2023年浙江省宁波市强基计划数学试卷

第1页（共1页）2023年浙江省宁波市强基计划数学试卷1．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣12．（3分）若实数x，y满足x3﹣y3+3xy+1＝0，则x﹣y可能的值（）A．只有1个 B．有2个 C．多于2个但有限 D．有无数个3．（3分）如图所示，半径为r的圆O内切于正△PQR，M为边PQ上一点，N为边PR上一点，且直线MN与圆O相切于点E，△PMN的内切圆C与MN相切于点F．若圆C的半径为，则的值为（）A． B． C． D．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0 B． C． D．（多选）5．（3分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，H为边BC的中点，直线AH与DB交于点E，直线AH与DC的延长线交于点F，则下列四点不共圆的是（）A．A，E，C，D B．A，H，C，D C．A，B，C，D D．A，B，F，C（多选）6．（3分）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次．现依次计算小明投完前n次时的命中率rn（n＝1，2，…，20），则r1＝0，r20＝0.85．在下列数字中，一定会在r1，r2，…，r20中出现的是（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.87．（3分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，∠ADC＝120°，∠DAC＝∠ABC．若AD＝4，DC＝2，则△ABC的面积为．8．（3分）函数，关于M中心对称，则M的坐标为．9．（3分）若函数y＝|2x﹣3|﹣2a的图象总在函数y＝|x+a|的图象的上方，则实数a的取值范围为．10．（3分）在平面上，一个圆把平面分割成2部分，两个圆可能把平面分割成3部分或者4部分．现平面上有7个圆，这些圆把平面分割成m部分，则正整数m的最大值为个．11．（3分）4只猴子摘得一些桃子，准备在第二天再将其分配．夜里，第1只猴子将其分出个数相同的4份后发现多出一个，遂将这个桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡觉；过一会，第2只猴子将剩余的桃子分出个数相同的4份后，也发现多出1个，它也将这个桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡觉；第3、第4只猴子也依次进行了同样的操作．这4只猴子最初摘得的桃子至少有个．12．如图所示，AB为半圆O的直径，C在AB延长线上，P是半圆O上的一个动点，以PC为底边作等腰直角三角形PCQ（P，C，Q逆时针排列）．已知AB＝4，BC＝2．（1）若△POB为正三角形，求QB的长；（2）求四边形POCQ面积的最大值．13．已知实数a，b满足a+b＝4．（1）若a＞0，b＞0，求的最小值；（2）设实数x，y满足xy＝6，x+y＝11﹣2ab，且bx+ay＝9，求a，b，x，y的值．14．在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的三角形称为整点三角形．设a＞0，已知直角△OAB的直角顶点为坐标原点O（A在第一象限），其内心为点I（a，9a）．（1）求直线OA的函数解析式；（2）若a＝2023，且△OAB为整点三角形，求这样的△OAB的个数．

2023年浙江省宁波市强基计划数学试卷参考答案与试题解析1．（3分）已知a为正实数，x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，则（﹣1）（﹣1）＝（）A．2a+1 B．2a﹣1 C．﹣2a+1 D．﹣2a﹣1【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣a＝0的两个根，∴x1+x2＝a，x1x2＝﹣a，∴（﹣1）（﹣1）＝﹣（+）+1＝（x1x2）2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]+1＝（﹣a）2﹣[a2﹣2×（﹣a）]+1＝a2﹣a2﹣2a+1＝﹣2a+1．故选：C．2．（3分）若实数x，y满足x3﹣y3+3xy+1＝0，则x﹣y可能的值（）A．只有1个 B．有2个 C．多于2个但有限 D．有无数个【解答】解：由x3﹣y3+3xy+1＝0可得：x3﹣y3＝﹣1﹣3xy（x﹣y）（x2+xy+y2）＝﹣1﹣3xy（x﹣y）[（x﹣y）2+3xy]＝﹣1﹣3xy设x﹣y＝A，则A（A2+3xy）＝﹣1﹣3xyA3+A•3xy＝﹣1﹣3xy所以，A＝﹣1故选：A．3．（3分）如图所示，半径为r的圆O内切于正△PQR，M为边PQ上一点，N为边PR上一点，且直线MN与圆O相切于点E，△PMN的内切圆C与MN相切于点F．若圆C的半径为，则的值为（）A． B． C． D．【解答】解：如图1，设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，则CD⊥PQ，CG⊥PR，PD＝PG，MD＝MF，NF＝NG，ME＝MT，NE＝NK，PT＝PK，∵CD＝CG，∴PC平分∠QPR，同理，PO平分∠QPR，∴P、C、O三点共线，∵△PQR是等边三角形，∴∠QPR＝60°，∴∠OPQ＝∠QPR＝30°，∴PD＝＝＝r，CP＝2CD＝r，∵PD＝PG＝，∴＝r①，在Rt△POT中，PT＝＝＝r，OP＝2OT＝2r，∵PT＝PK，PT+PK＝PM+MT+PN+NK＝PM+ME+PN+NE＝PM+PN+MN，∴PT＝，∴＝r②，∴②﹣①得：MN＝r，如图2，过点C作CL⊥OE，交OE的延长线于L，则∠L＝∠CFE＝∠FEL＝90°，∴EL＝CF＝r，CL＝EF，∴OL＝OE+EL＝r+r＝r，OC＝OP﹣CP＝2r﹣r＝r，在Rt△OCL中，CL＝＝＝r，∴EF＝r，∴＝＝．故选：D．4．（3分）已知a＜（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），则在0，，，，中可以取得最大值是（）A．0 B． C． D．【解答】解：（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣an）＞1﹣a1﹣a2﹣…﹣an，（n≥2），当n＝2时，（1﹣a1）（1﹣a2）＝1﹣a1﹣a2+a1a2＞1﹣a1﹣a2，当n＝k时，（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣ak）＞1﹣a1﹣a2﹣…﹣ak，当n＝k+1时，（1﹣a1）（1﹣a2）（1﹣a3）…（1﹣ak）（1﹣ak+1）＞[1﹣（a1+a2+…+ak）]（1﹣ak+1）＝1﹣（a1+a2+…+ak）﹣ak+1+（a1+a2+…+ak）•ak+1＞1﹣（a1+a2+…+ak）﹣ak+1＝1﹣（a1+a2+a3′′′+ak+1）成立；令S＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣），∴S＞1﹣﹣﹣﹣…﹣＝1﹣（+++…+），令M＝+++…+，∴M＝++…++，∴M＝﹣，∴M＝﹣，∴S＞1﹣+＝+＞，故选：D．（多选）5．（3分）如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，H为边BC的中点，直线AH与DB交于点E，直线AH与DC的延长线交于点F，则下列四点不共圆的是（）A．A，E，C，D B．A，H，C，D C．A，B，C，D D．A，B，F，C【解答】解：∵AB＝AC＝AD，∴B、C、D在以A为圆心，AB长为半径的圆上，∴∠CDE＝∠BAC，∵AB＝AC，H是BC中点，∴∠CAE＝∠BAC，∴∠CDE＝∠CAE，∴A，E，C，D四点共圆，故A不符合题意；∵AB＝AC，H是BC中点，∴∠AHC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ADC＝∠ACD＜90°，∴∠AHC+∠ADC＜180°，∴A、H、C、D不共圆，故B符合题意；∵AB＝AC＝AD，∴∠ABC＝∠ACB＜90°，∠ACD＝∠ADC＜90°，∴∠ABC+∠ADC＜180°，∴A、B、C、D不共圆，故C符合题意；若A、B、F、C共圆．∴∠FCH＝∠BAH，∵∠CAH＝∠BAH，∴∠FCH＝∠CAH，∵∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠FCH+∠ACH＝90°，∴AC⊥CD，而∠ACD＜90°，∴AC和CD不垂直，∴A、B、F、C不共圆，故D符合题意．故选：BCD．（多选）6．（3分）小明进行投篮练习，共投了20次，已知第一次没投中，总共投中了17次．现依次计算小明投完前n次时的命中率rn（n＝1，2，…，20），则r1＝0，r20＝0.85．在下列数字中，一定会在r1，r2，…，r20中出现的是（）A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8【解答】解：因为第一个没进，所以若第二个进了，则有r2＝．若第二个没进，第三个没进，则有r4＝，r5＝，r6＝＝．若第二个没进，第四个没进，则有r3＝，r4＝，r5＝，r6＝＝．若第二个没进，第五个没进，则有r3＝，r4＝＝．后续情况无需讨论，由此可见0.5一定会在r1，r2，r3，…r20中出现．因为0.6＝＝＝＝，如果前五次有三次没进，则r5＝，r6＝＝，r4＝，……由此可见这一种情况中0.6没有出现．因为0.7＝＝，如果前10次有一次或二次没进，则r10＝或，由此可见这种情况下0.7没有出现．因为0.8＝＝＝＝，如果前五次只有第一次没进，则r5＝，如果前五次有二次没进，同时前十次也是二次没进，则r10＝．如果前五次有二次没进，前十次是三次没进，则r15＝．如果前五次有三次没进，则r15＝．由此可见0.8一定会在r1，r2，r3，…r20中出现．故选：AD．7．（3分）如图，在△ABC中，D为边BC上一点，∠ADC＝120°，∠DAC＝∠ABC．若AD＝4，DC＝2，则△ABC的面积为14．【解答】解：∵∠DAC＝∠ABC，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴．过点A作AE⊥BC于点E，如图，∵∠ADC＝120°，∴∠ADC＝60°，∴∠EAD＝30°，∴DE＝AD＝2，∴CE＝CD+DE＝4．∵AE＝＝＝2，∴AC＝＝2，∵CD•AE＝2，∴，∴S△ABC＝7S△ACD＝14．故答案为：14．8．（3分）函数，关于M中心对称，则M的坐标为（﹣3，4）．【解答】解：设f（x）＝，则，f（x）＝4+，∴f（﹣6﹣x）＝4+＝4﹣（），∴f（x）+f（﹣6﹣x）＝8＝2×4，即f（x）＝2×4﹣f[2×（﹣3）﹣x]，∴f（x）关于（﹣3，4）成中心对称，∴点M的坐标为（﹣3，4）．9．（3分）若函数y＝|2x﹣3|﹣2a的图象总在函数y＝|x+a|的图象的上方，则实数a的取值范围为a＜﹣．【解答】解：由题意得，|2x﹣3|＞|x+a|+2a，，∵函数y＝|2x﹣3|﹣2a的图象总在函数y＝|x+a|的图象的上方，∴a＜0，对于y＝|x+a|+2a，令y＝0，则x＝a（舍去）或x＝﹣3a，∴，即，故答案为：．10．（3分）在平面上，一个圆把平面分割成2部分，两个圆可能把平面分割成3部分或者4部分．现平面上有7个圆，这些圆把平面分割成m部分，则正整数m的最大值为44个．【解答】解：1个圆最多把平面分成2个部分，2个圆最多把平面分成4个部分，3个圆最多把平面分成8个部分，4个圆最多把平面分成14个部分，n个圆最多把平面分成2+2+4+6+…+2（n﹣1）＝n2﹣n+2份，（第n个圆与其它圆有2（n﹣1）个交点，将第n个圆自己分成2（n﹣1）段，每段将平面增加1部分，共增加2（n﹣1）部分．）7个圆最多把平面分成：2+2+4+6+…+2（7﹣1）＝72﹣7+2＝44个部分，故答案为：44．11．（3分）4只猴子摘得一些桃子，准备在第二天再将其分配．夜里，第1只猴子将其分出个数相同的4份后发现多出一个，遂将这个桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡觉；过一会，第2只猴子将剩余的桃子分出个数相同的4份后，也发现多出1个，它也将这个桃子偷吃，然后藏起自己的一份去睡觉；第3、第4只猴子也依次进行了同样的操作．这4只猴子最初摘得的桃子至少有253个．【解答】解：设第4只猴子操作前，桃子的个数是m，则m是4的倍数再加1，同时也是3的倍数，则m的取值可能是9、21、33、45、⋯，即首项为9，方差为12的等差数列；第3只猴子操作前，桃子的个数是m+1，那么m+1的取值也应在这个等差数列中；第2只猴子操作前，桃子的个数是（m+1）+1，那么（m+1）+1的取值也应在这个等差数列中；第1只猴子操作前，桃子的个数是[（m+1）+1]+1，那么[（m+1）+1]+1的取值也应在这个等差数列中；计算出满足要求的m的最小值是105，则这4只猴子最初摘得的桃子至少有253个．故答案为：253．12．如图所示，AB为半圆O的直径，C在AB延长线上，P是半圆O上的一个动点，以PC为底边作等腰直角三角形PCQ（P，C，Q逆时针排列）．已知AB＝4，BC＝2．（1）若△POB为正三角形，求QB的长；（2）求四边形POCQ面积的最大值．【解答】解：（1）连接BP、BQ交PC于点D，∵△POB为正三角形，AB＝4，BC＝2，∴BP＝BC＝2，∠OPC＝90°，∴PC＝2，∵等腰直角三角形PCQ，∴BQ垂直平分PC，∴BD＝OP＝1，△PDQ为等腰直角三角形，∴DQ＝PD＝PC＝，∴BQ＝．（2）过点P作PM⊥AB交于M点，设PM＝y，MO＝x，则x2+y2＝4，∴S四边形POCQ＝S△POC+S△PQC＝＝5+2（x+y）≤5+4．当且仅当x＝y时，四边形OPCQ的面积最大，最大值为5+4．13．已知实数a，b满足a+b＝4．（1）若a＞0，b＞0，求的最小值；（2）设实数x，y满足xy＝6，x+y＝11﹣2ab，且bx+ay＝9，求a，b，x，y的值．【解答】解：（1）＝＝，∵﹣（