2023-2024学年高二上数学练习：双曲线（附答案解析）

2023-2024学年高二上数学：3.2双曲线

一.选择题(共5小题)

_V2X2

I.已知直线2x+y-4=0与坐标轴分别交于A,B两点，若A,8的中点在曲线C：---=\

azbz

(0>0,⅛>0)的渐近线上，则曲线。的离心率为()

--√5V3

A.Vr5B.√γ3C.—D.—

22

%2y2

2.双曲线Cʒ-ɪr=l(α>O,6>0),。是坐标原点，F是双曲线。的右焦点，离心

z

αb乙

率是e,己知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线》的交点，则后•成的值为

()

1

A.OB・-eC.2D.-

e

3.已知Fi,尸2分别是双曲线C：*-y2=ι的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，

且以线段FiF2为直径的圆经过点P,则点P的横坐标为()

A.+1B.±√2C.±√3D.+2

42y2λ∕^+l

4.如果双曲线F-卷=1的离心率为三一，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为

a2b22

X2y2

黄金双曲线.现有一黄金双曲线C=1(⅛>0),则该黄金双曲线C的虚轴

√5-lb2

长为()

A.2B.4C.√2D.2√2

%2y2

5.已知双曲线£：—-⅛=l(b>0)的渐近线方程为y=±√3x,则E的焦距等于()

3Dz

A.√2B.2C.4√3D.4

二.填空题(共5小题)

6.已知双曲线C：**l(α>0,b>0)的右焦点为凡右顶点为A,以坐标原点。为

圆心，过点A的圆与双曲线C的一条渐近线交于位于第一象限的点P,若直线PF的斜

率为-3,则双曲线C的渐近线方程为.

久2y2

7.已知焦点在X轴上的双曲线一--―=1的两条渐近线互相垂直，则根=.

m2-mz

8.双曲线/一A=I(∕M>0)的离心率为2,W∣Jm=.

X2y2

9.已知点F为双曲线C二一二=1的右焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离

53

为.

22

10.已知双曲线E：-^=l(α>0,6>0),当双曲线的渐近线夹角取值范围是《，身

时，其离心率的取值范围是.

三.解答题(共3小题)

11.求适合下列条件的曲线的标准方程.

(1)α=4,b=5,焦点在y轴上的双曲线的标准方程；

(2)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.

12.已知双曲线C的焦点F(百，0),双曲线C上一点P到尸的最短距离为√5-√Σ

(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；

(2)已知点M(0,1),设P是双曲线C上的点,Q是点P关于原点的对称点.设入=Λ⅛∙Λ⅛,

求人的取值范围.

2

13.已知点(3,1)在双曲线C：X-/=/(0>0)上.

(1)求正数4的值；

(2)求双曲线C上的动点尸到定点A(8,0)的距离的最小值.

2023-2024学年高二上数学：3.2双曲线

参考答案与试题解析

一.选择题(共5小题)

y2X2

1.已知直线2x+y-4=0与坐标轴分别交于A,B两点，若A,8的中点在曲线C彳-=1

az7b72-

(a>0,⅛>0)的渐近线上，则曲线C的离心率为()

LL遍W

A.√5B.V3C.—D.—

22

【解答】解：设AB中点为M,

直线方程2x+y-4=0中，令X=O可得y=4,令y=0,可得x=2,

从而A(0,4),B(2,0),M(1,2),

双曲线的渐近线为：y=gx,

故：2=^xL.∙.α=2b,a2=4h2=4(c2—α2),4c2=5a2,e2==/e=卓

故选：C.

X2V2

2.双曲线C--77=l(α>0,h>0),。是坐标原点，厂是双曲线C的右焦点，离心

a27b2

率是e,已知A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线％的交点，则&∙G的值为

()

1

A.0B.-eC.2D.一

e

【解答】解：由双曲线的方程可得右焦点尸(c,0),

渐近线的斜率为正的方程为：y=[,

与直线x=(联立可得尸器，

所以由题意可得A(―,—),

CC

422222

nn`iTΓΓ<J∈IZΓΛTi?,a?ab、/2ab`2ɑɑ^2a(a+b)„

所以可得。4∙力尸=(-,—Xc-a-,-ɪ)=a--^2——苫-=/——^=0,

故选：A.

3.己知为，尸2分别是双曲线C：*-y2=l的左、右焦点，点P是其一条渐近线上一点，

且以线段FιF2为直径的圆经过点P,则点P的横坐标为()

A.±1B.±√2C.±√3D.±2

【解答】解：由双曲线C:=1的方程知。2=3,房=1,

所以Q=V^b=1,c=Va2÷b2=2,

所以渐近线方程为y=±字X,

2

以线段FiF2为直径的圆为x+V=4,

_,√3

联立方程y=±3%,解得交点横坐标为±6，

,x2÷y2=4

故选：C

%2y2λ∕^"+l

4.如果双曲线W=1的离心率为^一，我们称该双曲线为黄金分割双曲线，简称为

a2b22

X2y2

黄金双曲线.现有一黄金双曲线C=1">0），则该黄金双曲线C的虚轴

√5-lbz

长为（）

A.2B.4C.√2D.2√2

C?d2+/??匕2∖fS+1

【解答】解：由题意可得7=----∑—=1+-γ=-=（—^-Y,解得房=2,即b=V2,

a2a2√5-l2

故黄金双曲线C的虚轴长为2⅛=2√2.

故选：D.

y2

5.已知双曲线E：--^=l（b>0）的渐近线方程为y=±√3x,则E的焦距等于（）

A.√2B.2C.4√3D.4

%2y2

【解答】解：由二-77=1,知α=√5,

3b2

其渐近线方程为y=±，=±奈X=±Wx,

：.b=3,

∙"∙c=y∕a2+b2=√3+9=2√3,

，焦总巨为2。=46.

故选：C.

二.填空题（共5小题）

6.己知双曲线C：^∣-^∣=l（α>0,b>0）的右焦点为凡右顶点为A,以坐标原点。为

圆心，过点A的圆与双曲线C的一条渐近线交于位于第一象限的点P,若直线PF的斜

率为-3,则双曲线C的渐近线方程为_y=±1x_.

【解答】解：由曲线C：*∖=l(α>O,b>O)知右顶点A为(a,0),右焦点F(c,

0),

所以以点。为圆心，过点A的圆的方程为x2+y2=°2,

双曲线的渐近线方程为y=[x,

X2+y2=α22Ch

联立方程b，解得点P的坐标为(I，半)，

(y=ax

ab

所以kpF=*=-今又由直线PF的斜率为-3,可得一号=一3,

所以2=：,所以双曲线C的渐近线方程为y=±4x,

CL3ɔ

故答案为：y=±^χ.

22

7.已知焦点在工轴上的双曲线一-二一=1的两条渐近线互相垂直，则m=1.

m2-ml

【解答】解：由双曲线的对称性可知，题中的双曲线为等轴双曲线，

2

从而：m=2-mfΛ∕22i=1,m2=-2,

又双曲线的焦点在X轴上，故m>0,2-∕w2>0,.∖m=∖.

故答案为：L

8.双曲线/一哈=1(m>0)的离心率为2,则∕n=3.

【解答】解：双曲线/一<=](wj>0)的离心率为2,则∕=ι,f=tn,

所以可得C2=Λ2+⅛2=1+∕Π,

所以可得：e=g="迈=2,解得：机=3,

故答案为：3.

X2y2

9.已知点尸为双曲线C二一二=1的右焦点，则点尸到双曲线C的一条渐近线的距离

53

为—V3_.

X2y2______

【解答】解：双曲线C：———=1的/=5,⅛2=3,c=√5+3=2√2,

53

则可设产(2√2,0),

设双曲线的一条渐近线方程为√IL√5=0,

则尸到渐近线的距离为d=餐，=√3,

故答案为：vɜ.

2_2

10.已知双曲线氏l(α>0,6>0),当双曲线的渐近线夹角取值范围是《，身

时，其离心率的取值范围是_[竽，2]_.

TTTTTCTT

【解答】解：由题意可知双曲线的一条渐近线的倾斜角的范围是-],或勺，-],

即tan]≤-≤ta∏y,即由≤—≤1,或taτιJ<-<tan^

6a43a4aɔ

2

.∙Ji+(f)≤≤√T不溟或V#+#<l+(√3)2,

故答案为：[亍，2].

三.解答题(共3小题)

11.求适合下列条件的曲线的标准方程.

(1)a=4,b=5,焦点在y轴上的双曲线的标准方程；

(2)焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程.

y2X2

【解答】解：(1)由题意，设方程为.-77=l(a>O.h>0),

a2b2

∙.Z=4,b=5,

ΛΛ2=16,层=25,

所以双曲线的标准方程是9--=1.

1625

(2)Y焦点到准线的距离是2,

.∙.2p=4,

.∙.当焦点在y轴上时，抛物线的标准方程为∕=4y或，=-4)，.

12.已知双曲线C的焦点F(遍，0),双曲线C上一点P到F的最短距离为g-VL

(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；

(2)已知点M(0,1),设尸是双曲线C上的点，。是点P关于原点的对称点.设入=诂∙Λ⅛,

求人的取值范围.

【解答】解：(1)：双曲线C的焦点F(6，0