2022-2023学年高一下数学：平面的平行与垂直（附答案解析）

2022-2023学年高一下数学：空间直线、平面的平行与垂直

一.选择题（共8小题）

1.（2022•淮北一模）已知α,0,Y是三个不同的平面，且a∏γ=m,BnY=",则"加〃

是“a〃仗'的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2021秋•赤峰期末）设加、〃表示不同的直线，a、β表示不同的平面，且〃?ua,m=β,

则“a〃''是''"∕β且"〃a”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2021秋•江苏期中）设平面aC平面β=w,且“ua,%uβ,alm,b±m,则"a_L6”是

“a"L|T的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

4.（2021秋•吉安县期中）如图，在四棱锥S-/8CQ中，底面NBCQ为正方形，且S4=S8

=SC=SD,其中E,M,N分别是8C,CD,SC的中点，动点尸在线段MN上运动时，

下列四个结论：

@EPLAC-,

①EPHBD,

③EP〃面S/C；

④EP〃面SBD-,

其中恒成立的为（）

A.①③B.③④C.①④D.②③

5.（2021秋•海淀区期中）如图，已知正方体/8CZ）-∕∣8CιDι,M,N分别是小。，DIB

第1页（共28页）

的中点，则（

A.直线小。与直线OiB相交，直线MN〃平面

B.直线小。与直线O/平行，直线MAa平面8Z">∣8ι

C.直线小。与直线OiB垂直,直线1W〃平面/8CT）

D.直线小。与直线。18异面,直线MNJ"平面BDD∖B∖

6.（2021春•尖山区校级期中）如图，四棱锥P-488的底面是边长为1的正方形，点E

是棱尸。上一点，PE=3ED,若而=λ记且满足"〃平面ZeE,则人=（）

c喙O-I

7.（2021春•南昌期末）如图，正方体/8C。-48∣CI。的棱长为2,点。为底面/8CD的

中心，点P在侧面581CIC的边界及其内部运动，若OiOLO?，则aOCi尸面积的最小

A..⅛ΣB.C.√5D.2√5

55

8.（2020秋•郑州期末）如图，在正方体NBCO-HB'C'D'中，线段8。'上有两个动

第2页（共28页）

点E,F,若线段EF长度为一定值，则下列结论中错误的是（)

A.AClBE

B.8D_L平面/8E

C.EF//WABCD

D.三棱锥8-/EF的体积为定值

二.填空题（共4小题）

9.（2021秋•海淀区校级期中）如图，在三棱柱ZBC-ZiBiCi中,侧棱44ιJ■底面Z8C,底

面是以/Z8C为直角的等腰三角形，AC=2,88ι=3,。是小Cl的中点，点尸在线段

AAi±,当NF=时，CF_L平面BiOF.

10.（2019秋•乐山期中）如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，平面ABC,

PA=2AB,则下列结论中：

（I）PBLAEi②平面力8。_1_平面心。；③直线8C〃平面以E；④NPD4=45°.

其中正确的有（把所有正确的序号都填上）.

11.（2021秋•薪春县期中）如图，棱长为2的正方体NBCO-∕ι8ιCIoI,M是四边形。IZ）CCl

内异于C,。的动点，平面力皿，平面BMC则加点的轨迹的长度为.

第3页（共28页）

12.（2020秋•瑶海区校级期中）如图，在直角梯形“8。中，BCYDC,AElDC,且E为

C。的中点，M、N分别是NO,BE的中点，将△/£>E沿ZE折起，则下列说法正确的

是.（写出所有正确说法的序号）

①不论。折至何位置（不在平面/8C内，都有MN〃平面DEC：

②不论。折至何位置（不在平面/8C内）都有A/N_L/E；

③不论。折至何位置（不在平面/8C内），都有MN〃/18；

④不论。折至何位置（不在平面/8C内），都有EC不垂直

≡.解答题（共6小题）

13.（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在三棱锥S-/8C中，SCL平面Z8C,点尸、M，分

别是SC和SB的中点，设PM=ZC=1,ZACB=90o,直线//与直线SC所成的角为

60°.

（1）求证：平面平面S/C.

（2）求二面角4C-8的平面角的正切值.

14.（2021秋•贵池区校级期中）在如图的几何体中，己知四边形力8C。为矩形，四边形力8EF

为梯形，EF//AB,点尸为棱。F的中点.

（1）求证：BF〃平面/PC：

（2）若/0=4,AB=2EF=2AF=2,AFX.AB,2AP=FD,求点E到平面/PC的距离.

第4页（共28页）

15.(2021秋•兴庆区校级期中)如图所示，在正三棱柱∕8C-48Cι中(底面/8C为等边

三角形，AA∖VA∖C∖,AA∖LA∖BO,。是NC的中点.AB=LAIA=圾.

(1)证明：直线/为〃面。直5；

(2)求异面直线4与8。所成的角.

16.(2020秋•宿州期末)如图，四棱锥尸F8GD中，底面/8CZ)为矩形，必，底面/8CD

E为PD的中点.

(1)证明：PB〃平面/EC；

(2)设/P=l,AD=√3.四棱锥P-488的体积为1,求证：平面以C_L平面P8Z).

17.(2021春•海陵区校级期中)已知四棱锥尸-488的底面NBCD是菱形.

(1)求证：若PB=PD,求证：8。_1平面以。：

(2)E,尸分别是48,PO上的点，若E尸〃平面P8C,AE=IEB,求里的值；

PD

(3)若/。48=60°,。为ZO上一点，且平面以。，PBLPD,判断△为。是否

为等腰三角形？并说明理由.

第5页(共28页)

18.（2021春•邯郸期中）如图，已知48,CO分别是圆柱体上底面和下底面的直径，且CO

//AB,E为圆柱下底面内的一个动点（不与C、。重合），若该圆柱的高与底面圆的直径

长度均为2.

（1）求证：平面8。£：_1_平面/。E；

（2）求三棱锥/-8CE体积的最大值.

第6页（共28页）

2022-2023学年高一下数学：空间直线、平面的平行与垂直

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2022•淮北一模）己知α,β,Y是三个不同的平面，且α∏γ=机，β∩γ=n,则"正〃

是ua√βw的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】平面与平面平行；充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】计算题；转化思想；定义法；空间位置关系与距离；直观想象.

【分析】若加〃"，则a"β或a∩β=/:若a〃β,则由此能求出结果.

【解答】解：:a,β,Y是三个不同的平面，且aΓlγ="?,BCY=〃，

Λam∕∕n"="a〃β或a∩β=/”，

t,a∕∕β"=um∕∕n'',

：.um∕∕nn是“a〃p”的必要而不充分条件.

故选：B.

【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查空间中线线、线面、面

面间的位置关系等基础知识，考查推理能力，是基础题.

2.（2021秋•赤峰期末）设加、〃表示不同的直线，a、β表示不同的平面，且"?ua,"uβ,

则''a〃y是"加〃B且“〃a"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【考点】直线与平面平行；充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】综合法；空间位置关系与距离；简易逻辑；逻辑推理.

【分析】利用线面面面平行的判定与性质定理即可判断出关系.

【解答】解：用、〃表示不同的直线，a、β表示不同的平面，且"iua,"Uβ,

则“a〃邛’="加〃β且〃〃a”，反之不成立.

.∙.“a〃''是""?〃p且〃〃a”的充分不必要条件.

故选：A.

第7页（共28页）

【点评】本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了

推理能力与计算能力，属于基础题.

3.（2021秋•江苏期中）设平面式∩平面B="，且αuα,fecβ,alm,bA.m,则“a_Lb”是

“a邛”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【考点】平面与平面平行；充分条件、必要条件、充要条件.

【专题】对应思想；试验法；立体几何：数学抽象；逻辑推理.

【分析】由小b=a邛；→⅛a±β=>Ω±⅛,所以“W是“a_Lp”的充要条件.

【解答】解：如图所示，由a.Lm,a±b,bVm∙,

m,⅛cβ,且Zn与6相交，.∙.aJ∙β,又,.Zua,

所以a_Lp,

当aJ«P时，又因为a∏B=加，且aua,a∑m,

所以a±β,

又因为6u0,所以a_Lb；

所以是"a,β”的充要条件；

故选：A.

【点评】本题考查了两平面垂直和两平面内的直线垂直的关系，充分性时，只要能举一

个反例说明不成立即可，属于基础题.

4.（2021秋•吉安县期中）如图，在四棱锥S-/8C。中，底面为正方形，且SZ=S8

=SC=SD,其中E,M,N分别是8C,CD,SC的中点，动点尸在线段A/N上运动时，

下列四个结论：

①EPUC；

②EPHBD；

③EP〃面S/G

④EP〃面S8。；

其中恒成立的为（）

第8页（共28页）

5

A.①③B.③④C.①④D.②③

【考点】直线与平面平行.

【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理.

【分析】连接力C、8。相交于点。，连接EM,EN.

①由正四棱锥S-/8。，可得SoJ_底面/8CDACLBD,进而得到SOL4C.可得NC

，平面S8D由已知E,M,N分别是8C,CD,SC的中点，利用三角形的中位线可得

EM//BD,MN//SD,于是平面EAW〃平面S8。，进而得到/C_L平面EMMACLEP.

②由异面直线的定义可知：EP与8。是异面直线，因此不可能

③若EP〃面&4C,则E尸与面S4C没有交点，利用反证法即可判断得解；

④由（1）可知：平面EMN〃平面S8。，可得EP〃平面SBZX

【解答】解：如图所示，连接/C、8。相交于点0,连接EM,EN.

对于①，由正四棱锥S-/8CD,可得So_L底面ZBCZ）,ACLBD,.'.S01AC.

YSOCBD=O,，ZC_L平面S8。，∖'E,M,N分别是BC,CD,SC的中点，J.EM//

BD,MN//SD,而EMCMN=N,

二平面EMN〃平面S8O,，/C_L平面EWM：.AC1.EP.故正确.

对于②，由异面直线的定义可知：Ep与8。是异面直线，不可能EP〃8。，因此不正确；

③若EP〃面S/C,则E尸与面"C没有交点，因为动点尸在线段MN上运动，显然错

误，故错误；

对于④，由（1）可知：平面ENN〃平面S8D,.∙.EP〃平面S8。，因此正确.

故选：C.

第9页（共28页）

S

【点评】本题考查了空间线面、面面的位置关系判定，属于中档题.

5.（2021秋•海淀区期中）如图，已知正方体/8CD-小BiCIZ）I,M,N分别是小。，D∖B

A.直线小。与直线。山相交，直线MN〃平面/8CD

B.直线小。与直线98平行，直线的V_L平面8Z）O∣8ι

C.直线小。与直线O/垂直，直线MN〃平面/8CZ）

D.直线小。与直线。18异面，直线仞V_L平面8。。出

【考点】直线与平面平行；直线与平面垂直；异面直线的判定.

【专题】证明题：整体思想；分析法；空间位置关系与距离：逻辑推理.

【分析】由线面平行的判定定理可得.

【解答】解：连接力01，易证”在ZOi上，在正方形/。。1小中，AD∖LA∖D,

又_1面力。。小，且小DU面力。。小，所以

又4BCAQ=4,所以/。，面。148,

又。归U面。］/8,所以由。，。出，

在三角形/8。中，因为。M=M4,DiN=NB,

所以MN〃4B,又AWC平面/88,/8U平面488,

所以MV〃平面/8CO,

第10页（共28页）

取44中点E,连接NE,

故NELD∖B,NE上面BDDIBI,MN与NE相交,

故MV与面BDD∖B∖不垂直.

故选：C.

【点评】本题考查空间中直线与平面的位置关系，属于中档题.

6.（2021春•尖山区校级期中）如图，四棱锥P-/88的底面是边长为1的正方形，点E

3234

【考点】直线与平面平行.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】连接。凡交CE于H,连接8。，与/C交于O,连接04,由线面平行的性质

第11页（共28页）

定理，可得8尸〃。”，进而得到”为。尸的中点，再过尸作尸。的平行线，交CE于",

运用平行线的性质，即可得到所求结论.

【解答】解：连接。R交CE于H,连接8。，与/C交于0,连接O",

因为B尸〃平面ACE,"u平面BDF,平面BDFC平面ACE=OH,

所以8尸〃。”，

由正方形N8C。，。为8。的中点，

可得〃为。尸的中点，

过尸作P。的平行线，交.CE于M,

可得FM=DE,

则里=毁=L

PEEP3

所以里=入=2.

PC3

【点评】本题考查线面平行的性质定理，以及平行线的判定和性质，考查转化思想和运

算能力、推理能力，属于中档题.

7.（2021春•南昌期末）如图，正方体小BCQ的棱长为2,点O为底面的

中心，点尸在侧面881CIC的边界及其内部运动，若。QLO尸，则△/）CIP面积的最小

A.B.-⅛∕∑C.√5D.2√5

55

第12页（共28页）

【考点】直线与平面垂直；棱柱的结构特征.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理：直观想象；数

学运算.

【分析】根据。1。，。尸，转化为。1。，平面。P1C,（PI为8山的中点），得到点尸的轨

迹是线段PiC,然后由4GC∣P面积最小时，则ClPJ求解.

【解答】解：如图所示：

当点尸在C处时，DiO±OC,当点P在8由的中点Px时，

222222222,

OP=(√2)+1=3.D10=(√2)+2=6JD1P1=(2√2)+l=9

所以Op2+Dιθ2=DFι2,

所以。iOJ_OP”又OPlnOC=0,

所以。10,平面。PiC,

所以点尸的轨迹是线段P∖C,

因为。IC平面尸ICIC,

所以aDlCiP面积最小时，CIPj_PC,

,,Cɪe×BCΛ⅛√ξ

此ln时C,P=-................=/3=—4√5,⅜√5

S×2×

ɪPIC5ΔD1C.P=25:5

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空

间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

8.（2020秋•郑州期末）如图，在正方体力BCD-HB'C'D'中，线段87/上有两个动

第13页（共28页）

点E,F,若线段EF长度为一定值，则下列结论中错误的是（)

A.ACLBE

B.8D_L平面/8E

C.EF//WABCD

D.三棱锥8-/EF的体积为定值

【考点】直线与平面垂直；直线与平面平行.

【专题】转化思想；数形结合法；立体几何；逻辑推理.

【分析】利用线面垂直的性质定理和判定定理判断选项儿利用反证法判断选项8,利用

面面平行的性质判断选项C,利用棱锥的体积公式判断选项D.

【解答】解：连结BD,底面48CO是正方形，故

又。。_L平面N8CD,且/Cu平面/8CQ,

故DD,LAC,又BD和是平面BB'D'D中两条相交直线，

所以/C_L平面8877力，而BE是平面内的直线，

因此ZC_L8E成立，

故选项/正确；

若BDL平面4BE,又NBu平面N8E,

所以BDLAB,

但显然NZ80=45°,

所以BDL平面月BE不成立，

故选项8错误；

正方体∕8CO-Z'B1C1D'中，平面/8C。〃平面HB'C'D',又EFU平面

A,B,CD,,

所以EF〃平面WBCD,

故选项C正确：

因为点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB'D'D的距离，等于正方体面对角线的一

第14页（共28页）

半，

即三棱锥A-BEF的高为定值，

而aBE尸的边E尸为定值，高为正方体的棱长,

故48E尸的面积为定值，

故办一BEF=WS21BEF•多为定值，

O4

故选项。正确.

故选：B.

【点评】本题以正方体为背景考查了判断直线与平面、直线与直线的位置关系，以及三

棱锥的体积的求解，属于中档题.

二.填空题（共4小题）

9.（2021秋•海淀区校级期中）如图，在三棱柱∕8C-48∣Cl中，侧棱4小_1_底面/8C,底

面是以NZBC为直角的等腰三角形，AC=2,BBι=3,。是小Cl的中点，点尸在线段

441上，当NE=1或2时,C平面BiOE

【考点】直线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】利用已知条件判断田。JL平面44ιClC,然后说明CFLDF.设/尸=X（OVXV3）,

由直角三角形的勾股定理，计算可得所求值.

【解答】解：由已知得小Bι=8ιCι,又。是4。的中点，

所以BZ>L4ιCι,又侧棱44」底面。2C,

第15页（共28页）

可得侧棱441J_平面∕1B1C,又为。U平面［8ιCι,

所以44i_LSi。,因为44∣∩∕ICl=小，

所以51。_1平面441。1。，

又CFU平面CIC,所以LCE

若CFl.平面田。凡则必有CFl.。凡

在平面Z4GC中，

设ZF=X(OCXV3),贝∣J∕ιF=3-χ,

则CF2=/+4,

OF2=I2+(3-χ)2,又CZ>2=I2+32=IO,

所以Io=X2+4+1+(3-x)2,

解得x=l或2.

故答案为：1或2.

【点评】本题考查直线与平面的位置关系，主要是垂直的判定，考查空间想象能力以及

运算能力、推理能力，属于中档题.

10.（2019秋•乐山期中）如图，已知六棱锥尸-/BCCEF的底面是正六边形，Λ4，平面MC,

Λ4=2N2,则下列结论中：

（I）PBLAE-.②平面/8C_L平面尸8C；③直线6C〃平面HE；④NPZM=45°.

其中正确的有①④（把所有正确的序号都填上）.

【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行.

【分析】①由Rl-L平面/8C,及正六边形的性质易得：ZE_L平面以8,所以4E_LP5,

第16页（共28页）

①正确；

②由平面48C,易得平面平面48C,所以平面48C_L平面尸8C不成立，

②错；

③由正六边形的性质得BC〃/。，但是力。与平面2IE相交，所以③错；

④由A4J_平面/BC,可得刃_L/£）,又因为以=248,所以N∕7M=45°,④正确.

【解答】解：对于①、由以，平面/8C,/Eu平面/2C,得以_L/E,

又由正六边形的性质得∕EL∕8,PA∩AB^A,得4£J_平面以8,又P8u平面为3,

.".AELPB,①正确：

对于②、又平面RlB，平面N8C,所以平面ZBCL平面尸8C不成立，②错；

对于③、由正六边形的性质得BC〃/。，又4）U平面RW,.∙.8C〃平面RtD,直线

8C〃平面Λ4E也不成立，③错；

对于④、在RtARlO中，PA=AD=2AB,：.ZPDA=45a,二④正确.

故答案为：①④

【点评】本小题考查空间中的线面关系，正六边形的性质等基础知识，考查空间想象能

力和思维能力，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

11.（2021秋•薪春县期中）如图，棱长为2的正方体/8。。-小81。。1，加是四边形。|。。。

内异于C,。的动点，平面ZMz），平面8MC则M点的轨迹的长度为n.

【专题】运动思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象.

【分析】过〃作MNL平面。I。CC1，可将平面∕Λ∕f>,平面8"C分别延伸到平面NDMN

和平面BaWN,由MN_LOM,MNLCM,可知∕CΛ∕Z）为平面∕Λ∕。与平面8Λ∕C所成的

角，进而知点M的轨迹是以CD为直径的半圆，从而得解.

【解答］解：过"作AlNL平面。1。CC1,交平面小/881于点N,连接/N,BN,

则MN//AD//BC,即可将平面AMD,平面BMC分别延伸到平面/DMN和平面BCMN,

所以平面/MO∩平面BMC=MN,

第17页（共28页）

因为。MU平面D∖DCC∖,CMU平面DlDCC1，

所以MN_LZ）M,MNlCM,

所以NaWZ）为平面AMD与平面BMC所成的角，

因为平面/MDJ_平面8MC,所以NCMo=90°,即DWj_CA/,

所以点M的轨迹是以。为直径的半圆，即r=l,

所以Al点的轨迹长度为工X2∙∏r=LX2π×l=n.

22

故答案为：π.

【点评】本题考查平面与平面的垂直关系，空间动点的轨迹问题，考查空间立体感，推

理论证能力，属于中档题.

12.（2020秋•瑶海区校级期中）如图，在直角梯形中，BCLDC,AELDC,且E为

Co的中点，M.N分别是ND,8E的中点，将aNOE沿NE折起，则下列说法正确的是

①②.（写出所有正确说法的序号）

①不论。折至何位置（不在平面/8C内，都有MN〃平面。EC；

②不论D折至何位置（不在平面/8C内）都有MNLAE-,

③不论。折至何位置（不在平面/8C内），都有MN〃AB；

④不论。折至何位置（不在平面/8C内），都有EC不垂直/O.

【考点】直线与平面平行.

【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；逻辑推理.

【分析】利用直线和平面平行、直线和平面垂直的判定定理、性质定理，结合反例、反

证法的思想方法，逐一判断得出答案.

【解答】解：由己知，在未折叠的原梯形中，AB//DE,BE//AD.所以四边形48ED为

平行四边形，.∙.O4=M.折叠后得出图形如下：

第18页（共28页）

①过M,N分别作∕E,8C的平行线，交ED,EC于F,H.连接F4

则更M，由平行公理得"N〃尸N,

CBEBEADA

YDA=EB,：.HN=FM,

：.四边形MNHF是平行四边形.

：.MN//FH

W⊄ffiCED,HFU面CED.；.MN〃平面DEc①正确；

②由已知，AElED,AElEC,

,/El.面CED,HFc®CED：.AElHF,：.MNVAE-,②正确；

③MV与48异面.假若MN〃/8,则MN与NB确定平面MM48,

从而BEU平面MN4B,力。U平面Λ∕M48.与BE和/。是异面直线矛盾.③错误;

④当CELED时，EC±AD.

这是因为，由于CE_LE4,EAQED=E,

所以CE，面/E。，ADa.^AED.得出EC_L/D.④错误.

故答案为：①②.

【点评】本题考查空间直线和直线、直线和平面位置关系的判断.利用有关的定义、定

理、性质确定命题的正确性，结合反例、反证法说明命题的错误性，是判断命题真假的

常用方法.

Ξ.解答题（共6小题）

13.（2021秋•兴庆区校级期末）如图，在三棱锥S-48C中，SCL平面N8C,点P、M分

别是SC和SB的中点，设PΛ∕=∕C=1,NACB=90°,直线与直线SC所成的角为

60°.

（1）求证：平面M4尸，平面SNC.

（2）求二面角/W-ZC-8的平面角的正切值.

第19页（共28页）

S

【考点】平面与平面垂直；二面角的平面角及求法.

【专题】计算题；证明题.

【分析】（I）欲证面M4P，面SZC,根据面面垂直的判定定理可知在平面MP内一直

线与平面SAC垂直，根据线面垂直的判定定理可知8（7，平面SAC,

而PM〃BC,从而「ALL面"C,满足定理所需条件；

（2）易证面面S/C,则力C_LCM,ACLCB,从而NMCB为二面角M-/C-B

的平面角，过点"作MN,CB于N点，连接/N,在ACiN中，由勾股定理求得/N,

在RtZ∖4W√中求出MN,在RtZXCNM中，求出此角即可.

【解答】证明：（1）YSCJL平面NBC,SCI.BC,又：/408=90°

：.ACLBC,ACnSC=C,BCj_平面S/C,

XVP,M是SC、S3的中点

：.PM//BC,尸加，面54。，；.面M4P_L面S/C,（5分）

（2）∙.ZCJ-平面S/C,二面M4P_L面S/C.（3分）

：.ACLCM,ACA-CB,从而NMeB为二面角M-4C-8的平面角，

：直线AM与直线PC所成的角为60°

过点M作MNJ_C8于N点，连接ZN,

则N4MN=60°在aCiN中，由勾股定理得AN=√^.

在Rt中，AH=——号——=后.返=Zl.

tanZAMNv233

√6

在RtMNM中，tan/MCN喘号-坐

故二面角ZC-8的正切值为逅•.（5分）

3

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S

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，二面角及其度量，考查空间想象能力，逻辑

思维能力，计算能力，是中档题.

14.(2021秋•贵池区校级期中)在如图的几何体中，已知四边形ZBCD为矩形，四边形NBEF

为梯形，EF〃力8,点尸为棱。尸的中点.

(1)求证：8尸〃平面/PC；

(2)若/0=4,AB=2EF=2AF=2,AFLAB,2AP=FD,求点E到平面ZPC的距离.

【考点】直线与平面平行；点、线、面间的距离计算.

【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】(1)连接5。，交NC于点。，连接尸。，推导出B尸〃尸。，由此能证明BF〃平

面4PC.

(2)由点尸为棱Z)F的中点，2AP=FD,f#AFLAD,再由/氏1/8,ABLAD,以Z为

原点，AB,AD,Q的方向为X，AZ轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出点E到平面APC的距离.

【解答】解：(1)证明：连接8。，交NC于点O,连接P。，

因为四边形/8C。为矩形，所以。为。8的中点，

又因为点P为棱。尸的中点，所以8/〃PO,

因为尸OU平面APC,5FC平面APC,

所以8尸〃平面NPC

(2)因为点尸为棱。下的中点，2AP=FD,所以∕FJ"ZD,

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因为4FLAB,ABVAD,

所以以Z为原点，TB,AD,正的方向为X，HZ轴正方向，建立空间直角坐标系,

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),P(0,2,ɪ),E(1,0,1).

所以和=(0,2,ɪ),AC=(2,4,0)，

设平面4PC的法向量为三二(χ,y,Z),

J——fIz-Q"2，

所以1rf=°'所以2喋-°'不妨y=-l,所以；=(2-14)，

―TTn-Λɪɪ'乙，ɪ9"ɪ/

∏∙AC=O,[2x+4y=0,z=4j

又玩=(1,4,-1)，

则点E到平面APC的距离d」EgL=∣2Xg(-l)X4+4X(-1)1=⅛更

∣n∣√22+(-l)2+427

【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.（2021秋•兴庆区校级期中）如图所示，在正三棱柱∕8C-Z∕ιCι中（底面/8C为等边

三角形，AA∖LA∖C∖,AA∖VA∖B∖},。是/C的中点.AB=∖,A∖A=yf2∙

（1）证明：直线“与〃面OCl8；

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（2）求异面直线∕5ι与8。所成的角.

【考点】直线与平面平行；异面直线及其所成的角.

【专题】数形结合；向量法；空间角；逻辑推理；数学运算.

【分析】（1）以8为坐标原点，在平面/8C中，过8作BC的垂线为X轴，BC为V轴,

881为Z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线481〃面。G8；

（2）求出国，而，设异面直线与B。所成的角为。，利用向量法能求出异面直线

N81与8。所成的角.

【解答】解：（1）证明：在正三棱柱∕8C-48∣Cι中，。是/C的中点.AB=I,3/=

加，

以8为坐标原点，在平面NBC中，过8作BC的垂线为X轴，

8C为夕轴，881为Z轴，建立空间直角坐标系，

A(返，ɪ,O),B∖(0,0,√2)-B(0,0,0),Ci(0,I,√2).D(返,旦,0),

2244

ABI=('^^⅛^,BCI=(∙θ,1，BD=,-y,0),

122ɪ44

设平面。CIB的向量W=(X，N，z),

n*BC1=y+√2z=θL

则:一'QQ,取X=则W=(√3>-1>返)，

n∙BD二~Xgy=O2

∙.∙AB；崔=OZBiC面。

・•・直线/以〃面。G8；

（2）而7=（-返，-X√2）,BD=（返，旦，0）,

RDl2244

设异面直线ABi与BD所成的角为θ,

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ABBDI

∣7∙o

则CoSθ=-zz=J---二—Λ0=6O,

IAB1∣∙IBDI

异面直线/81与BZ）所成的角为60°.

【点评】本题考查线面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线

面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

16.（2020秋•宿州期末）如图，四棱锥PFBCD中，底面/8CZ）为矩形，口，底面/8CZ）,

E为尸。的中点.

（1）证明：PB〃平面ZEC；

（2）设/P=l,AD=√3-四棱锥尸-488的体积为1,求证：平面以C-L平面尸30.

【考点】平面与平面垂直；直线与平面平行.

【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】（1）连接8。交4C于点。，连结EO,可得EO〃PB,再由直线与平面平行的

判定可得P8〃平面4EC；

（2）由已知结合棱锥的体积公式可得知哂，得到底面/8CD为正方形，得8OJ"NC,

由已知得8。_1_必，再利用直线与平面垂直的判定得到8。_£平面RiC,进一步可得平面

以C_L平面PBD.

【解答】证明：（1）连接8。交NC于点。，连结E。，

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∙.∙∕BCO为矩形，...O为8。的中点，

又E为尸。的中点，.∙.EO∕∕PB,

「EOu平面ZEC,PSC5FffiAEC,

.”8〃平面AEC：

（2）V.4^×AB×AD×AP=V且/尸=1，AD=√3>

PABCDO

ΛAB=√3.则底面/8C。为正方形，得8OJ>∕C,

：孙，平面/8。，5£»c¥®ABCD,：.PAVBD,

又Λ4Π∕C=N,SLPA,ZCu平面刃C,

.•.8。_1_平面以。，又8。U平面「8。，

【点评】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维

能力，是中档题.

17.（2021春•海陵区校级期中）已知四棱锥尸-488的底面/8CO是菱形.

（1）求证：若PB=PD,求证：5Q_L平面R4C；

（2）E,尸分别是48,PZ）上的点，若EF〃平面尸8C,AE=IEB,求里的值；