九年级中考数学练习-与圆相关的计算

中考数学专项突破——与圆相关的计算

一、综合题

1.如图，AB为.O的直径，点D在O外，BAD的平分线与：O交于点C,连接BC、CD,且D=90。.

（1）求证：CD是：O的切线；

（2）若DCA=60。，BC=3,求的长.

2.如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4,连接AD、AC,DEAB,垂足为E,DE交Ae于点F.

（2）求阴影部分的面积（结果保留九和根号）.

3.在Rt-A8C中，ZC=90o,以AC为直径的Oo与AB相交点D、E是BC的中点.

S）判断ED与。的位置关系，并说明理由；

（2）若。。的半径为3,/DEC=ZA,求Oe的长.

4.如图，Oo为一ABC的外接圆，AB为O。的直径，点。为BC的中点.

C

D

瓦

（1）连接OD.求证：ODHAC.

（2）设OD交BC于E,若BC=4√3,DE=2.求阴影部分面积.

5.如图1,在平面直角坐标系中，RlQAB的直角边OA在y轴的正半轴上，且OA=6,斜边OB=IO,点P为线段AB上一动点.

（2）若动点P满足POB=45。，求此时点P的坐标：

（3）如图2,若点E为线段OB的中点，连接PE,以PE为折痕，在平面内将APE折叠，点A的对应点为A'当PA"OB时，求此时点P的坐标；

（4）如图3,若F为线段Ao上一点，且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F顺时针方向旋转60。得线段FG,连接OG,当OG取最小值时，请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.

6.如图，四边形ABCD中，B=C=90。，点E为BC中点，AEDE于点E.点0是线段AE上的点，以点0为圆心，OE为半径的0与AB相切于点G,交BC于点F,连接OG.

（2）求证：0与AD相切：

<3）若BC=6,ΛB=3√3，求Lo的半径和阴影部分的面积.

7.ABC中，BC=AC=5,AB=8,CD为AB边上的高，如图1,A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若A从原点出发，沿X轴向右以每秒1个单位长的速度运动，则点B随之沿y轴下

滑，并带动ABC在平面上滑动.如图2,设运动时间表为I秒，当B到达原点时停止运动.

图1图2

(1)当t=0时，求点C的坐标；

<2)当t=4时，求OD的长及BAo的大小；

(3)求从t=0到t=4这一时段点D运动路线的长；

(4)当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.

8.如图1,四边形力88是正方形，且48=8,点。与8重合，以。为圆心，作半径长为5的半圆。，交8。于点£交AB于点、F,交48的延长线于点G.

(1)发现：M是半圆O上任意一点，连接力则力M的最大值为；

(2)思考：如图2,将半圆0绕点产逆时针旋转，记旋转角为α(00VaV180。)

当a=90。时，求半圆O落在正方形内部的弧长；

<3)在旋转过程中，若半圆。与正方形NBCz)的边相切时，请直接写出此时点4到切点的距离.(注：sin37。==3,sin530=4",tan370=3:)

554

9.如图，在四边形ABCD中，B=60o,D=30o,AB=BC.

(1)求A+C的度数。

(2)连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。

(3)若AB=I,点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2=BE2+CE2，求点E运动路径的长度。

10.如图，ABC内接于O,AC是直径，BC=BA,在ACB的内部作ACF=30o,且CF=CA,过点F作FHAC于点H,连接BF.

(1)若CF交口0于点G,□0的半径是4,求AG的长;

(2)请判断直线BF与O的位置关系，并说明理由.

11.如图，E是长方形力BCO的边48上的点，EFDE交BC干点、F

(2)设"是EO上一点，以EH为直径作.O,O尸与相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第•位，G≈l.73,π≈3.14).

12.如图，在AOB^,/05=90。,DE，交力。于点D，交Bo于点E.点M在优弧DE上从点。开始移动，到达点E时停止，连接4W∙

备用图

(1)当，M与优弧DE相切时，求线段XM的长；

(2)当M。4B时，求点M在优弧DE上移动的路线长及线段XM的长.

13.如图，PA是QO的切线，切点为A,AC是。。的直径，连接OP交O。于D.过点C作BC∣iOP,连接AB交OP于点E.

（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是I6√3,求阴影部分的面积;

CF1

（3）若—=-且ΛD=2√3,求AB的长度.

OA3

14.项目化学习：车轮的形状.

【问题提出】车轮为什么要做成圆形，这里面有什么数学原理？

（1）【合作探究】

图1图2图3

探究Λ组：如图1,圆形车轮半径为4cm,其车轮轴心。到地面的距离始终为Cm.

探究B组：如图2,正方形车轮的轴心为。，若正方形的边长为4cm,求车轮轴心0最高点与最低点的高度差.

探究C组：如图3,有一个破损的圆形车轮，半径为4cm,破损部分是一个弓形，其所对圆心角为90,其车轮轴心为。，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点。经过的路程.

探究发现：车辆的平稳关键看车轮轴心是否稳定.

（2）【拓展延伸】如图4,分别以正三角形的三个顶点AB,C为圆心，以正三角形的边长为半径作60圆弧，这个曲线图形叫做“莱洛三角形

λBCD

探究D组：使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动，在滚动过程中，其每时每刻都有“最高点”，“中心点”也在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动一周的过程中，其“最高点”和“中心点”所形成的图

案大致是.

延伸发现：“莱洛三角形”在滚动时始终位于--组平行线之间，因此放在其上的物体也能够保持平衡，但其车轴中心。并不稳定.

15.如图，AB是O的直径，点D,E在Le）上，四边形BDEO是平行四边形，过点D作DCLAE交AE的延长线于点C.

(1)求证：CD是：O的切线.

(2)若AC=9,求阴影部分的面积.

16.如图，i,ABC为。。的内接三角形，AB为。。的直径，将一ABC沿BC翻折得到一OBC,过点。作OO的切线DF,与BC的延长线交于点E,产为切点，。。的半径为√3,

(2)若DEHAB,连接AE.

①求证：四边形ABDE为菱形.

②求DF的长.

(1)如图①，若LABC是等边三角形，求证：OE=PE;

(2)如图②，当点A在直线BC上方运动时，(包括点B、C)作CQAB交BE于点H,

①求证：HE=PE

②若BC=3,求点H运动轨迹的长度。

18.如图，矩形ABCD中，AB=m,BC=n,将此矩形绕点B顺时针方向旋转8(0o<θ<90o)得到矩形AlBGD”点Al在边CD上.

(1)若m=2,n=l,求在旋转过程中，点D到点Di所经过路径的长度：

(2)将矩形AIBGDl继续绕点B顺时针方向旋转得到矩形A2BC2D2,点Dz在BC的延长线上，设边AzB与CD交于点E,若警=#-1,求△的值.

ECm

答案解析部分

1.【答案】（1）证明：连接OC,

VAC⅛BAD的平分线,

Λ□CAD=□BAC,

又YOA=OC,

.,.OAC=OCA,

,.OCA=□CAD,

,.0CLAD,

,.OCD=D=90o,

•・CD是O的切线

(2)解：V□ACD=60o,

,.OCA=30°,

∙∙AB为O的直径，

,.ACB=90°,

∙.lOCB=60°,

/OC=OB,

∙・OCB是等边三角形,

•・OB=OC=BC=3,COB=60%

,I,60Λ,∙3

•AB的m长：=π

1ogʊn

2.【答案】（1）解：连接OD,OC,

•C、D是半圆O上的三等分点,

・AD=CD=BC，

,AOD=DOC=COB=60o,

.CAB=30o,

,DEAB,

.AEF=90°,

ΛAFE=90o-30o=60o;

本

(2)解：由(D知，AoD=60。，ML2√VOA=OD,AB=4,・•・AOD是等边三角形，OA=2,VDEAO,

4Do

V

/.DE=√3,

._60∙Λ∙×221ʌ

∙∙OCWUi=COWifiAOD^ɔCAOD=--------------~×Zʌ/ɜ=~π'6-

3602

3.【答案】(1)解：ED与IO相切.

理由：连接OD,CD.

〈AC是直径，

ΛADC=90o,

在RtBDC中，E为BC的中点，

ΛDE=EC,

Λ□3=□2,

又YOD=OC,

Λ1=□4,

V1+2=90°,

Λ□ODE=□3+C4=90o,

・•・ED与LJO相切：

(2)解：∙.TA+1=90。，1+2=90°,

.∖A=L2,

YDEC=A,

：.2=3=UDEC=60o,

Λ□A=60o,

DOC=2A=120°,

4.【答案】(1)证明：AB为O。的直径，

.∙.ZACB=90°，即AClBC,

点D为BC的中点，

:.OD垂直平分BC,

..ODHAC:

(2)解：设Oo的半径为，,，则OB=OD=OC=K,

DE=2,

.∖OE=OD-DE=r-2,

由(1)已证：OD垂直平分BC,

:,BE=-BC=-×4s∕3=2>j3,

22

在Rf&OBE中，OE2+BE2=OB2，即(r-2)2+(2√3)2=r,

解得r=4,

:.OB=4,OE=2,

OE1

在RidoBE中，sinNOBC-=—，

OB2

/.ZOBC=30°,

又∙OB=OC,

."OCB=NOBC=30。,

.∙.NBOC=18()。-NOC8-NQBC=120°,

2Q；rx4

则阴影部分面积为S-S=ɪ"-ɪX4√3X2=--4√3.

峨tii形nioβ°eecCogBCc36023

5.【答案】(1)解：(8,6)

(2)解：连接OP,过点P作PQOB于点Q,如图，

,.∙POB=45o,

・•・0PQ=45o,

：.POB=OPQ,

ΛPQ=OQ,

设PQ=OQ=x,则BQ=Io-x,

在RtOAB中，tanB=,

A884

a,PQX3

在RLBPQ中，S"8d=e=γ—=-,

BQ1λ0-x4

30

解得X=三，

30

・•・OQ=PQ=K

22

在RtPOQ中，OP=yjθQ+PQ=22^

在Rt匚AOP中，AP=y∣OP2-OA2=y,

・•・点P的坐标为6）

（3）解：令PA咬OB于点D,如图，

OA63

tanB=----一二一

BD~AB84

设PO=3a,则3O=44,

:∙BP=∖∣BD?+PD?=5a，DE=BE-BD=S-Aa

：.AP=AS—BP=S-5at

由折桂的性质，可得AE=AE=5,AP=ΛP=S-5a,

ΛAD=AP-PD=S-Sa,

在RtADE中，A,D2+DE2=A,E2>BP(8-8Λ)2+(5-4α)2=52,

解得4=：，/=*，

*：BDvBE,即4α<5,

,5

・・“<一，

4

1

・'・〃=一,

2

：.A,P=8-5×—=—，

22

・•・点P的坐标为(二，6)

2

(4)解：OG的最小值为4,线段FP扫过的面积为世

3

6.【答案】(1)证明：VB=□C=90o,AEDE于点E.

ΛEAB+ΓAEB=90o,□DEC+□AEB=90o,

：•EAB=DEC

由B=□C=90o

・•・ECDEnABE

(2)证明：过点O作OMAD,延长DE、AB交于N点

ΛCD//BN

ΛCDE=EN

Y点E为BC中点

ΛCE=BE,

乂EBN=C=90°

：.DCENBE

ΛDE=NE

VAEDN

ΛAD=AN,ADE=ANE

VJDAE=90o-□ADE,NAE=90O-□ANE

ΛCDAE=NAE

TAG是O的切线

ΛOGJAB

VAMO=LAGO=90o

ΛOG=OM=r

ΛOM是LJO的切线

(3)解：∙,∙BC=6,

ΛBE=3

VAB=3√3,

22

,AE=√βf+Afi=6=2BE

Λ□EAB=30o

.∙.A0=20G,即AO=2r,

∖∙AE=AO+OE=3L6

.,.r=2

连接OF

VOEF=60°,OE=OF

・・・OEF是等边三角形

Λ：EOF=60o,EF=0F=2,BF=3-2=1

ΛFOG=I80o-AOG-EOF=60o

在RtAOG中，AG=√AO2-OG2=2√3

/.BG=AB-AG=&

.WY_1/.ɔʌE60x4x2?_3rτ2π

..SOj-S»4-OFBG-ςS««FOG——×(l+2)×√3----------------------'√3----~

2v,36023

7.【答案】（1）解：如图1,VBC=AC,CDAB,

Vj

，

图1

・・・D为AB的中点，

∙∙∙AD=LAB=4.

2

在RlCAD中，CD=√52-42=3»

，点C的坐标为(3,4)：

(2)解：如图2,当t=4时，A0=4,

图2

在RlABo中，D为AB的中点，OD=LAB=4,

2

ΛOA=OD=AD=4,

••・AoD为等边三角形，

,*.BAO=60。；

(3)解：如图3,从t=0到t=4这一时段点D运动路线是弧DD∣,其中，OD=ODl=4,

(4)解：分两种情况：

①设AO=L时，C与X轴相切，A为切点，如图4.

ΛCA0A,

ΛCALy∣∣h,

/.CAD=ABO.

又YCDA=AOB=90。,

RtCADRtABO,

.∙.丝=竺即江L

CACD53

解得“三24；

②设A0=t2时，C与y轴相切，B为切点，如图5.

32

同理可得，G=玄.

综上可知，当以点C为圆心，CA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为194或方32.

8.【答案】(1)13

(2)解：如图①，设半圆。交AD于点N,连接。N,过点O作OHAD于点H,∖∕^Λ[

Y四边形ABCD是正方形，J-DAB=90。,

图1

V半圆0绕点F逆时针旋转90。，

ΛUOFA=90o,Λ四边形HAFO是矩形，

ΛAH=OF=5,OH=AF=AB-BF=3,

CH3

ΛsinHNO=-----=—.

ON5

Λ.HNO=37°,

VAH□OF,

・•・NOF=.HNO=37o,

二半圆O落在正方形内部的NF的长=之二=婆

18036

(3)解：Y由(1)知，当α=90。时，半圆O与AB相切，此时切点为点F,∙∖AF=3;

如图2,当半圆O与CD相切时，设切点为R,连接OR,AR,并延长Ro交AB于点T,

VDCAB,

.,.OTF=90o,J四边形RCBT是矩形，.∙.RT=CB=8,ΛOT=8-5=3,

ΛFT=√52-32=4，AT=AB-BT=AB-(BF-FT)=7,

,AR=>JRT2+AT2=√H3

・•・如图3,当半圆。与AD相切时，设切点为P,连接OP,过点F作FSPo于点S,

则四边形PAFS是矩形,

ΛSO=PO-PS=5-3=2,

,SF=SF2-Sd1=√52-22=后•

ΛAP=SF=√21.

综上所述，点A到切点的距离为3或√∏3或√21.

9.【答案】(1)解：在四边形ABCD中，B=60°,D=30o,

.,.A+C=360o-B-C=3600-600-300=2700o

(2)解：如图，将BCD绕点B逆时针旋转60。，得到BAQ,连接DQ,

Q

VBD=BQ,DBQ=60o,

・•・BDQ是等边三角形,

・•・BD=DQ,

VBAD+C=270o,

.,.BAD+BAQ=270o,

：・DAQ=360o-270o=90o,

・•・DAQ是直角三角形

ΛAD2+AQ2=DQ2,

即AD2+CD2=BD2

（3）解：如图，将BCE绕点B逆时针旋转60。，得到BAF,连接EF,

VBE=BF,EBF=60o,

JLIBEF是等边三角形,

ΛEF=BE,BFE=60o,

VAE2=BE2-KE2

/.AE2=EF2+AF2

：.AFE=90o

BFA=BFE+AFE=60o+90o=150o,

.,.BEC=150°,

则动点E在四边形ABCD内部运动，满足BEC=150°,以BC为边向外作等边OBC,

则点E是以O为圆心，OB为半径的圆周上运动，运动轨迹为BC,

VOB=AB=I,

•：AOG=2ACF=60o,OA=4,

60•乃•44

:∙AG的长=

1803

(2)解：结论：BF是O的切线.理由：连接OB.YAC是直径，JCBA=90o,VBC=BA,OC=OA,ΛOBAC,VFHAC,ΛOBFH,在RtCFH中，:FCH=30o,ΛFH=-CF,VCA=CF,

2

,FH=-AC=OC=OA=OB,・•・四边形BoHF是平行四边形，,:FHO=90o,，四边形BoHF是矩形，/.OBF=90o,

2

ΛOBBF,

∙∙∙BF是O的切线.

".【答案】(1)证明：V四边形ABCD是矩形，・,・A=B=90o.VEFDE,：.DEF=90o.：.AED=90o-BEF=EFB.

〈□A=匚B,□AED=□EFB,

Λ.ADE□1BEF.

(2)解：TDF与□0相切于点G,ΛOGDG.ΛlDGO=90o.

VDH=OH=OG,

OG

ΛsinODG=ɪ

~OD2

.*.ODG=30°.

ΛGOE=120o.,S喇杉OEG=西空*

360

在RtDGo中,

DGDG√3

cosODG=-----=—

DO6----2

.∙.DG=3√3.

在RtDEF中，tanEDF=器咛邛

ΛEF=3√3.

.∙.sDEF=LDEE尸=Lχ9x3√5=^^,

222

SDGo='z)G∙GO='x3√5x3=更.

222

∙'∙S用第=SDEF-SDGO^SIiu$0EG

27√39√3

-3π=.9√3-3π≈9×1.73-3×3.I4・•・图中阴影部分的面积约为6.2.

~τ22~

12.【答案】(1)解:VATW与优弧DME相切

/.AMO=90°

2222

・•・在RtAMO中，AM=y∣AO-OM=√6-2=4√2；

(2)解：在Rt-AOB中，VAO=6,BO=

.∙.tanA=丝=述坨，

OA6

.∙.NBAO=60。

••・No3A=30o

如图1所示，MO在直线AO的左侧,

当MoAB时，ZA(W=NBAO=60。，

',=-6-0-π-×-2=一2冗

dm1803

过点M作MGAO于点G

图1

中，sin60o=MG=,cos60oOG1

在RLMOG=---=一,且OM=2,

Mo2MO2

ΛMG=百,OG=I,

ΛAG=5,

在RUAΛ∕G中，根据勾股定理可知AM=yjAG2+MG2=2√7：

如图2所示，MO在直线AO的右侧：连接AM

A

图2

当MOAB时，ΛB()M=/8=3()。，

J优弧DM所对的圆心角为270o-30o=240o,

.,240Λ-×28

../,、〃=----------π,

DM1803

作MNAO交Ao的延长线于点N,

VMOB=300,

ΛUNOM=60°,

在RtoMN中，in60°=-=—，cos60°=—-,且C)M=2,

sMO2MO2

ΛON=1,MN=√3,

在Rt匚AMN中：AN=7,MN=√3,

・•・AM=JAN、MM="+(可=2而.

ΛAPAO,

ΛPAO=90o

VBC∖OP,AC是直径

：.AEO=ABC=90o

ΛOPAB,

ΛAOP-BOP

乂∙.∙AO=BO,OP=OP

ΛAOPBOP,

Λ□PBO=□PAO=90o,

,PB是OO的切线

(2)解：TE是OD的中点

ΛOE=DE,

VABOD,

，AEO=AED=90o

又AE=AE

・•・AEOAED(SAS)

ΛAO=AD,

VOA=ODf

/.AD=OA=OD,

・•・AoD是等边三角形，

・•・AOD=60o,OAE=30o

i2m

设OE=m,则AO=2m,AE=BE=x∣AO-OE=∖∣3*AB=2百m,OA=2m,

VAPO=90o-AOP=30°

ΛOP=4m,

Y四边形OAPB的面积是16√3,

Λ∣∙OP∙AB=16√3,

∙∖；×4m×26m=16G,

.∙.m=2或-2(舍弃)，

.∙.0E=2,AB=4G,OA=2m=4,

VODDAB,

ʌAD=BD，

：.AOD=BOD=60°,

.AOB=2AOD=120°,

.____120Λ-×4216乃∕τ

..SW=SIiJffjOAB-SCAoB=---------------×4√3×2=——4√3.

36023

OF1

（3）解：在RlAOE中，——=-,

OA3

22

，可以假设OE=x,则OA=OD=3x,DE=2x,AE=yjAO-OE=2∖∣2×›

在RtLADE中，AD2=AE2+DE2,

2

Λ（2√3）2=（2√2x）+（2x）2,

Λx=l或一1（舍弃），

ΛOE=L0A=3,AE=2^2，

ΛAB=2AE=4√2.

14.【答案】（1）解：探究A组：4；

探究B组：如图所示：

B

由图可知：最低点到地面的距离为OA的长，最高点到地面的距离为BD的长,

Y正方形的边长为4cm,

OA2

ΛOA=2cm,BD=BO=sin45o-√2=2√2»

2

・•・最高距离与最低距离的差为(2√2-2)cm；

探窕C组：如图所示：

图2由图S®5

从图2至图3：绕点A旋转45。，经过路程L∣=2πl∙∙g=qcm,

3604

从图3至图4：绕点B旋转45。，经过路程L2=27tr∙色=二cm,

3604

从图4至图5：移动一个270。的弧长，经过路程L3=2h∙就270=∖3π-rcm,

一个周期完成，总路程为L1+L2+L3=------------1-------=2兀r=8兀Cm；

442

(2)A

15.【答案】(1)证明：连接OD,如图所示:

V四边形BDEO是平行四边形，

ΛOE//BD,OE=BD=OD=OB,

，ODB是等边三角形，

：•OBD=BOD=60o,

・•・AOE=OBD=60o,

VOE=OA,

・•・AEo也为等边三角形，

.∖EAODOB=60o,

ΛAErOD,

：•ODC+C=180°,

VCDAE,

：•C=90o,

：.ODC=90o,

∙∙∙0D是圆O的半径，

JCD是O的切线.

(2)解：由(1)得EAO=□AOE=OBD=BOD=60o,EDAB,

：.EAO=CED=60o,

YAOE+Ee)D+BOD=180°,

：•EOD=60o,

・•・DEo为等边三角形，

ED=OE=AE,

VCDLAE,CED=60。，

：.CDE=30o,

ΛED=ICE=AE,

VAC=9,

ΛCE=3,AE=OE=ED=G,

ʌCD=>JED2-CE2=3√3,

设OED的高为h,

ΛΛ=OE∙sin60o=3√3，

影串够；冗』，

:∙SqED=SOED-SQED=^ςEDh=6-9

ɔŋuZ

宛=；

ʌS阳彬=SCED-SqfiDCEcD—16Tr-9>∕5）=ɪɪɪ-64.

16.【答案】（1）解：如图，连接OC.

∙zABC沿BC翻折得到_DBC，

ABC^DBC,

..AC=DC，

/.OC为.,ABD的中位线，

.∙.OC//BD,

.∖ZAOC=ZABD=3^,

n