高等数学练习题解析-第12章曲线积分与曲面积分

第12章曲线积分与曲面积分§12—1曲线积分A类1．计算下列对弧长的曲线积分：xy0L1L2(1,1)Y=xY=xxy0L1L2(1,1)Y=xY=x2解：xy0L1xy0L1L2L3(2）设L1：；L2：；L3：0zx0zxy(x,y,0)（x,y,z）(3）解：由球面坐标，及平面即的交线为一圆,此时故参数方程为，,,此时，于是(4）解：2.计算下列对坐标的曲线积分(1)解:设而t(2)解：设c的参数方程为，则(3)解,(4)解(5)解,z=3t+1B类1．（1）（2）的周长为a,,设(3）分析：本题是对弧长的曲线积分的计算问题。由于在这一曲面上，因此有，所以求解过程实质上是求交线的弧长。解以为参数，的参数方程为，，于是，,则从而2．(1）解（a）的方程可以写成，则（b）的参数方程为(2)解方法1注意，因此：易见，所给积分与路径有关，但是由于与只相差常数1，若记，则有，因此与路径无关，如果以直线段代替曲线弧，在上，从而，所以，因此，原式。对于，取参数方程在处，对应；在处，对应。因此，原式。方法2加补直线段，则与构成封闭曲线的正侧，记其所围成区域为，则，由上述计算可知，在内有一阶连续偏导数，由格林公式有。在上，，因此，故：(3)（a）由A（a,0）至B(0,b)按逆时针方向沿椭圆运动故参数方程（b）§12—2格林公式及应用A类1．解：因为圆周所围圆面积D为：，由格林公式得：=，应该填写：2．解：若在单连通区域内有一阶连续偏导数，则与路径无关。所以选择：B3．解：因为选项A中，，由曲线积分与路径无关的充分必要条件知道，正确选择：A4．解：因为积分曲线的路径由参数方程，给出，把参数方程代入曲线积分中，得：所以正确选择：A5（1）解：由于l为封闭曲线，故原式可写成其中，由格林公式原式=====（2）解由于：，，作足够小椭圆（，取逆时针方向），于是由格林公式有：，故（3）解：，由格林公式得=====B类1（1）解：，由格林公式得===（2）解，，，，：（）故。2．证明下列曲线积分与路径无关，并求值1）原式＝2）原式＝3.解设，，它们均为二元多项式，所以在全平面连续且有连续的一阶偏导数，又。由定理可知，所给表达式必是某函数的全微分。为求，取，这时，显然（为任意常数）都是所给表达式的势函数。§12—3曲面积分A类1、1）2）＝23）＝4）2.(1)(2)解：在xoy面的投影为一弧段,故而3）解：平面其法向量，方向向上,其方向余弦为，曲两类曲面积分间的关系0z0zxyDxy4）令1为的下侧，令2为的下侧，（设,1,2所围区域为。这时函数P，Q，R与及其边界曲面满足高斯公式条件从而有：而类似地，可求得从而故B类1．（1）解于是(2）解方法1：，，所以方法2：直接利用极坐标计算：2．,,,,.,3．1）解：为平面在第一卦限的上侧；；0zx0zxy2）、解：在xoy面上的投影为，且0z0zxyhaa7）解：依题意，如图，截面，流量截面，得或即y=y=xSRzxy§12—4高斯公式，斯托克斯公式A类1．利用高斯公式计算下列各题（1）（2）（3）（4）2．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：（1）解：取为平面被所围成的部分的上侧，的面积为的单位向量为（2）解：取为平面被所围成部分的下侧的单位法向量0z0zxy在上，原式（3）解分析：由于为封闭的空间曲线，可以考虑将其化为定积分，也可以考虑利用斯托克斯公式化为曲面积分。方法1所给积分路径为空间平面上的椭圆，也可令，因此。由题意可知积分曲线的方向是从轴正向往轴负向看为顺时针的，因此曲线方向为逆向的。于是：。方法2利用斯托克斯公式将其化为曲面积分。设为平面上以为边界的有限部分所确定的曲面，由于曲线的方向从轴正向往轴负向看是顺时针的，因此依右手规则可知曲面的方向应该向下，即平面的法线向量与轴的正向夹角为钝角，由于，利用斯托克斯公式可知：即，其中为在坐标平面上的投影，易见为，因此，故：原式。3．因积分值与路径无关，B类1．（5）解：（2）解设故流量2．分析：利用梯度的概念与全微分的概念求解。解若记，则，，若为二元函数的梯度，则。注意到：易见与为连续函数，因此，可得即：，可解得。由于，为的全微分，因此：。由题意可在半平面内任取一点，如作为，则：3．分析：不是封闭曲面，补充为与所给锥面相交曲面的上侧，则为封闭曲面的外侧，利用