2023-2024学年安徽省马鞍山市当涂重点中学高二（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年安徽省马鞍山市当涂重点中学高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“a=1”是“直线l1：ax−yA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知等差数列{an}中，a4+A.96 B.48 C.36 D.243.如图的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点M在BBlA.17

B.16

C.234.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且−a1,34A.58或15 B.58或一5 C.15 5.函数f(x)=A. B.

C. D.6.若直线y=mx−2m和曲线yA.[0,33) B.(7.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为2c，过右焦点且垂直于xA.(1,233] B.8.设a=e+2ln(e+2)A.c<a<b B.b<c二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的有(

)A.已知直线l过点P(2,4)，且在x，y轴上截距相等，则l的方程为x+y−6=0

B.数列{an}是公比不为1的等比数列，若am⋅an=ap⋅aq其中m、n、p、q∈N*，则m10.已知数列{an}，{bn}A.数列{anbn}的前4项和为226 B.{(−1)nan}的前100项和为11.已知函数f(x)=A.f(x)在[−2,2]上的极大值和最大值相等

B.直线6x+2y−712.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AA.不存在点F，使得FC⊥FD1

B.FC+FD1的最小值为42+25

C.满足三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知数列{an}的前n项和为Sn=2n14.已知抛物线C：y=28x2的焦点为F，O为坐标原点，P为抛物线C上一点，且满足15.若数列{an}满足a1=12，an16.已知函数f(x)=ln(x+1)−四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知直线l2经过点(1,1)，且与直线l1：4x−3y+10=0垂直．

(1)求l18.(本小题12分)

已知{an}为等差数列，{bn}是公比为正数的等比数列，a1=b1=2，a2=2b1−119.(本小题12分)

设函数f(x)=x3−2x2+1．

(1)20.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AB/​/CD，AB=4，BC=CD=2，BP=DP=10，∠BC21.(本小题12分)

椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1，F2，离心率为32，R为椭圆C上任意一点，R不在x轴上，△RF1F2的面积的最大值为322.(本小题12分)

已知函数f(x)=2ex−ax，a∈R．

(Ⅰ)讨论函数f(答案和解析1.【答案】A

【解析】解：若直线l1：ax−y+1=0与直线l2：x+a2y−1=0垂直，

则a×1+(−1)×a2=0，解得a=0或1．

当a=1时，直线l1、l22.【答案】B

【解析】解：由{an}是等差数列，得S12=122(a1+a123.【答案】B

【解析】解：MN=MB1+B1N=12AA1+B1D1+D4.【答案】C

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，q>0，

由−a1,34a2，a3成等差数列，若a1=1，则a3−a1=5.【答案】A

【解析】解：根据题意，函数f(x)=2cosxx2+1，

由于f(π2)=0，排除B，C；

求导可得：f′(x)=−2(x2+16.【答案】B

【解析】解：易知直线y=mx−2m过定点(2,0)，

曲线y=1−x2可化为x2+y2=1(y≥0)，曲线表示的是圆心在坐标原点，

半径为1的上半圆，如下图所示：

当直线与半圆相切时可得d=|−2m|1+7.【答案】C

【解析】解：由题意可知，直线AB经过双曲线的右焦点，且垂直于x轴，不妨设A(c,y0)，

代入双曲线方程得c2a2−y02b2=1，又c2=a2+b2，所以y0=b2a，

所以A(c,b2a)，B(c,−b2a)，

不妨取双曲线的一条渐近线为直线bx+ay=0，

由点到直线的距离公式可得点A到渐近线的距离d1=|b8.【答案】D

【解析】解：构造函数f(x)=xlnx，

∴f′(x)=lnx−1ln2x，

当x>e时，f′(x)>0，即f(x)在(e,+∞)上单调递增，

当9.【答案】BC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于选项A：直线l在x，y轴上截距分别为a，b，则a=b，

若a=b=0，则直线l过原点，设直线l：y=kx，

代入点P(2,4)，可得4=2k，可得k=2，即直线l：y=2x；

若a=b≠0，设直线l：xa+ya=1，

代入点P(2,4)，可得2a+4a=1，可得a=6，

则直线l：x6+y6=1，即直线l：x+y−6=0；

综上所述：l的方程为y=210.【答案】AB【解析】解：由数列{an}，{bn}中，an=2n+1,bn=2n，

对于A中，可得anbn=(2n+1)⋅2n，可得数列{anbn}前4项的和为：

a1b1+a2b2+a3b3+a4b4=3×21+5×22+7×23+9×24=22611.【答案】BC【解析】解：选项A：∵f(x)=4x3−6x2+3，f′(x)=12x2−12x=12x(x−1)>0⇒x>1或x<0，

∴f(x)在(−∞,0)，(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减．

又f(0)=3，f(2)=11

∴当x∈[−2,2]时，f(x)的极大值为3，最大值为1112.【答案】AC【解析】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2AA1=4，点E为AA1的中点，点F为侧面AA1B1B(含边界)上的动点，

以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，AA1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则A(0,0,0)，C(4,4,0)，D1(0,4,2)，E(0,0,1)，

设F(m,0,n)(其中m∈[0,4]，n∈[0,2])，

对于A中，若FC⊥FD1，则FC⋅FD1=0，

又由FC=(4−m,4,−n),FD1=(−m,4,2−n)，

∴(4−m,4,−n)⋅(−m,4,2−n)=0，

即(m−2)2+(n−1)2+11=0，此时方程无解，

∴不存在点13.【答案】an【解析】解：数列{an}的前n项和Sn=2n2+n−1，

可得a1=S1=2+1−1=14.【答案】2【解析】解：由抛物线C：y=28x2得其标准方程为x2=42y，所以2p=42，得p2=2，

所以焦点为F(0,2)，准线方程为y=−15.【答案】6

【解析】解：由a1=12，an+1=an+2n(n∈N*)，

则an=a1+(a2−a1)+(a3−a216.【答案】(0【解析】解：∵F(x)=f(x)−g(x)有两个零点⇔f(x)=g(x)有两个实根，

⇔ln(x+1)−x+1=aex−x+lna有两个实根⇔ex+lna+x+lna=ln(x+1)+x+1有两个实根．

⇔ex+lna+x+lna17.【答案】解：(1)由直线l1：4x−3y+10=0，斜率k1=43，

∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为k2=−34，

又直线l2过点(1,1)，∴【解析】(1)利用点斜式可得直线方程；(2)利用勾股定理可得弦长18.【答案】解：(1)由题意设等差数列等比数列的公差公比分别为d，q>0，

则由题意有2+d=3，2q2=2(2+d)+2，解得d=1，q=2，

所以{an}和{bn}的通项公式分别为an=2+(n−【解析】(1)直接由等差数列、等比数列的基本量的计算算出公差，公比即可得解；

(219.【答案】解：(1)函数f(x)=x3−2x2+1的定义域为R，求导数得f′(x)=3x2−4x=3x(x−43)，

由f′(x)>0，得x<0或x>43，即函数f(x)在(−∞,0)和(43,+∞)上单调递增，

由f′(x)<0，得0<x【解析】(1)求出函数f(x)的导数，再利用导数求出单调区间及极值点．20.【答案】证明：(1)因为BC=CD=2，∠BCD=60°，所以△BCD为三角形，

所以BD=2，∠CBD=60°，

因为AB/​/CD，∠BCD=60°，

所以∠ABC=120°，则∠ABD=60°，

因为AB=4，BD=60°，

在三角形ABD中，由余弦定理有：AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=16+4−2×4×2×12=12，即AD=23，

所以AD2+BD2=AB2，所以AD⊥BD，

因为AD⊥PD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，所以AD⊥平面PBD，

因为AD⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD；

解：(2)取BD的中点M，连接PM，

因为BP=DP=10，B【解析】(1)由条件及在三角形ABD中，由余弦定理可求得AD，利用勾股定理的逆定理可得AD⊥BD，再由面面垂直的判定定理即可证得；21.【答案】解：(1)因为椭圆的离心率为32，所以ca=32，

设R到F1F2的距离为d，因为|F1F2|=2c，

所以S△RF1F2=12|F1F2|d=cd，易得当d=b时△RF1F2面积取得最大值，

所以bc=3，因为b2=a2−c2，

所以a2=4，b2=【解析】(1)根据题意列出方程求出a，b的值，即可求解椭圆方程；

(2)设出22.【答案】解：(Ⅰ)由已知f′(x)=2ex−a，

当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在R上单调递增；

当