函数的极值与导数完整版

1.3.2函数的极值(jízhí)与导数高二数学(shùxué)选修2-2

第一章导数及其应用第一页，共二十六页。一、复习(fùxí)导入------复习旧课1.解区间(-∞，-4)-4(-4，2)2(2，+∞)f’(x)00f(x)f(x)在(-∞，-4)、(2，＋∞)内单调(dāndiào)递增，你记住了吗？有没搞错，怎么这里没有填上？求导数(dǎoshù)—求临界点—列表—写出单调性++-f’(x)>0(x+4)(x-2)>0x<-4或x>2f(x)在(-4，2)内单调递减。f’(x)<0(x+4)(x-2)<0-4<x<2第二页，共二十六页。还记得(jìde)高台跳水的例子吗？atho最高点一、复习(fùxí)导入------导入新课h(t)=-4.9t2+6.5t+10第三页，共二十六页。一、复习(fùxí)导入----------导入新课单调(dāndiào)递增h’(t)>0单调(dāndiào)递减h’(t)<0h’(a)＝02.跳水运动员在最高处附近的情况：(1)当t=a时运动员距水面高度最大，h(t)在此点的导数是多少呢？(2)当t<a时h(t)的单调性是怎样的呢？(3)当t>a时h(t)的单调性是怎样的呢？将最高点附近放大t=at<at>aatho最高点导数的符号有什么变化规律？在t=a附近，f(x)先增后减，h’(x)先正后负，h’(x)连续变化，于是有h’(a)=0．f(a)最大。对于一般函数是否也有同样的性质吗？＋－h(t)=-4.9t2+6.5t+10第四页，共二十六页。一、复习(fùxí)导入------导入新课探究(tànjiū)3.(1)如图，y=f(x)在c、d等点的函数值与这些(zhèxiē)点附近的函数值有什么关系？导数值呢？导数符号呢？cdefoghIjxy第五页，共二十六页。一、复习(fùxí)导入------导入新课3.(2)如图，y=f(x)在a、b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？导数(dǎoshù)值呢？导数(dǎoshù)符号呢？探究(tànjiū)xyoaby-=f(x)xyoaby-=f(x)>0<0<0>0极小值点极大点f’(a)=0f’(b)=0第六页，共二十六页。二、讲授(jiǎngshòu)新课-----了解概念xyoaby=f(x)x<b=b>bf’(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减

什么(shénme)是极小值点、极小值、极大值点、极大值、极值点、极值？f(a)f(b)小结(xiǎojié)x<a=a>af’(x)-0+f(x)单调递减极小值单调递增极大值点和极小值点统称为极值点极大值和极小值统称为极值第七页，共二十六页。abxyO定义(dìngyì)

一般地,设函数f(x)在点x0附近有定义(dìngyì),如果对x0附近的所有的点,都有我们就说f(x0)是f(x)的一个极大值,点x0叫做(jiàozuò)函数y=

f(x)的极大值点.

反之,若

,则称

f(x0)是f(x)的一个极小值,点x0叫做函数y=

f(x)的极小值点.

极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.第八页，共二十六页。yabx1x2x3x4Ox

观察(guānchá)上述图象,试指出该函数的极值点与极值,并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.第九页，共二十六页。1．理解极值概念时需注意的几点(1)函数的极值是一个局部性的概念，是仅对某一点的左右两侧附近的点而言的．(2)极值点是函数定义域内的点，而函数定义域的端点绝不是函数的极值点．(3)若f(x)在[a，b]内有极值，那么f(x)在[a，b]内绝不是单调(dāndiào)函数，即在定义域区间上的单调(dāndiào)函数没有极值．总结(zǒngjié)第十页，共二十六页。

(4)极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以(kěyǐ)有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．(如图(1))(5)若函数f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规律的(如图(2)所示)，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．2．导数(dǎoshù)为0的点不一定是极值点．第十一页，共二十六页。练习(liànxí)1

下图是导函数的图象,试找出函数的极值(jízhí)点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6第十二页，共二十六页。yxO探究：极值点处导数值(即切线斜率(xiélǜ)）有何特点？结论:极值(jízhí)点处，如果有切线，切线水平的.即:

f(x)=0aby=f(x)x1

x2x3f(x1)=0

f(x2)=0

f(x3)=0

思考(sīkǎo);若

f(x0)=0，则x0是否为极值点？xyO分析y

x3第十三页，共二十六页。若寻找(xúnzhǎo)可导函数极值点,可否只由f

(x)=0求得即可?思考(sīkǎo)探索:x=0是否(shìfǒu)为函数f(x)=x3的极值点?x

yOf(x)

x3f

(x)=3x2

当f

(x)=0时，x

=0，而x

=0不是该函数的极值点.f

(x0)

=0x0

是可导函数f(x)的极值点x0左右侧导数异号x0

是函数f(x)的极值点f

(x0)

=0注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件第十四页，共二十六页。进一步探究:极值点两侧(liǎnɡcè)函数图像单调性有何特点?极大值极小值即:极值点两侧(liǎnɡcè)单调性互异第十五页，共二十六页。f

(x)<0yxOx1aby=f(x)极大值点两侧(liǎnɡcè)极小值点两侧(liǎnɡcè)f

(x)<0f

(x)>0f

(x)>0探究:极值点两侧导数正负(zhènɡfù)符号有何规律?x2

xX<x2

x2X>x2

f

(x)

f(x)

xX<x1

x1X>x1

f

(x)

f(x)增f

(x)>0f

(x)=0f

(x)<0极大值减f

(x)<0f

(x)=0增减极小值f

(x)>0注意:(1)

f

(x0)=0，x0不一定是极值点(2)只有f

(x0)=0且x0两侧单调性不同

，

x0才是极值点.(3)求极值点，可以先求f

(x0)=0的点，再列表判断单调性结论：极值点处，f

(x)=0第十六页，共二十六页。因为(yīnwèi)所以例1求函数的极值(jízhí).解:令解得或当,即,或;当,即.当x变化(biànhuà)时,f(x)的变化情况如下表:x(–∞,

–2)–2(–2,2)2(2,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–2时,f(x)有极大值28/3;当x=2时,f(x)有极小值–4/3.第十七页，共二十六页。例题(lìtí)4图像-2oxy2+--+28/3-4/3f(x)=1/3x3-4x+4第十八页，共二十六页。例2xX<-1-1(-1,0)（0，1）1X>1+0--0+所以(suǒyǐ)，当x=-1是，函数的极大值是-2，当x=1时，函数的极小值是2导函数的正负是交替(jiāotì)出现的吗？不是(bùshi)极大值极小值第十九页，共二十六页。求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程f’(x)=0的根（3）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格(biǎogé)（4）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况

若f’(x０)左正右负，则f(x０)为极大值；若f’(x０)左负右正，则f(x０)为极小值+-x0-+x0求导—求极点(jídiǎn)—列表—求极值第二十页，共二十六页。练习(liànxí)2求下列(xiàliè)函数的极值:解:令解得列表(lièbiǎo):x0f(x)+单调递增单调递减–所以,当时,f(x)有极小值第二十一页，共二十六页。练习(liànxí)2求下列(xiàliè)函数的极值:解:解得列表(lièbiǎo):x(–∞,

–3)–3(–3,3)3(3,+∞)00f(x)–++单调递增单调递减单调递增所以,当x=–3时,f(x)有极大值54;当x=3时,f(x)有极小值–54.第二十二页，共二十六页。练习(liànxí)2求下列函数(hánshù)的极值:解:解得所以(suǒyǐ),当x=–2时,f(x)有极小值–10;当x=2时,f(x)有极大值22

.解得所以,当x=–1时,f(x)有极小值–2;当x=1时,f(x)有极大值2

.第二十三页，共二十六页。