2023年湖北省武汉市高考数学模拟试卷及答案解析

2023年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

一、单选题（共40分）

1.（5分）设集合A={x∣-2<xW2,XeZ},B={4V2W1},则A∩8=（）

A.{-1,1}B.[-1,1]C.{-1,0,1}D.[-1,0]

2.（5分）欧拉恒等式小+1=0（，为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙

的公式.它是复分析中欧拉公式/*=CoSΛ+isirιr的特例：当自变量X=π时,√π=cosπ+∕sinπ

.5τr

=-1,得e'"+l=0.根据欧拉公式，复数Z=/不在复平面上所对应的点在第（）

象限.

A.-B.-C.三D.四

3.（5分）（l+x）2+（l+x）3+∙∙∙+（l+x）9的展开式中/的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

5.（5分）在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹篇或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮

阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用

帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，

帽坡长20厘米，帽底宽20H厘米，关于此斗笠，下列说法不正确的是（）

A.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°

B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100√^平方厘米

C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为1600π平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以完全盖住的球(保持斗笠不变形)的最大半径为20遮-30

厘米

6.(5分)抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称

轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.已知

抛物线陕=4X的焦点为凡一平行于X轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的

点A反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则直线AB的斜率为()

A.—4B.-4C.±4—D.—1Q6-

3339

7.(5分)两不共线的向量工b,满足面=3网，且V76R,而一tb∣≥而一b∣,则COS区，

b)=()

1√31√3

A.-B.—C.—D.—

2233

8.(5分)函数/(x),g(x)的定义域都是£>,直线X=XO(XoeZ))与y=∕(x),y—g(x)

的图象分别交于A，B两点,若线段A8的长度是不为0的常数，则称曲线y=∕(x),y

=g(X)为"平行曲线”设f(X)=/-Hnx+c(a>0,c#0,且y=/(x),y—g(x)为

区间(0,+8)的“平行曲线”其中g(1)=e,g(x)在区间(2,3)上的零点唯一，

则〃的取值范围是()

β2β2e3

A.(----，-----)B.(----，-----)

ln3ln2Ln2ln3

e32e42e3e4

C.(----，------)D.(------/-----)

ln3ln2ln3ln2

二、多选题(共20分)

(多选)9.(5分)某高中学校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天一

小时的体育锻炼，调查该校2000名高中学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，现从高

一、高二、高三三个年级学生中按照3：1：1的比例分层抽样，收集了200名学生每周

平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，整理后得到如图所示的频率分布直方图，

则下列说法中，正确的是()

A.估计该校高中学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为500人

B.估计该校高中学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数百分比为20%

C.估计该校高中学生每周平均体育运动时间的中位数为5小时

D.估计该校高中学生每周平均体育运动时间为5.8小时

(多选)10.(5分)甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四

个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两

个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件8为“甲四

面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结

论正确的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABC)=JD.P(Λ)∙P(.B)∙P(C)

OO

(多选)11.(5分)已知/*(X)=1-2cos2(ωx+^)(ω>0),则下列判断中，错误的是()

A.若∕Gι)=1,f(%2)=-1，且仅1-切加〃=η，则ω=2

Tl

B.存在36(0,2),使得/(x)的图像右移一个单位长度后得到的图像关于y轴对称

6

C.若f(x)在［0,2π］上恰有7个零点，则3的取值范围为［无，—］

D.若/(x)在［一也f］上单调递增，则3的取值范围为(0,1］

(多选)12.(5分)已知数列{〃“},{5}均为递增数列，它们的前〃项和分别为S“Tn,且

满足斯+。"+1=2〃，aι∙b"+ι=2%则下列结论正确的是()

2

A.OValVlB.S2n=n÷3n—2

C.Khi<√2D.S2"<T2n

三、填空题(共20分)

13.（5分）如果xι,必/3，处的方差是则如，3x2，3x3，3心的方差为.

14.（5分）若f（%）=as讥（％+/）+bstn（%-今）3芋0）是偶函数,则有序实数对（α,b）

可以是.（注：写出你认为正确的一组数字即可）

X乙2V。2

15.（5分）双曲线C：—--=\（α>0,⅛>0）与抛物线）?=8X有共同的焦点尸2,双曲

αzbi

线左焦点为Fi,点P是双曲线右支一点，过F1向/乃PR的角平分线作垂线，垂足为N,

∖ON∖=1,则双曲线的离心率是.

16.（5分）如图，多面体ABCDEF中，面A8CD为正方形，DELnABCD,CF//DE,

且A8=E>E=2,CF=I,G为棱BC的中点，H为棱。E上的动点，有下列结论：

①当，为OE的中点时，G”〃平面ABE；

②存在点儿使得G/7LAE；

③三棱锥B-GHF的体积为定值；

④三棱锥E-BCF的外接球的表面积为14π.

其中正确的结论序号为.（填写所有正确结论的序号）

17.（10分）在三角形中，NA、NB、ZC分别对应的边为a,b,c,且满足关系式为：

tanA+tanβ+tanC=^tanAtanB.

（1）求NC的大小；

（2）若c=2,求/+/的取值范围.

18.（12分）已知数列｛”“｝满足：a∖=∖,且斯+|-2斯=0,等差数列｛仇｝满足：b∖=2,bs+bι

=34,cn=an-bn（n∈N"）.

（1）求数列｛5｝的通项公式；

（2）求数列｛∣Cnl｝的前C项和

19.（12分）新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫

传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏

期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统

计发现潜伏期中位数为5,平均数为7.21,方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于

“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表:

长潜伏期非长潜伏

期

40岁以上1555

40岁及以1020

下

(1)能否有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；

(2)假设潜伏期Z服从正态分布N(μ,。2),其中μ近似为样本平均数，。2近似为样

本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(3)以题目中的样本频率估计概率，并计算4个病例中有X(X∈N*)个进入“长潜伏

期”的期望与方差.

2

附.K=____"3—儿)_______

叩∙^(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)∙

P*/)0.10.05

k2.7063.841

若随机变量Z服从正态分布N(μ,。2),则P(N-O<Z<μ+o)=0.6826,P(μ-2

σ<Z<μ+2σ)=0.9544,P(μ-3o<Z<μ+3ɑ)=0,9974,√5.08≈2.25.

20.(12分)如图，四棱锥P-ABC£)中，底面ABC。是直角梯形，ADLDC,AD//BC,平

面PCZ)_L平面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为I.

(1)证明：/_L平面PCD；

1

(2)已知AO=尸£>=£>C=扣C=2,且NOPC=30°,求直线PB与平面BW所成角的

正弦值.

21.(12分)己知P是平面上的动点，且点P与Q(-1,0)、尸2(1,0)的距离之和为2√1点

P的轨迹为曲线E.

(I)求动点P的轨迹E的方程；

(H)不与y轴垂直的直线/过点Q且交曲线E于M,N两点，曲线E与X轴的交点为

OTTTT

A,B,当IMNl时，求4时・村8+4村・时8的取值范围.

22.(12分)已知函数/(x)=cur+ln(x+l).

(1)当。=一/时，求函数f(X)的单调区间；

(2)当xe[0,+8)时，不等式/(χ)WX恒成立，求实数”的取值范围.

(3)求证：(1+RU(I+J⅛×1+J^)…U+Ln^i+l)(2n+l)j<e^τ(其中"6N*'

e是自然对数的底数).

2023年湖北省武汉市高考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（共40分）

1.（5分）设集合4={x∣-2<xW2,x∈Z},8={x∣∕Wl},则A∩B=（）

A.{-1,1）B.[-1,1]C.{-l,0,1}D.[-1,0]

【解答】解：VA=M-2≤x≤2,Λ-∈Z}={-1,0,1,2},B={x∣x2≤l}={x∣-l≤x≤

1}，

.∙.A∩8={-1,0,1}.

故选：C.

2.（5分）欧拉恒等式/+1=0（i为虚数单位，e为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙

的公式.它是复分析中欧拉公式e'*=cosx+isinx的特例：当自变量x=π时,e'τt=COSn+isinττ

.57Γ

=-1,得√π+l=0.根据欧拉公式，复数z=/4在复平面上所对应的点在第（）

象限.

A.-B.二C.三D.四

【解答】解：欧拉恒等式M+1=0（i为虚数单位，e为自然对数的底数），

根据题意Z=et^4^—CoS苧+isin=一孝一苧i,

故复数z=e挈在复平面内对应的点的坐标为（-孝，-苧），在第三象限，

故选：C.

3.（5分）（l+x）2+（l+x）3+∙∙∙+（l+x）9的展开式中？的系数是（）

A.60B.80C.84D.120

【解答】解：（l+x）2+（l+x）3+∙∙∙+（l+x）9的展开式中?的系数为废+,+…+解=

废+或+…+C/=Cfo=120.

故选：D.

A.B.

7ι^.sιnx

【解答】解：因为y（x）=y=（l-ɪʌj）M=—1⅛p加・因，

991_PSinX

所以f（-X）=（1_]GSEF7）＞I_x∣=（1_]+e-s＞）.四=]+e标•闵=T

所以函数为奇函数，排除A、3选项；

=（1-1^1）,I∑I=e+τ'Σ＞0,所以排除C.

故选：D

5.（5分）在南方不少地区，经常看到一种用木片、竹黑或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮

阳或避雨，有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，不同型号的斗笠大小经常用

帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，

帽坡长20厘米，帽底宽20√5厘米，关于此斗笠，下列说法不正确的是（）

A.斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为120°

B.过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为100百平方厘米

C.若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为160OTr平方厘

米

D.此斗笠放在平面上，可以完全盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为20百-30

厘米

【解答】解：对A选项，设顶角为0,贝以讥?=萼=字，得?=60。，所以顶角为e

ZZUZ2

=120°,A正确；

1ɔ

对B选项，因为顶角为8=90°时，则截面三角形的最大面积为-X2（）2Xs讥90。=200

2

平方厘米，8错误;

Q

对C选项，因为顶角为e=120。，则5=60。，所以外接球半径等于圆锥母线长，即R

=20,

则该球的表面积为4πR2=i600n平方厘米，C正确；

对。选项，设球的最大半径为r,因为顶角为120°,则/OCD=15°,

所以r=CD∙tanl50=10√3•1鬻U鬻;。=20√3-30,。正确.

ɪICIXrl∙T,∙JCIXfvɔv/

故选：B.

6.（5分）抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称

轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点.已知

抛物线y2=4x的焦点为F,一平行于X轴的光线从点M（3,1）射入，经过抛物线上的

点A反射后，再经抛物线上的另一点8射出，则直线AB的斜率为（）

A--4B.-∣4C.±-4D.一1号6

【解答】解：由题意可知点A的纵坐标为1,

将y=l代入∕=4x,得X=则4（/,1）,

由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点尸（1,0）,

所以直线AB的斜率k=izθ=-⅛

Al3

故选：B.

7.（5分）两不共线的向量b,满足向=3∣b∣,且V∕∈R,而一tb∣≥同一勿，则CoS（乙

b)=()

1√31

A.-B.—C.一

223

【解答】解：∖∙VrwR,∣α—tb∣≥∖a—b∖9

Λ∀r∈R,∖a∖2+t2∖b∖2—2ta∙b≥∖a∖2+∖b∖2-2a∙b,

Λ∀r∈R,t2∖b∖2-6t∖b∖2cos(a,b)-∖b∖26∖b∖2cos(a,b)≥O,V∣h∣≠O,

ɔTTTT

Λ∀r∈R,t2—6tcos(a,h)—1+6cos(a,b)≥O,

CTTTT

.∖Δ—36COS2<a,b>—4(—1+6cos<a,b>)≤O,

→

βTTl→1

..cos{a,h)-ɜ=O,Λcos(afb)=ɜ,

故选：C.

8.(5分)函数F(X),g(ɪ)的定义域都是。，直线X=Xo(xo∈D)与y=∕(x),y=g(x)

的图象分别交于4B两点,若线段AB的长度是不为。的常数，则称曲线y=∕(x),y

=g(X)为“平行曲线”设/(x)=ex-alnχΛ-c(。>0,c≠0,且y=/(X)，y—g(x)为

区间(0,+8)的“平行曲线”其中g(1)=e,g(X)在区间(2,3)上的零点唯一，

则。的取值范围是()

e2e4e2e3

A.(----，-----)B.(----，-----)

ln3ln2ln2ln3

e32e42e3e4

C.(----，------)D.(-----，-----)

ln3ln2ln3ln2

【解答】解：O=/G),y=gG)为区间的“平行曲线”，

・・・函数gG)是由函数/G)的图象经过上下平移得到，

即g(x)=f(ɪ)+/?=，-alnx+c+h,

Yg(1)=e-aln1÷c+A=e+c+h=e,

.*.c+h=O,

即g(X)=ex-alm,

由g(X)=0,

.∙.4=Inx9

令h(X)=总

♦・,g(ɪ)在区间(2,3)上的零点唯一,

∙9∙y=h(x)与函数在区间(2,3)内有唯一的交点,

_ex(∕nx-i)

VA(%)

(Znx)2

当x>2时，h,(%)>0,

・•・函数(%)在(2,3)上单调递增,

：.h(2)<a<h(3),

e23

r即ι;--<a<γe-^

ln2lrι3f

Q2?3

故”的取值范围是（「，—

ln2InS

故选：B.

二、多选题（共20分）

（多选）9.（5分）某高中学校积极响应国家“阳光体育运动”的号召，为确保学生每天一

小时的体育锻炼，调查该校2000名高中学生每周平均参加体育锻炼时间的情况，现从高

一、高二、高三三个年级学生中按照3：1：1的比例分层抽样，收集了200名学生每周

平均体育运动时间的样本数据（单位：小时），整理后得到如图所示的频率分布直方图，

则下列说法中，正确的是（）

A.估计该校高中学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为500人

B.估计该校高中学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数百分比为20%

C.估计该校高中学生每周平均体育运动时间的中位数为5小时

D.估计该校高中学生每周平均体育运动时间为5.8小时

【解答】解：由题意列表如下，

运动时间[0,2]24][4,6][6,8][8,10][10,12]

频率0.050.20.30.250.150.05

估计该校高中学生每周平均体育运动时间不足4小时的人数为200OX（0.05+0.2）=500

（人），

故选项A正确；

估计该校高中学生每周平均体育运动时间不少于8小时的人数百分比为0.15+0.05=20%,

故选项B正确；

估计该校高中学生每周平均体育运动时间的中位数为4+⅞^×2>5,

故选项C错误;

估计该校高中学生每周平均体育运动时间为IX0.05+3X0.2+5X0.3+7×0.25+9×O.15+I1

×0.05=5.8,

故选项。正确；

故选：ABD.

(多选)10.(5分)甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四

个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,同时抛掷这两

个四面体一次，记事件4为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四

面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结

论正确的是()

A.P(A)=P(B)=P(C)B.P(BC)=P(AC)=P(AB)

C.P(ABC)=ID.P(A)∙P(B)∙P(C)

OO

【解答】解：甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，

甲四个面上分别标有数字1,2,3,4,乙四个面上分别标有数字5,6,7,8,

同时抛掷这两个四面体一次，记事件4为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，

事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为

偶数”，

则p(A)=ɛkɪjɛkɪ=1p(B)=∣=i,p(O=

：.P(A)=P(B)=P(C),故A正确；

IIlrɪrɪ1fɪfɪ1

P(Be)=P(β)P(C)=i×i=i,P(AC)==左，P(AB)=⅛⅛=⅛

ZZztzi-Xzt∙zrzrXzt∙zt∙

：.P(BC)=P(AC)=P(AB),故B正确；

P(ABe)=呆呆=上,故C错误；

1111

P(A)∙P(B)∙P(C)=4×4×4=⅛,故Q正确.

故选：ABD.

(多选)11.(5分)已知f(x)=l-2cos2(ωx+^)(ω>0),则下列判断中，错误的是()

A.若F(XI)=Lf(%2)--1,且∣XLX2∣加”=π,则3=2

Tl

B.存在36(0,2),使得/(x)的图像右移Z个单位长度后得到的图像关于y轴对称

6

C.若/(x)在［O,2π］上恰有7个零点，则ω的取值范围为［豆，-J

D.若/(X)在Y，刍上单调递增，则3的取值范围为(O,∣J

【解答】解：由于/(x)=1—2cos2(ωx+/)=-cos(2ωx+ɪ)=sin(2ωx+看)；

1-TT1

对于A：若/(xι)=1,f(X2)=-1»且IXl-X2I加〃=2T=五j=兀，所以a)=2；故A

错误；

对于B：函数/(x)的图像右移四个单位长度后得到h(x)=Sin(23X—等+3)的图像，

6Sb

该函数的图像关于y轴对称，所以一等+R时+冬

整理得ω=-1-3%(攵∈Z),故B错误；

TTTCTC

对于C由于x∈［0,2π］,所以一≤2co%+一≤4(υτr+一,

666

故7ττ≤4ωττ+5<8τr,

0

4147

解得F≤3V七,故C错误；

2424

对于D：由于％∈［―］，*，

所以一等+W≤23%+W≤等+a(⅛∈Z),

30OZo

Z

+7Γ>Tr

lɪ----

所

以62ɔ

l<，整理得0<3≤*

+-Tr

l7-r2一

ɪ-6

2

故3的取值范围为(0,故。正确;

故选：ABC.

(多选)12.(5分)已知数列｛“"｝,｛与｝均为递增数列，它们的前〃项和分别为S”T1,,且

π

满足斯+%+1=2〃，bn-bn+1=2,则下列结论正确的是()

2

A.O<α∣<lB.S2n=n+3n-2

C.1<b1<√2D.S2n<T2,t

【解答】解：由｛斯｝是递增数列,得m<"2<a3;

又斯+即+1=2〃，所以

+03=4

所以,1+。2>2%,所以o<m<],故选项A正确;

a

Ia2+3>20⅛=4-2a1

∙'∙S2∏=(。1+。2)+(43+44)+…+=2+6+10+∙∙∙+2×(2〃-1)=，(2+4〃

-2)=2/；3错误，

由｛为｝是递增数列，得bι<b2<b3;又与m1=2",所以在

所以?2,瓦，所以1<历<正，故选项C正确；

ib3>b2

所以为"=(⅛∣+⅛+⅛5+∙∙∙+⅛2n-∣)+(⅛2+⅛4+-+⅛2n)='(IJn)+)(1产)=(加+历)

(2π-1),

所以7‰22√瓦∙Z⅛(2Λ-1)=2√2(2"-1),又从甘历，所以⑸>2直(2rt-1),

所以对于任意的〃EN+,S2n<T2tn故选项C正确，选项。正确.

故选：ACD.

三、填空题(共20分)

13.(5分)如果用，/2，/3，必的方差是3则3xi,3x2，3X3，3x4的方差为3.

1

【解答】解：因为XI，尤2，13，X4的方差是］，

则切，3X2,3X3,3X4的方差为32x/=3.

故答案为：3.

14.(5分)若f(x)=αsiτι(x+3)+匕SinQ-E)(αb00)是偶函数，则有序实数对(α,b)

可以是一ɑ,7).(注：写出你认为正确的一组数字即可)

【解答】解：ab≠Off(x)=asin(x+*)+bsin(x—今)

=a(jγsinx+孝COSX)+b(^-sinx—ɪcosx)

=孝(a+b)SinX+孝Ca-⅛)cosx.

V/(X)是偶函数，

，只要α+b=O即可，

可以取a=∖,b=-1.

%2y2

15.(5分)双曲线C：=1(α>0,⅛>0)与抛物线丁=8犬有共同的焦点打，双曲

线左焦点为人，点尸是双曲线右支一点，过Fi向/QPF2的角平分线作垂线，垂足为N,

∣ON∣=1,则双曲线的离心率是2.

【解答】解：延长FlN交PF2的延长线于B,

由题意可知PN平分NQPF2，且PΛLLFι8,

所以IP尸II=IPBl,且N为尸18的中点,

因为P在双曲线右支上，

所以IPFII-IP尸2∣=2ɑ,

即IP用-IPF2∣=山F2∣=2α,

在三角形尸1月8中，O,N分别为Q放和QB的中点，

所以IB尸2∣=2∣CW]=2,

即2α=2,故a—19

因为双曲线C与抛物线/=8X有共同的焦点/2,故C=2,所以离心率e=2,

故答案为：2.

16.（5分）如图，多面体ABCZ）EF中，面ABCD为正方形，OE_L平面ABCC,CF//DE,

且AB=OE=2,CF=I,G为棱BC的中点，H为棱。E上的动点，有下列结论：

①当〃为QE的中点时，GH〃平面A8E；

②存在点H,使得GaLAE;

③三棱锥B-GHF的体积为定值；

④三棱锥E-BCF的外接球的表面积为14π.

其中正确的结论序号为①③④.（填写所有正确结论的序号）

【解答】解：对①：当”为OE的中点时，取EA中点为连接MH,MB,如下所示:

因为H,M分别为M,EA的中点，故可得MHIIAD,MH=^AD,

根据已知条件可知：BGHAD,BG=^AD,

MH//BG,M”=BG,故四边形”M8G为平行四边形，

贝∣J"G"MB,又MBU面ABE,∕7G⊄Ig]ABE；

故HG〃平面A8E,故①正确；

对②：因为EO上面ABC。，DA,DC⊂≡ABCD,

i⅛DEA.DA,DEI.DC,

又四边形ABC。为矩形，i⅛DA±DC,则。E,DA,QC两两垂直，

以。为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：

则4(2,0,0),E(0,0,2),G(1,2,0),

设”(0,0,m),∕n∈[0,2],

GHLAE,则(⅛∙∕⅛=(-l,-2,m)•(-2,0,2)=0,

即2+2m=0,解得〃?=-1,不满足题意，故②错误；

对③：VB-GFH=VH-BGF,因为B,F,G均为定点，故SMGF为定值,

又DE//CF,CFU而BGF,DEC面BGF,故OE〃面BGF,

又点，在QE上运动，故点，到面BGF的距离是定值，

故三棱锥B-GFH的体积为定值，则③正确；

对④：取△£：/(的外心为Oi,过Oi作平面EFC的垂线QN,

则三棱锥B-EFC的外接球的球心0一定在OlN上，

因为OOl，面EFC,FClffiABCO,Cβ⊂≡ABCD,则CF_LC3,

又CB_LC£>,CFC∖CD=C,CF,C£)c®EFCD,

⅛CBlffiEFCD,XBC±ffiEFC,

则001〃C8,故OOι,8C在同一个平面，

则过。作0P_L8C,连接OB,OC,如图所示：

在△£•/（中，容易知EF=√5,EC=2√2,FC=1,

则由余弦定理可得CoSWC=5^^1~8=-4■,故SiMEFC=隼，

2√5ɔɔ

则由正弦定理可得OIC=2c0=孚=OP,

ZSlHZ.CFLL

设三棱锥E-FCB的外接球半径为R,则OC=OB=R,

在408P中，OB=R,OP=争，

222

又BP=2-PC=2-00↑=2-√OC-O1C=2-Jfi-|,

故由勾股定理可知：OB2=O∕√+8/，即R2=∣+4+R2一尚一4即

解得：R2=-,则该棱锥外接球的表面积S=4nR2=]4τr,故④正确.

故答案为：①③④.

X

E

四、解答题(共70分)

17.(10分)在三角形中，NA、NB、ZC分别对应的边为a,b,c,且满足关系式为:

taπA+tanB+tanC=^ytanAtanβ.

(1)求NC的大小；

(2)若c=2,求/+层的取值范围.

【解答】解：(因为CA+B)

1)tan=tan(π-C)=-tanC=1；—岁ta堂nAt吗anb,

所以可得tanΛ+tan8+tanC=tanAtanBtanC,

又ta∏A+tanB+tanC=-g-tanAta∏B,

/ɜ

所以ta∏AtanθtanC=-yta∏Ata∏B,

因为ta∏Atanθ≠0,

所以tanC=ɪ,

因为C∈(0,π),

所以C=I

O

（2）因为J=J+.-20bcosC,c=2,

所以4=J+Z>2-√5MNJ+/-在与也，所以/+82wi6+8√5,当且仅当α=匕时取等

号，

又因为6J2+⅛2>4,

所以J+/的取值范围是（4,16+8返］.

18.（12分）已知数列｛斯｝满足：αι=l,且<⅛+ι-2<⅛=0,等差数列｛》｝满足:bι=2,b5+b7

=34,令Cn=Q〃-力j（∕2∈N*）.

（1）求数列｛Cn｝的通项公式；

（2）求数列｛∣Cn∣｝的前〃项和S〃.

nn

【解答】解：（1）因为斯>0,由题意得公比9=2,所以an=%q-ι=2τ,

由等差数列｛岳｝中,bτ=2,加+历=34,

设公差为"，则2bι+10d=34,解得d=3,

故bn~3/7-1,

n1

所以Crl=2--3n+1；

(2)由(1)得c71+ι=2"-3九一2,所以cn+ι—Cn=2"一1—3,

则当〃23时，QH∙ι>c∏,

当九小2时,C∏+∣<Cn,

又当〃W4时，cn<0,当时，cn>0,

所以当〃W4时,S*=—(J+C?+…+4)=-[⅛J-+汨=+1,

当“25时，Sn=-(Cl+c2+c3+c4)+c5+C6+…+Cn=-2(ci+c2+c3+c4)+(c,l+C2+∙+Cn)=

3n2÷n

2n-+21

2

当也-2rι+l,n≤4

从而S=

n2n-3π^+21,n≥5

19.（12分）新型冠状病毒的传染性是非常强的，而且可以通过接触传播或者是呼吸道飞沫

传播，感染人群年龄大多数是40岁以上的人群.该病毒进入人体后有潜伏期，并且潜伏

期越长，感染他人的可能性越高，现对100个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统

计发现潜伏期中位数为5,平均数为7.21,方差为5.08.如果认为超过8天的潜伏期属于

“长潜伏期”.按照年龄统计样本得到下面的列联表：

长潜伏期非长潜伏

期

40岁以上ɪ55

40岁及以20

下

（1）能否有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；

（2）假设潜伏期Z服从正态分布N（μ,。2）,其中μ近似为样本平均数，。2近似为样

本方差，现在很多省份对入境旅客一律要求隔离14天，请用概率的知识解释其合理性；

(3)以题目中的样本频率估计概率，并计算4个病例中有X(X6N*)个进入“长潜伏

期”的期望与方差.

2

附.K=_____"(ad-be)_______

pιj,λ(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)∙

PCK*12^*k)0.10.05

k2.7063.841

若随机变量Z服从正态分布N(μ,。2),则P(N-O<Z<μ+o)=0.6826,P(R-2

。<Z<μ+2σ)=0.9544,P(H-3。<Z<μ+3σ)=0.9974,√S08≈2.25.

n(ad-bc)2100×(15×20-55×10)2Uor

【解答】解:(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)=70x30x25x75≈1•"/

由于1.587V2.706,

故没有90%以上的把握认为“长潜伏期”与年龄有关；

(2)若潜伏期Z~N(7.21,2.252),

I⅛时μ+3σ=7.21+3X2.25=13.96,

,1-09974

由「(Z213.96)==0.0013,

显然潜伏期超过14天的概率很低，

因此隔离14天是合理的.

(3)由于100个病例中有25个属于长潜伏期，

若以样本频率估计概率，英特患者属于“长潜伏期”的概率是上

4

1

因为X~B(4,-),

4

所以期望E(X)=np=4×ɪ=1；

方差D(X)=np(I-P)=4×j×≡=p

4r4r4T

20.(12分)如图，四棱锥P-ABCZ)中，底面ABCr)是直角梯形，ADlDC,AD//BC,平

面PCoJ_平面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为I.

(1)证明：LL平面产CD；

(2)已知Ao=PO=OC=；8C=2,且/。PC=30°,求直线PB与平面孙。所成角的

正弦值.

【解答】（1）证明："：ADLDC,平面PDC_L平面ABC。，且平面PDC∩平面ABCO=

CD,

ΛAD1¥≡PDC.（2分）

'JAD//BC,ADC平面尸8C,BCu平面PBC,

."D〃平面P8C.（4分）

：平面∕¾QΓ∣平面PBC=/,A。U平面BA。，

：.AD//l,/_!_平面PoC（6分）

（2）解：∙.∙PD=OC=2,PHLCD,垂足为H,

又；NDPC=NPCD=30°,

.".ZPDC=120°,NPDH=60°,

ΛP7∕=PDsin60o=√3.（8分）

设B到平面PAD的距离为h,

'∙VB-PAD=VpABD>

11

即]SAPAD'"=]^hABD,PH•

又5△/¾o=∙PO=2,S^ABD=^ADCD=2,

：.lI=√3.（10分）

由Ao，平面尸。C,AD//BC,

.∙.8C_L平面PDC,

.,.BC±PC.

：.PB=∖∕BC2+PC2=√16+12=√28=2√7.

设PB与平面以。所成角为。，

则Sine=磊=磊=答•（12分）

21.(12分)己知P是平面上的动点，且点P与Q(-1,0)、尸2(1,0)的距离之和为2√1点

P的轨迹为曲线E.

(I)求动点P的轨迹E的方程；

(H)不与y轴垂直的直线/过点Q且交曲线E于M,N两点，曲线E与X轴的交点为

OTTTT

A,B,当IMNl≥5b时，求4M∙NB+AN∙MB的取值范围.

【解答】解：(I)依题意，点P的轨迹E是以FI(-1,0),F2(1.0)为焦点,长轴

长为2百的椭圆，

即α=百，c=l,b=>/2,

X2V2

故椭圆的标准方程为M+v=1.

32

y2y2

(II)设直线/方程为y=Mx+l),代