高等数学-第八章-常微分方程

PAGEPAGEPAGE16第八章常微分方程本章提要1．基本概念微分方程，常微分方程，微分方程的阶数，线性微分方程，常系数线性微分方程，通解，特解，初始条件，线性相关，线性无关，可分离变量的方程，齐次线性方程，非齐次线性方程，特征方程，特征根．2．基本公式一阶线性微分方程的通解公式:．3．基本方法分离变量法，常数变易法，特征方程法，待定系数法，降阶法．4．定理齐次线性方程解的叠加原理，非齐次线性方程解的结构．二、要点解析问题1常微分方程有通用的解法吗？对本章的学习应特别注意些什么？解析常微分方程没有通用的求解方法．每一种方法一般只适用于某类方程．在本章我们只学习了常微分方程的几种常用方法．因此，学习本章时应特别注意每一种求解方法所适用的微分方程的类型．当然，有时一个方程可能有几种求解方法，在求解时，要选取最简单的那种方法以提高求解效率．要特别注意：并不是每一个微分方程都能求出其解析解，大多数方程只能求其数值解．例1求微分方程的通解．解一因为所对应的特征方程为，特征根，所以（C为任意常数）为所求通解．解二因为，所以，分离变量，两边积分，，，，所以（C为任意常数）．请思考为什么所求通解中的任意常数C可以为零，如何解释．问题2如何用微分方程求解一些实际问题？解析用微分方程求解实际问题的关键是建立实际问题的数学模型——微分方程．这首先要根据实际问题所提供的条件，选择和确定模型的变量．再根据有关学科，如物理、化学、生物、几何、经济等学科理论，找到这些变量所遵循的定律，用微分方程将其表示出来．为此，必须了解相关学科的一些基本概念、原理和定律；要会用导数或微分表示几何量和物理量．如在几何中曲线切线的斜率（纵坐标对横坐标的导数），物理中变速直线运动的速度，加速度，角速度，电流等．例2镭元素的衰变满足如下规律；其衰变的速度与它的现存量成正比，经验得知，镭经过1600年后，只剩下原始量的一半，试求镭现存量与时间t的函数关系．解设t时刻镭的现存量，由题意知：，由于镭的衰变速度与现存量成正比，故可列出方程，其中为比例系数．式中出现负号是因为在衰变过程中M逐渐减小，．将方程分离变量得，再由初始条件得，所以，至于参数k，可用另一附加条件求出，即，解之得，所以镭的衰变中，现存量M与时间t的关系为．三、例题精解例3求满足初始条件的特解．解一令，则．将其代入原方程得，分离变量，两边积分，，，因为，所以，可得C2=0．故，即．这里应舍去，因为此时与y异号，不能够满足初始条件．将分离变量便得其解y=．再由，得，于是所求解为．上面解法中，由于及时地利用初始条件确定出了任意常数C1的值，使得后续步骤变得简单，这种技巧经常用到．解二因为，所以，特征方程，特征根，于是其通解为，由初始条件可得C1=0，C2=1，所求特解为．例4求方程的通解．解一该方程为二阶常系数非齐次线性方程，其对应的齐次方程为，特征方程为，特征根，齐次方程的通解为，由于方程，(其中)恰是特征单根，故设特解为，代入原方程，可得所以，于是所求通解为．上述解法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程中的非齐次项，那么该微分方程的特解可设为，其中均为m次待定多项式．如果非齐次项中的使不是特征方程的根，则设；如果是特征方程的单根，则取．解二方程所对应的齐次方程之通解．为求的一个特解，先求辅助方程①的特解，由于恰是特征单根，故可设为①的一个特解．将其代入①整理得即，所以，即为方程的一个特解．因此，所求通解为．该方法一般表述为：若二阶线性常系数非齐次微分方程中的非齐次项或时，可先令()按是否为特征方程的特征根（是特征根设，不是特征根设），可设为方程的特解，求出的形式，则y1为的一个特解，y2为的一个特解．上述两种解法，实质上是一样的，为什么？四、练习题判断正误（1）若y1和y2是二阶齐次线性方程的解，则（C1，C2为任意常数）是其通解；（）解析只有和是二阶齐次线性方程的两个线性无关的解时，其线性组合才是通解．（2）的特征方程为；（）解析为三阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次线性方程为，由于齐次线性微分方程的特征方程是把微分方程中的未知函数y换成未知元，并将未知函数的导数的阶数换成未知元的次数而得到的代数方程．因此，的特征方程为．（3）方程的特解形式可设为（Ａ，Ｂ为待定系数）；（√）解析对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=0，=1．又因为,不是特征根，于是，非齐次方程的特解应设为=．（4）的通解为（C为任意常数）．（√）解析特征方程为，特征根为=1，所以，特征方程的通解为．2．选择题（1）的特解形式可设为（A）；(A)；(B)；(C)；(D)．解析特征方程为，特征根为==1．=1是特征方程的特征重根，于是有．（2）的特解形式可设为（C）；(A)；(B)；(C)；(D)．解析特征方程为，特征根为==．又因为，不是特征根，于是，非齐次方程的特解设为．（3）的特解形式可设为（A）；(A)；(B)；(C)；(D)．解析特征方程为，特征根为=，=．又因为，，是特征方程的特征单根，于是，非齐次方程的特解设为．（4）下列方程中，通解为的微分方程是（A）．(A)；(B)；(C)；(D)．解析由通解==可知，它是二阶常系数齐次线性微分方程的通解，方程的特征根为重根==1，对应的特征方程为，其所对应的二阶常系数齐次线性微分方程为．３．填空题方程的通解为；解特征方程为，特征根为=0，=，=，方程的通解为=．(2)的特征方程为；解特征方程是把微分方程中的未知函数换成未知元，并将未知函数的导数的阶数换成未知元的次数而得到的代数方程．（3）的通解为；解方程两边积分得==，微分方程的通解=．（４）满足和的特解为．解对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=2，=3，对应齐次方程的通解为．由于=0不是特征方程的根，故设，将，代入方程，有6A=7，即A=．于是方程的特解为，方程的通解为．现在求满足初始条件的特解．对求导得，将初值代入与，有即于是，方程满足初始条件的特解为=．4．解答题用两种方法求解；解一对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=0，=，于是对应的齐次方程的通解为=．由于=0是特征方程的特征单根，于是设==x(Ax+B)，求导得，，则有，所以方程的特解为=，所求方程的通解为=+．解二设，则，原方程变形为，对应的齐次方程为，用分离变量法，得，两边积分，得，即，根据常数变易法，设，代入，有，积分得===，变形后所得一阶微分方程的通解为=，所以，原方程的通解为===+．求方程满足，的特解；解对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=，=，对应的齐次方程的通解为=．先求辅助方程的特解：由于=2i不是特征方程的特征根，于是设==，，，则有所以，辅助方程的特解为，于是原方程的特解为=，所求方程的通解为=．现在求满足初始条件的特解．对通解求导数，得由初始条件，，带入上面两式，得所以，满足初始条件的特解为求方程的通解；解整理得，用分离变量法，得，两边求不定积分，得，于是所求方程的通解为，即．求的通解；解分离变量，得，取倒数，有，是关于一阶线性微分方程．求此方程的通解．对应的齐次方程为=3，用分离变量法，得=3，两边积分，得，即，用常数变易法，设方程的解为=，代入方程，有，即，积分，得=，所以，方程的通解为=．当一次谋杀发生后，尸体的温度从原来的按照牛顿冷却定律(物体温度的变化率与该物体周围介质温度之差成正比)开始变凉．假设两个小时后尸体温度变为，并且假定周围空气的温度保持不变．(a)求出自谋杀发生后尸体的温度H是如何作为时间t（以小时为单位）的函数随时间变化的；(b)画出温度—时间曲线；(c)最终尸体的温度如何？用图像和代数两种方式表示这种结果；(d)如果尸体被发现时的温度是，时间是下午4点，那么谋杀是何时发生的；解（a）由题意，得牛顿冷却定律的表达式为，(0)=37，(2)=35，分离变量，得，两边积分，得，即，代入初始条件(0)=37，(2)=35，得所以，自谋杀发生后尸体温度关于时间的表达式为=20+17=20+17．(b)由=20+17，得温度—时间曲线如下图(c)由曲线图可以看出，随着时间的增大，越来越接近于20℃．从函数上看==20，所以，最终尸体的温度为20℃．(d)当=20℃时，有30=20+17，解得，8.5小时，所以，如果尸体被发现时的温度是30℃，时间是下午4点，那么谋杀发生在早上7：30分．（6）设曲线上任一点的切线及该点到坐标原点O的连线OP与y轴围成的面积是常数A，求这曲线方程；解设曲线方程为，则的切线方程为，即，令，有，由于切线、OP及y轴围成的面积为A，则有，即，对应用分离变量法，得，设，有，从而．（7）在地面上以初速度垂直向上射出一物体，设地球的引力与物体到地心的距离的平方成反比，求物体可能达到的最大高度（空气阻力不计，地球半径R=6370km），如果要使发射的物体脱离地球的影响，发射的速度v0至少应多大呢？解取坐标系如图，原点取在地球表面，因物体射出后，在运动过程中仅受地球引力F的作用，时刻物体坐标为，则有初始条件，，由于地球的引力F与物体到地心的距离的平方成反比，所以有，①其中为比例常数．现在先求常数．显然，当物体在地面时， ，，为物体的质量，因此由①式得因此，．于是，②根据牛顿第二定律，物体的运动方程为，即