北师大版九年级上册数学全册教学课件

第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定1.1.1菱形及其性质1.理解菱形的定义。2.掌握并理解菱形边的性质。(重点）3.掌握菱形对角线的性质。学习目标菱形对新课导入

下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？新课导入思考（1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。中心对称图形。

（2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。

新课讲解

知识点1菱形的定义

菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．要点精析：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组

邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判

定方法．新课讲解.如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需

要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝BCC．AB＝BC

D．AC＝BDC新课讲解如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，

DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是()A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB新课讲解做一做（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？菱形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直。新课讲解练一练1如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的长.新课讲解新课讲解

知识点2菱形的性质

菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?菱形的四条边都相等.新课讲解例1

如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()A．2B．

C．4D．3分析：在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝,所以△AEF的周长为

，故选B.B新课讲解练一练1边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cmc新课讲解知识点03菱形对角线的性质思考

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?新课讲解例典例分析已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证（1）AB＝BC＝CD＝AD，（2）AC⊥BD.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD，即

AC⊥BD.新课讲解思考菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.新课讲解例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．

由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．新课讲解∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周长＝4AB解：课堂小结定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质对称性菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线边定理1：菱形的四条边相等对角线定理2：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角周长L=4a面积(1)S=ah(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半当堂小练1.菱形的定义:

是菱形.2.菱形的性质:①菱形的四条边

②菱形的对角线

，并且每一条对角线一组

对角.3.下列说法不正确的有

(填序号)①菱形的对边平行且相等.②菱形的对角线互相平分③菱形的对角线相等.④菱形的对角线互相垂直.⑤菱形的一条对角线平分一组对角.⑥菱形的对角相等.互相垂直有一组邻边相等的平行四边形

相等平分③当堂小练4.菱形ABCD中,O是两条对角线的交点，已知AB＝5cm,AO=4cm，求两对角线AC、BD的长.解：∵四边形ABCD是菱形∴OA=OC，OB=ODAC⊥BD

∵Rt△AOB中OB2+OA2=AB2

AB=5cm，AO=4cm∴OB=3cm∴BD=2OB=6cmAC=2OA=8cmCBDA

OD拓展与延伸

如图，菱形花坛ABCD的周长为80m,∠ABC＝60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（分别精确到0.01m和0.1m2

）.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定1.1.2菱形的判定目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.由对角线的位置关系判定菱形（重点、难点）

2.由边的数量关系判定菱形学习目标新课导入1.菱形的定义?2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,

则只需补充

就可以判定它是一个菱形.3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD

相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为

cm.新课导入

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．思考思考新课讲解

知识点1由对角线的位置关系判定菱形合作探究

可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论．新课讲解已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：ABCD是菱形．

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．新课讲解讨论

结论已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分.新课讲解例典例分析如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件__________使其成为菱形(只填一个即可)．AC⊥BD新课讲解练一练1已知:如图,在□ABCD中,对角线AC⊥BD.求证:四边形ABCD是菱形.DBCAO证明:∵四边形ABCD是平行四边形.∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)∴四边形ABCD是菱形.新课讲解

知识点2由边的数量关系判定菱形已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流．定理：四边相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.讨论讨论新课讲解已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：ABCD

是菱形．在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴

ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．典例分析典例分析例新课讲解例典例分析如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给

出的条件不正确的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠BAC＝∠DACC新课讲解

结论1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平

行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四

边形的四条边都相等．课堂小结1.菱形的判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．当堂小练

如图1-6，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm.求：

（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积.当堂小练D拓展与延伸如图1-7，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定1.2.1矩形及其性质目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业学习目标矩形的边角性质矩形的对角线性质直角三角形斜边上中线的性质1.理解矩形的定义。2.掌握矩形的边角性。3.理解并掌握矩形的对角线性质。（重点）4.理解并掌握直角三角形斜边上中线的性质。新课导入知识回顾

请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质？边：对边平行且相等；角：对角相等；对角线：对角线互相平分．新课导入情境导入下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？新课讲解

知识点1矩形的定义

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行

四边形不一定是矩形．(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．新课讲解例1

如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．分析：很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．

证明：四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，∴AD∥BC．∵l1∥l2，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．新课讲解分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程．（2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．新课讲解讨论

利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.结论下列说法正确的是(

)A．平行四边形是矩形

B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．平行四边形具有的性质矩形都具有

B新课讲解例典例分析已知：四边形ABCD是矩形，∠C=90°求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°DCBA证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=90°∴∠A=∠C=90°∠B+∠C=180°∴∠B=180－∠C=90°∴∠D=∠B=90°

即∠A=∠B=∠C=∠D=90°新课讲解

知识点2矩形的边角性质矩形是轴对称图形.(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．讨论思考新课讲解

已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.

求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；

证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的

对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.新课讲解例典例分析如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是()A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOCA新课讲解知识点03矩形的对角线性质练一练

任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?

已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．

求证：AC=DB．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．

∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．

于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.新课讲解1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A．对角相等B．对角线相等C．对边相等D．对角线互相平分A新课讲解知识点04直角三角形斜边上中线的性质议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？新课讲解例典例分析如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分)．∴OA＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.课堂小结1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：

(1)边的性质：对边平行且相等．(2)对角线性质：对角线互相平分且相

等．(3)对称性：矩形是轴对称图形．当堂小练1.如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为(

)A．14B．16C．17D．18D当堂小练2.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为()A．4B．8C．2D．4DD拓展与延伸矩形之歌脸蛋方方是矩形，例如黑板和窗门.

对角线段皆相等，相互交叉且平分.

内有直角三角形，斜边中线半斜边.

若要牢记其定义，直角平行四边形.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定1.2.2矩形的判定目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.由对角线关系判定矩形2.由直角的个数判定矩形（重点）学习目标新课导入知识回顾1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？

新课导入做一做如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？新课讲解

知识点1由对角线关系判定矩形合作探究

甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，一木工师傅要他们利用自己所学的几何知识帮助检测一个窗框ABCD是不是矩形，他们各自做了检测.你认为他们的方法对吗？ABCD新课讲解例1

如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求ABCD是矩形.新课讲解解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．新课讲解讨论结论如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．EB＝DC判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形.

新课讲解练一练1下列关于矩形的说法中正确的是(

)

A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分B新课讲解练一练2已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是(

)A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形D新课讲解

知识点2由直角的个数判定矩形我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．练一练想一想新课讲解例典例分析

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN＝∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．课堂小结矩形判定方法1有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形判定方法2有三个角是直角的四边形是矩形.矩形判定方法3对角线相等的平行四边形是矩形.当堂小练1.已知平行四边形ABCD,下列条件不能判定这个平行四边形为矩形的是()A.∠A=∠BB.∠A=∠CC.AC=BDD.AB⊥BC2.在△ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是()A.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形B.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形C.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形D.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形BAD拓展与延伸议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定1.3.1正方形及其性质目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.正方形的定义2.正方形的性质（重点）学习目标新课导入你能利用下图理清下面四个特殊的四边形之间的关系吗？正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具有矩形和菱形的所有性质.你能说出正方形有哪些性质吗？新课导入图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？新课讲解

知识点1正方形的定义合作探究把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？

解：由折叠可知：∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，∴四边形ABCD是矩形.又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.新课讲解1.下面四个定义中不正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的

平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形B新课讲解讨论正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.结论1.如图，将5个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4分别是正方形的中心，则阴影部分面积和为

.A1A2A3A4新课讲解

知识点2正方形的性质议一议(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形

的所有性质．新课讲解例典例分析

如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延

长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？

请说明理由．解：

BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，

四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.新课讲解知识点03一元二次方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程.的根.练一练下面哪些数是方程x2–4x+3=0的解?

-2，0，1，2，3，4.解：1和3.新课讲解例典例分析

如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延

长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？

请说明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.新课讲解例典例分析(2)延长BE交DF于点M(如图)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.课堂小结

正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．当堂小练1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A．四个角都相等

B．四条边相等C．对角线相等

D．对角线互相平分B当堂小练2.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是()A．3

B．4

C．5

D．6BD拓展与延伸2.如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为

.谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第一章特殊的平行四边形1.3正方形的性质与判定1.3.2正方形的判定目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.正方形的对称性2.正方形的判定（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾1.正方形的性质有哪些？2.正方形的定义如何描述？3.判定一个图形是矩形还有哪些方法？新课导入如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？新课导入思考1.判定一个矩形是正方形的方法有哪些？2.判定一个菱形是正方形的方法有哪些？3.如何判定一个图形是正方形，一般思考方法是什么？新课讲解

知识点1正方形的对称性合作探究例1如图,正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，

BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个

动点，则PF+PE的最小值为_______.新课讲解分析：找到点F关于直线AC的对称点M，连接EM,计算EM的长即可.如图,在AD上取一点M，使AM=2,点M即为点F关于直线AC的对称点.连接EM，过M点作MN⊥B于N，由题意可知EN=BN－BE=AM－BE=2－1，易得MN＝4，∴EM＝

新课讲解结论正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线.新课讲解练一练1在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?NM新课讲解练一练1NM证明：∵ABCD是正方形，AE=BF=CM=DN,

∴AN=BE=CF=DM.

在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN，

∠A=∠B=∠C=∠D，

AN=BE=CF=DM，

∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.

∴EN=FE=MF=NM,∠ANE=∠BEF.

∴∠NEF=180°-（∠AEN+∠BEF）=180°-（∠AEN+∠ANE）=180°-90°=90°.

∵EN=FE=MF=NM，∴EFMN是菱形.

又∵∠NEF=90°，∴EFMN是正方形.

新课讲解

知识点2正方形的判定

满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．新课讲解1.正方形的判定定理：（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.请你证明以上定理.新课讲解2.判定方法：(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是

正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的

平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形

是正方形．(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互

相垂直的矩形是正方形．(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相

等的菱形是正方形．新课讲解例典例分析已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平

分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是

正方形．

解：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.∴∠EBC＝∠ECB.∴EB＝EC.新课讲解典例分析∴

BECF是菱形(菱形的定义)．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是

正方形)．新课讲解例典例分析如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件_____________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)∠BAD＝90°新课讲解例典例分析在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有(

)A．3个B．2个C．1个D．0个B课堂小结正方形的判定：

当堂小练1.在正方形ABCD的外侧作等边△ADE，

则∠AEB的度数为（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°C当堂小练2.如图，已知正方形ABCD，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连结DE，CE，则∠DEC=_______.【解析】△ABE为等边三角形∠BAE=60°，∠DAE=150°，△ABE为等腰三角形，∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°答案：30°30°D拓展与延伸D拓展与延伸D拓展与延伸D拓展与延伸谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程2.3.1一元二次方程跟的判别式目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.一元二次方程根的判别式2.一元二次方程根的类别（重点）3.一元二次方程根的判别式的应用（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾

同学们，我们已经学会了怎么解一元二次方程，对吗？那么，现在老师这儿还有一手绝活，就是：我随便拿到一个一元二次方程的题目，我不用具体地去解它，就能很快知道它的根的大致情况，不信呀！同学们可以随便地出两个题考考我。新课导入任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．(Ⅲ)能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？新课讲解

知识点1一元二次方程根的判别式合作探究我们可以用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．移项，得二次项系数化为1，得

新课讲解配方，得即因为a≠0，所以4a2＞0.式子b2－4ac的值有以下三种情况:(1)

(2)(3)

新课讲解例1：不解方程判别下列方程根的情况（用投影仪打出）

分析；要判别方程根的情况，根据定理可知；就是要确定△值的符号，

补充了一个含有字母系数的方程，补充此题的目的是：使学生进一步地掌握此类题中△值的符号的判断方法，也为今后解综合性问题打好基础。在练习中作了相应地补充。新课讲解练习

一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.

结论已知方程2x2＋mx＋1＝0的判别式的值为16，则m的值为(

)A.

B.

C.

D.

C新课讲解练一练新课讲解练一练新课讲解

知识点2一元二次方程根的情况的判别一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三种情况：

当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；

当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程无实数裉．新课讲解例典例分析

不解方程，判断下列方程根的情况．

(1)

(2)根的判别式是在一般形式下确定的，因此应

先将方程化成一般形式，然后算出判别式的

值．(1)原方程化为:

∴方程有两个相等的实数根导引：解：新课讲解例典例分析(2)原方程化为:∴方程有两个不相等的实数根新课讲解练习结论下列对一元二次方程x2＋x－3＝0根的情况的判断，正确的是(

)A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根A①若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；②若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两

个不相等的实数根；③当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判断根的情况．新课讲解知识点03一元二次方程根的判别式的应用例2

k取何值时，关于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有两个不相等的实数根？导引：已知方程有两个不相等的实数根，则该方程的Δ>0，用含k的代数式表示出Δ，然后列出以k为未知数的不等式，求出k的取值范围．新课讲解解：∵方程kx2－12x＋9＝0是关于x的一元二次方程，

∴k≠0.方程根的判别式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.

由144－36k>0，求得k<4，又k≠0，∴当k<4且k≠0时，方程有两个不相等的实数根．新课讲解例典例分析若关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0有实数根，则a的取值范围是(

)A．a≥1B．a＞1C．a≤1D．a＜1A课堂小结(1)今天我们是在一元二次方程解法的基础上，学习了根的判别式的应用，它在整个中学数学中占有重要地位，是中考命题的重要知识点，所以必须牢固掌握好它。(2)注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。课堂小结(3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(Δ＝b2－4ac)判别式的情况根的情况定理与逆定理

△＞0两个不相等的实根△＞0两个不相等的实根△＝0两个相等的实根△＝0

两个相等的实根

△＜0无实根△＜0

无实根当堂小练1.一元二次方程x2-x+3=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根2.下列关于x的一元二次方程有两个相等的实数根的是()A.x2-x-1=0B.4x2-12x+9=0C.x2=-xD.x2-mx-2=0CB当堂小练3.已知关于x的一元二次方程x2+x+m-1=0.(1)当m=0时,求方程的实数根;(2)若方程有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.解:(1)当m=0时,方程为x2+x-1=0.∴Δ=12-4×1×(-1)=5＞0.∴x=-1±52×1,∴x1=-1+52,x2=-1-52.(2)∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ＞0,即12-4×1×(m-1)=1-4m+4=5-4m＞0,∴m＜54.D拓展与延伸D拓展与延伸谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程2.3.2公式法目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.一元二次方程的求根公式2.求根公式的应用（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾

我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法.用配方法解一元二次方程的方法的助手:平方根的意义:

如果x2=a,那么x=完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且a2±2ab+b2=(a±b)2.新课讲解

知识点1一元二次方程的求根方式合作探究例3：用公式法解方程2x2+5x-3=0

新课讲解这里的a、b、c的值是什么？1-224例3：用公式法解方程x2+4x=2

解：移项，得x2+4x-2=0a=

，b=4c=.b2-4ac=

=

.x=

=

.即x1=,x2=.42-4×1×(-2)新课讲解练习结论方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为(

)A．3、1、4B．3、－1、－4C．3、－4、－1D．－1、3、－4一元二次方程

中，b2－4ac的值应是(

)A．64B．－64C．32D．－32BA

当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.

新课讲解

知识点2求根公式的应用用求根公式解一元二次方程的一般步骤：(1)把一元二次方程化成一般形式；(2)确定公式中a，b，c的值；(3)求出b2－4ac的值；(4)若b2－4ac≥0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根

公式求解，当b2－4ac＜0时，方程无实数解．新课讲解例典例分析

解方程：(1)x2－7x－18＝0；(2)4x2＋1＝4x.解：(1)这里a＝1，b＝－7，c＝－18.∵b2－4ac＝(－7)2－4×1×(－18)＝121>0，∴x＝即x1＝9，x2＝－2.

新课讲解(2)4x2＋1＝4x.(2)将原方程化为一般形式，得4x2－4x＋1＝0.这里a＝4，b＝－4，c＝1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×4×1＝0，∴x＝即x1＝x2＝新课讲解例2用公式法解下列方程：

（1）x2－4x－7＝0；（2）2x2－

＋1＝0；（3）5x2－3x＝x＋1；

（4）x2＋17＝8x.解：（1）a＝1，b＝－4，c＝－7.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0.方程有两个不等的实数根确定a，b，c的值时，要注意它们的符号.新课讲解即

（2）a＝2，b＝

，c＝1.Δ＝b2－4ac＝

－4×2×1＝0.方程有两个相等的实数根新课讲解（3）方程化为5x2－4x－1＝0.a＝5，b＝－4，c＝－1.Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36>0.方程有两个不等的实数根即（4）方程化为x2－8x＋17＝0.a＝1，b＝－8，c＝17.Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0.方程无实数根．新课讲解归纳

用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a，b，c后，先计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式解．课堂小结用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：(1)把一元二次方程化为一般形式．(2)确定a，b，c的值．(3)计算b2－4ac的值．(4)当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当b2－4ac<0时，方程无实数根．当堂小练1.用公式法解一元二次方程2x2-3x+1=0时,a,b,c的值分别是()A.2,3,1B.2,-3,1C.2,3,-1D.4,3,12.用公式法解一元二次方程-3x2+5x-1=0,结果正确的是()A.x=-5±136B.x=-5±133C.x=5±136D.x=5±133BC当堂小练3.用公式法解下列方程:(1)2x2+5x-1=0;(2)3x2-6x+1=2.解:(1)∵a=2,b=5,c=-1,∴Δ=25+8=33>0.∴x=-5±334,∴x1=-5+334,x2=-5-334.(2)整理,得3x2-6x-1=0.∴Δ=(-6)2-4×3×(-1)=48,∴x=6±482×3,解得x1=3+233,x2=3-233.D拓展与延伸

如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒时△PDQ的面积为35cm2?谢谢大家学生课堂行为规范的内容是：按时上课，不得无故缺课、迟到、早退。遵守课堂礼仪，与老师问候。上课时衣着要整洁，不得穿无袖背心、吊带上衣、超短裙、拖鞋等进入教室。尊敬老师，服从任课老师管理。不做与课堂教学无关的事，保持课堂良好纪律秩序。听课时有问题，应先举手，经教师同意后，起立提问。上课期间离开教室须经老师允许后方可离开。上课必须按座位表就坐。要爱护公共财物，不得在课桌、门窗、墙壁上涂写、刻划。要注意保持教室环境卫生。离开教室要整理好桌椅，并协助老师关好门窗、关闭电源。第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系目录CONTENTS1学习目标2

新课导入3

新课讲解4

课堂小结5

当堂小练6

拓展与延伸7

布置作业1.理解一元二次方程的根与系数的关系2.掌握一元二次方程的根与系数的关系的应用（重点）学习目标新课导入知识回顾3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？1.一元二次方程的一般形式是什么？新课导入思考方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系，一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗？新课讲解

知识点1一元二次方程的根与系数的关系合作探究从因式分解法可知，方程(x－x1)(x－x2)＝0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2＋px＋q＝0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：

x1＋x2＝－p，x1x2＝q.新课讲解例典例分析

利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：(1)x2＋7x＋6＝0；(2)2x2－3x－2＝0.解：(1)这里a＝1，b＝7，c＝6.Δ＝b2－4ac＝72－4×1×6＝49－24＝25>0.∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么

x1＋x2＝－7，x1x2＝6.(2)这里a＝2，b＝－3，c＝－2.Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝9＋16＝25>0，∴方程有两个实数根．设方程的两个实数根是x1，x2，那么

x1＋x2＝，x1x2＝－1.新课讲解讨论结论

一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．新课讲解例典例分析

根据一元二次方程的根与系数的关系，求

下列方程两个根x1，x2的和与积：

（1）x2－6x－15＝0（2）3x2＋7x－9＝0；

（3）5x－1＝4x2.解：

(1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15.

(3)方程化为4x2－5