高等数学一讲义

PAGE19函数1.1预备知识

1.1.1初等代数的几个问题

1.一元二次方程

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），称为一元二次方程，称为此方程的判别式.

（1）求根公式：

当△＞0时，方程有两个不同的实根：

当△＝0时，方程有一个二重实根：

当△＜0时，方程有一对共轭复根：

（2）根与系数的关系（韦达定理）：

（3）一元二次函数（抛物线）：y＝ax2＋bx＋c（a≠0），

当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下.

对称轴

顶点坐标

例1.若x3＋x2＋ax＋b能被x2－3x＋2整除，则a、b是多少？结论：多项式f（x），g（x）.若f（x）能被g（x）整除，则g（x）＝0的根均为f（x）＝0的根.

解：令x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，代入被除式得

解得

2.二元一次方程组

两个未知量x，y满足的形如的方程组称为二元一次方程组.

当时，方程组有唯一解；

当时，方程组无解；

当时，方程组有无穷多解.

例2.已知方程组

（1）若方程组有无穷多解，求a的值；

（2）当a＝6时，求方程组的解.解：（1）因为方程组有无穷多组解，所以,

解得a＝4.

（2）当a＝6是，原方程组变为,

解得3.不等式

（1）一元二次不等式

考虑不等式ax2＋bx＋c＞0，如果记一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两个不同实根分别为x1，x2，且x1＜x2，根据一元二次函数的图形可知：

当a＞0时，这个不等式的解集是{x│x＜x1或x＞x2}；

当a＜0时，它的解集是{x│x1＜x＜x2}.

用类似的方法可以求解不等式ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c＜0和ax2＋bx＋c≤0.

例3.解不等式x2－5x＋6≥0.解：令x2－5x＋6＝0,

（x－2）（x－3）＝0,

得x＝2或x=3,

∴解集为（－∞，2]∪[3，＋∞）.例4.解不等式x2＋（1－a）x－a＜0.解：令x2＋（1－a）x－a＝0,

（x－a）（x＋1）＝0,

得x＝a或x＝－1,

①若a＜－1，解集为（a，－1）,

②如a＝－1，解集为Φ,

③若a＞－1，解集为（－1，a）.（2）绝对值不等式

不等式│f（x）│＞a＞0等价于f（x）＞a或f（x）＜－a；

不等式│f（x）│＜a等价于－a＜f（x）＜a.

例5.解下列含有绝对值符号的不等式：

（1）│2x－3│≤5（2）│3x－1│≥7解：（1）原不等式等价于－5≤2x－3≤5

解得：－1≤x≤4.

所以解集为[－1，4].（2）原不等式等价于3x－1≤－7或3x－1≥73x－1≤－7的解集为x≤－2，

3x－1≥7的解集为x≥,

所以解集为（－∞，－2]∪[，＋∞）.例6.解不等式│x2－2x－5│＜3.解：原不等式等价于

x2－2x－5＞－3的解集为（－∞，]∪[，＋∞），

x2－2x－5＜3的解集为（－2，4），

所以原不等式的解集为（－2，]∪[，＋4）.4.数列

（1）等差数列：相邻两项的差为定值，即an＋1－an＝d，d称为公差.

通项公式：an＝a1＋（n－1）d

前n项和公式：

当m＋n＝k＋l时，am＋an＝ak＋al

特别地有

例7.设{an}是一个等差数列，且a2＋a3＋a10＋a11＝64，求a6＋a7和S12解：因为2＋11＝3＋10＝13

所以a2＋a11＝a3＋a10＝32,

又因为6＋7＝13，所以a6＋a7＝32,

S12＝（a1＋a12）×12÷2＝6（a1＋a12）＝6×32＝192.（2）等比数列：相邻两项的商为定值，即，q称为公比.

通项公式：an＝a1qn-1

前n项和公式：

当m＋n＝k＋l时，aman＝akal

特别地有

例8.设{an}是一个等比数列，且a3＝12，a5＝48，求a1，a10和a2a6的值.解：

所以q＝±2

a10＝a5·q5＝48×（±2）5＝±1536

因为2＋6＝3＋5＝8

所以a2·a6＝a3·a5＝12×48＝576.1.1.2集合与逻辑符号

1.集合的概念

集合是指由一些特定的对象汇集的全体，其中每个对象叫做集合的元素.

数集分类：

N——自然数集Z——整数集

Q——有理数集R——实数集

C——复数集合

2.元素与集合的关系

元素a在集合A中，就说a属于A，记为a∈A；否则就说a不属于A，记为aA.

3.集合与集合的关系

集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，称为A包含于B，或B包含A，也说A是B的子集，记为A?B或者B?A.

若A?B，且B?A，就称集合A与B相等，记作A＝B.

例9.A＝{1，2}，C＝{x│x2－3x＋2＝0}，则A和C是什么关系？解：解方程x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2.

所以C＝{1，2}，从而A＝C.4.空集

不含任何元素的集合称为空集（记作Φ）.规定空集为任何集合的子集.

例10.{x│x∈R，x2＋1＝0}＝Φ

5.集合的表示方法：列举法，描述法

一般的，有限集用列举法，无限集用描述法

闭区间：[a，b]＝{x│a≤x≤b，x∈R}；

开区间：（a，b）＝{x│a＜x＜b，x∈R}；

半开半闭区间：

左开右闭区间：（a，b]＝{x│a＜x≤b，x∈R}，

左闭右开区间：[a，b）＝{x│a≤x＜b，x∈R}；

（－∞，b]＝{x│x≤b，x∈R}，[a，＋∞]＝{x│x≥a，x∈R}；

点a的邻域：U（a，ε）＝（a－ε，a＋ε），ε＞0，即U（a，ε）是一个以a为中心的开区间.在不强调邻域的大小时，点a的邻域也用Ua表示；

点a的去心邻域：N（a，ε）＝（a－ε，a）∪（a，a＋ε），ε＞0.点a的去心邻域也可以表示为Na.

6.集合之间的运算

（1）并：由A、B中所有元素组成的集合称为A和B的并集，记为A∪B.

A∪B＝{x│x∈A或x∈B}，A∪B＝B∪A.

例11.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A∪B.解：A∪B＝{1，2，3，4，6，8，10，12}.例12.已知：A＝{x│1＜x＜5}，B＝{x│－3＜x≤2}，求：A∪B.解：A∪B＝{x│－3＜x＜5}.（2）交：由既属于A又属于B的元素组成的集合称为A和B的交集，记为A∩B.

A∩B＝{x│x∈A且x∈B}，A∩B＝B∩A

例13.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2、4、6、8、10、12}，

求：A∩B.解：A∩B＝{2，4}.例14.已知：A＝{x│1＜x＜4}，B＝{x│－3＜x≤3}，求：A∩B.解：A∩B＝{x│1＜x≤3}.（3）余集（差集）：由A中不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集，记为A－B.

A－B＝{x│x∈A但xB}.

例15.已知：A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8，10，12}，求：A－B.解：A－B＝{1，3}.7.一些逻辑符号

p能推出q，记为pq，此时称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

如果pq，qp同时成立，就成p与q等价，或者说p与q互为充分必要条件（充要条件），记作pq.

1.2函数的概念与图形

1.2.1函数的概念

1.定义

设D是一个非空数集，f是定义在D上的一个对应关系，如果对于任意的实数x∈D，都有唯一的实数y通过f与之对应，则称f是定义在D上的一个函数，记作y＝f（x），x∈D.

也称y是x的函数，其中x称为自变量，y称为因变量.当x0∈D时，称f（x0）为函数在点x0处的函数值.数集D叫做这个函数的定义域，函数值全体组成的数W＝{y│y＝f（x），x∈D}称为函数的值域.

例1.已知：，

求：y的定义域、值域.解：令1－x2≥0，解得：－1≤x≤1,

所以定义域为[－1，1].

因为0≤1－x2≤1，所以0≤≤1，

所以值域为[0，1].例2.已知：，

求：y的定义域、值域.解：根据题意，得，

解得－1＜x＜1，所以定义域为（－1，1），

因为0＜≤1，从而，

所以值域为[1，＋∞）.2.函数的三要素：定义域、对应法则、值域.

约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.在具体问题中定义域会根据实际需要而有所变化.

例3.判断下列两个函数是否相等，

（1）y＝x＋3；（2）.例4.求函数的定义域.解：根据题意，得

解得:2≤x＜3或3＜x＜5，

所以定义域为[2，3）∪（3，5）.3.函数的表示法：表达式法（解析法）、图形法、数表法.

1.2.2函数的图形

1.函数图形的概念

函数y＝f（x），x∈D的图形是指在xOy平面上的点集{（x,y）│y＝f（x），x∈D}.

常见的几个幂函数的图形：

2.函数的性质

（1）有界性

函数f（x），x∈D，存在两个实数m、M，满足条件：对于D中所有的x都有不等式m≤f（x）≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则称无界.

例5.判断下面函数在其定义域是否有界，

（1）y=sinx，（2）.（2）单调性

设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调增加，称f（x）是D上的单调增加函数，称D是函数f（x）的单调增加区间.

设函数f（x）在区间D上有定义，如果对于区间D上任意两点x1及x2，当x1＜x2时，恒有f（x1）＞f（x2），则称函数f（x）在区间D上是单调减少，称f（x）是D上的单调减少函数，称D是函数f（x）的单调减少区间.

例6.求y＝x2的单调性.解：任取x1＜x2＜0，

x12－x22＝（x1－x2）（x1＋x2）＞0,

所以y＝x2在（－∞，0）上单调减少.

同理可得：y＝x2在（0，＋∞）上单调增加.例7.求y＝sinx的单调性.解：y＝sinx的图像如图，

y=sinx在（2kπ－，2kπ＋）上单调增加，

在（2kπ＋，2kπ＋）上单调减少.（3）奇偶性

设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝f（x），称f（x）为偶函数；

设D关于原点对称，对于任意的x∈D，有f（﹣x）＝﹣f（x），称f（x）为奇函数.

例8.判断下面函数的奇偶性

（1）

（2）解：（1）

因为，所以定义域为R.

所以f（x）为奇函数.

（2）

因为ax－a-x≠0，故x≠0，

所以定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）.

所以f（x）为奇函数.

（4）幂函数的性质

形如y＝xα的函数为幂函数，其中α为任意常数.

性质：

对任意实数α，曲线y＝xα都通过平面上的点（1，1）；

α＞0时，y＝xα在（0，+∞）单调增加；

α＜0时，y＝xα在（0，+∞）单调减少；

α为正整数时，幂函数的定义域是（－∞，+∞）；

α为偶数时，y＝xα为偶函数；

α为奇数时，y＝xα为奇函数；

α为负整数时，幂函数的定义域是

（－∞，0）∪（0，+∞）.

幂函数y＝xα（α是常数）的图形：

1.2.3分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子来表示的函数，称为分段函数.

例9.画出符号函数的图形：

例10.画出下面分段函数的图形：

例11.求下面分段函数定义域并画出图形.

1.3三角函数、指数函数、对数函数

1.3.1三角函数

1.三角函数的定义

三角函数的定义可以在一个圆心在原点、半径为r的圆上给出，如图1.3.1—1所示.

图1.3.1—1

定义1.7正弦函数；余弦函数；正切函数；

余切函数；正割函数；余割函数.

2.常见三角函数关系式

（1）同角公式：

1）倒数关系：sinx·cscx＝1，cosx·secx＝1，tanx·cotx＝1

2）商的关系：，

3）平方关系：sin2x＋cos2x＝1，1＋tan2x＝sec2x，1＋cot2x＝csc2x.

（2）和角公式：

sin（x±y）＝sinxcosy±cosxsiny

cos（x±y）＝cosxcosysinxsiny

（3）倍角公式：

sin2x＝2sinxcosx

cos2x＝cos2x－sin2x

（4）半角公式（降幂公式）：

（5）正弦定理：

（6）余弦定理：

a2＝b2＋c2－2bccosA，

b2＝a2＋c2－2accosB，

c2＝a2＋b2－2abcosC.

例1.利用降幂公式，将下列各式变形，

（1），

（2）cos23x，

（3）sin45x.解：（1）原式＝

（2）原式＝

（3）原式

例2.已知一个三角函数值，求其他的三角函数值.

（1）已知tanx＝3求其他的三角函数值；

（2）已知secx＝5，求其他的三角函数值.解：（1）

（2）3.三角函数的图像及简单性质

（1）正弦函数y＝sinx

正弦函数sinx是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的奇函数；

图1.3.1—2

（2）余弦函数y＝cosx

余弦函数cosx是定义域为（－∞，＋∞），值域为[－1，1]的偶函数；

图1.3.1—3

（3）正切函数y＝tanx

正切函数tanx是定义域为{x│x∈R，x≠kπ＋}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数；

图1.3.1—4

（4）余切函数y＝cotx

余切函数cotx是定义域为{x│x∈R，x≠kπ}（k是整数），值域为（－∞，＋∞）的奇函数；

图1.3.1—5

4.特殊角的三角函数值

A0sinA01cosA10tanA01cotA15.周期函数

从三角函数的定义域可以看出，当θ的值增加2π后，点P又回到了原来的位置，所以

sin（θ＋2π）＝sinθ，

cos（θ＋2π）＝cosθ，

tan（θ＋2π）＝tanθ，

cot（θ＋2π）＝cotθ，

sec（θ＋2π）＝secθ，

csc（θ＋2π）＝cscθ.

这种函数值重复出现的性质就是函数的周期性.定义1.8设函数f（（x））的定义域为R.若存在正数T＞0，使得对于任意的x∈R都有f（x＋T）＝f（x），则称f（x）是一个周期函数，T称为f（x）的周期.

如果T是函数f（x）的一个周期，则2T，3T等也是f（x）的周期，一般说的周期指的是最小正周期.如sinx，cosx的最小正周期是2π，通常就说sinx，cosx是以2π为周期的周期函数.类似地，tanx，cotx是以π为周期的周期函数.

例3.判断下列函数是否是周期函数，如果是，则求出最小正周期.

（1）y＝sin2x，

（2）y＝sin（2x＋3），

（3）y＝sin3x＋tanx，

（4）y＝sin3x＋x2.解：（1）π；（2）π；（3）2π；（4）不是周期函数.例4.设函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）内的周期为3的周期函数，且f（－1）＝－1，f（0）＝1，f（1）＝2，则＝（）.

A.－2B.0C.2D.4答案：C

解析：因为周期为3，

所以f（23）＝f（－1）＝－1，f（－3）＝f（0）＝1，f（4）＝f（1）＝2

所以原式＝，选C.1.3.2指数函数

函数y＝ax（a＞0，a≠1）称为以a为底的指数函数，常用的是以无理数e为底的指数函数y＝ex.

函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义域是（－∞，＋∞）值域是（0，﹢∞），当a＞1时是单调增函数，当0＜a＜1时是单调减函数.

图1.3.2—1给出了底数a分别取2，3，和时函数y＝ax的图形.

图1.3.2—1

指数函数的一些基本运算规则：

axay＝ax＋y，（ax）y＝axy，axbx＝（ab）x，a0＝1，a－x＝

例5.复利问题：设银行存款的年利率是r，且按复利计算.若某人在银行存入10000元，经过10年的时间，此人最终的存款额是多少？解：经过1年的时间，存款额变成

10000＋10000r＝10000（1＋r）；

经过2年的时间，存款额变成

10000（1＋r）＋10000（1＋r）r＝10000（1＋r）2；

经过3年的时间，存款额变成

10000（1＋r）2＋10000（1＋r）2r＝10000（1＋r）3；

类似地算下去，经过10年的时间，存款额会变成10000（1＋r）10.

一般地，经过n年的时间，存款额会变成10000（1＋r）n.1.3.3反函数

1.反函数的概念

定义1.9设f（x）是定义在D上的一一对应函数，值域为Z，若对应关系g使得对任意的y∈Z，都有唯一的x∈D与之对应，且f（x）＝y，则称g是f的反函数.反函数也记作x＝g（y）＝f－1（y）.

由单调函数的定义可以知道，在一个区间上单调（增或减）的函数必有反函数.

函数的定义域和值域分别与其反函数的值域和定义域一致.判断g与f是否互为反函数，就是要判断f（g（y））＝y且g（f（x））＝x是否成立.

习惯上将自变量用x表示，因变量用y表示.根据反函数的定义，y＝f（x）与x＝f－1（y）的图形是一样的，而y＝f－1（x）是将x＝f－1（y）中的x与y对换，由于点（x，y）与点（y，x）关于直线y＝x对称，所以y＝f（x）与y＝f－1（x）的图形关于直线y＝x对称（图1.3.3—1）.

图1.3.3—1

例6.求下列函数的反函数：

（1）y＝2x＋1；

（2）解：（1）由y＝2x＋1，得x＝（y－1）.

交换x与y的位置，得y＝（x－1）.

由于函数y＝2x＋1的值域为（－∞，＋∞），

所以其反函数为y＝（x－1），x∈（－∞，＋∞）.

（2）有，得.

交换x与y的位置，得.

由于函数（x＞1）的值域为（0，1），

所以其反函数为，x∈（0，1）.2.反三角函数

（1）反正弦函数：y＝arcsinx，x∈[－1，1]，值域为[－，]

图1.3.3—2

（2）反余弦函数：y＝arccosx，x∈[－1，1]，值域为[0，π]

图1.3.3—3

（3）反正切函数：y＝arctanx，x∈（－∞，＋∞），值域为（－，）

图1.3.3—4

例7.计算，

（1）arcsin；解：（2）arccos；解：（3）arctan；解：（4）tanarcsin；解：（5）sinarccot5解：例8.已知arccos，求x的取值范围.解：令－1≤≤1，解得－1≤x≤3

所以x的取值范围为[－1，3].1.3.4对数函数：

1.定义：

当a＞0且a≠1时，指数函数y＝ax在其定义域（－∞，＋∞）内是单调的，因此它是一个一一对应的函数，于是存在反函数.函数y＝ax的反函数称为以a为底的对数函数，记作y＝logax，其定义域是（0，＋∞），值域是（－∞，＋∞）.

常见的对数函数：常用对数y＝lgx，自然对数y＝lnx

当a＞1时，y＝logax在定义域内是单调增加的；

当0＜a＜1时，y＝logax在定义域内是单调减少的.

2.对数的运算法则：

设a，b，x，y都是大于零的实数，则

loga（xy）＝logax＋logay

logaxr＝rlogax

logaa＝1，loga1＝0

例9.设银行存款的年利率是3%，且按复利计算.若某人在银行存入10000元，问经过多少年，此人的最终存款额是15000元？解：设经过x年，此人的最终存款额是15000元.由于

10000×（1.03）x＝15000

所以x＝log1.031.51.4函数运算

1.4.1函数的四则运算

定义1.10设函数f（x），g（x）都在D上有定义，k∈R，则对它们进行四则运算的结果还是一个函数，它们的定义域不变（除法运算时除数为0的点除外），而函数值的对应定义如下：

（1）加法运算（f＋g）（x）＝f（x）＋g（x），x∈D.

（2）数乘运算（kf）（x）＝kf（x），x∈D.

（3）乘法运算（fg）（x）＝f（x）g（x），x∈D.

（4）除法运算g（x）≠0，x∈D.

其中等号左端括号表示对两个函数f，g进行运算后所得的函数，它在x处的值等于右端的值.

例1.已知f（x）=ln（1＋x），g（x）=1－cosx，求.解因为函数f（x）=ln（1＋x）的定义域为（－1，+∞），函数g（x）=1－cosx的定义域为（－∞，+∞），且当x=2kπ（k为整数）时，g（x）=0，所以，

，x∈（－1，+∞）\{2kπ}（k为整数）1.4.2复合函数

如有函数f（x）和g（x）,它们的定义域分别为Df和Dg，值域分别是Zf和Zg..当ZgDf时，对于任意x∈Dg,都有唯一的g（x）∈ZgDf,，从而有唯一的f（g（x））∈Zf与x∈Dg对应，这样就确定了一个从Dg到Zf的函数，此函数称为f和g的复合函数，记作重点是学会函数的分解与复合。例2.分解下列复合函数

（1）；（2）。解：（1）y=arcsinu，y=av，

（2）y=sin2u，u=lnv，v=x3+1例3.求下列复合函数的表达式和定义域

（1）f（x）=lgx，g（x）=2x

（2）f（x）=arcsinx，解：（1）f（g（x））=lg2x=xlg2，定义域为R，

（2），

令

解得：1≤x≤2，

所以定义域为[1,2].例4.求下列复合函数的表达式

（1）设，求。解：令x－1=t，则x=t+1，

则f（t）=（t+1）3－1=t3+3t2+3t,

所以f（x）=x3+3x2+3x.（2）设，求。解：x+1=t,则x=t－1，

当0≤t－1≤1，即1≤t≤2时，g（t）=（t－1）2=t2－2t+1，

当1<t－1≤2，即2<t≤3时，g（t）=2（t－1）=2t－2，

所以，（3）则有（）

（A）f（f（x））=（f（x））2（B）f（f（x））=f（x）

（C）f（f（x））>f（x）（D）f（f（x））>f（x）答案：B

解析：令f（x）>0，得x∈R，

所以f（f（x））=f（x）.（4）已知若f（g（x））=lnx,则g（x）=（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：B

解析：令x－1=t，则x=t+1，

则

所以

所以1.4.3初等函数

1.基本初等函数

常见的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，称为基本初等函数

2.初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算得到的函数，称为初等函数。

1.5经济学中的常用函数

1.5.1需求函数与供给函数

1.需求函数

商品需求量Q与其价格P之间的函数关系Q＝Q（P）称为需求函数.一般地，需求函数是一个单调递减函数.

常见的几种需求函数模型如下：

（1）线性需求函数：Q＝a－bP，其中a，b是非负常数.

（2）二次曲线需求函数：Q＝a－bP－cP2，其中a,b,c是非负常数.

（3）指数需求函数：Q＝Ae－bp，其中A，b是非负常数.

2.供给函数

商品供给量S与其价格P之间的函数关系S＝S（P）称为供给函数.一般地，供给函数是一个单调递增函数.

常见的几种供给函数模型如下：

（1）线性供给函数：S＝a＋bP，其中a，b是非负常数.

（2）二次曲线供给函数：S＝a＋bP＋cP2，其中a，b，c是非负常数.

（3）指数供给函数：S＝AebP，其中A，b是非负常数.

当供给量与需求量相等，即时，这时的价格称为均衡价格；这时的商品数量称为均衡数量.

例1.已知某种商品的需求量Q和供给量S与其价格P满足的关系式分别为Q2－20Q－P＋99＝0和3S2＋P－123＝0，求该商品的市场均衡价格和均衡数量.解：令Q＝S，由Q2－20Q－P＋99＝0与3S2＋P－123＝0，得

由3S2＋P－123＝0与，解得S＝－1（舍去）和S＝6.

当S＝6时，解得P＝15.故均衡价格为15，均衡数量为6.1.5.2成本函数

一般地，总成本C可分为两部分，分别是固定成本C1和可变成本C2.C1是一个与产品数量无关的常数，C2与产品的数量q有关，是q的函数，记作C2（q）.所以，

总成本C（q）＝固定成本＋可变成本＝C1＋C2（q）.

平均成本指的是总成本与产品数量之比记作.

常见的成本函数模型是：

（1）线性成本函数：C（q）＝C1＋cq,其中c是单位产品的可变成本.

（2）二次成本函数：C（q）＝C1＋bp＋cq2.

例2.已知某产品的总成本函数为求生产50件该产品时的总成本与平均成本.解：所求总成本为

平均成本为

1.5.3收益函数与利润函数

1.收益函数

收益指的是出售商品得到的总收入，等于出售单价与售出总量的乘积，即

总收益函数R＝R（q）＝qP（q），

其中R表示收益，q表示售出的商品总量，P（q）是商品的单价与售出量的关系，是该商品的价格函数.

平均收益函数为

2.利润函数

在供需平衡时，某种产品获得的总利润等于出售该产品获得的总收益与生产该产品付出的总成本之差，即

总利润函数＝L＝L（q）＝R（q）－C（q），

其中，L表示总利润，q表示产品数量.

平均利润函数为

当L＝L（q）＝R（q）－C（q）>0时，是有盈余生产；

当L＝L（q）＝R（q）－C（q）<0时，是亏损生产；

当L＝L（q）＝R（q）－C（q）＝0时，是无盈余生产，无盈余生产时的产量q0称为无盈亏点.

例3.已知生产某商品的总成本为C（q）＝20＋2q＋q2（万元）.若每售出一件该商品的收入是20万元，求生产20件该商品时的总利润和平均利润.解：总利润为

L（q）＝R（q）－C（q）＝20q－（20＋2q＋q2）＝18q－q2－20，

所求总利润为L（20）＝140（万元）；平均利润为极限和连续2.1函数极限的概念

2.1.1函数在时的极限

1.函数在一点的极限

定义2.1设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，若当x“无限趋于”x0时，其对应的函数值f（x）“无限趋于”一个确定的数A，则称函数f（x）在x→x0时的极限是A，记作

由于极限反映的是当x“无限趋于”x0时函数值f（x）的变化情况，所以极限是否存在、极限值的大小是什么与f（x）在x0处的情况无关.从几何上看，指的是在x0附近，曲线y=f（x）可以无限靠近水平直线y=A.

极限不存在的三种情况：

①函数值f（x）“无限趋于”任何一个确定的常数A；

②函数值f（x）“无限趋于”无穷大；

③函数值f（x）“无限趋于”多个确定的常数

例1.求下列函数的极限

（1）解：1（2）解：（3）解：32.函数在一点的单侧极限

（1）函数在一点的左极限

定义2.2设函数f（x）在x0的左侧附近有定义，若当x<x0且“无限趋于”x0时，其对应的函数值f（x）“无限趋于”一个确定的数A，则称函数f（x）在x→x0时的左极限是A，记作

（2）函数在一点的右极限

定义2.3设函数f（x）在x0的左侧附近有定义，若当x>x0且“无限趋于”x0时，其对应的函数值f（x）“无限趋于”一个确定的数A，则称函数f（x）在x→x0时的右极限是A，记作

例2.求函数在x=0点的右极限.解：因为当x>0且无限趋于0时无限趋于0，

所以例3.求符号函数sgn（x）在x=0点的左极限和右极限.解：，

所以当x<0且无限趋于0时sgn（x）无限趋于﹣1，当x>0且无限趋于0时sgn（x）无限趋于1，

故3.函数在一点的极限与左、右极限的关系

定理2.1设函数f（x）在x0点附近有定义，则的充分必要条件是：

且

例4.求下列函数在x=0处的左极限与右极限，并说明在x=0处的极限是否存在.

（1）,（2）解：（1），

所以在x=0处的极限存在，

（2）

所以在x=0处的极限不存在.2.1.2函数在无穷远的极限

1.函数在x→∞时的极限

定义2.4设函数在无穷远处有定义，A是一个常数.若对于任意的ε>0，都存在X>0，使得当|x|>X，总有|f（x）－A|<ε成立，则称函数f（x）在x→∞时的极限是A，记作：

通俗地说，的含义就是当|x|无限增大时，与x对应的函数值f（x）无限趋于常数A.

定义中的“函数在无穷远处有定义”指的是：存在大于零的数M，函数f（x）在（﹣∞，﹣M）∪（M，+∞）内有定义.

例5.求下列函数在无穷远处的极限，

（1）解：1（2）解：0（3）解：2.函数在x→+∞时的极限

定义2.5设函数在无穷远处有定义，A是一个常数.若对于任意的ε>0，都存在X>0，使得当x>X，总有|f（x）－A|<ε成立，则称函数f（x）在x→+∞时的极限是A，记作：

定义中的“函数在无穷远处有定义”指的是：存在大于零的数M，函数f（x）在（M，+∞）内有定义.

请读者自己给出的定义.

定理2.2设函数f（x）在无穷远点处有定义，则的充分必要条件是：且

例6.设f（x）=arctanx,求及的值，并说明是否存在.解：根据f（x）=arctanx的性质，易知：

当x→+∞时，f（x）=arctanx无限趋于，当x→﹣∞时，f（x）=arctanx无限趋于，

所以

所以不存在.例7.求在x=0处的左极限与右极限，并说明在x=0处的极限是否存在.解：，

所以在x=0处的极限不存在.2.1.3数列的极限

设{an}是一个无穷数列.与函数类似，如果当下标n越来越大时，其对应的值an越来越接近某一个常数A，而且可以无限接近，我们就说数列{an}的极限是A，记作

因为下标n只有一种变化趋势n→+∞，所以一般表示为

当极限存在时，就称数列{an}收敛；当极限不存在时，就称数列{an}发散.

根据定义，易知数列{n}发散，而数列与{qn}（|x|<1）均收敛，且

例8.设求解：因为

所以当n→+∞时，无限趋于1，

故例9.判断下列数列的极限是否存在，若存在，求出极限值.

（1）；（2）解：（1）数列的奇数项是，而偶数项是2，该数列不会无限靠近任何一个常数，所以极限不存在.

（2）.2.2函数极限的性质与运算

函数的自变量x的变化趋势有六种情况：，，，，，，下面只给出这一种变化趋势下的结论，其他变化趋势下结论都照样成立.

2.2.1函数极限的性质（识记）

1.极限值的唯一性

定理2.3若极限存在，则其值唯一.

2.函数在极限存在点附近的有界性

定理2.4若极限存在，则函数f（x）在x0的一个去心邻域内有界.

所谓函数f（x）在x0的一个去心邻域内有界指的是：存在M＞0，δ＞0，使得对任意的x∈（x0－δ,x0）∪（x0，x0＋δ），都有|f（x）|＜M.

对于无穷来说，定理2.4说明：如果存在，就会存在M＞0，X＞0，使得对任意x∈（－∞,－X）∪（X，＋∞），都有|f（x）|＜M.

定理2.4反映的是极限存在点附近函数的局部有界性，而对于数列来说，结论则是：

定理2.5若极限存在，则数列{an}有界.

定理2.5说明，数列有界是数列收敛的必要条件.

3.函数极限的保号性

定理2.6若极限，且A＞0，则函数f（x）在x0的一个去心邻域内大于零；若在x0的一个去心邻域内f（x）≥0，且极限.

2.2.2函数极限的运算

1.极限的四则运算

定理2.7若则：

（1）

（2）

（3），在x0的一个去心邻域内满足：

本定理说明，如果函数f（x）与g（x）在同一极限过程下的极限都存在，那么它们的和、差、积、商（分母极限下不等于零）在同一极限过程下的极限也存在，且其极限值就是f（x）与g（x）极限值的和、差、积、商.

本定理的结论可以推广到任意有限个函数的和、差、积、商.

这里的函数一般是基本初等函数.

例1.设存在，不存在，则（）.

（A）一定不存在

（B）一定不存在

（C）一定不存在

（D）与中恰有一个存在答案：BC例2.求极限.解：

例3.求极限解：因为，且

所以例4.求极限解：因为，所以不能直接利用除法运算求极限

由于，

所以

从而例5.求极限解：

例6.已知，求a的值.解：当时，分母趋于0，所以分子也趋于0，

也就是，所以.例7.求极限解：2.复合函数的极限

结论：，则

复合函数求极限的方法一般称为换元法.

例8.求极限解：因为，且，所以.3.夹逼定理

定理2.8设函数f（x）、g（x）、h（x）在x0的某个去心邻域内满足：

（1）夹条件：

（2）逼条件：

则

单调有界收敛定理：若数列满足且有上界，则存在；若数列满足且有下界，则存在.

例9.求极限，其中[·]是取整函数符号.解：根据取整函数的定义，对任意的x≠0，有

当x＞0时，由于，且

所以

当x＜0时，由于，且

根据极限与左、右极限的关系，得例10.设，利用夹逼定理求的值.解：，，

所以例11.利用单调有界收敛定理，证明极限存在.证：记，则

，

且

由单调有界收敛定理，知极限存在.2.2.3两个重要极限

1.重要极限

由于当x→0时，sinx也趋向于0，这是一个“”型的极限问题，不能利用除法运算.我们可以利用如下方法求得它的值.

如2-1，设圆的半径为1.当时，因为△OAB的面积小于扇形OAB面积，扇形OAB的面积小于△OAC的面积，所以

从而即

因为所以夹逼定理，知

又因为

所以

例12.求下列极限：

（1）；（2）；

（3）；（4）解：（1）

（2）

（3）令u=arcsinx，则

（3）令u=arctanx，则例13.求下列极限：

（1）；（2）；（3）解：（1）

（2）

（3）2.重要极限

这个极限式子也可以写为，

例14.求下列极限：

（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）

（2）因为且

所以

（3）因为，且

所以

（4）令，因为，且，

所以例15.已知函数若极限存在，则a=（）.

（A）-1（B）0（C）1（D）2解析：

所以.

答案：B例16.设有一笔本金P0存入银行，年利率为r.若以复利计息，到第t年末将增值到Pt.计算Pt的值.解：

引申：如果把一年分成n期计算，每期利息可以认为是,此时第t年末本利之和为，.

如果每年计算的次数n→∞，则第t年末的本利之和Pt的变化趋势就是

就是连续计息时本利之和的计算公式，即复利公式.2.3无穷小量与无穷大量

2.3.1无穷小量与无穷大量的概念

1.无穷小量的概念

若，则称函数在时是一个无穷小量，记作

一个函数是否是无穷小量，一定要指明极限过程.例如，只有当时是无穷小量；而函数只有当时才是无穷小量.

常见的无穷小量：当时，

2.无穷小的运算

①有限个无穷小的和仍为无穷小.

②有限个无穷小的积仍为无穷小.

③有界函数与无穷小的积仍为无穷小.

④例1.函数在点处（）.

（A）有定义但无极限

（B）有定义且有极限

（C）既无定义又无极限

（D）无定义但有极限答案：D

解析：很显然在处没有定义，但是，所以有极限，应该选D.例2.当时，下述函数中为无穷小量的是（）.

（A）

（B）

（C）

（D）答案：Ａ

解析：（A）

（B）

（C），极限不存在，

（D）

所以选A.3.无穷大量的概念

定义2.7若函数在x→x0时是一个无穷小量，则称函数f（x）在x→x0时是一个无穷大量，记作.

当x无限趋于x0时，若且无限趋于0，则称函数f（x）在x→x0时是一个正无穷大量，记作.

当x无限趋于x0时，若且无限趋于0，则称函数f（x）在x→x0时是一个负无穷大量，记作.

从无穷大量的定义可以看出：无穷大量的倒数是同一极限过程下的无穷小量，非零无穷小量的倒数是同一极限过程下的无穷大量.

常见的无穷大量：

（），

，

（）.

例3.若则必有（）.

（A）

（B）

（C）

（D）答案：D2.3.2无穷小量的比较

定义2.8设若则：

（1）当c=0时，称f（x）是g（x）在时的高阶无穷小量，记作

（2）当c≠0且c≠1时，称f（x）与g（x）在时是同阶无穷小量.

（3）当c=1时，称f（x）是g（x）在时是等价无穷小量，记作

当时，

sinx～x，，tanx～x，arcsinx～x，

arctanx～x，，，

例4.证明（1）（）证：因为，所以，故（2）arcsinx～x（）证：，所以arcsinx～x（）（3）arctanx～x（）证：，所以arctanx～x（）（4）证明证：因为，

且

所以，即等价无穷小替换法：在同一个极限过程中,若

例5.求极限解：

例6.求极限解：例7.当x→0时，f（x）=tanx－sinx与g（x）=x2ln（1－ax）是等价无穷小量，则a=（）.

（A）﹣1

（B）

（C）

（D）1答案：B例8.设x→0时，与是同阶无穷小量，则n的值为（）.

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4答案：C例9.当x→0时，（1－cosx）ln（1+x2）是比xsin（xn）高阶的无穷小量，而xsin（xn）是比高阶的无穷小量，则正整数n的值为（）.

（A）1

（B）2

（C）3

（D）4答案：B2.4连续函数的概念与性质

2.4.1函数的连续与间断

1.函数在一点连续的概念

定义2.9设函数f（x）在x0及其附近有定义，若成立，则称函数f（x）在x0处连续，x0称函数f（x）的连续点.

一般地，△x＝x－x0称为自变量的改变量，△f（x0）=f（x）－f（x0）=f（x0+△x）－f（x0）称为函数f（x）在x0处的改变量.函数f（x）在x0处连续指的是：当△x→0时，有△f（x0）→0，即.

从定义可以看出，连续性是函数的一种点性质，也就是说函数f（x）在x0处是否连续与它在其他点处是否连续没有关系.如对于函数因为，，且f（0）=0，所以f（x）在x=0处连续.由于x0≠0时极限不存在，

所以该函数也只有x=0这一个连续点.

例1.f（x）在x0处有定义是f（x）在x0处连续的（）.

（A）必要条件

（B）充分条件

（C）充要条件

（D）无关条件答案：A例2.若函数在x=﹣1处连续，求a的值.解：因为f（x）在x=﹣1处连续，且

所以a＝﹣2.例3.求a的值，使得函数在x＝1处连续.解：因为f（x）在x=1处连续，且f（1）=a,所以，a=6.2.函数在一点的单侧连续性

定义2.10设函数f（x）在x0及其左侧附有定义，若成立，则称函数f（x）在x0处左连续；设函数f（x）在x0及其右侧附近有定义，若成立，则称函数f（x）在x0处右连续.

左连续和右连续统称为单侧连续.

对于分段函数，在分段点处的连续性，首先要讨论它的单侧连续性.

对于定义在区间[a,b]上的函数，在区间端点处也要讨论它的单侧连续性。

如果函数在开区间（a,b）内每一点都连续，就说函数f（x）在开区间（a,b）上连续，如果函数在开区间（a,b）内每一点都连续，并且在x=a处右连续，在x=b处左连续，就说函数f（x）在闭区间[a,b]上连续.

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.

定理2.9：函数在处连续的充分必要条件是：在处既是左连续的，又是右连续的.

例4.已知函数判断f（x）在x=0处的单侧连续性.解：因为f（0）=1，且

所以，

故f（x）在x=0处左连续.

又因为

所以故f（x）在x=0处右连续.例5.已知函数判断f（x）在x=0处连续性.解：因为f（0）=﹣1，且

所以即f（x）在x＝0处左连续.

又因为，

所以，即f（x）在x=0处右连续.

由于f（x）在x＝0处既是左连续的，又是右连续的，所以f（x）在x＝0处连续.3.间断点及其分类

若函数f（x）在点x0处不连续，则称x0为f（x）的间断点，根据函数在间断处左、右极限的情况，可将间断点进行如下分类.

（1）第一类间断点

若函数f（x）点x0处的左、右极限均存在，但不连续，则称x0为f（x）的第一类间断点.

在第一类间断点中，当左、右极限相等时，又称这样的间断点为可去型间断点.如x=0就是函数的可去型间断点，x=1则是函数的可去型间断点.

在第一类间断点中，当左、右极限存在但不相等时，又称这样的间断点为跳跃型间断点.如x＝0是符号函数sgn（x）的跳跃型间断点，任何一个整数都是取整函数f（x）=[x]的跳跃型间断点.

（2）第二类间断点

若函数f（x）在点x0处的左、右极限中至少有一个不存在时，则称x0为f（x）的第二类间断点.例如x＝0就是函数和的第二类间断点.

例6.x＝0是的（）.

（A）连续点

（B）跳跃型间断点

（C）可去型间断点

（D）第二类间断点解：

所以是跳跃型间断点，选B.例7.函数的可去间断点的个数是（）.

（A）0

（B）1

（C）2

（D）无穷多解：f（x）的可去间断点处只能在x=0,1处取到，

x=0,1都是可去间断点，选C.

例8.求出下列函数的间断点，并指明其类型.

（1）；（2）

解：（1）

所以，x=1是f（x）的可去间断点，

所以，x=2是f（x）的第二类间断点.（2）

所以，x=-1是f（x）的可去间断点.2.4.2连续函数的运算性质

1.连续函数的四则运算

若函数均在处连续，则

均在处连续.

2.复合函数的连续性

若函数在处连续，在处连续，则复合函数在处连续.

在连续条件下，求极限的运算与求函数值的运算可以交换次序：

3.反函数的连续性

定理2.12设函数存在反函数，且在处连续，则其反函数在处连续.

基本初等函数在其定义域内都是连续函数，从而初等函数在其定义域内都是连续函数.这样求函数极限的问题就变成了计算函数值的问题.

2.4.3连续函数的其他常用性质

1.连续函数的保号性

定理2.13若函数f（x）在x0处连续，且f（x0）＞0，则在x0附近f（x）＞0.

本定理说明连续函数在一点处函数值的正、负号可以确定它在这一点附近的正、负号.需要指出的是，这仅仅是一个局部性质，不能推广到函数的整个定义域上.

2.连续函数的零点存在性

定理2.14若函数f（x）连续，且存在两点x1,x2使得f（x1）f（x2）＜0，则至少存在介于x1,x2之间的一个点ξ，使得f（ξ）=0.

从几何上讲，本定理说的是：当连续曲线在既存在位于x轴上方的点，又存在位于x轴下方的点时，在这两点之间曲线至少要与x轴相交一次（如图2-2所示）.

图2-2

例9.证明方程2x+x＝0在区间（﹣1，0）内存在唯一实根.证：记f（x）=2x+x，则f（x）在区间[﹣1,0]上连续.

又f（0）=1＞0，

所以存在ξ∈（﹣1，0），使得f（ξ）=0,即方程2x+x＝0在区间（﹣1，0）内存在实根ξ.

因为函数f（x）=2x+x单调增加，所以ξ是方程2x+x＝0在区间（﹣1，0）内的唯一实根.例10.证明方程在区间（1,2）内至少存在一个实根.证：记f（x）=x3-3x+1,则f（x）在区间（1,2）上连续，f（1）=1-3+1=-1<0,f（2）=8-6+1=3>0,

所以，存在ξ∈（1,2），使得f（ξ）=0,即方程x3-3x+1=0在区间（1,2）内至少存在一个实根.3.连续函数的介值定理

将连续函数的零点存在定理推广到一般情况，就会得到连续函数的介值定理.

定理2.15若函数f（x）连续，且存在两点x1，x2使得f（x1）＜f（x2），则对于任意满足条件f（x1）＜μ＜f（x2）的实数μ，至少存在介于x1，x2之间的一个点ξ，使得f（ξ）=μ.证：令F（x）=f（x）－μ，则F（x）连续，且

F（x1）=f（x1）－μ＜0，F（x2）=f（x2）－μ＞0.

根据零点存在定理，至少存在介于x1，x2之间的一个点ξ，使得F（ξ）=f（ξ）－μ＝0，即f（ξ）＝μ.4.闭区间上连续函数的有界性

定理2.16若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f（x）在[a,b]上有界.即存在M＞0，使得对任意的x∈[a,b],都有|f（x）|＜M成立.

5.闭区间上连续函数最大值、最小值的存在性

对闭区间上的连续函数来说，我们不仅能得到它的有界性，还能得到它的更好的性质，这就是闭区间上连续函数最大值、最小值的存在性结论.

定理2.17若函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，则存在ξ，η∈[a,b]，使得对任意的x∈[a,b]都有f（ξ）≤f（x）≤f（η）成立.即f（ξ）是函数f（x）在闭区间[a,b]上的最小值,f（η）是函数f（x）在闭区间[a,b]上的最大值.

值得注意的是，最值存在性对于开区间上的连续函数而言未必成立.例如，函数在开区间（0,1）内连续，但不存在c,d∈（0,1），使得f（c）≤f（x）≤f（d）对任意的x∈（0,1）都成立.

例11.如图2-3所示的函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，且f（x）≥0.设S曲线y=f（x）与直线x=a,x=b及x轴围成的区域面积，试证：存在ξ∈（a,b），使得S=f（ξ）（b－a）.

图2-3证：因为函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，所以存在x1,x2∈[a,b]，使得对任意的x∈[a,b]，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立.

由图可知f（x）不恒为常数，故f（x1）（b－a）＜S＜f（x2）（b－a），

即

根据连续函数的介值定理，存在介于x1与x2之间的点，使得即S=f（ξ）（b－a）.例12.证明：闭区间上连续函数的值域是闭区间.证：设函数f（x）在闭区间[a,b]上连续，Zf表示f（x）在[a,b]中所有点的函数值构成的集合.

一方面，因为f（x）在闭区间[a,b]上连续，所以存在x1,x2∈[a,b]，使得对任意的x∈[a,b]，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，故

另一方面，对于任意的μ∈（f（x1）,f（x2）），根据连续函数的介值定理，可知存在ξ∈[a,b]，使得f（ξ）＝μ，所以.

综上可知，Zf＝[f（x1）,f（x2）]，即Zf是一个闭区间.导数与微分3.1导数与微分的概念

前面已经学习了函数在一点处的两个性质：极限与连续，它们刻画的只是函数f（x）在一点附近随着自变量的变化而变化的定性性质，但不能反映函数值的变化与自变量的变化之间的量的关系，导数与微分恰恰是反映它们之间的量的关系的两个概念.

例1.曲线在一点处的切线.

如图3-1，设）是曲线y=f（x）上的两点，直线是过A,B两点的直线，当点B沿曲线y=f（x）趋向于点A时，若直线趋向于直线L，则称L为曲线y=f（x）在点A处的切线，直线的斜率的极限就是切线L斜率.

例2.变速运动物体的瞬时速度

设运动物体走过的距离S与行走时间t之间的关系为S=S（t）,则该物体从时刻到t时刻之间的平均速度是，极限就是此物体在时刻的瞬时速度.

3.1.1导数的概念

1.函数在一点处的导数定义

定义3.1设函数y=f（x）在及其附近有定义，如果极限存在，则称函数f（x）在处可导，极限的值称为函数f（x）在处的导数，记作等.

记，导数定义可表述为：

若极限存在，则称函数f（x）在处可导，极限的值称为函数f（x）在处的导数.

由于表示的是函数f（x）在上自变量改变1个单位时，函数值平均改变了几个单位，所以其值称为f（x）在上的平均变化率.极限值也就是导数值，称为函数f（x）在处的瞬时变化率，的大小反映了f（x）在处函数值随着自变量变化而变化的快慢，的正、负号反映的是函数值随着自变量的增加时增加还是减少.

由定义求导数的步骤：

（1）求增量

（2）算比值

（3）求极限

例3.用定义求常数函数f（x）=C在任一点处的导数.解：设x是任意实数，因为

，

所以函数f（x）=C在x处可导，且f’（x）=0.例4.用定义求函数在任一点处的导数.解：设x是任意函数，因为

所以函数在x处可导，且f’（x）=2x.例5.用定义求函数在任一点处的导数.解：设x是任意实数，因为

，

所以函数在x处可导，且

特别地，例6.用定义求函数f（x）=lnx在x（x>0）处的导数.解：因为

所以函数f（x）=lnx在x（x>0）处可导，且例7.用定义求函数f（x）=sinx在任一点处的导数.解：设x是任意实数，因为

所以函数在x处可导，且

类似地，可以求得

例8.（1）设函数f（x）在x=a处可导则（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：D（2）设f（x）为奇函数且导数存在，若f（1）=1,f’（1）=﹣1,则（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：C（3）设f（x）是周期为4的可导的偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为，则该曲线在点（3，f（3））处的切线斜率为（）.

（A）（B）

（C）（D）﹣2答案：B2.函数在一点处的单侧导数

设函数y=f（x）在及其左侧附近有定义，如果极限存在，则称函数f（x）在处左可导，极限的值称为函数f（x）在处的左导数，记作.

设函数y=f（x）在及其右侧附近有定义，如果极限存在，则称函数f（x）在处右可导，极限的值称为函数f（x）在处的右导数，记作.

定理3.1设函数y=f（x）在及其附近有定义，则f（x）在处可导，且的充分必要条件是：f（x）在处既是左可导的，又是右可导的，且.

当函数f（x）在区间（a,b）内的每一点都可导时，就说它在区间（a,b）内可导，f’（x）称为f（x）在区间（a,b）内的导函数.

当函数f（x）在区间（a,b）内的每一点都可导，且在x=a处右可导，在x=b处左可导时，就说它在区间[a,b]上可导，f’（x）也称为f（x）在区间[a,b]上的导函数.

例9.证明函数在x=1处不可导.证：因为

所以，故函数f（x）在x=1处不可导.例10.下列函数中，在x=0处可导的是（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：A3.函数在一点处导数的几何意义

从函数在一点处的导数定义可以看出，表示的是曲线y=f（x）在点（）处切线的斜率，所以曲线y=f（x）在点（）处的切线方程为

过切点且与曲线在该点的切线垂直的直线称为曲线在该点的法线，当时，曲线y=f（x）在点（）处的法线方程为，

两条曲线在点（）处相切指的是它们在该点的切线重合，即它们在处不仅函数值相等，导数值也相等.

例11.求曲线在点（1,1）处的切线方程与法线方程.解：因为

.

所以，故曲线在点（1,1）处的切线方程为y=1+3（x－1）,即y=3x－2;

曲线在点（1,1）处的法线方程为例12.设曲线y=f（x）与y=lnx在x=1处相切，求f（1）与f’（1）的值.解：因为曲线y=f（x）与y=lnx在x=1处相切，且，

所以f（1）=0,f’（1）=1.例13.求曲线平行的切线方程.解：令解得x=1.

此时，y=6.

所以，切线方程是y=6+4（x-1）,y=4x+2.4.函数在一点处导数与连续的关系

函数在一点可导是比它在该点处连续更强的一种性质：

定理3.2若函数在处可导，则在处连续.

注意：连续仅仅是可导的必要条件，而不是充分条件.

例如，函数在x=0处连续，但由于，

所以在x=0处不可导.

例14.设在x=0处连续但不可导，则α的取值范围是（）.

（A）α<0（B）0<α<1

（C）0<α≤1（D）α>1答案：C例15.已知函数在x=0处可导，求a,b的值.解：因为f（x）在x=0处可导，所以f（x）在x=0处连续.

由于

又因为

所以a=0.3.1.2微分的概念

如图3-2，边长为x的正方形，当其边长增加了时，它的面积增加了.

上述面积的增加值由两部分构成，是的一次项，满足.

1.函数在一点处的微分

设函数y=f（x）在及其附近有定义，如果函数值f（x）在点处的改变量可以表示成自变量改变量的一次项a（）与自变量改变量的高阶无穷小量o（）之和，即，则称函数f（x）在处可微，a（）称为f（x）在处的微分，记作

前面关于正方形面积的例子说明函数在任一点是可微的，且微分值表示的是函数值改变量的主要部分，是函数值改变量的近似值.

例16.设函数y=f（x）在点处可导，则当h→0时，必有（）.

（A）dy是h的等价无穷小量

（B）△y-dy是h的同阶无穷小量

（C）dy是比h高阶的无穷小量

（D）△y-dy是比h高阶的无穷小量答案：D例17.求函数的微分.解：因为，且

所以，故.2.函数在一点处可微与可导的关系——微分计算公式

定理3.3函数f（x）在处可微的充要条件是函数f（x）在处可导，且，其中.

本定理说明，一元函数的可导性与可微性是等价的性质，且导数值与微分值满足等式，即导数值等于函数微分与自变量微分的商，所以导数有时也称为微商.

正是由于微分与导数满足等式，所以后面我们只介绍导数的求法，而不再单独介绍微分的求法.

3.函数微分的几何意义

曲线y=f（x）在点（）处的切线方程为.

将切线方程变形，得，

即函数f（x）在处的微分值是曲线y=f（x）在该点切线上纵坐标的改变量，用微分作为函数值改变量的近似值，就是在该点附近用切线近似表示曲线y=f（x）

例18.求得一个近似值.解：考虑函数，则

因为，

且，

所以例19.已知运动物体走过的距离S与行走的时间t之间的关系为，求t=2时物体的瞬时速度v（2）.解：v=S’=2t+4,t=2时，v（2）=8,所以，此时的瞬时速度是8.例20.设某产品生产x个单位时的总收入为，求生产第100个单位产品时，总收入的变化率.解：

所以，总收入的变化率是198.3.2导数的运算

导数运算时微积分中最基本和最重要的运算，本节主要介绍常用的导数运算法则，并给出基本初等函数的求导公式.

3.2.1导数的四则运算

定理3.4若函数f（x）,g（x）在处可导，则其和、差、积、商构成的函数均在处可导，且：

（1）.

（2）.

（3）.

例1.求函数的导数.解：因为

例2.求下列函数的导数：

（1）（2）

（3）（4）解：因为所以：

（1）

（2）

（3）

（4）例3.（1）已知函数.解：因为

，

故（2）设函数，则（）.

（A）﹣6（B）﹣2

（C）6（D）2解：3.2.2复合函数的链式求导法则

1.复合函数的链式求导法则

设函数是函数和的复合，若在处可导，在处可导，则函数关于x在处的导数为：

例4.求下列函数的导数：

（1）（2）（3）解：（1）因为，所以

.

（2）因为，所以

.

（3）因为，所以

.例5.设函数，其中满足，则=（）.

（A）（B）

（C）（D）答案：B例6.设，其中可导，，则（）.

（A）-2（B）

（C）0（D）2解：2.复合函数的微分

已知函数可微，利用微分计算公式，得，若函数可微，且复合函数有意义，则根据复合函数的链式求导法则及微分计算公式，可知的微分是

上面的讨论说明，对于函数，无论变量u是自变量还是中间变量.都有成立，这个性质称为一阶微分形式的不变性.

例7.设，求.解：由一阶微分形式的不变性，得

所以3.2.3反函数求导法

设函数f，g互为反函数，若存在且不为零，则g（y）在处可导，且.

例8.求下列函数的导数：

（1）（2）解：（1）因为，所以，根据反函数的求导公式，得

（2）因为，所以，根据反函数求导公式，得

类似地，可以求得

例9.求的导数.解：因为，所以，根据反函数求导公式，得

3.2.4基本求导公式

基本初等函数的求导公式称为基本导数公式，熟练掌握这些公式是正确解决导数运算问题的基础.

1.常数函数的导数

2.幂函数的导数

3.指数函数的导数

4.对数函数的导数

5.三角函数的导数

6.反三角函数的导数

例10.求下列函数的导数：

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）解：

例11.求下列函数在指定点的微分；

（1）

（2）解：所以，在x=0处的微分是dy=ln2dx.

例12.设函数f（x）的导数存在，求下列函数的导数：

（1）

（2）解：

3.3几种特殊函数的求导法、高阶导数

3.3.1几种特殊函数的求导法

1.隐函数求导法

当y解不出来的时候，我们可以把y视为一个中间变量，利用复合函数求导的方法，进行求导.

例1.已知函数y=y（x）由方程确定，求.解：在方程两端关于变量x求导，y看作是中间变量，得

解得，

例2.已知函数y=y（x）由方程确定，求y=y（x）在x=0处的导数.解：在方程两边关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

将x=0代入方程，得y（0）=1.

将x=0，y（0）=1代入方程

得例3.已知函数y=y（x）由方程确定，求曲线y=y（x）在点（0，y（0））处的切线方程与法线方程.解：在方程两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

将x=0代入方程，解得y（0）=0.

将x=0，y（0）=0代入，解得

所以曲线y=y（x）在点（0，y（0））处的切线方程为y=-x，法线方程为y=x.例4.求笛卡儿叶形线（如图3-4所示）在点（2,4）处的切线方程与法线方程.

解：这个方程在点（2,4）附近确定了y是x的函数.

在方程两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

将x=2，y=4代入上式，得

12+48y’=36+18y’,解得

于是笛卡儿叶形线在点（2,4）处的切线方程为

法线方程为2.对数求导法

当函数可以表示成多个因子的积、商，即时，为了简化求导运算，可以在等式两端取对数，将原式变成如下形式.两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

所以

类似地，在求函数的导数时，可以在等式两端取对数，将原式变成如下形式：，两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得.所以

上述两类函数的求导法也称为对数求导法.

例5.求函数的导数.解：因为，所以

两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

所以例6.求函数的导数.解：因为，所以

两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

所以例7.（1）求函数的导数.解：因为，所以，

两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

所以（2）求的导数.解：因为，所以，lny=ln（x-1）=2ln（x-2）+3ln（x-3）

两端关于变量x求导，将y看作是中间变量，得

所以，

3.3.2高阶导数

1.高阶导数的概念

我们知道，当运动物体移动的距离S与移动时间t之间的关系式S=S（t）已知时，导数S’（t）表示的是该物体在t时刻的瞬时速度，即.该物体在t时刻的加速度指的是即的导数的导数.为了明确的关系，就需要引进二阶导数的概念.

设函数内有定义，并在中的每一点x都有导数，这种对应就定义了一个新的函数关系，称这个函数为内的导函数，记为.

如果导函数还是一个内的可导函数，那么它的导数就称为函数的二阶导数，记作，即.

类似地，函数的三阶导数定义为.

二阶和高于二阶的导数统称为高阶导数.函数的n阶导数记作，其定义为.

有了二阶导数的概念，在本节开始的例子中，加速度与距离的关系就是.

2.高阶导数的求法

例8.求函数的二阶导数.解：因为，所以

从而.例9.求函数的二阶导数.解：因为，所以

从而,

例10.已知物体的运动距离S与时间t的关系为，求物体运动的加速度.解：因为，所以物体的运动速度为

从而物体运动的加速度为例11.已知函数f具有二阶连续导数，解：根据复合函数的链式求导法则，对求导，得

因为关于自变量x仍然是复合函数，所以它关于x的导数是，从而由再求导，得例12.已知函数y=y（x）由方程确定，求.解：在方程两端关于变量x求导，将y看作中间变量，得

再在上式两端关于x求导，将y，y’均看作中间变量，得

将代入上式并整理，得

例13.求函数f（x）=sinx的n阶导数.解：由f（x）=sinx，得

归纳得

类似地，可以求得例14.求函数的n阶导数.解：因为

且

所以例15.若y=ln（2x+3），则=（）.

（A）