新高考二轮复习真题导数讲义第34讲 估值问题（解析版）

第34讲估值问题

L对关于X的方程χ3+χτ=O有近似解，必修一课本里研究过，二分法，.现在结合导函数，介绍另一种方法，牛

3

顿切线法'.对曲线/(χ)=χ+χ-ι,估计零点的值在Ao=I附近，然后持续实施如下‘牛顿切线法’的步骤：

在(x(>j(∙⅛))处作曲线的切线，交X轴于点(40);

在(x1J(XJ)处作曲线的切线，交X轴于点(如。)；

在卜2，/(%))处作曲线的切线，交X轴于点(三⑼；

得到一个数列{x,,},它的各项就是方程Y+χ7=O的近似解,按照数列的顺序越来越精确.请回答下列问题:

(I)求占的值；

(2)设X"+ι=g(x,,),求g(x“)的解析式(用X”表示X-1);

(3)求该方程的近似解的这两种方法，‘牛顿切线法’和‘二分法'，哪一种更快？请给出你的判断和依据.(参

照值：关于X的方程/+X-1=0有.解X=0.6823278•••)

【详解】

(1)因为y(x)=x3+xT,故可得/'(x)=3χ2+1,

则/(1)=1，/'(1)=4,

故可得了(X)在(⅞,∕(⅞))处的切线方程为y-1=4(χ-ι),

3

整理得y=4x-3,令y=0,则X=：.

4

根据题意，则玉=：3.

(2)由(1)中所求，

可得/(x,,)=£+x”T/(S)=3看+1,

故可得/(x)在NJ(Xj)处的切线方程为

广£-七+ι=(3*+ι)(χ-χ,3

又因为(x,,τ,0)满足切线方程,

故可得T；：-⅞+l=网+1)除-X.),

2x；：+l

解得X,,M

34+1，

故小)=∣⅞*

(3)根据(1)和(2)中所求,

3

用牛顿法经过1次运算，可得近似解％=a=0∙75,

用牛顿法经过2次运算，可得近似解出≈0.6860...

用牛顿法经过3次运算，可得近似解天〜0.68233…

经过3次运算，牛顿法求得的近似解精确到J'0.0001;

若采用二分法，选定初始区间为(()/)，

因为/(0)∙∕(l)<0,经过一次运算，近似解为0.5，

因为经过二次运算，近似解为0.75，

因为出)∕'(0∙75)<0,经过三次运算，近似解为0.625,

经过3次运算，二分法求得的近似解才精确到0.1.

不难发现，牛顿法相对二分法要更加快速

2.已知函数/(x)=XTn(Or+l)(αWO).

(1)若f(x)≥0,求。的值；

(2)已知某班共有"人，记这"人生日至少有两人相同的概率为P("),〃≤365,将一年看作365天.

(i)求尸(")的表达式；

(H)估计P(60)的近似值(精确至IjOQl).

奂∙⅛*fr∕吉S"243156

落为双恒：e73*0.00783'e73≈0.03487,73≈().118()1∙

【详解】

(1)由题得，当4>0时，/(x)的定义域为(-)+8)：

当4<o时，/(X)的定义域为卜《,-£|,

又/(0)=0,且f(x)20,

所以X=0是/(ɪ)的极小值点，故/'(O)=0.

W/'(X)=I,于是l-α=0,解得α=l.

OX:+1

下面证明当〃=1时，/U)≥0.

1γ

当4=1时，AX)=X-In(X+1),r(X)=I-------=——，χ>-l,

x+1x+1

所以当x>0时，/(X)>0,/(χ)单调递增；当-l<χ<0时，/'U)<0,/(χ)单调递减，

所以/(x)≥/(0)=0,即a=l符合题意.

综上，d=∖∙

365×364×363××(365-n+l)

(2)(ɪ)由于〃人生日都不相同的概率为

365ji

365×364X363χX(366-n)

故〃人生日至少有两人相同的概率为P(〃)=l-

365”

2×365^-^73

J?!

即rnf<户

由参考数值叫<整石<(H)O79

于是P(60)=1-Z>1-0.∞79=0.9921

故P(60)≈≈0.99.

3.己知函数/(x)=e*-e"-2χ.

(1)讨论/(χ)的单调性；

(2)设g(x)="2x)-W(X),当χ>0时，g(x)>。,求方的最大值；

(3)已知1.4142<√∑<1.4143,估计∣n2的近似值(精确到0.001)

【详解】

(1)因为r(x)=e'+[-2≥0,当且仅当χ=0时等号成立，所以函数/(x)在R上是增函数；

e

(2)因为8(x)=/(2x)-砌'(x)=e2*-e-2*-4"(e"-eT)+(助-4)x,

所以g'(x)=2[e2'+e^2x-2b(e'+e^')+(4b-2)]=2(ex+e^x-2)(ex+e^x-2b+2).

当丛2时,g'(x)≥0,等号仅当X=O时成立,所以g(x)在R上单调递胤而g(0)=0,所以对任意X>0,g(x)>O;

当方>2时，若X满足2<e*+eT<2b-2,即0<χ<ln(b—1+一2/?)时，g'(x)<O,而g(0)=0,

因此当O<x≤lng-1+麻豆)时，g(x)<O,

综上，方的最大值为2.

(3)由(2)知，g(lnΛ∕2)=——2>∕2⅛÷2(2⅛-1)In2,

当b=2时，g(ln√2)=∣-4√2+61n2>0,In2>8^~3>0,6928：

当b=乎+1时，InS7+招-2b)=M也,⅛(l∏√2)=-∣-2√2+(3√2+2)ln2<0,

In2<生乎<0.6934,所以In2的近似值为0∙693∙

X2-1

4.已知函数/(%)=-------k∖nx(x≥∖).

X

(1)若/(χ)≥o恒成立，求出的取值范围；

(2)若取芯=2,236,试估计in*的范围.(精确到0.01)

4

试题解析：

(I)f'(x)=χ2~k^+l;

X

①当-2≤%≤2时，公_4<0,--京+1>0恒成立，所以xe[l,+oo)时，

∕,(x)≥0,/(x)单调递增，/(XR/(1)=0恒成立.

②当上<—2或左>2时，ʃ'(x)=O,解得为=A二四三X,="正三

22

IIXl+j⅛-k,x,x2-I

(i)当&<-2,则与v(),wvθ,故xe[l,+∞)时，∕,(x)≥0>

F(X)单调递增，/(x)≥/⑴=0恒成立.

(H)当k>2,则为当x∈(l,x2)时,/'(X)<0.f(x)单调递减；

/(x)</⑴=0恒成立.这与/(x)20恒成立矛盾.

综上所述，k的取值范围是(-8,21

(2)由(1)得/(χ)=1≥21nx(x≥l)恒成立，取X=A>1，

得2%户V\g-#=>ln9v^-2=^=0.22361∙

V4∖4V542√510

又由(1)可知火>2时，αi<Mnx在(11+"7H)时恒成立,

X2

令k+加-4=∣5t解得火=吨，取女=为5>2，

2V41010

即有《二叵InX在(1,、F)上恒成立，

X10V4

取X=舟得A-A<净n即lnj>∣=0∙2222

0.2222<In-<0.22361(精确到0.01),取ln*=0.223∙

44

5.已知函数f(x)=Inx+—.

(I)若函数g(x)=/(X)-以在口,+8)内为增函数，求实数。的取值范围；

(2)若函数/2@)=/(幻-(1+协/+加在［1,2］内恰有两个零点，求实数｝的取值范围；

(3)已知ln2=0,6931,试估算In5的近似值，(结果精确到0.001)

【详解】

解：(I)由题,g(x)=lnx+χ2-mc(x>0),

“、1C

g(x)=-+2x-a,

X

■g(χ)在［L+∞)内为增函数，

g'(x)≥0在xv［l,+8)上恒成立,即ɑ≤(2x+m,

VXImin

令f(x)=L2x,则t(X)=-y+2>0,所以f(x)在［1,+8)内为增函数，

XX

所以avr(x)niM=r(l)=3.

(2)由题,〃(x)=Inx-bx2+Zzx,

/.h,(x)=--2hx+b,

X

①当b≤0时，*中，2］,则//。)=’+仅1—2》)>0,二3)在口,2］内为增函数，

X

ZI(I)=O,则当x∈(1,2］时,h(x)>∕z(l)=0,

.∙.A(X)在［1,2］内有且只有一个零点,不符合题意；

②当/>>0时,设0(X)=〃&),则”。)=-4-2)<0,；.尔)在［1,2］内为减函数，

X"

,

且W⑴=h(Y)=∖-blφ(2)="(2)=；-3b,

(i)当0<h≤Lxw(l,2)时43〉〃'⑵='—3A20,∙∙∕(R)在［1,2］内为增函数，

62

"⑴=0,则当％∈α,2］时/(%)>〃⑴=0,.∙∙g)在［1,2］内有且只有一个零点,不符合题意;

(Ji)当Lb<l时,"⑴=l-b>0/'⑵=--3b<0,

62

3⅞€(1,2),使得Λ,(⅞)=O,Pl∣JΛ(x)在(1,X。)内为增函数,Λ(Λ)在(刈2)内为减函数，

则〃(X(J)>Λ(D=O,则h(x)在(1,2］内有且只有一个零点,当且仅当A(2)=In2-2。≤0,

解得一ς-≤⅛<1；

2

(Hi)当方≥1,xe(1,2)时,∕z'(x)<〃'⑴=l-⅛≤0,.∙.MX)在［1,2］内为减函数，

,/⑴=0,则当Xe(1,2］时,∕ι(x)<Λ(1)=O,.∙.A(x)在［1,2］内有且只有一个零点,不符合题意,

综上所述,b∈竽,1).

(3)由(I)可知,当4=3时,g(x)=lnx+χ2-3χ在(1,∙HΛ)内为增函数，

所以g(x)>g⑴=-2,即In尤>-F+3x-2在(1，+∞)内恒成立，

由(2)可知,当方=1时,〃(X)=InX——+x在(1,2］内为减函数，

所以Λ(Λ-)<人(1)=0,即InX</一*在0,©内恒成立，

综上,有-X2+3x-2<lnx<x2-x,即(x—1)(2—x)<Inx<MX-I)在0,2］内恒成立,

19210β

令X=Wl=Lo24,则有(1.024-l)x(2-1.024)<In考I<1.024x(1.024-1),

27

可得0.0234<ln—<0.0246,即0.0234<71n2-31n5<0.0246,

则0.0234<7×0.6931-31n5<0.0246，

解得1.6090<In5<1.6094,

所以ln5的近似值约为1.609.

6.设n是正整数，r为正有理数.

(1)求函数f(x)=(l+x)r+1-(r+l)x-1(x>-1)的最小值;

r+1r+1r+1

产-(n-l)(n+l)n

(2)证明:—<nr<

r+1r+1

(3)设χ∈R,记冈为不小于X的最小整数，例如[2]=2,［π］=4,［-∣］=-1.令

S=⅜T+⅜2+V83+-∙∙+V125∙求［S］的值•

4444

3

(参考数据:80‰34417j81‰350.5,124≈618.3,126^≈631.7)-

【解析】

(1)由题意得f'(X)=(r+1)(l+x)r-(r+1)=(r+1)［(l+x)r-1］,

令f'(x)=0,解得x=0.

当-1VXVo时,f'(x)<0,Λf(X)在(-2,0)内是减函数；

当x>0时，f'(×)>0,Λf(×)在(0,+8)内是增函数.

故函数f(X)在x=0处，取得最小值为f(O)=0.

(2)由(1),当x∈(-1,+8)时，有f(X)≥f(O)=0,

即(l+x)r+1>l+(r+l)X,且等号当且仅当X=O时成立，

故当x>-l且XH0,有(l+x)m>l+(r+l)X,①

在①中，令x」(这时x>-：!且XHO),得(14)"i>ι+⅛

nnn

上式两边同乘N+'得(n+l)r+1>nr+1+nr(r+l),

即<(n+l)M-n田②

r+1

当n>l时，在①中令X=-1(这时x>-1且XW0),

r+1一/_∖r+1

类似可得------⑺-1-----③

r+1

且当n=工时，③也成立.

r+1/1Xr+1/1∖r+lr+l

综合②，③得工一一(n-l)_<y(n1+l)工,④

r+1r+1

(3)在④中，令n分别取值81,82,83,125,

ɔ

44444444

得∙∣(8p-803)<⅜1<-∣(823-81^5)'-∣(823-813)<^82<1(833-823),

4444

-∣(833~823)〈加5<∣¢843"833)'…

4444

-∣(125^-124^)<V125<^(126^-125^A

4444

将以上各式相加，并整理得2(1253-8Q3)∙‹S<C~(12θ3-813).

4444

代入数据计算,可得_1(125^3-soɜ)≈210.2,I(126^-8p)≈210.9

由⑶的定义，得⑶=211.

ZTT

7.已知函数/(x)=∕n(l+%)------j(q>0)∙

x+∖

(1)若x=l是函数"兀)的一个极值点，求”的值;

(2)若/(x)..0在［O,+∞)上恒成立，求α的取值范围;

(3)证明：(理严°<J(e为自然对数的底数).

2020e

【解答】解：(1)因为/(x)=Λι(x+l)-0-(α>0),所以尸(χ)=X+1二，(«>0),

x+1(x+1)

因为X=I是函数/⑺的一个极值点，故/(1)=0,即。=2,当。=2时，当经验得％=1是函数/(x)

的一个极值点，所以。=2.

(2)因为/(x)..0在［0,+∞)上恒成立，所以/(χ).∙∙0.

当Oea,1时，/(χ)=±tl二g..0在［0,+8)上恒成立，即/(X)在［o,+8)上为增函数

(χ+l)^

所以/(^).,=/(0)=0成立，即°<知1为所求•

当α>l时，令r*)=x+l一，>0,则x>4-l,令八X)=X+l-∕<o,则O<x<α-1,

(X+1)-(X+1)^

即/(x)在(OM-I)上为减函数,在(α-l,+∞)上为增函数.当∈(0,α-l)时，/(x)</(0)=0,这与/(x)..0

矛盾.综上所述，0的取值范围是(0，1］.

(3)耍证(至12)202。<1,只需证2020.两边取自然对数得.,2020勿虫竺

2020>e>1,

2020e20192019

上式等价于历20上20>,1，只需要证明勿20卫20-一1—>0,只需要证明

2019202020192020

1IY

ln(l+)------------->0,由。=1时，/(x)=∕n(x+l)---------在(0,+oo)单调递烟.

20191+2019x+l

1

又>(),/(0)=0,

l÷2019

1

2019二历2020__L

/(x)=∕π(l+---)->/(0)=0,从而原命题成立.

20191+120192020

2019

8.已知函数Fa)=加(1+1).....—,其中)∈(0,1］.

l+αT

(1)讨论函数/(x)在区间［0,1］上的单调性;

,20212Q2o42021.2020

(2)求证:(---严g<e<(z-------)

20202020

1a~x1-2α

【解答】W-：(1)/(X)=-^----------7=------------------7°(zX-----ɔ—)x

x÷l(Or+1)2(x÷l)(0v+1)2a1

当:融1,0<x<l时，f∖x)>0,所以/(X)在［0，1］单调递增,

当匕联>10。2+2。一1<0=0<。<及一1,

由O<x<l,得尸(X)V0,所以/(x)在［O,(单调递减,

1[O/

当也一l<α<]时，当0<x<——时，∕,(x)<0,

I—2〃

当——CX<1时，∕r(x)>0,

a

所以/(X)在(0,4)单调递减，在(空,1)单调递增.

a"a

(2)不等式(幽)23<0<(些严o,

20202020

即0+-L-)≡o+o∙4<e<0+L)2。加心，

20202020

为此先证明：(1+-!-)n+0∙4<e<(l+⅛+05(n∈NJ,

nn

n+05

由(1+J)"+°4<e<(i+l)∙<=>(n+0∙4)∕n(l+!)<1<(〃+0.5)∕n(l+-)

nnnn

1

由

/X霜当

(l=

Xz2-f(x)在(0,。单调递增，/(x)..∕(O)=O，

X

即Zn(l+x)..：

1+0.5X

+05

令X=L,则有(n+O.5)∕”(1+J)>1,⅛(l+i)"∙>e.

nnn

由(1)知,当。=0.4,/(x)在((M)单调递减，f(x),"(O)=O,

即ln(y÷x)„-----------,

l+0.4x

令％=’,则有(〃+0.4)历(1+')>1,故(l+')"+°4Ve.

nnn

综上，对WneN.,(l+3"+g<e<(l+3"°∙5恒成立，

nn

r；r-U20210θ9θ420212O^>O5

所以(i-----<e<(----------).

20202020

9.已知函数/(x)=ln(∖+x)--------(g>0).

%+1

(1)若函数在X=I处的切线与X轴平行，求4的值；

(2)若/(x)..0在［0,+8)上恒成立，求〃的取值范围;

(3)证明：(黑产”<%是自然对数的底数).

【解答】解：(1)f(x)=ln(∖+x)......—,(〃>0),

x÷l

.∙.r(x)∕+J,,f'(1)=0,即a=2：

(x+l)2

(2)f(x)..0在［O,+0o)上恒成立，.∙./(x)m,n..O.

当0<a,1时，r*)..0在［0,+8)上恒成立，即/(X)在［o,+∞)上为增函数,

.∙.∕‰=/(O)=O成立,即O<w,1,

当。>1时，令r(x)..O,则x>4-l,令尸(X)V0,贝IJQ,x<α-l,

即/(x)在［O,α-l)上为减函数,在(α-l,÷∞)上为增函数,

∙∙∙∕ω,,,,,,=∕ω-D∙∙0'X∕(0)=0>∕(6z-l),则矛盾.

综上，α的取值范围为(O,I］.

(3)要证(至3)237<J,只需证(也产7>e

2017e2016

两边取自然对数得，2017/«—2017>1,即证妨2丝017，>—1!—

201620162017

2017111

即证/〃上U———>0,即证加(1+，)——!—>0,

2016201720161+2016

X

由(2)知。=1时，/(x)=∕π(l+x)---------在［0,+8)单调递增.

x+1

又一!—>0,/(0)=0,

1+2016

所以/(ɪ)=∕n(l+ɪ)------］—>ʃ(θ)=0，

201620161+2016

所以(2竺产"<1成立.

2017e

∩γj

10.已知函数/(x)=ln(↑+x)--------(a>0).(注：［加(1+x)］z=-------)

x+11+x

(1)若X=I是函数/(x)的一个极值点，求α的值；

(2)若/(x)..0在［0,+8)上恒成立，求”的取值范围;

201420l5

（3）证明：（■)<A.

2015e

【解答】解：(l)函数/(x)=∕"(l+x)—旦(α>0).

x+1

,函数小）=占a(x+↑)-axx+1-a

(α>0)∙

(X+1)2(X+1)2

∙.∙X=1是函数/（x）的一个极值点,

2—

Λft(1)=3^ci二0

4

.∙,α=2：...(2分)

(2)/(x)..0^F.[O,e)上恒成立,

∙∙∙∕(x),"M∙∙0，…(3分)

当0<4,l时，r（x）..0在10,+8）上恒成立，即/（X）在［0,+8）上为增函数，.・・（4分）

Jj(X)*=/(O)=O成立，

.∙.0<0,,1...(5分)

当α>l时,令T(X)>0,则x>α-l,令广(X)V0,则Q,x<α-1,...(6分)

即/（x）在［0,〃一1）上为减函数，在（α-1,8。）上为增函数,

∙∙∙∕‰=∕(«-n∙∙θ,

又/(0)=0>(a-1),则矛盾.

综上，α的取值范围为（0,1］…（8分）

证明：（）要证：（期）刈,只需证(")23

35>e.

2015e2014

2015

两边取自然对数得，2015//1>1,...(9分)

2014

,20151

即hn历---->-----,

20142015

,20151八

h即πIn----------------->0,

20142015

即加

(1+—^—)------!—>0,...(II分）

20141+2014

X

由(2)知〃=1时，/(x)=∕∕t(l÷x)---------在[0,+8)单调递增.

x+1

又——-->0,/(0)=0,

1+2014

/(」一)=妨(1+」一)----i—>/(0)=0...(13分)

20142014l÷2014

・•.(网产5<工成立..・(14分)

2015e

11.设函数/(x)=(1-㈤加(l+x)-X,其中4为实数.

(1)当%时，求/(X)在区间［O,1］上的最小值；

/八十、T20212020∣

(2)求证：(----)2>e∙

2020

1—∩γ

【解答】解：(1)ff(x)=-aln(x+i)+----------1,

x÷l

√,/、a-4(l+X)-(I-OV)0r+2α+l

fz(X)=--------+---------------；-------=................-，

l+x(l+x)2(l+x)2

,,∣CL,,—5时，乂IX∈［0»1］上，.∙.f(X)>0•

那么f'(x)在［0，1］上单调递增，f∖x)min=尸(0)=0，

即∕,(x).∙0.

所