2023年甘肃省普通高中学业水平考试数学模拟试卷及答案解析

2023年甘肃省普通高中学业水平考试数学模拟试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的.

1.（4分）已知集合A={2,4,6},若实数。满足α∈A时，一定有6-a∈A,则α的取值集

合为（）

A.{2}B.{4}C.{2,4}D.{2,4,6）

2.（4分）下列推理错误的是（）

A.AEl,A∈α,B∈∕,8∈an∕Ua

B.A∈a,Λ∈β,B∈a,β∈β=>a∩β=ΛB

C./Ca,A∈∕=>Λ⅛a

D.AGl,∕⊂a=>A∈a

3.（4分）①若两直线平行，则其斜率相等；

②若两直线垂直，则其斜率之积为-1；

③垂直于A-轴的直线平行于y轴.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.（4分）已知直线（a-2）x+ay-1=0与直线2x+3y+5=0平行，则a的值为（）

44

A.-6B.6C.D・一

55

5.（4分）用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是（）

A.3B.4C.6D.7

6.（4分）某小说共有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好

为第1,2,3册的概率为（）

1112

A.-B.-C.-D∙一

6323

7.（4分）已知数列{板}是公差为2的等差数歹小且〃1,〃2,〃5成等比数列，则。2的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

8.（4分）已知向量m=（λ+1,1）,n=（入+2,2）,若（zn+九）_L（m-n）,则入=（）

A.-4B.-3C.-2D.^1

9.（4分）棱锥的侧面和底面可以都是（)

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

10.(4分)函数/(x)的定义域为()

A.[-1,I)U(1,+∞)B.(1,+∞)

C.(-1,+∞)D.(-1,1)U(1,+∞)

二、填空题，本大题共5小题，每小题4分，共2()分，把答案填在题中的横线上.

11.(4分)已知一扇形的半径为2,面积为4,则此扇形圆心角的绝对值为弧度.

12.(4分)已知向量Q=(2,2),b=(-8,6),则cos<α,b>=.

13.(4分)若函数y=∕(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=隼学的定义域是.

14.(4分)在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则

截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是.

Qγɪ2γVl

''若/(/(0))=〃，则实数Q=______.

(X2—axτX≥1,

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说期、证明过程或演算

步骤.

16.(8分)设数列｛〃“｝满足：α1=1/αn+ι=3αn,nGN*.

(1)求｛的｝的通项公式及前〃项和S〃；

(2)已知｛加｝是等差数列，T〃为其前〃项和，且加=。2,b3=m+42+Q3,求公().

17.(8分)在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球

的概率为0.3,则所取出的2个球中至少有1个红球的概率为.

18.(8分)已知tanα=3,求下列各式的值：

√3cos(-τr-a)-sin(π+α)

(1)

√3^cos(^+α)+sin(^-a)

(2)2sin2α-3sinαcosα-1.

19.(8分)已知四棱锥P-ABCE>,其三视图和直视图如图，求该四棱锥体积;

20.(8分)如图，在AOAB中，已知尸为线段AB上的一点，OP=x∙0A+y∙0B.

(1)若晶=PA,求X,y的值;

(2)若丽=3易，IsII=4,∣0⅛=2,且后与6⅛的夹角为60°时，求(⅛∙Λ⅛的值.

2023年甘肃省普通高中学业水平考试数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有

一项是符合题目要求的.

1.（4分）已知集合A={2,4,6},若实数”满足α∈A时，一定有6j∈A,则α的取值集

合为（）

A.{2}B.{4}C.[2,4}D.{2,4,6）

【解答】解：取α=2∈A,贝∣J6-2=46A,."=2满足条件.

同理可得：“=4满足条件，a=6不满足条件.

综上可得：。的取值集合为{2,4}.

故选：C.

2.（4分）下列推理错误的是（）

A.Λ∈∕,A∈α,B曰,Bea=IUa

B.Aea,A∈β,Bea,B∈β=>a∩β=AB

C.I<ta,A∈QACa

D.Ael,∕ua=Aea

【解答】解：对于A,：4日，A∈a,B&l,Bea,二由平面的基本性质得∕ua,故A正确；

对于8,YACa,Λ∈β,B∈a,8印，，由平面的基本性质得a∩β=A8,故B正确；

对于C,∙.∙∕Ca,AH,二A有可能是/与a的交点，此时Aea,故C错误；

对于。，∕ua,.,.由平面的基本事件得A6a,故。正确.

故选：C.

3.（4分）①若两直线平行，则其斜率相等：

②若两直线垂直，则其斜率之积为-1;

③垂直于X轴的直线平行于y轴.

其中正确命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【解答】解：对于①：若两直线平行，则其斜率相等：也可能斜率不存在，故①错误；

②若两直线垂直，则其斜率之积为-1,当其中一条直线和X轴平行，另一条与y轴平行

时，故②错误；

③垂直于X轴的直线平行于y轴也可能为y轴，故③错误.

故选：A.

4.（4分）已知直线（〃-2）x+αy-1=0与直线2x+3y+5=0平行，则〃的值为（）

A.-6B.6C.-ɪD.-

55

【解答】解：・.・直线（〃-2）x+@-1=0与直线2x+3y+5=0平行，

.ɑ-2CL—1

---二-≠--

235

解得a=6.

故选：B.

5.（4分）用辗转相除法，计算56和264的最大公约数时，需要做的除法次数是（）

A.3B.4C.6D.7

【解答】解：T264÷56=4…40,

56÷40=l…16,

40÷16=2…8,

16÷8=2,

・・・264与56的最大公约数是8,

需要做的除法次数是4,

故选：B.

6.（4分）某小说共有三册，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好

为第1,2,3册的概率为（）

1112

A.-B.-C.-D.一

6323

【解答】解：三册书任意排放在书架的同一层上，共有433=6种，其中各册从左到右或

从右到左恰好为第1,2,3册为2种，

故各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为;="

63

故选：B.

7.（4分）已知数列｛”“｝是公差为2的等差数歹∣J,且小,a2,a5成等比数歹U,则“2的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

【解答】解•••数列｛丽｝是公差为2的等差数列，且αι,。2,“5成等比数列，

••0-2~Ql*QS，

Λα∣=(α2-2)(α2÷6),解得°2=3.

故选：A,

8.(4分)已知向量Tn=(入+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)_L(m—n),贝!|入=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【解答】解：Vm=(Λ+l,1),I=Gl+2,2).

Λm+n=(2入+3,3),m-n=(—1,-1).

V(m÷n)1(m—n),

——⅜—⅜—⅜

(m+n)∙(τn—n)=0,

.,.-(2λ+3)^3=0,解得入=^3.

故选:B.

9.(4分)棱锥的侧面和底面可以都是()

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【解答】解：由棱锥的定义可知，三棱锥的侧面和底面均是三角形.

故选：A.

10∙(4分)函数/(x)=等的定义域为()

A.[-1,1)U(1,+∞)B.(1,+∞)

C.(-1,+∞)D.(-1,1)U(1,+∞)

【解答】解：要使原函数有意义，则解得且χ≠i∙

...函数f(x)的定义域为[-1,1)U(1,+8).

故选：A.

二、填空题，本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上.

11.(4分)已知一扇形的半径为2,面积为4,则此扇形圆心角的绝对值为2弧度.

【解答】解：设扇形的圆心角的弧度数是α,弧长为/

；扇形的半径长r=2,面积5=4,

.∙.S=gr,即4=^x∕X2,解之得/=4

因此，扇形圆心角的弧度数是a=J=[=2.

故答案为：2.

TTTTD

12.(4分)已知向量α=(2,2),b=(-8>6),则cos<a,b>=_—ɪθ_.

【解答】解：a-b=2×(-8)+2X6=-4,

∣α∣=√22+22=2√2,

Ibl=ʌ/(-8)2+62=10,

→r.-4√2

c°sVd^=^ιo=^ιδ∙

故答案为：-奈

13.(4分)若函数y=∕(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=q岁的定义域是「1，

2).

【解答】解：函数y=∕(x)的定义域是[0,3],

要使函数g(%)=隼岁有意义，

可得{°会二7

1%—2≠0

解得：^l≤x<2.

函数g(X)=隼字的定义域是L1,2).

故答案为：LI,2).

14.(4分)在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则

截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是-.

~6-

【解答】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，

则截去8个三棱锥，

8个三棱锥的体积为：8×⅜×∣×∣×∣×∣=∣.

ɔZZZZ。

剩下的凸多面体的体积是IT=擀.

OO

故答案为：f.

6

Qγ-I-ɔγ<^Λ4

:若/(7(O))=α,则实数。=_彳_.

{x2—ax,x≥1,3

【解答】解：f(0)=3×0+2=2,

/(ʃ(θ))=f(2)=4-2a=af

解得，α=［，

4

故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说期、证明过程或演算

步骤.

16.(8分)设数列｛〃“｝满足：Ql=Lαn+ι=3αn∕n∈N*.

(1)求｛〃〃｝的通项公式及前〃项和S〃；

(2)已知｛加｝是等差数列，T〃为其前〃项和，且加=。2,b3=m+42+α3,求7⅛0∙

【解答】解：(1)数列伍〃｝满足：α1=1,αn+ι=3αn,nWN*∙

rlnl

可得｛小｝的通项公式为an=aιcf=3^;

前〃项和Sn=雪上段=午亨=1(3n-1);

I-Q1—ɔZ

(2)｛加｝是等差数列，■为其前"项和,

且bι=42=3,b3="ι+α2+α3=1+3+9=13,

设公差为",则3+2d=13,解得d=5,

则72θ=2O⅛ι+i×2OX19J=2O×3+lO×I9×5=1O1O.

17.(8分)在大小相同的5个球中，只有红色和白色两种球，若从中任取2个，全是白球

的概率为0.3,则所取出的2个球中至少有1个红球的概率为0.7.

【解答】解：因为全是白球与取出的2个球中至少有1个红球是对立事件，

所以所取出的2个球中至少有1个红球的概率为I-0.3=0.7,

故答案为：0.7.

18.(8分)己知tanα=3,求下列各式的值：

√3cos(-π-a)-sin(τr+a)

(1)

V3cos(~+(x)+siπ(^--Λ)

(2)2sin2a-3sinacosa-1.

一√¾osa+s讥a一乃+tma_3-西6-5√3

【解答】解:(1)原式=

-Bsina-CoSa—√r3tana-1—373—113

sin2a-cos2a-3sinacosaa—1—3ta?Ia1

(2)