新疆乌鲁木齐地区2023届高三第一次质量监测数学（文）试题（解析版）

乌鲁木齐地区2023年高三年级第一次质量监测

文科数学(问卷)

(卷面分值：150分；考试时间：120分钟)

第I卷(选择题共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题

目要求的.

1,已知集合LTV”"},B={2,3,4},则AF=()

A.{2}B.{2,3,4}C.{3,4,5}D.{2,3,4,5}

K答案HB

K解析》

K祥解》根据交集的运算进行求解.

K详析?因为A={x∣τ<x<5},B={2,3,4},所以AB={2,3,4).

故选:B.

w

2.命题“Vxe[0,+8),√+χ≤0的否定是()

3

A.VXe(Yo,0),√+χ>0B.VX∈(YO,0),Λ+Λ<0

33

C.3J⅛∈[0,+∞),x0+x0>OD.3¾∈[(),+∞),x0+X0≤O

R答案XC

K解析D

K样解H根据全称命题的否定是特称命题得K答案》.

R详析H根据全称命题的否定是特称命题可得，

3

命题"Vx∈[(),+oo),丁+3<0”的否定是3Λ0∈[Q+Oo),xθ+λ∙o>()

故选：C.

f-fj

3.已知向量α=(2,3),b=(-l,2),若松+油与a-2》共线，则一等于()

11

A.----B.—C.—2D.2

22

K答案』A

K解析H

K样解1先得出加a+r仍与a—2Zj的坐标，由共线得出14加=一7〃，进而得出K答案》.

K详析Il解：易得加〃+=（2加一〃,3AH+2J7）,Q—2石=（4,—1）,

因为ma+浦与。-2。共线，

所以（2/n_〃）x（T）=（3m+2〃）x4,

γγiI

即14/〃=—7力，所以一=—.

n2

故选：A.

4.复数Z=」的共筑复数是（）

2-1

A.l+2iB.l-2iC.-l+2iD.-l-2i

R答案DD

K解析》

K祥解D根据复数除法求出z,再写出共辗复数三即可.

5i5i∙(2+i)-5+IOi

K详析H因为Z=-l+2i,

2≡i(2-i)(2+i)5

所以^=-l-2i,

故选：D

5.已知直线“，6与平面ɑ,β,γ,能使的充分条件是（）

A.aPa,b//β,a±bB.a±y,βLγ

C.aPa,aLβSacβ=a,cι1b，buβ

R答案2C

K解析U

"羊解Il根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断即可得到结果.

对于A,由αPα,b//β,可得&〃〃或者&与父相交，故错误；

对于B,由α,y,βLγ,可得α与〃可能平行、相交，故错误；

对于C,由αPα,a±β,过直线。做平面与平面α相交与直线"如上图所示，b,又a1/3,

.∙.b±β,又bua,：«工一故正确;

对于D,当C与夕相交但是不垂直时，也有可能buβ,故错误;

故选：C

6.中国古代数学名著《算法统宗》中有一道题：“今有七人差等均钱，甲乙均七十七文，戊己庚均七十五

文，问乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚这七个人，所分到的钱数成等差数列，甲、

乙两人共分到77文,戊、己、庚三人共分到75文，问乙、丁两人各分到多少文钱？则下列说法正确的是()

A.乙分到37文，丁分到31文B.乙分到40文，丁分到34文

C.乙分到31文，丁分到37文D.乙分到34文，丁分到40文

K答案，A

K解析H

R祥解》设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a—3d,a-2d,a-d,4,a+d,a+2d,

a+3d,再根据题意列方程组可解得结果.

K详析D依题意，设甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分钱数分别为a-3d,a-2d,a-d,。，a+d，

a+2d,a+3d，

a-3d+Q—2d=77fa=31

则《,解得《,

a+d+a+2d+a+3d=75[d=-3

所以乙分得。一以/二37(文)，丁分得a=31(文)，

故选：A.

7.已知定义在R上的奇函数/(x),满足/(X+3)=—/(x),且当Xdoq时，/(x)=f-6χ+8,

则/⑼+/(1)+/⑵+∙∙∙+/(IOo)=()

A6B.3C.0D.-3

K答案DB

K解析H

K祥解11根据函数/(X)恒有∙f(x+3)=-∕(x),得到函数/(χ)的周期是6,再由/(χ)定义在R上的

奇函数,得到F(O)=O,f(3)=0,然后"0)+/(1)+/(2)+…+/(I(X))

=Iy(O)+/(1)+/⑵+...+/⑸卜16+/(0)+〃1)+/(2)+〃3)+〃4)求解.

R详析H因为函数/(x)对任意的实数X,恒有/(x+3)=-/(X),

所以/(x+6)=-∕(x+3)=∕(x),

所以函数/(x)是以6为周期的周期函数，

又/(x)定义在R上的奇函数，

所以/(0)=0,/(3)=—/(())=0,

又当XW(O,耳]时，/(x)=x2-6x+8,

所以〃l)=3,∕(2)=∕∙(T+3)=-∕(T)="l)=3,

γ∙(4)=∕(l+3)=-∕(l)=-3√(5)=∕(2+3)=-∕(2)=-3,

所以/(0)+/(1)+/(2)+…+/(MX))，

=[∕(0)+∕(l)+∕(2)+...+∕(5)]×16+/(0)+/(1)+/(2)+/(3)+/(4),

=0×16+3=3,

故选：B.

8.已知GSina+cosa=，则8$(今一2。)=()

1717「88

A.-----B.—C.—D.一

18∣899

K答案DC

K解析H

K祥解』由己知式求得COS(A-a)=左，然后再由余弦的二倍角公式求值.

K详析X由百Sina+cosa=，得2(^^sina+LCOSa)=^ɪ，2cos(工-Q)=∙^,

322333

/万、叵

cos(----a)=——，

36

0

至8

4T2

H=--

3(3-69

故选：C.

八点石成金」n本题考查两角差的余弦公式的二倍角公式，解题关键是结合已知角和未知角的关系确定选

用什么公式.

22

9.己知G，居分别是双曲线C:三—5=I(α>0,b>O)的左、右焦点，以耳鸟为直径的圆与C在

a"b~

第二象限交于点A,且双曲线C的一条渐近线垂直平分线段AF2,则C的离心率为()

A.√2B.√3C.2D.√5

K答案，D

K解析2

1(2f2Q1ʌ

K祥解》由题知Zg=—，，kAFi=-,进而得直线4耳、A鸟的方程并联立得A幺二,卫，再将

其代入双曲线方程整理得C=J^”,再求离心率即可.

详析D解：由题设6(-c,0),E(c,0),渐近线点丫=3》，∕2-=-gχ,

因为以片鸟为直径的圆与C在第二象限交于点A,

所以J_A£,

因为双曲线C的一条渐近线垂直平分线段AF2,

LLtlfClb

所以，ZAQ=一二，L1AK二一，

-b1a

Z7/ɔ

所以，直线A凡的方程为y=-：a—c),直线A耳的方程为y=—(x+c),

ba

xc

y=-τ(-)(a1-b1Iab

所以,联立方程《得A

CC

y=—(x+c)

/2>2ɔJʌ22

所以，将A—-------,——代入冬―斗~=1整理得5/=c?,BPc=∖[Sa，

22

ICc)ab

所以，C的离心率为6=2=逐.

a

故选：D

10.函数/(x)=ASin(Q沈+夕)(<υ>0,M∣<π)的部分图像如图所示，下列说法不正确的是()

A.函数/(x)的K解析2式为/(x)=2sin[2x+^J

B.函数/(x)在区间疆+%+E住？Z)上单调递增

Tr

C.为了得到函数/(X)的图像，可将函数g(x)=2sin2x的图像向左平移立个单位长度

D.函数>=∕(x)-∕(-x)的最大值为4

K答案XD

K解析H

K祥解11根据题意，由图像求得函数/(X)的K解析Il式，然后根据正弦型函数的单调性以及三角函数图

像变换，即可得到结果.

K详析2对于A,由图像可得，[=ff-(一1)oT=π,则闷=1，且口>0,所以口=2,

(π、1π、

再将点一石，0代入，可得ASin2×-+φ=0,即Asin-

\1，/12›

所以----∖~φ—2E,&∈Z,又IeIV兀，则夕二一

66

将点(Oj)代入，可得A=2,所以/(x)=2sin2x+：,故正确;

对于B,因为/(x)=2Sinl2工+己］,令-^+2⅛π≤2%+弓≤∙^+2Λπ,Z∈Z,

7ΓTT

解得----FZTΓ≤X≤---kkit,攵∈Z,

36

TrTl

所以/(X)单调递增区间为一彳+k,7+E,⅛∈Z,故正确；

_3r6

Tr

对于C,由题意可得，将函数g(x)=2sin2x的图像向左平移五个单位长度，

即2sin2*+专=2sin*+/=/(尤)，故正确；

对于D,要使>=小)一/(一£)=25吐2%+春卜20m卜2%+总得到％^=4,

则当2sin(2A：+4

=2且2sin—2xH—=-2时,

6

.V√max_V6Iniin

TTTTJT

即当2x+—=—+2&兀,A∈Z=>x=-+Zcπ,⅛∈Z,

626

此时2sin1-2x+∙^)=2sin(q-2E)=T,故不满足，故错误;

故选:D

11.已知函数/(x)=Inl^q,a=Iog23,b=Iog34,c=∣∙,则()

A./(a)<∕(^)<∕(c)B.7(a)</(c)</(/?)

C./(c)<∕(a)<∕(Z?)D./(c)</(》)</(α)

K答案，B

R解析，

K祥解2先判断函数的单调性，然后比较α,Ac的大小，结合单调性可得K答案』.

R详析D因为守>0,所以定义域为(一3,2),/(x)=In三=ln(2—x)—ln(3+x);

易知y=ln(2—x)为减函数，y=ln(3+x)为增函数，所以/(x)=InA为减函数.

J*1ʌ

3

因为α=lθg23>lθg2J^=∙∣,所以4>C；

又b=log34<log3"^=m=c,所以α>c>b,所以.f(α)<∕(c)<∕(人).

故选：B.

12.如图，在三棱柱ABC-Λ1gC∣中，Aa，底面ABC,AA=4,AC=BC=2,NACB=90。，。在

上底面Agq(包括边界)上运动，则三棱锥O-ABC的外接球体积的最大值为()

B.8√3πC.8λ∕6πD.12√3π

K答案2c

K解析U

K祥解》先确定球心的大致位置，结合勾股定理，得出半径的最大值，进而可求外接球的体积的最大值.

K详析D因为AC=BC=2,44CB=90。，所以_ABC的外接圆的圆心为AB的中点。「且

AOi=BOi=42,

取44的中点E,连接。E，则O∣E∕∕A4∣,所以RE，平面ABC；

设三棱锥。一ABC的外接球的球心为。，则。在。田上，

设Oa=X,DE=t(O≤t≤向,球半径为A,

因为OA=OD=H,所以J2+/=J(4—Xp+产，所以尸=8x-14,

因为0≤f≤√∑,所以:≤X≤2,因为R2=2+χ2,所以2≤R2<6,

416

即外接球半径的最大值为逐，

所以三棱锥。一A6C的外接球的体积的最大值为V=→(√6)'=8√6π.

故选：C.

Kr点石成金D方法r点石成金』：常见几何体的外接球半径求法:

(1)棱长为4的正方体的外接球半径为R=虫α;

2

(2)长方体的长，宽，高分别为“∕,c,则其外接球的半径为R=包土匕£1

2

(3)直棱柱的高为人，底面多边形的外接圆半径为r，则其外接球的半径为R=

第∏卷(非选择题共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23

题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率是.

K答案H7

6

R解析X

K祥解》通过列举事件，利用古典概率求解.

K详析D抛掷两枚质地均匀的骰子，所有基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),,(6,6),共有36种;

两个点数相等的基本事件为：(1,1),(2,2),(3,3),(4,4卜(5,5),(6,6),共有6种,

61

1

=

所以两个点数相等的概率是p一6-

36

1

故

K答案Σ沙

6-

3Q

14.公比q≠l的等比数列｛4｝的前〃项和为S,,,且田=]，S3=],则&=

K答案H-43

16

K解析H

K祥解』先根据条件求出首项和公比，再利用通项公式求4.

31Q

K详析H因为％=j,S3=~,所以O1+%=4（l+q）=3,

313

又％=%q-=5,所以q=6,q=一万或q=5,q=l（舍）,

3

所以。6=%q'=——.

16

3

故K答案11为：——.

16

15.设。为坐标原点，抛物线G9=2后（〃＞（））的焦点为尸，过点尸作X轴的垂线交。于点P,Q为X

轴正半轴上一点，且∣Op=5,若NoPQ=45。，则C的准线方程为.

K答案XX=—3

K解析H

K祥解H由题知多，，进而根据S。也=g∣OQ∣∙∣%=JθPIlPQkinNOPQ计算即可.

K详析》解：如图，由题知尸已0）,将X=日代入方程V=2px得y=±P,故

所以∣°P∣=gp2+p2=乎P，IPQl=/5-9+/，

所以s00°=g∙IOQl∙I尸目=；IOpIlPqSinNOPQ,

因为IP=曰.日+p2,整理得P2_4p_12=0,解得p=6（P=-2舍），

所以，抛物线Cy2=∖2x,准线方程为：X=-3

故K答案U为：X=—3

16.已知函数/(X)=G-3x+l存在唯一的零点，则实数。的取值范围为.

K答案H(→∞,0]u(4,+∞)

K解析H

R祥解Il求定义域，求导，分α≤0与。〉0两种情况，结合零点存在性定理和极值情况，列出不等式，求

出实数。的取值范围.

K详析D/(x)=0√-3x+l定义域为R,/'(x)=3加-3,

当α≤0时，/'(x)=30χ2-3<O恒成立，故/(x)=α√-3χ+ι在R上单调递减,

又"0)=l>0,/(l)=α-2<0,

由零点存在性定理得：存在唯一的XoG(0,1)使得：/(∙⅞)=0,故满足要求，

当α>0时，由f'(x)-3ax2-3>0得χ>F或χ<

a

,2

由∕(x)=30r-3<。得—J!<x<ɪ

a

但上单调递减，在χ<1LX>JL上单调递增,

aa

当x→-∞时，/(x)→-∞,

所以函数/(x)=αx3—3x+l存在唯一的零点，只需了ɪ1>0,

a

/

解得：a>4,与。>0取交集后得到0>4,

综上：实数α的取值范围是(f,()]u(4,+s).

故K答案X为：(―∞,θ]u(4,+∞)

三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或

演算步骤.

22

17.在AABC中，边“，b,C所对的角分别为A,B,C,α=3,c=h-3h+9-

(1)求角C的大小；

(2)若一^—7=ɜʌ/ɜ,求边c.

CoSA

π

K答案』(1)-

3

(2)

2

R解析D

"羊解II(I)根据余弦定理可求角C的大小；

(2)利用正弦定理和倍角公式可求.

R小问1详析』

因为α=3,c2—b2-3b+9<所以COSC=β*"———=—ɪɪ;

2ah6b2

π

因为O<Cvπ,所以。=一.

3

K小问2详析』

因为，_=_^,所以CSinA=述；

sinASinC2

因为一S∙=3√L所以3GcosAsinA=更，即sin2A=l;

cosA2

因为O<A<π,所以4=?,所以C=辿.

42

18.如图，在四棱锥P—ABCO中，，平面A5C。，ADLCD,AD//BC，且Q4=AZ>=CZ)=2,

BC=3,E是PO的中点，点尸在PC上，且Pb=2FC.

(2)求三棱锥P-AM的体积.

K答案Il(I)证明见K解析?

⑵-

9

K解析，

R祥解Il(I)在线段PB上取点M,使得PM=2MB，进而证明。E//AM即可证明结论;

(2)利用％YEF=%.AEF=匕E等体积转化，即可得到本题(答案L

K小问1详析F

证明：在线段PB上取点M,使得PM=2MB，

2

所以，在一PBC中，MF=-BC=2,RMFllBC,

因为在四边形ABC。中，ADHBC,AD=2,

所以，MFHAD,MF=AD,

所以，四边形Ar)RW是平行四边形，

所以。E//AM,

因为。尸N平面“钻，AMu平面Q4B，

所以。尸//平面aw.

K小问2详析』

作FG上PD交PD于点G,

因为PA，面ABCD,所以B4,Cr),

又A£>，Cr>,Q4与AD交于点A,

所以。。_1面24。，CDVPD,

又FGtPD,所以尸G//CD,所以PFGPCD,

所以P正F=言FG,得叩=43

因为E为PO中点,

=-FGSAn=-xix-x-x2x2=-

所以^p-AEF~^D-AEF~^F-ADE

333229

19.某经营礼品花卉的店主记录了去年当中100天的A,8两种花卉每枝的收益情况，如表所示:

A种花齐:

收益工(元)-102

天数103060

B种花齐:

收益y(元)012

天数303040

(1)如果店主向你咨询，明年就经营一种花卉，你会给出怎样的建议呢？

(2)在实际中可以选择适当的比例经营这两种花卉，假设两种花卉的进货价都是每枝1元，店主计划投入

IOOOO元，请你给出一个经营方案，并说明理由.

K答案Il(I)B种花卉收益稳定，选择B种花卉.理由见详析；

(2)投资A种花卉3485元，投资B种花卉6515元.

工解析D

K祥解Il(I)先求出A、8种花卉收益的数学期望和方差，结合数学期望和方差的意义即可下结论；

(2)根据数学期望和方差公式求解两种花卉收益的方差即可.

R小问1详析】

记4种花卉方差为邑，B种花卉方差为当，

A种花卉收益X-1,0,2,

P(X=-I)=——=0.1,

100

30

P(X=O)=——=0.3,

100

P(X=2)=-=0.6,

100

所以E(X)=—1x0.1+Ox0.3+2x0.6=1.1,

所以s：=().1X(-1-L1)2+O.3X(O-L1)2+O.6X(2-1.1)2=1.29;

8种花卉收益y为0,1,2,

30

p(y=O)=—=0.3,

100

P(y=l)=230=0.3,

100

40

p(y=2)=——=0.4,

100

所以E(y)=OxO.3+lxO.3+2xO.4=Ll,

所以¢=0.3X(0-1.1)?+0.3X(1—LI)?+0.4X(2—1.1)?=0.69,

因为E(X)=E

所以8种花卉收益稳定，选择8种花卉经营；

K小问2详析工

设投入α元经营A种花卉，则投入(IOoOO-。)元经营B种花卉，

所以E(αX)+EKIoOoo-a)Y]=aE(X)+(10∞0一α)E(Y)=11000元,

D(aX)+£>[(10000-a)W=∕θ(X)+(10000-a)2D(Y)

=1.29/+0.69(10000-4)2

=1.984-13800Oa+0.69×IO8，

=一二1型地。3485时，两种花卉收益方差最小，收益最稳定,

2x1.98

IOOOO-3485=6515元,

故投入3485元经营A种花卉，则投入6515元经营B种花卉.

20.已知/(x)=2InX+0r+々在χ=l处的切线方程为y=-3x.

(1)求函数/(x)的K解析1式：

(2)/'(X)是/(x)导函数，证明：对任意xe[l,+e),都有∕α)-r(x)≤-2x+1+l.

X

(答案U(ɪ)f(x)=2In%—4x-\—

X

(2)证明见K解析》

K解析X

K祥解》(1)根据条件得到关于的方程，即可得到结果；

(2)根据题意，令g(x)=∕(x)-7'(X)—1―2x+J+l),然后求导得到其在x∈[l,+")上的最大值，即

可得证.

R小问1详析】

9b

由题意可得，/(l)=α+力=-3,且/'(x)=-+α--r,则/'(1)=2+。一/?=—3,

α+b=-3f。=—4/、1

即、,,BPt1,所以“x)=21njc-4x+-

2+Q-。=-3[b=1X

K小问2详析)

121

由(1)可知，/(x)=21nx-4x+-,/'(X)=——4——E

所以/(x)-∕'(x)=21nx-4冗一L+4+4,

11(1ʌ21

令g(x)=21ΠX-4Λ:——+-+4--2x+-÷1∖=2∖nx-2x——+—5-+3,

XXIX)XX

川“、222—2(1—x)(l+x)

则g(力=——2+丁-7=」一P一J

XXXX

所以x21时，g'(χ)==2(1T(IrX)≤o,

即g(x)在x∈[l,+8)上单调递减,

ɪJ(\

所以g(%)<g(l),即g(x)=21nx—4X----1—^+4——2XHFl≤0,

所以/(x)-/(x)—(―2冗+!+1)≤O,即/(x)—∕'(X)≤—2x+L+1

21.已知椭圆。的中心是坐标原点，焦点在X轴上，且经过点Al,ɪ,：,一手).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)MN是经过椭圆C的右焦点尸的一条弦(不经过点A),设直线MN与直线/：x=2相交于点Q,记

AM,AN,AQ的斜率分别为匕，k2,ki,求匕•七•%的最大值.

K答案H(I)

9√2

K解析R

R祥解Il(I)根据题意，待定系数求解即可；

(2)设直线MN的方程为y=-x-1),M(xl,yl),N(x2,y2),进而得

yp2y/2y=k(x-l)

-I)-2MX2-1)-2血\,再联立Qχ2,结合韦达定理，二次函数最值

k-2

∖化2化3=-----------；-------------------；-------IK-丁)——÷Vz=1

xi-1x2-122

整理求解即可.

K小问1详析)

22

解：由题，设椭圆C的标准方程为T+2r=l(4>6>0),

因为椭圆C经过点Al,ɪ

所以《,解得/=2,/=1,

所以，椭圆C的标准方程为工+y

2

K小问2详析］

解：由(1)知∕7(l,0),因为MN是经过椭圆。的右焦点尸的一条弦且不经过点A,

所以,直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=R(x—D，M(Xl,*),N(A2,%),

所以,Q(2㈤,

√2√2

所以,

%=—片K

Xl-I2

y=Λ(x-1)

联立方程〈X2,得(1+2/)/一4公彳+2/-2=0,A>0,

—+y=1

[2

4公2k2-2

所rrrl叫+“B+=E

k(X∖-1)一'^■k(x「l)-乌

所以，kkk___________2_

ΛIK2K3一.

XlT

_A2_母k(XI+*2)-21

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2÷x)+1)T)

(X1Λ2-(X1+X2)+1)2(X1X2-(XI2

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1+2公=—血伍—也%—_L

k-

-1+2∙^1^I44J

1+2Pl+2k2

H----

8J32

所以，当人=Yl时，左#,占有最大值述

8-32

选考题:共10分,请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作

答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

K选修4-4：坐标系与参数方程X

x=l+cosθ

22.在平面直角坐标系Xoy中，已知直线/：x+y=l与曲线C：《.八(6为参数).以坐标原点为

y=sin夕

极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求直线/和曲线C的极坐标方程；

(2)在极坐标系中，己知射线〃?：8=α(θ>0)与直线/和曲线C的公共点分别为A,B,ɑe(θ,5j,

当|0即=2］。4|时，求α的值.

1

O-----------------7------------ς-

K答案》(1)直线/的极坐标方程为正Sinle+7t］，曲线。的极坐标方程为夕=2COSa

兀

(2)OL=—.

4

K解析，

1

R祥解2(1)直接将直线极坐标化得&。s