高中物理【万有引力定律】学案及练习题

高中物理1万有引力定律】学案及练习题

学习目标要求核心素养和关键能力

I.理解太阳与行星间引力的存在，掌握万有引

1.物理观念：了解万有引力定律的内涵，具有

力定律的内容及其表达式。

与万有引力定律相关的运动与相互作用的观

2.根据开普勒行星运动定律和牛顿第三定律

念。

推导出太阳与行星间的引力公式，通过月一

2.科学态度与责任：能认识发现万有引力定律

地检验等将太阳与行星间的引力推广为万有

的过程及重要意义。

引力定律，掌握万有引力表达式的适用条件

3.科学思维：微量放大法。

及应用。

必备知识

授课提示：对应学生用书第73页

-行星与太阳间的引力

1.推导过程

如图所示，设行星的质量为〃?，速度为。，行星与太阳间的距离为r,则行星绕太阳做

匀速圆周运动的向心力为F二吟。

天文观测可以测得行星公转的周期7,并据此可求出行星的速度O=平，联立整理后得

4ττmr

F—y20

根据开普勒第三定律捻=Z得，F=4κ畔,所以户修

力的作用是相互的,行星与太阳的引力也应与太阳的质量机上成正比，即尸8翠10

2.表达式：F=G÷,式中量G与太阳、行星都没有关系，引力的方向沿着二者的连

线。

二月一地检验

假设地球与月球间的作用力和太阳与行星间的作用力是同一种力，它们的表达式也应该

满足F=G皿詈。根据牛顿第二定律，月球绕地球做圆周运动的向心加速度”月=-L=G等

t机月I

(式中m地是地球质量，r是地球中心与月球中心的距离)。

进一步，假设地球对苹果的吸引力也是同一种力，同理可知，苹果的自由落体加速度α

单=互=婿(式中机电是地球质量，R是地球中心与苹果间的距离)。

m甲A

由以上两式可得刊=与。由于月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍,所以世

1

一不。

这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从

相同的规律。

三万有引力定律

L内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上,引力的大

小与物体的质量Wi和〃?2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。

2.表达式：F=Gm'μ2.

四引力常量

1.大小：G=6.67X1(Γ"N∙m2∕kM.

2.测定：英国物理学家卡文迪什在实验室中准确地测出了G的值。

3∙意义：引力常量的普适性成了万有引力定律正确性的有力证据。

关键能力合作探究计

授课提示：对应学生用书第74页

要点1对太阳与行星间引力的理解

探究导入如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆

周运动。

(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？

(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量有什么关系？

(3)行星对太阳的引力与太阳的质量有什么关系？

提示：(1)因为行星受太阳的引力，引力提供向心力。

(2)与行星的质量成正比。

(3)与太阳的质量成正比。

『探究归纳

1.两个理想化模型

(1)将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动。

(2)将天体看成质点，且质量集中在球心上。

2.推导过程

3.太阳与行星间引力的规律适用于行星和卫星之间的验证

(1)假定卫星绕行星做匀速圆周运动，设轨道半径为R，运行周期为T,行星和近地卫星

质量分别为，〃行和相”，卫星做圆周运动的向心力由行星的引力提供，若行星和卫星之间的

引力满足太阳与行星之间引力的规律，则弊型=小蜘，|=粤=常量。

D3

(2)通过观测卫星的运行轨道半径R和周期T,若它们的笔为常量，则说明太阳与行星间

引力的规律适用于行星和卫星之间。

典例

根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动知识得太阳对行星的引力F-

行星对太阳的引力尸8等，其中加上、小、，分别为太阳的质量、行星的质量和太阳与

行星间的距离。下列说法正确的是()

A.由FoCg和F'Oe詈知p:F'—m'.m太

B.太阳的质量大于行星的质量，所以F>F

C.尸和尸是一对平衡力，大小总是相等的

D.太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力

［解析］太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力与反作用力，故两个力的大小

相等，方向相反，故A、B错误；太阳对行星引力的受力物体是行星，行星对太阳引力的受

力物体是太阳，故这两个力不是平衡力，故C错误；行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳对

行星的万有引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力，故D正确。

［答案］D

［名师点评］

认识太阳与行星间引力的三点注意

(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳的质量、行星的质量、太阳与行星

间的距离。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。

(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵从牛顿第三定律。

(3)太阳对行星的引力效果是向心力，使行星绕太阳做匀速圆周运动。

针对

1.（多选）下列叙述正确的是（）

V*

A.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F=行，这个关系式实际上是

牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的

B.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式。=平，这个关系式实际上是匀

速圆周运动的一个公式，它是由线速度的定义式得来的

C.在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式捻=k,这个关系式是开普勒第三

定律，是可以在实验室中得到验证的

D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用以上三个公式，都是可以在实验室中得到验

证的

解析：公式尸=行中，：是行星做圆周运动的加速度，故这个关系式实际上是牛顿第

二定律，也是向心力公式，所以能通过实验验证，故A正确；。=斤是在匀速圆周运动中

周长、时间与线速度的关系式，故B正确；开普勒第三定律捻=幺是无法在实验室中得到脸

证的，是开普勒在研究天文学家第谷的行星观测记录时发现的，故C、D错误。

答案：AB

要点2万有引力定律的理解

探究导入太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动，万有引力F=明斐提供向

心力。公式尸=*p中r的含义是什么？任何两个物体之间的万有引力都能利用公式尸=

提示：公式中r指的是两个质点间的距离；不是任何两个物体之间的万有引力都能利用

该公式计算，万有引力定律的表达式F=G喈只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之

间万有引力的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间/"不易确定。

『探究归纳

1.对万有引力定律F=d货的说明

⑴引力常量G：G=6.67×IO-llNm2Zkg2,其物理意义为引力常量在数值上等于两个质

量都是1kg的质点相距Im时的相互吸引力。

（2）距离r：公式中的7•是两个质点间的距离，对于均匀球体，就是两球心间的距离。

2.万有引力定律的四性

四性内容

万有引力不仅仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的

普遍性

物体之间都存在着这种相互吸引的力

两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力，总是大小相等，方

相互性

向相反，作用在两个物体上

地面上物体之间的万有引力一般比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨

宏观性

大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用

两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与所在空

特殊性

间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关

典例团已知某星球的质量是地球质量的g,直径是地球直径的9。一名航天员来到该

oZ

星球，航天员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力大小的()

ʌɪBi

A∙4°-2

C.2倍D.4倍

［解析］航天员在地球上所受的万有引力Fl=C^器■,航天员在该星球上所受的万有引

力尸2=G窄%由题知m2=*1,R2=*R1,则］=T3=;,故B正确，A、C、D错误。

∏2oZr∖Z∏ι∏2

［答案］B

［名师点评］

理解万有引力大小的两点注意

(1)物理公式有特定的适用情境及条件，不要单纯地从数学角度理解，如F=用簧，当

厂一0时，从数学角度有E-8,但对物理问题则无意义。

(2)两质点间的引力大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力，与各自质量大小

无关。

针对Pl啕

2.如图所示，两球间的距离为人°。两球的质量分布均匀，质量分别为如、

加2,半径分别为片、0则两球间的万有引力大小为()

A.o

Γθ

GmIm2Gm∖tn2

,(∩+r2)2.(门+废+⑹2

解析：两个匀质球体间的万有引力∕7=G^詈，r是两球心间的距离，选D。

答案：D

3.2019年1月，我国“嫦娥四号”探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”

月球的过程中，用〃表示探测器与地球表面的距离，尸表示它所受的地球引力，能够描述尸

随〃变化关系的图像是()

解析：根据万有引力定律可得户=需尊，则/与/?是非线性关系，F/图像是曲线，

且随/?增大，F减小，故选项D符合题意。

答案：D

要点3重力与万有引力的关系

探究导入假如某个人做环球旅行，可能到达地球的任何地点，如果地球看成标准

的球体，那么，该人分别位于赤道上某点、北半球的某点、南半球的某点、北极点、南极点

等不同地点时该人所受的万有引力有什么关系？该人在各地点所受的重力有什么关系？

提示：在各地点所受的万有引力大小相等，方向沿对应的地球半径指向地心。由于地球

自转的影响，该人在各地点所受的重力大小不一定相等，方向也不一定指向地心。

「探究归纳

1.重力是万有引力的分力Z^F处

如图所示，物体受到地球的万有引力为尸引，方向指向地心。，w噌

万有引力有两个分力，一个分力尸向提供物体随地球自转的向心力，F向标节……礴

方向垂直于地轴；另一个分力是重力机g,产生使物体压地面的效果。弋.........^'~∕

2.重力与纬度的关系

南极

地面上物体的重力随纬度的升高而变大。

(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上尸引=F向+"2g，即—mrω2+ιng,所以

in地tn

mg=G^2-mrω0。

(2)地球两极处：向心力为零，所以〃吆=产引=G-^-C

(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mgVG-⅛-,重力的方向偏离

地心。

3.不考虑地球自转时重力、重力加速度与高度的关系

(1)地球表面的重力等于地球的万有引力，即他g=G爷，所以地球表面的重力加速度

Gm也

g=-F^°

(2)地球上空人高度，万有引力等于重力，即Wg=G高后，所以力高度的重力加速度

Gm他

g=(R+〃)2。

典例

已知地球质量为〃1地，自转周期为T,引力常量为G。将地球视为半径为R、

质量分布均匀的球体，不考虑空气的影响。若把一质量为m的物体放在地球表面的不同位

置，由于地球自转，它对地面的压力会有所不同。

(1)若把物体放在北极的地表，求该物体对地表的压力F1的大小；

(2)若把物体放在赤道的地表，求该物体对地表的压力B的大小。

［解析］(1)当把物体放在北极的地表时，万有引力与支持力相平衡，有

,tn^tn

F'=G-^

根据牛顿第三定律知，该物体对地表的压力

,"Z地"2

-

Fi=Fi=G-^2O

(2)当把物体放在赤道的地表时，万有引力与支持力的合力提供向心力，有

2

地"IL,4πz-x

G-^--F2=〃段产①

根据牛顿第三定律知，该物体对地表的压力

F2=F2'②

联立①②得

HMn47?

Γ2=3R2—IUKjoɑ

aιn∖^nm∖ħfn4π2

［答案］(2)G-^2_一，〃/午

针对

4.用传感器测量一物体的重力时，发现在赤道

测得的读数与其在北极的读数相差大约3%。。如图所示，如果认

为地球是一个质量分布均匀的标准球体，下列说法正确的是

)

A.在北极处物体的向心力为万有引力的3%。

B.在北极处物体的重力为万有引力的3%o

C.在赤道处物体的向心力为万有引力的3%。

D.在赤道处物体的重力为万有引力的3%。

解析：在北极处，没有向心力，重力等于万有引力，A、B错误。在赤道处有Fq一G'

=F⅛,则T=-I⅜------=3%o,C正确。在赤道处有三一=l-∙2⅛------=997%o,D错误。

F?iFslFnFi∖

答案：C

要点4“割补法”计算万有引力

京探究归纳

I.“割”“补”是相对于“多余”和“缺损”而言的，“割补法”是处理数学或物理

问题最常用的方法，可以使原来不完整的物体变得完整，使原来不对称的物体变得对称，使

杂乱无章的现象变得有规律可循。

2.采用“割补法”求万有引力，先将空腔填满，根据万有引力定律列式求解万有引力,

该引力是填入的球的引力与剩余部分引力的合力。

典例EI有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球

心。为2R的地方有一质量为m的质点。现从M中挖去半径为3?的球

体，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力F为（）

IGMmIGMm

A.36R2B∙8R2

GMmIGMm

C18R2D-32/?2

h/fm

［解析］质量为M的球体对质点的万有引力Fl=G诋3=挖去的球体的质量M'

［2M=?,质量为M'的球体对质点的万有引力F?=GM；-=G界&则剩余部分

加8（R+畀18R

对质点的万有引力F=FI-F2=G^^一G相的=今整Z故选项A正确。

［答案］A

针对

5.如图所示，离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R处有一质量

为团的质点，此时M对相的万有引力为吊，当从M中挖去两个半径为r=f的球体时，剩

下部分对〃?的万有引力为F2。求Fl、尸2的比值。

解析：未挖去前，整体对质点的引力大小为Q=G送京，

挖去的左边小球对质点的引力为k=G悬

挖去的右边小球对质点的引力为尸'=GT⅛,

7（1.DK）

41

根据V=WTIR3知，挖去两个球的体积分别是原来球体体积的、，则挖去的每个球的质量

为gM,

素养达标。

1.关于万有引力定律公式F=G等%下列说法正确的是（）

A.当两个物体之间的距离趋近于零时，F趋于无穷大

B.只要两个物体是球体，就可用此式求解万有引力

C.两只相距0.5m的小狗之间的万有引力可用此式计算

D.任何两个物体间都存在万有引力

解析：当物体之间的距离趋近于零时，物体不能视为质点，万有引力定律公式不适用，

故A错误：如果两个球体质量分布不均匀，则不能用此公式求出万有引力，故B错误；两

只相距0.5m的小狗不能看成质点，则不能用此公式求出万有引力，故C错误；自然界中任

何两个物体之间都存在万有引力，故D正确。

答案：D

2.有一行星大小与地球相同，密度为地球的2倍，则它表面的重力加速度是地球表面

重力加速度的（）

A.1倍B.2倍

C.4倍D.8倍

4,

cmγmGτπRp.

解析：根据万有引力等于重力，列出等式墨m=,wg,则有g=簧=R=*求,

行星大小与地球相同，密度为地球的2倍，所以它表面的重力加速度是地球表面重力加速度

的2倍，故B正确。

答案：B

3.设地球表面的重力加速度为go,物体在距离地球表面3R（R是地球的半径）处，由于

地球的作用而产生的加速度为g,则为（）

oʊ

A.1B,^

Jeɪ