2023年山西省晋城市高考数学一模试卷及答案解析

2023年山西省晋城市高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.(5分)已知集合A=Lφ2-4χ-12<0},B={x∣2-χ>l},则AGB=()

A.{x∖-2<x<↑}B.{x∖-6<x<l}C.{x∣l<x<2}D.{Λ∣1<X<6}

2.（5分）已知复数z=α+i（α6R）,若z2=3+4i,则复数2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

（分）函数〃）鬻干的部分图象大致为（

3.5X=)

y

∕Λ

A.

y

r∖

∖J

B.

y

C.

y

D.

∣m的（

4.(5分)"sin(a—5)=是"sin(2α—5))

ɔɔO

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（5分）某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用

矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500/77/的矿泉水，会议后了解到所发的矿

1

泉水饮用情况主要有四种：A.全部喝完；B.喝剩约3C.喝剩约一半；D.其他情况.该

数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图.

会议中矿泉水饮用情况的条形统计图会议中矿泉水饮用情况的扇形统计图

根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）

A.40B.30C.22D.14

6.（5分）在四棱锥尸-ABCD中，PAmABCD,四边形ABCD是正方形，PA^AB,PH=

2HC,E,尸分别是棱CD,雨的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值是（）

1√3√62√2

A.-B.—C.—D.-----

3333

7.（5分）当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质.光线透过玻璃的性质，

称为“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率为90%（即光线强度减弱10%）.若

光线强度要减弱到原来的去以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是（）（参考数据：

⅛2≈0.30,⅛3≈0.477）

A.30块B.31块C.32块D.33块

8.（5分）已知函数f（x）=2sinx∖cosx∖+y∕3cos2x,贝IJ（）

A.f（x）的最小正周期是π

B./（x）的图象关于直线X=对称

C.f（x）在［0,2用上有4个极值点

D./（Λ）在［噜，竽］上单调递减

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9.（5分）已知点A（1,-2）,B（2,0）,C（3,-3）,D（-1,-6）,贝∣J（）

A.ABHADB,∖AB∖=∖AC∖

C.ACVBDD.cosCAB,BD)=0

（多选）10.（5分）已知α>0,b>0,且α+26=l,则（)

1,112,八

A.ab<QB.2a+b<2C.~+~≥9D.loga⅛>0

（多选）11.（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装

盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方

形，所有的侧面是全等的等腰三角形，将长方体ABCD-AiBiODi的上底面AiBiCiDi

绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCr>-EfGH.已知A8=AO=2,AE=√7,

贝!］（）

A.十面体ABCf）-EFGH的上、下底面之间的距离是四+1

B.十面体A8C£）-EFG，的表面积是+8

一√2÷1

C.十面体ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距离是-----

2

D.十面体48CZ）-EFGH外接球的表面积是（11+2√Σ）Tr

（多选）12.（5分）已知函数f（x）,g（%）的定义域均为R,且/（尤）-g（2-x）=-5,

gCO+f（x+2）=3,若/（x）的图象关于直线x=l对称，且/（3）=-3,则（）

A.g⑴=6

B.g（X）的图象关于点（0,4）对称

C.g（x）是周期函数，且最小正周期为8

D.∑跄1g（⅛）=90

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

13.（5分）已知抛物线C：/=2Py（P>0）的焦点为凡点4在抛物线C上，若点A到X

轴的距离是IA尸I-2,则p=.

14.（5分）写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：.

①焦点在X轴上；②离心率为2.

15.（5分）某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目，要求每人只参加

一个项目，且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是.

16.（5分）已知/（X）是定义在（-8,0）U（0,+8）上的奇函数，fG）是/（χ）

的导函数，当x>0时，xf'(x)+2f(x)>0,若/(2)=0,则不等式内(X)>0的

解集是.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)公差不为O的等差数列｛“"｝的前"项和为5",且满足“3=10,02,44,47成等

比数列.

(1)求｛“"｝的前"项和S”；

7

(2)记h∏=S+6,求数列｛加｝的前n项和Tn.

18.(12分)某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大

小与颜色相同的，且每个小球上标有I,2,3,4,5,6这6个数字中的一个，每个号都

有若干个乒乓球.顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用X表示取出的小球上的数字，

当x25时，该顾客积分为3分，当3Wx<5时，该顾客积分为2分，当x<3时，该顾

客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：

13I1633412

4125312631

6121225345

(1)以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2

分的概率；

(2)某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让

利几折(如该顾客积分为3+3=6,商场就给该顾客的所有购物打10-6=4折)，记该顾

客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望.

A.TT

19.(12分)在aABC中，角4,2,C所对的边分别为a,b,c,若cosA+cos-=0,且TW=IDB,

AE=AEC.

(1)求4的大小；

(2)若α=7,DE=2√7,求AABC的面积.

20.(12分)如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，AA∖^AB,D,E分别是棱BC,的中

点.

(1)证明：平面ACiDL平面AIC£

(2)求平面ACE与平面AlCE所成锐二面角的余弦值.

X2y2√2

2,∙⑴分)已知椭圆C/+瓦=…>2。)的离心率是三，点M(0,2)在椭圆C

上.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知P(0,1),直线/：y=kx+m(⅛≠0)与椭圆C交于A、8两点，若直线AP、

BP的斜率之和为0,试问△/¾B的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不

存在，请说明理由.

22.(12分)已知函数/(x)=/-3∕+oT的图象在X=I处的切线方程为y=(e-2)x+b.

(1)求4,b的值；

(2)若关于X的不等式/(x)>相对于任意x6[l,+8)恒成立，求整数"的最大值.(参

考数据：∕nlθ≈2.3)

2023年山西省晋城市高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合A={x∣f-4尤-12<0},B={x∖2-x>↑},则4∩8=（）

A.{x∖-2<x<l}B.{x∣-6<x<l}C.{x∣l<x<2}D.{Λ∣1<X<6}

【解答】解：VA={X∣Λ2-4X-12<0}={Λ∣-2<Λ<6},B={x∣2-x>1}=UlXV1},

ΛA∩B={x∣-2<x<6}∩{x∣x<1}={x∣-2<x<1},

故选：A.

2.（5分）已知复数z=α+i（αeR）,若z2=3+4i,则复数2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：由题意可得,（α+i）2=3+4i,即"2"i=3+4i,

又α∈R,因此=3,解得α=2,

则z=2+i,

所以2=2-i在复平面内对应的点（2,-1）位于第四象限.

故选：D.

y

×∕∖λθX

C.

以

D.

【解答】解：因为XeR，/(-X)==-/(%),所以f(χ)为奇函数，得了(χ)的

图象关于原点对称，

当OVXV鄂寸，f(x)>0,排除A。，

TC

当一<r<^7T时，f(X)<0,排除C

故选：B.

4.(5分)“sin("e=争是"sin(2α-≡)=/”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：sin(2]—着)=sin(2α-ɪ+^)=cos(2a—ɪ)=1—2sin2(^a—

当sizι(α—刍二亭时，

sin(2a—^)=1—2×(ɪ)2=ɪ,

当Sin(2a—看)=3时，

1—2si∏2(α—号)=解得Sin(a—电=±等，

故Sin(a-?)=纱是“sin(2a-^)=界的充分不必要条件.

ɔɔbɔ

故选：A.

5.(5分)某数学兴趣小组的学生为了了解会议用水的饮用情况，对某单位的某次会议所用

矿泉水饮用情况进行调查，会议前每人发一瓶500ml的矿泉水，会议后了解到所发的矿

1

泉水饮用情况主要有四种：A.全部喝完；B.喝剩约1C.喝剩约一半；D.其他情况.该

数学兴趣小组的学生将收集到的数据进行整理，并绘制成所示的两幅不完整的统计图.

会议中矿泉水饮用情况的条形统计图会议中矿泉水饮用情况的扇形统计图

根据图中信息，本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是（）

A.40B.30C.22D.14

140

【解答】解：由两幅统计图可得喝剩约一的人有40人，所以该会议共有一=100人，

30.4

所以喝剩约一半的有100×0.3=30人，而其他情况共有8人，

所以本次调查中会议所发矿泉水全部喝完的人数是100-40-30-8=22人.

故选：C.

6.（5分）在四棱锥尸-ABC。中，%_L平面ABC£>,四边形ABC。是正方形，PA=AB,PH=

2HC,E,尸分别是棱CZ）,用的中点，则异面直线与EF所成角的余弦值是（）

1√3√62√2

A.-B.—C.—D.-----

3333

【解答】解：法一：如图，分别取PB.PH的中点M,N,连接MRCM,MN,则M/

//AB,KMF=^AB,

又CE//AB,且CE=38,IJliJCE//MF,J≡LCE=MF,

则四边形CEFM是平行四边形，则CMf/EF、

CM=EF.因为M,N分别是尸8、PH的中点，所以MN〃BH,则/CMN是异面直线BH

与EF所成的角（或其补角）.

设A8=6,RTΛEFAΦ,EF2=AE2+AF2=AD2+DE2+AF2=62+32+32=54,则GW=EF=

3√6,

RrZ∖PBA中，∕,B2≈B42+ΛB2=36+36=72,PM=∣Pβ≈3√2,

RT∕∖PCAΦ,PC2=PAλ+AC1=36+36+36=3×36,ΛPC=6√3,CN=2PN=4®

√2

△P8C中，由于PC2=PB2+BC2,.∙.∕PBC=90°,则cos//PN=

卮

MN=y∕PM2+PN2-2PM-PNcos∆MPN=√6,

6+54—48

故cosZCMN=

2×3∕6×∖[6

法二：在四棱锥尸-ABCZ)中，∕¾"L平面A8CD,四边形ABCZ)是正方形,

以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

令Λ4=AB=6,而E,尸分别是棱C。、∕¾的中点，

贝∣J8(6,0,0),C(6,6,0),P(0,0,6),E(3,6,0),F(0,0,3),

由诵=2HC,得：PH=^PC=(4,4,-4),则H(4,4,2),BH=(-2,4,2),

FE=(3,6,-3).

I前由12_1

所以异面直线BH与EF所成角的余弦值为ICOS<BH,EF>\=

∖BH∖∖FE∖2√6×3√6—3

7.(5分)当光线入射玻璃时，表现有反射、吸收和透射三种性质.光线透过玻璃的性质，

称为“透射”，以透光率表示.已知某玻璃的透光率为90%(即光线强度减弱10%).若

光线强度要减弱到原来的:⅛以下，则至少要通过这样的玻璃的数量是(M参考数据:

25

⅛2≈0.30,⅛3≈0.477)

A.30块B.31块C.32块D.33块

【解答】解：设原来的光线强度为α(α>0),则要想通过〃块这样的玻璃之后的光线强

度减弱到原来的:⅛以下,

111

即aX(90%)"V表α,即0.9"V失，即30.9"Vg表,

乙口乙。乙。

p∏>-2lg5__2(lTg2)~-2+2×0.30

r7l≈30.4,

N>项二1-2lg3-l〜2×0.477-l

故至少要通过31块这样的玻璃，才能使光线强度减弱到原来的士以下,

故选：B.

8.(5分)已知函数/(%)=2si九%∣cos%∣+J5COS2X,则()

A.f(ɪ)的最小正周期是π

B./(x)的图象关于直线X=患对称

C.f(X)在［0,2用上有4个极值点

D./(Λ)在［喑，竽］上单调递减

【解答】解：函数f(%)=2sinx∖cosx∖÷√3cos2x,

对于选项A,/(x+7r)=2sin(x+Tr)ICOS(X÷ττ)∣+√3cos2(x+τr)=-2sinx∖cosx∖+

√3cos2x≠/(%),

由函数周期的定义可知，π不是/(X)的周期，故A错误；

对于选项B,因为/(n)=√3,而/(一系)=0，

显然函数/(x)图象上的点(兀，百)关于直线X=金的对称点(-猾，通)不在/(x)的图

象上，

所以7(x)的图象不关于直线X=今对称，故8错误；

_-JT3JL_

对于选项C,当0≤%≤V或q-≤X≤2〃时，CoSIe0,所以/(x)=sin2x+y∕3cos2x=

TT

2sin(2x+可),

,,τrπ4πl0ππ13π7一7ττ

此时l二≤2x+-≤工-或二一≤2x÷-≤——.当l2尢+πɔ=亍或2%+πq=尸，

3333333乙DL

即X=今或X=符时，函数取得最值，因此/(X)在X=今或X=争取极值，

TC3TT--TT2τcττ

当5<xV-^-时,cosx<0,∕(x)=-sin2x+√3cos2x=-2sin(2x—可)，此时不<2x——

8π

<一,

3

当2%T=竽或2%T=苧，即％=；竽或%=晋时，函数/⑴取得最值，因此/(x)

在％=或％=^^取极值，

TCTCILTC4JL__τrτrττ

当石≤%≤］时，—≤2%÷—≤—,函数f(x)=2sin(2x+W)在［豆，引上单调递减，

ɪX∣NlNIɔɔ

,π117Γ2ππ3πτr士τrIITT,、，、

当；≤X≤■时，—≤2%--≤—,函数f(%)=-2sin(2x-W)在后,V］上单倜

∕∣_LN∣ɔɔLΛ

递增，

所以X=5是函数“X)的一个极小值点，

综上所述，函数/(x)在［0,2π］上的极值点至少有5个，故C错误；

对于选项D,因为f(x+2π)=2sin(x+2π)∖cos(x+2π)∣+√3cos2(x+2τr)=/(%),

则由函数周期的定义可知，2π是函数/(x)的一个周期，

,1ɔ<ττΓ<τr>jr,tτr

当≤X≤工"时，-≤X-2π≤-f又因为函数/O)=2sin(2x+/)在段，刍上单

调递减，

因此函数f(x)在生刍上单调递减，所以/⑺在［等，争上单调递减，故。正确.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

(多选)9.(5分)已知点4(1,-2),B(2,0),C(3,-3),D(-1,-6),则()

A.ABHADB.∖AB∖=∖AC∖

C.ACIBDD.cos(.AB,BD)=0

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,AD=(-2,-4),AB=(1,2),有AO=-2AB,则6〃40,A正确；

对于B,AB=(1,2),AC=(2,-1),则∣∕⅛=b⅛=遍，B正确；

对于C,AC=(2,-1),BD=(-3,-6),则命∙f∏)=-6+6=0,则品_LBkC正

确;

对于力，∕1⅛=（1,2）,访=（-3,-6）,则访=-3AB,而与几反向，则CoS（AB,

Bb）=-I,D错误；

故选：ABC.

（多选）10.（5分）已知α>0,b>0,且α+2b=l,则（）

1112

A.ab<oB.2a+bC.一+—≥9D.log∕>0

θZab

【解答］解：Vα>0,b>0,且〃+2b=l,由基本不等式可得4+2/?=122我冠，

.∖ab≤ɪ,当且仅当〃=b=ɪθʧ,等号成立，故A错误；

12122,h2Q

-+-=（-+-）Qa=2b）=5+—+5r≥5+4=9,

ababQb

当且仅当α=6=拊，等号成立，故C正确；

对于8,取。=匕=寺，贝∣j2α+8=l*,故B错误；

对于。，Va=-2⅛+l>0,ΛO<⅛<i,

:26=1-40,Λ0<a<l,

1

故。正确.

.".logab>loga2>logal=0,

故选：CD.

（多选）11.（5分）数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，如图1所示的礼品包装

盒就是其中之一.该礼品包装盒可以看成是一个十面体，其中上、下底面为全等的正方

形，所有的侧面是全等的等腰三角形，将长方体ABCD-AiBiCiDi的上底面AIBICIDI

绕着其中心旋转45°得到如图2所示的十面体ABCD-EFGH.已知AB=AO=2,AE=√7,

B.十面体ABCD-EFGH的表面积是8√6+8

√2+l

C.十面体ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距离是一y-

D.十面体ABCD-EFG”外接球的表面积是(11+2√Σ)π

【解答】解：如图，补全长方体ABCD-AIBICIDI,

由题中数据可知AlE2=1+(√∑-1)2=4-√Σ,则A4ι=J7-(4-2√2)=√2+1,

故A正确；

因为AB=2,AE=√7,所以4A8E的面积5=尹2乂夕=1=逐，则十面体ABCD-

EFGH的表面积S=+8,故B正确；

因为十面体ABCD-EFGH由长方体ABCD-AIBICIDI的上底面绕着其中心旋转45°得

到，

所以长方体A8CO-481C1。，的外接球就是十面体ABCZ)-EFGH的外接球，

设十面体ABCD-EFGH外接球的半径为R,则RA2,则十面体ABCD-EFGH外接球的

表面积是4πR2=(ll+2√2)π,故D正确；

因为AE=BE=√7,AB=I,所以SinZBAE=与ɪ=竽，所以/=(源恙丽＞=赛

则十面体ABCD-EFGH外接球球心到平面ABE的距离是Ju苧&—舞=迎警且故

C错误，

故选：ABD.

(多选)12.(5分)已知函数/(x),g(x)的定义域均为R,且f(尤)-g(2-x)=-5,

g(x)+f(x+2)=3,若/(X)的图象关于直线x=l对称，且/(3)=-3,则()

A.g(1)=6

B.g(X)的图象关于点(0,4)对称

C.g(X)是周期函数，且最小正周期为8

D.∑当g(k)=90

【解答】解：令X=1,则g(1)+/-(3)=3,又/(3)=-3,故g(1)=3,故A正确；

因为/(x)-g(2-χ)=-5,

则/(x+2)-g[2-(x+2)J=-5,即/(x+2)-g(-χ)=-5,①

又g(x)+f(x+2)=3,②

由②-①得：g(X)+g(-x)=8,

则g(x)的图像关于点(0,4)对称，且g(0)=4,故B正确；

f(x)的图像关于直线x=l对称，

则/(x)=∕(2-χ),

贝∣J∕(2-χ)-g(2-x)=-5,

则f(2+x)-g(2+x)=-5,又g(x)+f(x+2)=3,

两式相减得g(2+x)=8-g(x),

故g(x+4)=g(x),

故g(X)最小正周期为4,故C错误；

g(x)最小正周期为4,且图像关于点(0,4)对称，

g(0)=g(4)=4,g(1)=6,

因为g(2+x)=8-g(x),

故g(2)=8-g(0)=4,g(3)=8-g(1)=2,

所以Σ跄Ig(k)=5X(6+4+2+4)+6+4=90,故。正确.

故选：ABD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中的横线上。

13.(5分)已知抛物线C：∕=2py(p>0)的焦点为F,点A在抛物线C上，若点A到X

轴的距离是IAFl-2,则D=4.

【解答】解：；点A到X轴的距离是IAfl-2,

P

Λ∣=∣Afl-(HFl-2),

解得夕=4,

故答案为：4.

14.(5分)写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：一嚓=i_.

①焦点在X轴上；②离心率为2.

【解答】解：已知双曲线的焦点在X轴上，且离心率为2,

22

不妨设双曲线方程为X我比y=1,

.y∕a2+b2

贝rιIJ-----------=2,

a

B∣J⅛2=302,

设a2=↑

则满足题意的双曲线的标准方程为/-1=1,

故答案为：/一券=1.

15.(5分)某班派甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目，要求每人只参加

6

一个项目，且每个项目都要有人参加，则甲、乙参加同一个项目的概率是_弘_.

【解答】解：将甲、乙等五人参加跳高、跳远、50米短跑这三个项目，每人只参加一个

项目，且每个项目都要有人参加,

可将这五人分为3组，每组人数分别为2、2、1或3、1、1,

则不同的安排方法种数为(士亨+仁)“=150种；

人2

若甲、乙安排在同一个项目，分以下两种情况讨论：

①甲、乙所安排的项目只有•2人参与，此时，不同的安排方法种数为或属=18；

②甲、乙所安排的项目有3人参与，此时，不同的安排方法种数为程朋=18.

综上所述，甲、乙参加同一个项目的概率是P=圈=盘.

故答案为：ʌ.

16.(5分)已知/(x)是定义在(-8,0)U(o,+∞)上的奇函数，/(X)是f(χ)

的导函数，当x>0时，xf'(X)+2fCx)>0,若/(2)=0,则不等式臼(x)>0的

解集是(-2,O)U(2,+8).

【解答】解：令G(X)=Λ2∕(X),

G,(x)=2xf(x)+XL∕(X)=x[2f(X)+xf,(%)],

因为x>0时，xf(x)+2f(%)>0,

所以当x>0时，G,(X)>0,G(x)单调递增，

因为/(x)是定义在(-8,0)U(0,+∞)上的奇函数,

所以在(-8,0)U(0,÷o°)±,/(-x)=-fCx),

所以G(-x)-xif(-x)=-x1f(X)—~G(X),

所以G(x)是奇函数，

所以当x<0时，G(X)单调递增，

因为/(2)=0,

所以G(2)=4/(2)=0,

又G(x)为奇函数，

所以G(-2)=0,

作出G(x)的大致图像如下：

所以在(-8,-2)±,G(x)<0,

在(-2,0)上，G(x)>0,

在(0,2)上，G(X)<0,

在(2,+∞)上，G(X)>0,

所以不等式，XY(X)>0的解集为(-2,O)U(2,+8).

故答案为：(-2,0)U(21+8).

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(10分)公差不为0的等差数列｛“"｝的前"项和为S”,且满足43=10,02,44,47成等

比数列.

(1)求｛〃”｝的前〃项和S"；

(2)记从=W磊，求数列｛加｝的前"项和7λ∙

【解答】解：(1)由题意，设等差数列伍”｝的公差为d(d≠0),

贝IJOI=Cl3-d—10-J,Q4=Q3+d=10+d,

Q7=Q3+4d=10+4d,

.：(12,04,47成等比数列,

：.aj=aιaι,即(10+d)2=(IO-J)(10+4J),

化简整理，得/-2d=0,

解得"=O(舍去)，或d=2,

则m="3-2d=10-2X2=6,

.".Sn-6n+1)∙2-n1+5n.

7ɔɔ11

(2)由(1)»可得bn=A>.=-O--------=7=2∙(--------------),

S〃+6∏2+5n+6(n-+2)(nL÷3)n+2n+3

则7)∕=⅛1+⅛2+∙+⅛Π

111111

=2∙(---)+2∙(---)+∙+2∙(----------------)

3445九+2∏+3

IlllII

=2•(———+———+'H----ɪ-ɔ-----rʒ)

3445∏+2n+3

11

=2∙(--——)

3n+3

2几

—3(n+3),

18.(12分)某商场在周年庆举行了一场抽奖活动，抽奖箱中所有乒乓球都是质地均匀，大

小与颜色相同的，且每个小球上标有1,2,3,4,5,6这6个数字中的一个，每个号都

有若干个乒乓球.顾客有放回地从抽奖箱中抽取小球，用X表示取出的小球上的数字，

当x25时，该顾客积分为3分，当3≤x<5时，该顾客积分为2分，当x<3时，该顾

客积分为1分.以下是用电脑模拟的抽奖，得到的30组数据如下：

1311633412

4125312631

6121225345

（1）以此样本数据来估计顾客的抽奖情况，分别估计某顾客抽奖一次，积分为3分和2

分的概率；

（2）某顾客从上述30个样本数据中随机抽取2个，若该顾客总积分是几分，商场就让

利几折（如该顾客积分为3+3=6,商场就给该顾客的所有购物打10-6=4折），记该顾

客最后购物打X折，求X的分布列和数学期望.

【解答】解：（1）由题意可知某顾客抽奖一次，积分为3分的频率是卷=2，

则估计某顾客抽奖一次，积分为3分的概率为g,

93

又某顾客抽奖一次，积分为2分的频率是菰=—,

3010

则估计某顾客抽奖一次，积分为2分的概率为:⅛;

10

(2)由题意可知X的可能取值为4,5,6,7,8,

又P(X=8)=/=葛，P(χ=7)=娶=葛，P(X=6)=单辞5_42

=145,

c30c30do

P(X=5)=等=提，P(X=4)=3=/，

c30c30

则X的分布列为：

X87654

P2_942181

292914514529

故E(X)=8×焉÷7×亮+6×+5X÷4×焉=6.6.

且=WB,

19.(12分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若COSA+cos-=0,G

2

AE=4EC.

(1)求A的大小；

(2)若α=7,DE=2√7,求aABC的面积.

AAA

【解答】解：(1)若CoSA+cos-=O,则2cos?-+cos——1=0,

222

,.A1Aʌ

解得cos-=一或IScos-=—1(舍)，

222

由A为三角形内角可得A=冬；

(2)Z∖A8C中，由余弦定理可得，7?=力2+¢2_2bccos多①,

TTTTɔ/-4/1

△AOE中，AD=2DB,AE=AEC,则IAol=等，IA£]=拳

由余弦定理得(2√7)2=(¾2+(y)2-2×y×ɪ×(-∣)(D,

①②联立整理得，50c2-27⅛2+15fec=0,

即(10c÷9⅛)(5C-3b)=0,

因为∕7>O,c>0,

所以C=当，代入到①可得6=5,c=3,

Pl1J/XABC的面积S=⅛⅛csinA=Jx5x3x卓=ɪʒ?ɜ.

ZZZzr

20.（12分）如图，在正三棱柱ABC-AiBiCi中，AAi=AB,D,E分别是棱BC,BBl的中

点.

（1）证明：平面ACj。，平面4CE.

（2）求平面ACE与平面AICE所成锐二面角的余弦值.

【解答】(1)证明：设O,Oi分别是AC,4。的中点，连接。。1,OB,OiBi,贝IJool

/∕AA∖,∙.'Z∖ABC是等边三角形，Λ0B±AC,

又根据题意可得：平面ACCI4_L平面ABC,且交线为AC,又OBu平面ABC,.,.OBL

ACCIAI,又0。IU平面ACClAI,Λ0B100∣.

又根据正三棱柱的性质可知：AAll.平面ABC,二OOi，平面ABC,AC,OBu平面ABC,

ΛOOιl.AC,00i10B,

以。为原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设AB=AC=BC=AAi=2,

则θ(ɪ,ɪ,0),4(0,-1,0),4(0,-1,2),C(0,1,0),

C1(0,1,2),E(√L0,1),

.∙.AD=(^-,|,O),/IC1=(0,2,2),A^E=(√3,1,-1),A；C=(0,2,-2),

设平面ACI£),平面AlCE的法向量分别为?n=(%，y,z)fn=(a,b,c),

所以依弓即肾+弱=d取y=l,K∣Jm=(-√3.1,-1),

(ZCI∙m=0，(2y+2z=0,

同理可得£=(0,L1),

所以蓝•薪=(一百，1,-l)∙(0,1,1)=O+1-1=0,故/11，所以平面AClZ)J_

平面AICE.

(2)设平面ACE的法向量分别为k=y1,z1),AC=(0,2,O),AE=(√3,1,1),

'4⅛∙fc=√3x1+y1+z1=0j取XL值则1=(6，0,-3),

则

AC∙k=2y1=O

设平面ACE与平面4CE所成的锐二面角为。，贝k。Se=IJ⅛∣=学,

∣n∣∙∣fc∣&2西4

故平面ACE与平面4CE所成锐二面角的余弦值为亨.

=1(4心。)的离心率是?’点M。2)在椭圆C

21.

上.

(1)求椭圆C的标准方程.

(2)已知P(0,1),直线/：y=kx+m(⅛≠0)与椭圆C交于A、B两点，若直线AP、

8尸的斜率之和为0,试问△%8的面积是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不

存在，请说明理由.

rc_72

a~~2a=2Λ∕2

【解答】解：(1)由已知可得《±-1,解得b-2

b2^1

c=2

Va2=h2+c2

X2y2

故椭圆C的标准方程为工十一=1；

84

(2)设点4(xι,yi)、B(x2,”)，

5之;：8,可得(2正+1)/+4爪+248=0,

联立

由A=16⅛2"P.4(2⅛2+1)(2W2-8)>0,可得w2<8⅛2+4,

2

-4km2m-8

Xx1÷X2=2，%ι%2=2'