D3-2微积分基本公式

二、微积分根本定理三、不定积分一、微积分根本公式第二节微积分的根本公式与根本定理第五章变速直线运动的路程：求时间段[a,b]内质点运动的路程s.一方面：v=v(t)

故另一方面：s=s(t)故于是应有一、引例

的值可以由s(t)在t=a与t=b的值之差得到。s'(t)=v(t)所以由v(t)求s(t)是求导运算的逆运算.问题的关键：如何从v(t)求s(t)？二、微积分根本公式定义2.1假设在区间I上定义的两个函数F(x)及f(x)满足，那么F为f在区间I上的一个原函数.由定义2.1可知，位移函数s(t)是速度函数v(t)的原函数.又如从上面的物理模型中可抽象出下面的牛顿-莱布尼兹定理:Newton-Leibniz定理证：在区间[a,b]内任意插入n-1个分点定理1函数,那么定理1.函数,那么因此有在上式中令例1计算以下定积分如果

x是区间

[a,b]上任意一点，定积分表示曲线y=f(x)在局部区间[a,x]上曲边梯形AaxC的面积，如图中阴影局部所示的面积.

当x在区间

[a,b]

上变化时,阴影局部的曲边梯形面积也随之变化，

所以变上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量

x的函数.记作F(x)，即≤≤F(x)三、积分上限的函数及其导数那么变上限函数证:那么有定理2.假设1.第一根本定理说明:1)定理2证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.例2.

求解:原式说明例3.确定常数

a,b,c

的值,使解:原式=

c≠0,故又由～,得洛洛例4.

证明在内为单调递增函数.证:只要证2.第二根本定理因此F(x)+C为原函数.就是f(x)在

I中的一切原函数，C为任意常数。证.解例5.例6.求解注：如果函数在区间上是分段连续的，那么应在各个子区间上应用牛莱公式。定义.在区间I上的原函数全体称为上的不定积分,其中—积分号;—被积函数;—被积式.—积分变量;假设那么(C为任意常数)C

称为积分常数,不可丢!例如,记作四、不定积分1.微分与不定积分的关系或或2.不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的图形的所有积分曲线组成的平行曲线族.的积分曲线.例7.

设曲线通过点(1,2),

且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的两倍,求此曲线的方程.解:所求曲线过点(1,2),故有因此所求曲线为3.根本积分表利用逆向思维(k为常数)或或4.不定积分的性质性质1

性质2

例

例

例8.求解:原式=例9.求解:原式=例10.求解:原式=例11.计算以下各题例12.解例13.求以下不定积分内容小结那么有1.微积分根本公式牛顿–莱布尼茨公式2.变限积分求导公式

3.不定积分函数

f(x)的一切原函数F(x)+C的表达式微积分第一、二根本定理思考与练习1.证明2.假设提示:3.假设是的原函数,那么提示:4.假设的导函数为那么的一个原函数是().提示:求即B??或由题意其原函数为5.求以下积分:提示:6.求不定积分解：7.求A,B.解:等式两边对x求导,得备用题解：1.设求定积分为常数,设,那么故应用积分法定此常数.2.设证：试证:当目录上页下页返回结束时,

=o(

).所以

=o(