2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末数学试卷一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（）A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×1063．（3分）下列各运算中，正确的运算是（）A． B．（2a）3＝8a3 C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b24．（3分）下列各式中是分式的是（）A． B．x+y C． D．5．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．6．（3分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是（）A．54° B．36° C．27° D．18°8．（3分）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝ B．BC：AC：AB＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：59．（3分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（）A．1 B．2 C．3 D．410．（3分）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）比较大小：3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）12．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是．13．（3分）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y＝．14．（3分）若ab≠0且a﹣b﹣ab＝0，则分式的值为．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12，则AB的长为．16．（3分）已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为．三、解答题（本大题共9个大题，共72分）17．（8分）计算：．18．（8分）先化简，再求值，其中m＝1．19．（8分）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC．（1）若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长．（2）若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数．20．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了名学生，a＝%；（2）补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为度；（3）若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以点D和点E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．（1）连接EF、DF，通过证明△BEF≌△DEF，得到∠ABG＝∠CBG，从而得到BG是∠ABC的平分线，其中证明△BEF≌△BDF的依据是（填序号）．①SAS②ASA③AAS④SSS（2）当∠A＝56°，∠BGC＝；（3）若AC＝3，BC＝4，P为AB上一动点，求GP的最小值．22．（8分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：∠AFD＝∠ECD；（2）求证：△AFD≌△DCE；（3）若∠B＝60°，CD＝DF，BE＝2，求AE．24．（8分）若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．（1）下列三组数是“快乐三数组”有（填序号）；①3，4，5②，，③，1，（2）若关于x的分式方程的解与关于y的方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y）的解与1构成“快乐三数组”，求m的值；（3）如图，在四边形ADBC中，∠C＝∠D＝90°，BD＝AD，连接对角线AB，若AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，若c﹣a，b，c+a构成“快乐三数组”，且S四边形ADBC＝27，求AB的长．25．（8分）如图，在平面直角坐标系中，点A（m，0），OA＝OB，将线段OB绕点B顺时针旋转60°至BE，连接OE、AE．（1）若m＝4，求E点坐标及∠OAE；（2）若点D，F为分别是AB、OE中点，连接BF、OD，连接DF与AE交于点G，若FD为n，求S四边形ODBF（用含n的式子表示）；（3）在（2）的条件下，求线段CD与EG的数量关系，并说明理由．

2023-2024学年湖南省长沙市雨花区华益中学八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：D．2．（3分）清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写到：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.0000084米，则数据0.0000084用科学记数法表示为（）A．8.4×10﹣5 B．8.4×10﹣6 C．8.4×10﹣7 D．8.4×106【解答】解：0.0000084＝8.4×10﹣6．故选：B．3．（3分）下列各运算中，正确的运算是（）A． B．（2a）3＝8a3 C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解答】解：A、∵与不是同类二次根式，∴与不能合并，故A错误；B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故D错误．综上，只有B正确．故选：B．4．（3分）下列各式中是分式的是（）A． B．x+y C． D．【解答】解：A、是整式，不是分式，故A不符合题意；B、x+y是整式，不是分式，故B不符合题意；C、是整式，不是分式，故B不符合题意；D、是分式，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A． B． C． D．【解答】解：A.＝＝，故A不符合题意；B.＝2，故B不符合题意；C.＝，故C不符合题意；D.是最简二次根式，故D符合题意；故选：D．6．（3分）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，工人师傅在焊接立柱时，只用找到BC的中点D，这就可以说明竖梁AD垂直于横梁BC了，工人师傅这种操作方法的依据是（）A．等边对等角 B．等角对等边 C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝54°，以点C为圆心，CA长为半径作弧交AB于点D，分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线CE，交AB于点F，则∠ACF的度数是（）A．54° B．36° C．27° D．18°【解答】解：由尺规作图可知，CF⊥AB，∴∠CFA＝90°，∵AB＝AC，∠B＝54°，∴∠ACB＝∠B＝54°，∴∠CAB＝72°，∴∠ACF＝180°﹣∠CFA﹣∠CAB＝18°．故选：D．8．（3分）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（）A．BC＝1，AC＝2，AB＝ B．BC：AC：AB＝3：4：5 C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5【解答】解：A、当BC＝1，AC＝2，AB＝时，满足BC2+AB2＝1+3＝4＝AC2，所以△ABC为直角三角形；B、当BC：AC：AB＝3：4：5时，设BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，满足BC2+AC2＝AB2，所以△ABC为直角三角形；C、当∠A+∠B＝∠C时，且∠A+∠B+∠C＝180°，所以∠C＝90°，所以△ABC为直角三角形；D、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，可设∠A＝3x°，∠B＝4x°，∠C＝5x°，由三角形内角和定理可得3x+4x+5x＝180，解得x＝15°，所以∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，所以△ABC为锐角三角形，故选：D．9．（3分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD交AD于点E，AB＝6，BC＝10，则EF长为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝10，DC＝AB＝6．∴∠AFB＝∠FBC．∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC．∴∠AFB＝∠ABF．∴AF＝AB＝6．同理可得DE＝DC＝6．∴EF＝AF+DE﹣AD＝6+6﹣10＝2．故选：B．10．（3分）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：如图，连接BF，∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，∴S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF，由题意可知，S△ABD＝S△AFC＝S△BEC，∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC＝2S△DEF，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF＝7S△DEF，∵S△ABC＝14，∴S△DEF＝2，故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）比较大小：＜3．（选填“＞”、“＜”或“＝”）【解答】解：∵（）2＝7，32＝9，7＜9，∴＜3．故答案为：＜．12．（3分）使二次根式有意义的x的取值范围是x≥﹣3．【解答】解：根据二次根式的意义，得x+3≥0，解得x≥﹣3．故答案为：x≥﹣3．13．（3分）若5x﹣3y﹣2＝0，则25x÷23y＝4．【解答】解：∵5x﹣3y＝2，∴原式＝25x﹣3y＝22＝4，故答案为：4．14．（3分）若ab≠0且a﹣b﹣ab＝0，则分式的值为1．【解答】解：∵ab≠0且a﹣b﹣ab＝0，∴a﹣b＝ab≠0，∴，故答案为：1．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB+BC＝12，则AB的长为8．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB，设BC＝x，∵AB+BC＝12，∴AB＝12﹣x，∵BC＝AB，即x＝（12﹣x），解得：x＝4．则AB＝2BC＝2x＝8．故答案为：8．16．（3分）已知直角三角形面积为24，斜边长为10，则其周长为24．【解答】解：设直角三角形的两直角边分别是a、b（a＜b，且a、b均为正数），则，解得．所以该直角三角形的周长是：6+8+10＝24．故答案为：24．三、解答题（本大题共9个大题，共72分）17．（8分）计算：．【解答】解：＝＝．18．（8分）先化简，再求值，其中m＝1．【解答】解：＝•＝＝，当m＝1时，原式＝＝﹣．19．（8分）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，AB＝AC．（1）若△ABC的面积是20，且BC＝4，求AD的长．（2）若∠CAD＝20°，求∠ACE的度数．【解答】解：（1）AD是△ABC的中线，AB＝AC．∴AD⊥BC，∵△ABC的面积是20，且BC＝4，∴BC•AD＝20，∴×4×AD＝20，∴AD＝10；（2）∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝20°，∴∠CAB＝2∠CAD＝40°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE＝∠ACB＝35°．20．（8分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x＜85为B级，60≤x＜75为C级，x＜60为D级．现随机抽取华益中学部分学生的综合评定成绩，请根据图中的信息，解答下列问题：（1）在这次调查中，一共抽取了50名学生，a＝24%；（2）补全条形统计图；扇形统计图中C级对应的圆心角为72度；（3）若该校共有4000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？【解答】解：（1）在这次调查中，一共抽取了24÷48%＝50（人），，故答案为：50，24；（2）C级学生人数为：50﹣12﹣24﹣4＝10（人），补全条形统计图，如图所示：扇形统计图中C级对应的圆心角为：，故答案为：72．（3）4000×＝320（名），答：估计该校D级学生有320名．21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，利用尺规在BC、BA上分别截取BE、BD，使BE＝BD；分别以点D和点E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．（1）连接EF、DF，通过证明△BEF≌△DEF，得到∠ABG＝∠CBG，从而得到BG是∠ABC的平分线，其中证明△BEF≌△BDF的依据是④（填序号）．①SAS②ASA③AAS④SSS（2）当∠A＝56°，∠BGC＝73°；（3）若AC＝3，BC＝4，P为AB上一动点，求GP的最小值．【解答】解：（1）由作图可知，EF＝DE，BE＝BD，在△BEF和△BDF中，，∴△BEF≌△BDF（SSS），故答案为：④；（2）∵∠A＝56°，∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝34°，∵BG平分∠ABC，∴∠CBG＝∠ABC＝17°，∴∠BGC＝90°﹣∠CBG＝73°，故答案为：73°；（3）如图，过点G作GH⊥AB于点H．∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，由作图过程可知：BG平分∠ABC，GC⊥BC，GH⊥AB，∴GH＝GC，设GH＝GC＝x，则有×5•x+×4•x＝×4×3＝S△ABC，∴x＝，∴GH＝，∵P为AB上一动点，则GP的最小值为．22．（8分）在学校开展的“劳动创造美好生活”主题活动中，八（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们计划购买绿萝和吊兰两种绿植，已知吊兰的单价比绿萝的单价多5元，且用200元购买绿萝的盆数与用300元购买吊兰的盆数相同．（1）求购买绿萝和吊兰的单价各是多少元？（2）若购买绿萝的数量是吊兰数量的两倍，且资金不超过600元，则购买吊兰的数量最多是多少盆？【解答】解：（1）设购买绿萝的单价为x元，则购买吊兰的单价为（x+5）元，由题意得：＝，解得：x＝10，经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，则x+5＝15，答：购买绿萝的单价为10元，购买吊兰的单价为15元；（2）设购买吊兰的数量为m盆，则购买绿萝的数量为2m盆，由题意得：15m+10×2m≤600，解得：m≤，∵m为正整数，∴m的最大值为17，答：购买吊兰的数量最多是17盆．23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC边上，且AD＝DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：∠AFD＝∠ECD；（2）求证：△AFD≌△DCE；（3）若∠B＝60°，CD＝DF，BE＝2，求AE．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠ECD＝180°，∵∠AFE＝∠B，∴∠AFE+∠ECD＝180°，又∵∠AFE+∠AFD＝180°，∴∠AFD＝∠ECD；（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（AAS），（3）解：过点E作EH⊥AB于H，如下图所示：由（2）可知：△AFD≌△DCE，∴DF＝CE，AF＝CD，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD，AB＝CD，∵AD＝DE，∴BC＝DE，∵DE＝DF+EF＝CE+EF，BC＝CE+BE，∴BE＝EF，∵AB＝CD，CD＝DF，AF＝CD，DF＝CE，∴AB＝AF＝CD＝CE，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（SSS），∴∠AEB＝∠AEF，∴∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠B＝120°，∵CD＝CE，∴∠CED＝∠CDE＝（180°﹣∠C）＝30°，∴∠BEF＝180°﹣∠CED＝150°，∴∠AEB＝∠AEF＝∠BEF＝75°，∵EH⊥AB，∠B＝60°，∴∠BEH＝30°，∴∠AEH＝∠AEB﹣∠BEH＝45°，∴△AHE为等腰直角三角形，即HE＝HA，在Rt△BEH中，∠∠BEH＝30°，BE＝2，∴BH＝BE＝1，由勾股定理得：HE＝＝，∴HE＝HA＝，∴AE＝＝．24．（8分）若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”．（1）下列三组数是“快乐三数组”有②③（填序号）；①3，4，5②，，③，1，（2）若关于x的分式方程的解与关于y的方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y）的解与1构成“快乐三数组”，求m的值；（3）如图，在四边形ADBC中，∠C＝∠D＝90°，BD＝AD，连接对角线AB，若AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，若c﹣a，b，c+a构成“快乐三数组”，且S四边形ADBC＝27，求AB的长．【解答】解：（1）①∵，∴3，4，5不是“快乐三数组”；②∵2+3＝5，∴，，是“快乐三数组”；③∵＝＝，又∵，∴＝，∴，1，是“快乐三数组”，故答案为：②③．（2）对于方程，去分母，将方程两边同时乘以（1﹣x）得：2x﹣3m＝1﹣x，∴x＝，解方程（m﹣3）y﹣1＝3（m﹣y），得：y＝，依题意得：x，y，1是“快乐三数组”；∴有以下三种情况：①当时，则，解得：m＝1，经检验m＝1是该方程的根，②当时，则，解得：m＝﹣2，经检验m＝﹣2是该方程的根，当m＝﹣2时，x＝＝，不符合“快乐三数组”的定义，舍去；③当时，则，解得：m＝0.5，经检验m＝0.5是该方程的根，综上所述：m的值为1或0.5．（3）∵∠C＝∠D＝90°，AB的长为c，∠C的两条邻边长分别为a，b，∴a2+b2＝c2，且c﹣a＜b＜c+a，∴，c2﹣a2＝b2，∵c﹣a，b，c+a构成“快乐三数组”，∴，∴1，整理