中考数学考点集训分类训练17 特殊平行四边形(含答案)

分类训练17特殊平行四边形基础分类题组命题点1与矩形有关的证明与计算1(2022陕西)在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是()A.AB=AC B.AC⊥BDC.AB=AD D.AC=BD2(2022邵阳)已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为cm2.

3(2022北京)如图,在矩形ABCD中,若AB=3,AC=5,AFFC=14,则AE的长为(第3题)(第4题)4(2022吉林)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是边AD的中点,点F在对角线AC上,且AF=14AC,连接EF.若AC=10,则EF=5(2022宜昌)如图,在矩形ABCD中,E是边AD上一点,F,G分别是BE,CE的中点,连接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,FG=5,则矩形ABCD的面积为.

6(2022苏州)如图,将矩形ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为点E,AE与CD交于点F.(1)求证:△DAF≌△ECF;(2)若∠FCE=40°,求∠CAB的度数.7(2021贵阳)如图,在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.(1)求证:△ABN≌△MAD;(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.8(2022云南)如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,点E为线段AD的中点,延长BE与CD的延长线交于点F,连接AF,∠BDF=90°.(1)求证:四边形ABDF是矩形;(2)若AD=5,DF=3,求四边形ABCF的面积S.命题点2与菱形有关的证明与计算9(2022株洲)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E,下列结论不一定正确的是()A.OB=12CEB.△ACE是直角三角形C.BC=12D.BE=CE10(2022天门)由4个形状相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,∠O=60°,则tan∠ABC=()A.13 B.12 C.3(第10题)(第11题)11(2022海南)如图,菱形ABCD中,点E是边CD的中点,EF垂直AB交AB的延长线于点F,若BF∶CE=1∶2,EF=7,则菱形ABCD的边长是()A.3 B.4 C.5 D.4512(2022营口)如图,将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形,这个条件可以是.(写出一个即可)

(第12题)(第13题)13(2022达州)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=24,BD=10,则菱形ABCD的周长是.

14(2022哈尔滨)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上,连接AE,点F为CD的中点,连接OF.若AE=BE,OE=3,OA=4,则线段OF的长为.

(第14题)(第15题)15(2022陕西)如图,在菱形ABCD中,AB=4,BD=7.若M,N分别是边AD,BC上的动点,且AM=BN,作ME⊥BD,NF⊥BD,垂足分别为E,F,则ME+NF的值为.

16(2022温州)如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠BAD=60°.在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF,使点E,F,G,H分别在边AB,BC,CD,DA上,点M,N在对角线AC上.若AE=3BE,则MN的长为.

17(2022嘉兴)小惠自编一题:“如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD,求证:四边形ABCD是菱形”,并将自己的证明过程与同学小洁交流.若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明.18(2022北京)如图,在▱ABCD中,AC,BD交于点O.点E,F在AC上,AE=CF.(1)求证:四边形EBFD是平行四边形;(2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形.19(2022滨州)如图,菱形ABCD的边长为10,∠ABC=60°,对角线AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上,连接AE,作∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F.(1)求菱形ABCD的面积;(2)求证:AE=EF.20(2022长沙)如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB=AD.(1)求证:AC⊥BD;(2)若点E,F分别为AD,AO的中点,连接EF,EF=32,AO=2,求BD的长及四边形ABCD的周长21(2022凉山州)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F.(1)求证:四边形ADBF是菱形.(2)若AB=8,菱形ADBF的面积为40.求AC的长.命题点3与正方形有关的证明与计算22(2021玉林)一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形:a.两组对边分别相等b.一组对边平行且相等c.一组邻边相等d.一个角是直角顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c.则正确的是()A.仅① B.仅③ C.①② D.②③(第22题)(第23题)23(2022重庆A卷)如图,在正方形ABCD中,AE平分∠BAC交BC于点E,点F是边AB上一点,连接DF,若BE=AF,则∠CDF的度数为()A.45° B.60°C.67.5° D.77.5°24(2022黔东南州)如图,在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED,过点D作DF⊥BC,垂足为F,则DF的长为()A.23+2 B.5-3C.3-3 D.3+1(第24题)(第25题)25(2022广州)如图,正方形ABCD的面积为3,点E在边CD上,且CE=1,∠ABE的平分线交AD于点F,点M,N分别是BE,BF的中点,则MN的长为()A.62 B.C.2-3 D.626(2021天津)如图,正方形ABCD的边长为4,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在BC,CD的延长线上,且CE=2,DF=1,G为EF的中点,连接OE,交CD于点H,连接GH,则GH的长为.

27(2022邵阳)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形.28(2022恩施州)如图,已知四边形ABCD是正方形,G为线段AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.求证:DF=BE+EF.分类训练17特殊平行四边形基础分类题组1.D2.48【解析】矩形的面积为6×102-623.1【解析】∵∠ABC=90°,∴BC=AC2-AB2=52-32=4.∵AD∥BC,∴△AEF∽△CBF,∴AECB=AFCF=4.52【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,BD=AC=10.∵AF=14AC,∴AF=12OA,即点F是OA的中点.又点E是AD的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴EF=12OD=5.48【解析】∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=∠CDE=90°.又∵点F,G分别是BE,CE的中点,AF=3,DG=4,FG=5,∴BE=2AF=6,CE=2DG=8,BC=2FG=10,∴BE2+CE2=BC2,∴△BCE是直角三角形,∠BEC=90°,∴S△BCE=12·BE·CE=12×6×8=24,∴S矩形ABCD=2S△BCE=6.【参考答案】(1)证明:将矩形ABCD沿对角线AC折叠,则AD=BC=EC,∠D=∠B=∠E=90°.在△DAF和△ECF中,∠∴△DAF≌△ECF.(2)∵△DAF≌△ECF,∴∠DAF=∠ECF=40°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∴∠EAB=∠DAB-∠DAF=50°.由折叠可知∠EAC=∠CAB,∴∠CAB=25°.7.【参考答案】(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,则∠BAN=∠AMD.∵BN⊥AM,∴∠BNA=90°.在△ABN和△MAD中,∠∴△ABN≌△MAD.(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD=2.在Rt△ABN中,由勾股定理,得AB=AN2+B∵S矩形ABCD=2×25=45,S△MAD=S△ABN=12×2×4=∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=45-8.8.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠BAE=∠FDE,∠EBA=∠EFD.∵E是AD的中点,∴AE=ED,∴△BAE≌△FDE,∴AB=FD.又AB∥FD,∴四边形ABDF是平行四边形.又∠BDF=90°,∴四边形ABDF是矩形.(2)∵四边形ABDF是矩形,∴∠AFD=90°,AF=BD,AB=DF=3.∵四边形ABCD是平行四边形,∴CD=AB=3.根据勾股定理,得AF=AD2-D∴BD=4,∴S=S△BCD+S矩形ABDF=12×4×3+4×3=189.D【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC.∵CE∥BD,∴∠ACE=∠AOB=90°,OB是△ACE的中位线,∴△ACE是直角三角形,OB=12CE.∵CD∥BE,CE∥BD,∴四边形BECD是平行四边形,∴BC=AB=CD=BE=12AE.不确定∠ABC的大小,故BE和CE10.C【解析】如图,延长BC于点D.易得OD=OB,OA=AD.∵∠O=60°,∴△OBD是等边三角形,∴BA⊥OD,∠ADB=60°,∴∠ABC=30°,∴tan∠ABC=3311.B【解析】∵四边形ABCD为菱形,E是CD的中点,∴AB∥CD,BC=CD=2CE.设BF=a,则CE=2a,∴BC=4a.如图,过点C作CM⊥AB交AB的延长线于点M,则四边形CEFM为矩形,∴FM=EC=2a,CM=EF=7.在Rt△CBM中,CB2=BM2+CM2,即(4a)2=(3a)2+(7)2,解得a=1(负值已舍去),∴BC=4.12.AB=AD(答案不唯一)13.52【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=12AC=12,OB=12BD=5,∴AB=OA2+OB2=13,∴菱形14.25【解析】∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,OB=OD,AC⊥BD,∴AE=OE2+AO2=32+42=5,∴BE=AE=5,∴OB=8,∴BC=AB=OA2+OB2=4归纳总结菱形的性质(1)边:菱形的对边平行,四条边相等;(2)角:菱形的对角相等;(3)对角线:菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角;(4)对称性:菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,菱形也是中心对称图形.15.152【解析】连接AC交BD于点O,则OB=OD=72,AC⊥BD.在Rt△AOB中,AB=4,BO=72,∴AO=152.在菱形ABCD中,AD∥BC,∴∠CBD=∠ADB.∵AM=BN,ME⊥BD,NF⊥BD,∴ME+NF=MDsin∠MDE+BNsin∠NBF=MDsin∠ADO+AMsin∠ADO=ADsin16.32【解析】如图,连接BD交AC于点O.∵∠BAD=60°,四边形ABCD是菱形,∴OA=OC,∠BAO=30°,∴AC=2OA=2AB·cos∠BAO=3.∵AE=3BE,∴AE=34.同理求得AN=CM=334,∴MN=AC-2(AC-AN)=-AC+2AN=-3+2×17.【参考答案】赞成小洁的说法.补充条件:AB=CB.证明:由小惠的证法得,AB=AD,CB=CD.又∵AB=CB,∴AB=AD=CB=CD,∴四边形ABCD是菱形.(答案不唯一,正确即可)18.【参考答案】证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD,OA=OC.又∵AE=CF,∴OA-AE=OC-CF,即OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC.又∵∠BAC=∠DAC,∴∠ACB=∠BAC,∴BA=BC,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即EF⊥BD.由(1)知四边形EBFD是平行四边形,∴四边形EBFD是菱形.19.【参考答案】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AC⊥BD,且AO=CO,BO=DO.∵∠ABC=60°,∴∠ABO=30°.又∵AB=10,∴CO=AO=5,OD=OB=53,∴AC=2AO=10,BD=2BO=103,∴S菱形ABCD=12AC·BD=12×10×103=50(2)证明:如图,连接EC,则AE=CE.设∠AEO=α,则∠CEO=α,∴∠CEF=120°-2α,∠ECF=∠DEC+∠EDC=α+30°,∴∠F=180°-∠ECF-∠CEF=30°+α,∴∠F=∠ECF,∴CE=EF,∴AE=EF.20.【参考答案】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AD,∴四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.(2)∵点E,F分别是AD,AO的中点,∴EF是△AOD的中位线,∴OD=2EF=3.∵四边形ABCD是菱形,∴BD=2OD=6.在Rt△AOD中,AD=OA2+OD∴四边形ABCD的周长为413.归纳总结特殊四边形的判定1.平行四边形的判定(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(3)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形;(5)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2.矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;(4)对角线相等的平行四边形是矩形.3.菱形的判定(1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四条边都相等的四边形是菱形.4.正方形的判定(1)有一个角是直角的菱形是正方形;(2)有一组邻边相等的矩形是正方形;(3)有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;(5)对角线相等的菱形是正方形;(6)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.21.【参考答案】(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFC=∠FCD,∠FAE=∠CDE.∵点E是AD的中点,∴AE=DE,∴△FAE≌△CDE,∴AF=CD.∵点D是BC的中点,∴BD=CD,∴AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.∵∠BAC=90°,点D是BC的中点,∴AD=12BC=BD∴四边形ADBF是菱形.(2)∵四边形ADBF是菱形,∴S菱形ADBF=2S△ABD.∵点D是BC的中点,∴S△ABC=2S△ABD,∴S△ABC=S菱形ADBF=40,∴12AB·AC=40,即12×8∴AC=10.22.C23.C【解析】∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAC=45°,AB=DA,∠DAF=∠B=90°.又∵AF=BE,∴△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=12∠BAC=22.5°,∴∠ADF=22.5°,∴∠CDF=90°-22.5°=6