2022年福建省福州市第三十二中学高二数学理摸底试卷含解析

2022年福建省福州市第三十二中学高二数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】J9：直线与圆的位置关系；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，求出a和b的关系结合条件a=b，判断充要条件关系．【解答】解：若a=b，则直线与圆心的距离为等于半径，∴y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切若y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切，则∴a﹣b=0或a﹣b=﹣4故“a=b”是“直线y=x+2与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=2相切”的充分不必要条件．故选A．2.设函数满足，，则时，()A．有极大值，无极小值B．有极小值，无极大值C．既有极大值又有极小值D．既无极大值也无极小值参考答案：D3.某次测试中有4道选择题，每题1分，每道题在选项A、B、C中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这4道题的得分：

1234得分甲CABA3乙CCBC2丙BBBA1

则甲同学答错的题目的题号是（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：D【分析】根据图表，分析相同的选项，即可求得甲同学错误的题号是4【详解】由甲得3分，则正确3个，乙得2分，则正确为2个，则1，3必为正确答案，由丙答对1个，即3正确，则4为错误，∴第4题甲答错，故选：D．【点睛】本题考查合情推理的应用，考查分析图表的能力，属于基础题．4.定义域为R的奇函数的图像关于直线对称，且，则（

）A.2018

B.2020

C.4034

D.2参考答案：A5.△ABC中，AB＝9，AC＝15，∠BAC＝120°.△ABC所在平面外一点P到三个顶点A、B、C的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为

A．7

B．9

C．11

D．13参考答案：A略6.下列表述正确的是（

）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③；B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.参考答案：D略7.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为-----------（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B8.已知集合,则的子集的个数（

）A.2

B.4

C.5

D.7参考答案：B略9.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A．

B.

C．

D.参考答案：D略10.已知命题p：x2＞x是x＞1的充分不必要条件；命题q：若数列{an}的前n项和Sn=n2，那么数列{an}是等差数列．则下列命题是真命题的是（）A．p∨（￢q） B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∨（￢q）参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对于命题p：x2＞x，解得x＞1或x＜0，即可判断出真假．命题q：若数列{an}的前n项和Sn=n2，则n=1时，a1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，解出即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出结论．【解答】解：对于命题p：x2＞x，解得x＞1或x＜0，因此x2＞x是x＞1的必要不充分条件，因此是假命题．命题q：若数列{an}的前n项和Sn=n2，则n=1时，a1=1；n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，当n=1时也成立．∴an=2n﹣1，因此数列{an}是等差数列，首项为1，公差为2，因此是真命题．∴只有P∨q是真命题．故选：B．【点评】本题考查了简易逻辑的应用、不等式解法、等差数列的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在上是单调函数，则的取值范围是____________。参考答案：12.已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为

．参考答案：13.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹．给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是___________．参考答案：②③14.已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则____________.参考答案：略15.已知，则向量在向量方向上的射影

。

参考答案：略16.甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人都恰好命中2次的概率是（结果保留到小数点后面三位）．参考答案：0.169【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】利用n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式求解．【解答】解：甲投篮的命中率为0.8，乙投篮的命中率为0.7，每人投3次，两人都恰好命中2次的概率是：p=（）?（）≈0.169．故答案为：0.169．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式、相互独立事件概率计算公式的合理运用．17.已知命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，），若命题p、q中有且只有一个为真命题，则实数m的取值范围是．参考答案：0＜m≤，或3≤m＜5【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．【分析】根据椭圆的性质，可求出命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题时，实数m的取值范围；根据双曲线的性质，可得命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题时，实数m的取值范围；进而结合命题p、q中有且只有一个为真命题，得到答案．【解答】解：若命题p：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆为真命题；则9﹣m＞2m＞0，解得0＜m＜3，则命题p为假命题时，m≤0，或m≥3，若命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（，）为真命题；则∈（，），即∈（，2），即＜m＜5，则命题q为假命题时，m≤，或m≥5，∵命题p、q中有且只有一个为真命题，当p真q假时，0＜m≤，当p假q真时，3≤m＜5，综上所述，实数m的取值范围是：0＜m≤，或3≤m＜5．故答案为：0＜m≤，或3≤m＜5三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知直线与抛物线交于A，B两点，且经过抛物线的焦点F，（1）若已知A点的坐标为，求线段AB中点到准线的距离．（2）求面积最小时，求直线的方程。参考答案：1）依题意得，∴直线AB方程为，化简得，代入得，∴线段AB中点横坐标为，又准线方程为，∴中点到准线距离（2）面积最小为8，所求直线方程为：略19.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且a2，a5，a14成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出数列的公差，然后求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）化简，通过裂项消项法求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，a2=1+d，a5=1+4d，a14=1+13d，…且a2，a5，a14成等比数列，∴（1+4d）2=（1+d）（1+13d），…即d=2，…∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．…（Ⅱ）∵，…∴…=．…【点评】本题考查数列的通项公式的求法，数列求和的简单方法的应用，考查计算能力．20.对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函数g（x）=x2与h（x）=2x﹣b是定义在[0，1]上的函数．（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】综合题；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据G函数的定义，验证函数g（x）是否满足条件．即可（2）若函数h（x）是G函数根据条件结合函数的单调性进行判断求解即可．【解答】解：（1）是，理由如下：当x∈[0，1]时，总有g（x）=x2≥0，满足①，当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），满足②…（2）h（x）=2x﹣b为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣b≥0，∴b≤1，由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），﹣b+﹣b，即b≥1﹣（﹣1）（﹣1），∵x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同时等于1∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1；∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1，当x1=x2=0时，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1；∴b≥1，则b=1，综合上述：b∈{1}…【点评】本题主要考查抽象函数的应用，根据抽象函数图象判断条件是否成立是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．21.已知函数f（x）=ax3+cx+d（a≠0）在R上满足f（﹣x）=﹣f（x），当x=1时f（x）取得极值﹣2．（1）求f（x）的单调区间和极大值；（2）证明：对任意x1，x2∈（﹣1，1），不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜4恒成立．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）得d=0，求得f（x）的导数，由题意可得f′（1）=0，f（1）=﹣2，解得a=1，c=﹣3，求得f（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极大值；（2）求出f（x）在[﹣1，1]的最大值M和最小值m，对任意的x1，x2∈（﹣1，1），恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜M﹣m，即可得证．【解答】解：（1）由f（﹣x）=﹣f（x）（x∈R）得d=0，∴f（x）=ax3+cx，f′（x）=ax2+c．由题设f（1）=﹣2为f（x）的极值，必有f′（1）=0，∴解得a=1，c=﹣3，∴f′（x）=3x2﹣3=3（x﹣1）（x+1）从而f′（1）=f′（﹣1）=0．当x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；在x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，则f（x）在（﹣1，1）上是减函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，则f（x）在（1，+∞）上是增函数．∴f（﹣1）=2为极大值．（2）证明：由（1）知，f（x）=x3﹣3x在[﹣1，1]上是减函数，且f（x）在[﹣1，1]上的最大值M=f（﹣1）=2，在[﹣1，1]上的最小值m=f（1）=﹣2．对任意的x1，x2∈（﹣1，1