锥底面的

圆心，圆锥的底面直径"=4,母线PH=2近,M是PB的中点，四边形

OBC〃为正方形.设平面PO"C平面PBC=/,证明：///BC；

【详解】因为四边形OBeH为正方形，

•••BCUOH.

...BCS平面PoHO"U平面POH

.・.8C7/平面P0”

∙.∙BCu平面PBC,平面POHc平面PBC=/,

IHBC

考点三平面与平面平行的判定与性质

例1(2022河南・濮阳南乐一高高二阶段练习(理))在正方体

ABCf)-ABICa中M,N,E分别是AB,OZ)∣,A4i的中点.

证明：平面MNE〃平面BCR.

【详解】连接AB

∙.∙N,E分别是。0，AA的中点，.∙.AEUDN支AE=DN

.∙.四边形ADNE是平行四边形，.∙.EN∕ΛW,

又AD//BC,：.EN/IBC,

；BCU平面BCZ)IENa平面BCDl...EN//平面8CD∣

...M,E分别是A8,M的中点.∙.ME/∕AiB,AiB//DiC

.ME//DiC又£)]CU平面8Cf>∣MEz平面BCDl

ME〃平面8C°,又...MEEN=E,ME,ENu平面MNE

二平面MNE//平面BCR；

例2(2022・山东・高密三中高二阶段练习)如图，在三棱柱ABC-ABC中，£

F,G分别为BC,M,AB的中点

(1)求证：平面AGG〃平面8瓦`；

⑵若平面AGGCBC="求证：“为BC的中点.

(1)证明：如图

E,k分别为吟AA的中点，∙∙∙M∕∕AG,

ACIU平面AC]G,Mz平面AGG,.∙.瓦7/平面AGG,

又F,G分别为ABlAB的中点，∙∙∙A∕=8G,

又AF//BG,..四边形AGBF为平行四边形，BF//A1G

AGU平面AGG,J?77©平面AGG.∙.由7/平面AGG,

又EF∖BF=FEEBFU平面BE尸

.∙.平面AelG//平面BEF；

(2)证明：平面A5C//平面A耳G,平面AGGC平面ABCl=ACl

平面AGG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线，交BC于G,

则ACj/GH,得GH"ACG为AB的中点

••・”为BC的中点.

例3(2022・四川.绵阳中学高二开学考试(理))如图所示，在三棱柱ABC-A&G中，e

F`G,H分别是AB,ACA与AG的中点，求证：

(l)β,c,H,G四点共面；

⑵平面EFA'/f平面BCHG

(1)由于G，"分别是A综AG的中点，所以GH//BC,

根据三棱柱的性质可知，BC"B'C',

所以BC//GH,所以民C",G四点共面

(2)由于E，F分别是A'，AC的中点，所以BC//EF,

由于斯,平面BCHGBCU平面8C，G所以EF〃平面BCHG

根据三棱柱的性质可知AG//BE,AlG=SEt

所以四边形BEAG是平行四边形，所以A£〃8G

由于AEtt平面8C"G,BGU平面BC"G,所以AE〃平面BCWG.

由于EFCAE=E,EEAEU平面EFAI,所以平面EFAl//平面BCHG

例4(2022•浙江省杭州学军中学高三期中)如图，在正方体A8CC-A4GA

中，点E,F分别是棱B/,4G的中点，点G是棱GC的中点，则过线段AG且

平行于平面AEF'的截面图形为()

A.等腰梯形B.三角形C.正方形D.矩形

【答案】A

【详解】取BC中点H,连接AH,GH.AD',A。.如下图所示：

由题意得G”∕∕EF,A”/)/又GHtZ平面AEF,EFU平面儿后尸，

.∙.G"〃平面AEF同理AH〃平面AE尸又G”AH=HG〃,AHu平面

■Gj,.∙.平面A//GR//平面AEF,故过线段AG且与平面AEF平行的截面

为四边形AHGD'显然四边形AHGD1为等腰梯形

故选：A

例5（2022・河南・郑州市第一O六高级中学高二阶段练习）如图，在棱长为1的正方体

A88-A8CQ中，点匕尸分别是棱BC,CCl的中点，P是侧面小6瓦内—点，若

A「"平面AE/,则线段八百长度的取值范围是（）

DIC1

≡

ASB1舞

C厚图d[4]

4B

【答案】C

【详解】

DlC1

如图所示，分别取网中G的中点M,N,连接8G,S

因为M,ME,F为所在棱的中点，

所以MN〃BC"EF"BG所以MN“EF

又因为MNU平面AEE,MU平面AET7,

所以MN//平面AEF;/B

因为AAI//NE,m=NE,所以四边形AENA为平行四边形，

所以AN〃AE，又ANa平面AEF,AEU平面AM,

所以AN〃平面AEF；又因为ANMN=N，且ANU平面AMNMNU平面AMN,

所以平面AMN//平面AM,因为p是侧面BCCt耳内一点,且AP//平面力EF,

A.M=JAB,2+B.M2=ʌ/ɪ+fɪ"!=—

在直角三角形ABM中，N⑴2

则点户必在线段MN上,

22

y∣AiBl+B1N

V、乙）乙

在直角三角形分/中，I

当P在MN中点。时APwAPj最短，P在M,N时Af最长,

/一。闺[图=-

40=JAM=JΛ∕2R

TAM=AN=三

，，

^3√2叵

所以线段AP长度的取值范围是142-

故选：c.

例6（2022・湖北武汉高二阶段练习）已知正方体48C0-ABCα的棱长为2,E,尸分

别是棱A4、AA的中点，点P为底面ABCO内（包括边界）的一动点，若

R尸与平面B瓦'无公共点，则点P的轨迹长度为（）

A.3+1B,石

C.6及D.18垃

【答案】B

【详解】解：取BC的中点G,连接AG、"A、D1G如图所示：

因为E,F分别是棱AA、AR的中点，

所以EF/MR,AAa平面8所，EFU平面跳尸，所以AA〃平面

BEFI

又D'F"BG且DF=BG所以D1FBG为平行四边形

所以RG//8尸，DQB平面BEF,BFu平面BEF,所以RG〃平面

BEF又ADlCDlG=DlAD1,DQu平面AGDl

所以平面BEF〃平面AGR,

因为AP与平面际无公共点，Ae平面"GA,所以DfU平面AGR,

又点P为底面λβCO内（包括边界）的一动点，平面AGA平面ABS=AG,

所以AG是点P在底面ABCD内的轨迹，

又正方体ABS-AAGA的棱长为2,所以AG=JAB2+BG[=,2°+'=#>,

所以点尸的轨迹长度为石.

故选：B.

例7（多选）（2022∙全国肩三专题练习）如图，在三棱柱'SC-A蜴G中，已知点G,H分

别在4月，AG上，且GH经过G的重心，点E,F分别是AB,AC的中点，且B、

C、G、H四点共面，则下列结论正确的是（）

A.EF∕∕GHb.Ga//平面Am

GH4

C.EF3D.平面AEQ/平面BCC的

【答案】ABC

【详解】对于A,因为平面AqG〃平面ABC,平面ANGC平面8C"G="G,平面

ABCC平面BCHG=BC,所以用〃8C,因为E,F分别是AB,AC的中点，所以E尸〃

EF1

BC,BC~2t所以EF〃GH,所以A正确，

对于B,由选项A可知E尸〃G”,因为G"<Z平面AEf,EFU平面AE/,所以G”〃

平面AEF,所以B正确，

对于C,因为/£〃8C,B1C1//BCt所以加〃4C,,因为GH经过AABG的重心，所以

GH=2GH2EF1GH_4

BGɜ,因为4£=8C,所以正一§,因为8C-E,所以£尸一§,所以C正确，

对于D,因为2,AC=AC,所以2,因为尸C〃4G,所以四边形

A/CG为梯形，且AF与CG为腰，所以AF与Cc必相交，因为AJu平面Am

CC

'U平面BCGBI所以平面4EF与平面BCC1片相交，所以D错误，

故选：ABC

例8(2022•山东潍坊•高二期中)如图，四边形ABC。是正方形，PA，平面

ABCD,PA//BE且∕¾=ΛB=3

(1)求平面PAD与平面EBC的距离；

⑵若PA=3BE,求直线PO与直线CE所成的角的余弦值.

2√5

【答案】(1)3(2)—

【详解】(1)因为四边形4BCO是正方形，所以BC〃AO,BCu平面EBC,

A。Z平面EBC,所以BCU平面EBC

因为B4〃3E,同理R4∣∣平面EBC又BAcAD=A,

所以平面皿(11平面EBc

所以点A到到平面EBC的距离即为平面PA。与平面EBC的距离.

因为AB=3,且AB为点到A到平面EBe的距离,

所以平面PAD与平面EBC的距离为3.

(2)如图所示，在以上取一点尸使得AF=8平连接EFQF,则四边形ABfiF为平行四

边形，所以四边形OCM为平行四边形，所以尸EQ

则NPDF为直线P。与直线CE所成的角，

在APDF中，W=3五,PF=2,DF=历T=M,由余弦定理可得：

PD°+DF?-PF?2√5

COs/PDF=

2PD-DF丁

2√5

所以直线产短与直线CE所成的角的余弦值为亍.

例9(2022•青海・海南藏族自治州高级中学高二阶段练习)如图，在正方体

AB。-ANCQ中S是8Q的中点反EG分别是BC,OCSC的中点

求证：

⑴EG//平面反肛4；

⑵平面EFG〃平面BDDlB1

【详解】(1)如图，连接加,丁瓦6分别是3。,5。的中点，...瓦;//58

又..SHq平面BORAEGa平面8。。圈.∙.直线EG//平面BORg

(2)连接SD,•「RG分别是0C,SC的中点，

FGHSD:SD⊂平面BDDlB1FGB平面BDRB1

.∙.FG〃平面BDD国由⑴知，EG//平面BDD再

且EGU平面EFG,尸Gq平面E尸G,EG-FG=G,

・•・平面EFG〃平面BDD网

考点四综合应用

例1(2022,四川.仁寿一中高二期中(文))如图，已知正方体A8C0-AB∣GR的棱长为

zλβBB

a,点E,F,G,H,I分别为线段Av'',',BC1Ba的中

点，连接"VB'D',B,C,DE,BF,Cl,则下列正确结论的个数是

()

①点E,F,G,H在同一个平面上；

②平面CBa〃平面EFD；

③直线DE,BF,Cl交于同一点；

√10

④直线BF与直线与。所成角的余弦值为5.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【详解】对于①，连接EF,FG、GHEH,A%作图如下：

)

在正方体ABa-ABea中，易知EH//A1B,在中，,£G分别为

A综明的中点∙∙∙4B∕∕FG则FG//EH,命题①正确；

β

对于②，连接EF,FG、GHtEHtA,DF,作图如下：

在4BCB∣中QG,”分别为明,8C的中点，.∙.GH∕/CA同理在ABa中

EFUBR

・.,G”CZ平面Cg£>|,u平面CBQ,.∙.G////平面CBQ,同理可得石尸〃平

ɪCBD

面一11，

FG≠EH,EF与GH相交由EEG"u平面EFG”则平面EFG〃//平

面CC百，因为平面EFG"平面EFZ)=JEF,所以命题②错误；

对于③，连接BD,延长DE、BF交于点M,

ɪ

因为EF〃BD,且EF~5BD,所以MF=BF,又因为Fl〃BC,且

ɪ

F「2BC,所以B、C、F、I四点共面，所以BF与CI相交，设

BF与CI的交点为N,则NF=FB,所以M与N重合，即直线

DE1BF1Cl交于同一点，命题③正确；

AB

对于④，取ClDl的中点K,连接CK,

则CK〃BF,则CK与BC所成的角。即为直线BF与直线8。所成的角，连接用长,设正方

体的棱长。=2,则4。=2&,BlK=y∕5CK=非由余

弦定理得

222

,、B1C+CK-BtK8+5-58√10

COSU---------------------------------------=----------------------J==-----T==--------

2BtCCK2×2^×√54√105命题

④正确.

综上知，①③④正确.故选：C.

PAt=AlO=∕ΛIE2-P"EF)=I---=—

此时，Y〔2JV484,故选：C

例2（多选）（2022•江苏海安高级中学高二阶段练习）正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为

1,E,F,G分别为BC,CCl,BBI的中点，则（）

A.点C与点G到平面AEF的距离相等B.直线AlG与平面AEF平行

√io

C.异面直线AlG与EF所成角的余弦值为1°

9

D.平面AEF截正方体所得的截面面积为W

【答案】BCD

【详解】正方体A'C°-A4GA中连接ADLFDl,GF,BCl,设

GCCBG=P,GCcEF=O如图.

ncfcfBG=-CC∖GP=_PCAf>cc

对A,根据SG"*12,可得2,又所为CCI中位线

CO--PC

可得2,GP=PO=COt故G0=2C0,点C与点G到直线EF的距离

不相等，故点C与点G到平面AEF的距离也不相等，故A错误；

对B,因点E,F是BC,CCl中点，贝IJEF〃BC1,而正方体人'。。一AqCa的对角面

ABClDl是矩形，则AD1