2023届高考数学试题一轮总复习题型练习第10讲　幂函数与二次函数讲义

第10讲鬲函数与二次函数

考点1：幕函数的图象与性质

考点2:二次函数的解析式

幕函数与二次函数ψ

Z二次函数图像的识别

考点3:二次函数的图象和性质R

一、二次函数的单调性与最值

走港峨带?自主剧II

1.事函数

⑴定义

形如的函数称为塞函数，其中底数X是自变量，α为常数.常见的五类基函数为y=x，y

ɪ

-JC，y=x3，y-χ2，y—xl.

(2)性质

①事函数在(0'+℃)上都有定义；

②当«>0时，基函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，+8)上单调递增；

③当α<0时，基函数的图象都过点(1，1)，且在(0，+8)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：J(χ)-；

②顶点式：Kx)=；

③零点式：KX)=.

(2)二次函数的图象和性质

fl,x)=ax2+bxj(x)=ax1+bx

解析式

+c(α>0)+c(α<0)

∖J://Jlv

图象

∕θ∣；V

定义域(-∞，+co)(—8，+θθ)

4ac-h2、(4ac-b2

值域,+oo00

L^^^^JC，

在上单调递减：一在上单调递增：

单调性

在___________上单调递增在_________上单调递减

奇偶性当___________时为偶函数，当厚0时为非奇非偶函数

顶点—

图象关于直线一方成轴对称图形

对称性X=

考点探究・题型突破

A考点1******

［名师点睛］

1.对于察函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=l,y=l,y=

X所分区域.根据α<O,O<α<l,α=1,a>∖的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较霖值的大小时，可结合森值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

3.在区间(0,1)上，黑函数中指数越大，函数图像越靠近X轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+8)上,

黑函数中指数越大，函数图像越远离X轴(简记为“指大图高”).

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)若寨函数F(X)=J(〃?，"GN*,m,〃互质)的图像如图所示，则(？?????？)

A.in,〃是奇数，且一Vl

n

B.爪是偶数，〃是奇数，且%>1

n

C.，〃是偶数，〃是奇数，且‘<1

n

D.巾是奇数，〃是偶数，且

n

2.(2022•全国•高三专题练习)基函数/(χ)=("∕+5wι-5)χ/τm(wiGZ)是偶函数，且在(0,+∞)上是

减函数,则m的值为(???????)

A.-6B.1C.6D.1或-6

3.(2022•全国•高三专题练习)己知基函数/(x)=(,"-l)丁的图象过点(也8).设α=∕(2°3),⅛=∕(θ.32),

c=/(Iog20.3),则a,b,c的大小关系是(???????)

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

02/25

[举一反三]

1.(2022∙北京•二模)下列函数中，与函数P=V的奇偶性相同，且在(O,4W)上有相同单调性的是(???????)

C.y=sin*D.尸乂凶

2.(2022•全国•高三专题练习)已知基函数y=Ax)经过点(3,右)，则√(x)(???????)

A.是偶函数，且在(O,+oθ)上是增函数

B.是偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.是奇函数，且在(0,+oo)上是减函数

D.是非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

3.(2022•全国•高三专题练习)函数/(x)=xα^2与g(x)=均单调递减的一个充分不必要条件是(???????)

A.(0,2)B.[0,l)C.[1,2)D.(1,2]

4.(多选)(2022•广东潮州•二模)已知幕函数的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(???????).

A.函数f(x)的定义域为R

B.函数/(x)为非奇非偶函数

C.过点尸(0,；[且与"χ)图象相切的直线方程为y=

D∙若…>。，则/叫小)>D

5.(2022•海南•文昌中学高三阶段练习)已知幕函数/(x)=x"(αeR)过点A(4,2),则/(；)=.

6.(2022•北京通州•一模)基函数f(x)=x"'在(0,+e)上单调递增，g(x)=x"在(0,+⑹上单调递减，能够

使y=∕(x)-g(x)是奇函数的一组整数m,n的值依次是.

7.(2022•重庆•二模)关于X的不等式(X-I)29999∙χ9及≤χ+1,解集为.

8.(2022•全国•高三专题练习)如图是基函数y=x%(αi>0,i=l,2,3,4,5)在第一象限内的图象，

其中α∕=3,ot2=2,α3=l,%=；,%=：，已知它们具有性质：

①都经过点(0,0)和(1,1)；?????②在第一象限都是增函数.

请你根据图象写出它们在(1,+∞)上的另外一个共同性质：.

yl

9.(2022•广东深圳•高三期末)已知函数/(x)的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述

条件的幕函数可以为/(X)=.

10.(2022•北京•高三专题练习)已知寻函数MX)=(∕-5m+l)x*为奇函数.

(1)求实数〃?的值；

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)己知二次函数KX)满足/(2)=-1,Λ-l)=-l,且7(x)的最大值是8,二

次函数的解析式是

2.(2022•全国•高三专题练习)已知/(x)为二次函数，/(0)=0,/(2X+1)-∕(X)=X12+3X+2,求/(x)的

解析式.

［举一反三］

1.(2022•全国•高三专题练习)若函数y=41+2过定点P,以P为顶点且过原点的二次函数"x)的解析

04/25

式为()

A./(X)=-3X2+6XB.f(x)--2x2+4x

C.f(x)-3x2-6xD./(x)=2xi-4χ

2.(2022•全国•高三专题练习)己知/(x)为二次函数，且〃X)=X2+∕'(x)-1,则/(X)=(???????)

A.χ2—2χ+1B.χ2+2.x+1

C.2X2-2X+1D.2X2+2X-∖

3.(2022•全国•高三专题练习)己知/S)是二次函数且满足/(0)=l"(x+D-/(X)=2x,则函数/(χ)的解

析式为.

›考点3二次函数的图象与性质

【名师点睛1

二次函数最值问题的类型及求解策略

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动.

(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配

方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)函数"x)=αx2+=+c(α≠0)和函数g(x)=c∙3(力(其中F(x)为/(x)的

2.(2022•全国•高三专题练习)二次函数/(x)=Y+2OV-I在区间(-∞,1)上单调递减的一个充分不必要条

件为(9999999)

A.a≤0B.a≤—C.a<-∖D.a≤-2

2

3.(2022•全国•高三专题练习)函数)，=——在1-2,上单调递增，则实数。的取值范围是_______,

x~-ax-aL2

4.(2022•湖南长沙•高三阶段练习)己知函数/O)=/,g(x^2a∖x-∖∖,α为常数.若对于任意x/,x2∈［0,

2］,且X∕<X2,都有/(xA∕(X2)<gα)-g(X2),则实数。的取值范围是.

［举一反三］

1.(2022・全国・高三阶段练习)已知函数/(力=如2+版+。，其中”>0,60)<0,4+/7+乙=0,则(？?????？)

A.Vxe(0,1),都有/(x)>0B.Vxe(0,1),都有"x)<0

C.3x0e(0,1),使得“ΛO)=OD.Bx0∈(0,1),使得/(%)>0

2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数y=οr2+fex+c,如果α>b>c且α+b+c=O,则它的图象可能是

(9999999)

C.

3.(2022•全国♦高三专题练习)已知函数八r)=2χ2一日一8在［.2,1］上具有单调性，则实数攵的取值范围是

O

A.七-8B.k≥4C.七-8或Λ≥4D.-8<⅛<4

4.(2022•山东济南•二模)若二次函数/(x)=dχ2+法+c(α<0),满足/⑴=/(3),则下列不等式成立的是

(9999999)

A./(1)<∕(4)<∕(2)B./(4)<∕(1)<∕(2)

C./(4)<∕(2)<∕(1)D.A2)<∕(4)<f(l)

5.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知函数段)=办2+2编；+4(〃>0),若也〈必则(???????)

A.当Xl+X2>-2时,fiXl)<fiX2)

B.当Xl+X2=-2时，危/)书九2)

C.当X∣+X2>-2时，√U∕)次X2)

06/25

D.犬χ∕)与儿⑵的大小与“有关

6.(多选)(2022•全国•高三专题练习)若函数y=d-4χ-4的定义域为［0,α),值域为［-8,-4］,则正整数

。的值可能是(???????)

A.2B.3C.4D.5

7.(2022•全国•高三专题练习)如果函数/(x)=d+(α+6)x-l在区间(-∞,1)上为增函数，则实数”的取值

范围是.

8.(2022•天津•高三专题练习)已知函数/(x)=∕-2x在定义域卜1,句上的值域为［T3］,则实数”的取值

范围为—.

9.(2022•全国•高三专题练习)已知二次函数/(X)=加+⅛r+c,满足/(0)=2,/(x+l)-∕(x)=2x-l.

⑴求函数〃x)的解析式；

⑵若函数g(x)=√(x)-M在区间［-1,2］上是单调函数，求实数〃7的取值范围.

10.(2022•全国•高三专题练习)己知函数/(X)=依2-2x+4k.

(ɪ)若函数/U)在区间12,4］上单调递减，求实数%的取值范围；

(II)Vxe［2,41,f(x)≥O恒成立，求实数Jl的取值范围.

11.(2022•全国•高三专题练习)设函数/(X)=++fex+l(a,。eR),满足/(T)=0,且对任意实数X均有

/U)>0.

(1)求/(x)的解析式；

(2)当L2'2」时，若g(χ)=∣∕3一娟是单调函数，求实数上的取值范围

第10讲幕函数与二次函数

考点1：幕函数的图象与性质

考点2:二次函数的解析式

幕函数与二次函数⅛

二次函数图像的识别

考点3：二次函数的图象和性质©Z-

-------------------------二二次函数的单调性与最值

走进教材,自主回顾-

1.一函数

⑴定义

形如y=d（aGR）的函数称为基函数，其中底数X是自变量，α为常数.常见的五类基函数为y=x，），

1

-X1，y-xi`y-χ2.，j—x^'.

（2）性质

①基函数在（0，+8）上都有定义；

②当ɑ>0时，幕函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，+oo）上单调递增：

③当α<0时，基函数的图象都过点（1-1），且在（0，+oo）上单调递减.

2.二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：*x）=0rz+fer+c（存0）;

②顶点式：ZLr）=（心—，〃）2+"（〃和）；

③零点式：/U）=α（χ-x∣）（χ-。）（g0）.

（2）二次函数的图象和性质

fix)=ax2+bxj(x)=ax1+bx

解析式

+c(a>0)+c(α<0)

hv

图象Λ∣iV

定义域(一∞，+∞)(—8，+∞)

4ac-b2λ(^ac-b2r

值域'+叼Cco'

在（一8，一9上单调递减;在（一8，一9上单调递增；

单调性

在［—昱，+8）上单调递增在［一5’+℃）上单调递减

奇偶性当/7=（）时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数

(b4ac-b2∖

顶点

∖~2a，4a)

图象关于直线X=-4成轴对称图形

对称性

--------------------------------------------------------1

考点探究・题型突破

考点1

08/25

［名师点睛］

1.对于嘉函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x=l,y=∖,y=

X所分区域.根据α<O,O<α<l,α=l,α>l的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较累值的大小时，可结合嘉值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

3.在区间(0,1)上，嘉函数中指数越大，函数图像越靠近X轴(简记为“指大图低”)，在区间(1,+oo)上,

察函数中指数越大，函数图像越远离X轴(简记为“指大图高”).

［典例］

1.(2022•全国•高三专题练习)若基函数f(χ)=［("?，n∈N∖m,〃互质)的图像如图所示，则(???????)

n

B.机是偶数，〃是奇数，且%>1

n

C.巾是偶数，”是奇数，且

n

D."是奇数，”是偶数，且‘>1

n

【答案】C

【解析】

/77

由图知’幕函数"X)为偶函数，且一<1,排除B,D；

n

当，"，〃是奇数时，事函数yu)非偶函数，排除A；

故选：c.

2.(2022•全国•高三专题练习)累函数/(x)=(wj2+5，〃—5)x"-""(mWZ)是偶函数，且在(0，+∞)上是

减函数,则"，的值为(???????)

A.-6B.1C.6D.1或-6

【答案】B

【解析】

幕函数/(x)=Q"2+5"2-5)χm'M(WIGZ)是偶函数，且在(O,+∞)上是减函数，

ʃm3+5m-5=1

且加-3机为偶数

[m2-3m<0

...，〃=1或7n=-6

当m=l时，M-3加=一2满足条件；当加=—6时，m2—3m=54，舍去

因此：m=}

故选：B

2

3.(2022•全国•高三专题练习)已知易函数/(X)=5L1)X”的图象过点(，”，8).设a=/。。'),⅛=∕(θ.3),

c=∕(log203),则a,b,C的大小关系是(???????)

A.b<c<aB.a<c<b

C.a<b<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

因幕函数F(X)=On-1)，'的图象过点(肛8),则加-1=1,且M=8,

于是得加=2,n=3,函数/(X)=/,函数/S)是R上的增函数，

2a3203

而Iog20.3<0<0.3<1<2,则有/(Iog20.3)</(0.3)</(2),

所以c<b<a.

故选：D

［举一反三］

L(2022∙北京•二模)下列函数中，与函数>=丁的奇偶性相同，且在(0,+∞)上有相同单调性的是(???????)

A.y=(g)B∙y=lnx

C.y=SinxD.y=x∣X

【答案】D

【解析】

由y=/为奇函数旦在(0,+8)上递增，

A、B：y=(；)、y=lnx非奇非偶函数，排除；

C：y=sinx为奇函数，但在(0,物)上不单调，排除；

—犬X<0

D:y=∕ω=2'一，显然Ar)=-/⑶且定义域关于原点对称，在(。,E)上递增，满足.

√,x>0

10/25

故选：D

2.(2022•全国•高三专题练习)己知累函数y="r)经过点(3,√3),则於)(???????)

A.是偶函数，且在(0,+◎上是增函数

B.是偶函数，且在(0,+8)上是减函数

C.是奇函数，且在(0,+oo)上是减函数

D.是非奇非偶函数，且在(0,+8)上是增函数

【答案】D

【解析】

设累函数的解析式为y=/，

将点(3,√3)的坐标代入解析式得3α=√3,解得α=；,

∙∙.y=f,函数的定义域为[0,+∞),是非奇非偶函数，且在(0,÷∞)上是增函数，

故选：D.

3.(2022•全国•高三专题练习)函数/(X)=X"一2与g(x)=[2)均单调递减的一个充分不必要条件是(???????)

A.(0,2)B.[0,l)C.H,2)D.(1,2]

【答案】C

【解析】

函数/(X)=xa~2单调递减可得。一2<0及。<2；

函数g(x)=(2)单调递减可得0<(<l,解得0<α<4,

若函数/(x)=x"-2与g(x)=[∕J均单调递减，可得0<α<2,

由题可得所求区间真包含于(0,2),

结合选项，函数/Cr)=/-与g(x)=([)均单调递减的一个充分不必要条件是C.

故选：C.

4.(多选)(2022•广东潮州•二模)已知幕函数〃x)的图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(???????).

A.函数〃x)的定义域为R

B.函数F(X)为非奇非偶函数

C.过点尸(0,；)且与“X)图象相切的直线方程为y=

D.若三“>。，则/叫/㈤

【答案】BC

【解析】

设/(x)=Xa,将点(4,2)代入/(x)=E,

得2=4",则α=；，即ʃ(ɪ)=xi,

对于A：/(x)的定义域为［0,M),即选项A错误；

对于B：因为〃x)的定义域为［0,”)，

所以/(x)不具有奇偶性，即选项B正确；

对于c：因为F(X)=所以尸(X)=古，

设切点坐标为卜ο,寓)，则切线斜率为k=r(%)=,

切线方程为y—JE，又因为切线过点p(o,；),

所以;一6=52(°-X。)，解得％=1，

即切线方程为y-l=g(χ-l),即y=gχ+g,

即选项C正确；

对于D：当0<%<12时,

./(⅜)+∕(⅞).2_f2(χ∣+w[=(V⅜+V¾Yχl+.y2

2，I2厂[2J2

xl+x2+2y∣xlx2χl+%,

42~

即见?©<〃审)成立，即选项D错误.

故选：BC.

12/25

5.(2022海南•文昌中学高三阶段练习)已知某函数/(x)=χ∙(aeR)过点4(4,2),则/(，)=__________.

4

【答案】I

【解析】

点A(4,2)代入某函数/(x)=X"解得α=g,/(Λ)=X5，；

故答案为：

6.(2022•北京通州•一模)基函数f(x)=x"'在(0,+功上单调递增，g(x)=x"在(0,+e)上单调递减，能够

使y=∕(χ)-g(χ)是奇函数的一组整数用，n的值依次是.

【答案】1,-1(答案不唯一)

【解析】

因为累函数/(χ)=Xra在(o,+∞)上单调递增，所以加>O,

因为基函数g(x)=x"在(0,+∞)上单调递减，所以"0,

乂因为y=∕(χ)-g(χ)是奇函数，所以黑函数/(χ)和嘉函数g(χ)都是奇函数，所以用可以是1,"可以是-1.

故答案为：I,-1(答案不唯一).

7.(2022•重庆•二模)关于X的不等式(x-1)9999-29999•产9≤χ+l,解集为.

【答案】［—1,”)

【解析】

由题设，(X-I)9999-(2x)9999≤x+l,而y=产9在R上递增,

当x-l>2x即x<-l时，(X-1)9W9-(2X)9"9>0>X+1,原不等式不成立；

当x-l≤2x即x≥-1时，(X-I)9"9-(2X)9999≤0≤X+1,原不等式恒成立.

综上，解集为［T,+∞).

故答案为：［T,+∞)

8.(2022•全国•高三专题练习)如图是基函数y=x%(由>0,i=l,2,3,4,5)在第一象限内的图象，

其中α∕=3,ot2=2,田=1,。4=；，0⅛=g,已知它们具有性质：

①都经过点(0,0)和(1,1)；?????②在第一象限都是增函数.

请你根据图象写出它们在(1,+8)上的另外一个共同性质：.

yt

403

≡ZL

o\1X

【答案】ɑ越大函数增长越快

解：从暴函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上ɑ越来越大；③函数值都大于

I;④ɑ越大越远离X轴：⑤ɑ>l,图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y=x

对称；⑧当α>l时，图象在直线y=x的上方；当OVα<l时，图象在直线y=x的下方.

从上面任取一个即可得出答案.

故答案为：α越大函数增长越快.

9.(2022•广东深圳•高三期末)已知函数/(x)的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述

条件的幕函数可以为/(X)=.

【答案】V(答案不唯一)

【解析】

设基函数/(x)=X",

由题意，得/(x)=Xa为奇函数，且在定义域内单调递增，

所以C=2〃+1("CN)或a=一n(见鹿是奇数，且互质)，

所以满足上述条件的基函数可以为/(x)=V.

故答案为：V(答案不唯一).

10.(2022•北京•高三专题练习)已知暴函数〃(k=(加2-5加+1卜""|为奇函数.

(1)求实数机的值；

(2)求函数g(x)=Mx)+Jl-2〃(x)(xe0，J)的值域.

【解】(1):函数MX)=(济-5〃?+Iw+1为基函数，

/.W2-5∕w+l=L解得An=O或5,

当机=0时，Λ(x)=x,MX)为奇函数,

14/25

当m=5时,MX)=X6,MX)为偶函数,

函数〃(力为奇函数，.∙."7=0;

(2)由(1)可知，Λ(x)=x,则g(%)=x+Jl-2%,xe0，；

令Jl-2x=t>则工=-5产+5,t∈(04],

则f(，)=—万/+，+]=—5Q—I)?+1,16(θj],

函数70为开口向下，对称轴为，=1的抛物线，

，当f=0时，函数〃0)=；,

当/=1,函数/(f)取得最大值为1,

[典例]

1.(2022•全国•高三专题练习)已知二次函数人x)满足f(2)=-1,Λ-l)=-l,且凡r)的最大值是8,二

次函数的解析式是

【答案】危)=一4∕+4x+7.

【解析】

法一(利用“一般式”解题)

设/U)=(*+bx+c(a≠0).

44+2b+c=-l,a=-4,

由题意得,a-b+c=-∖,解得<⅛=4,

4ac-h2。=7.

—；-----=5

4〃

.∙.所求二次函数为段)=-4∕+4X+7.

法二(利用“顶点式”解题)

设∕x)=α(χ-∕n)2+"(a≠o).

因为/(2)=A—1),

所以抛物线的对称轴为X=空Q=!,所以m=；.

222

又根据题意，函数有最大值8,所以〃=8,

所以y=∙∕U)=α(x-g)2+8.

因为/(2)=-1,所以。(2-；)2+8=-1,解得”=一4,

所以,/(x)=-4(x-g)2+8=—4∕+4x+7.

法三(利用“零点式”解题)

由已知共幻+1=0的两根为制=2,X2=-1,

故可设/U)+1=a(x-2)(x+1)(存0),

即∕U)=0r2-4χ-24-1.

解得a=-4或α=0(舍).

故所求函数的解析式为/U)=-4/++7.

故答案为：氏X)=-4∕+4X+7.

2.(2022∙全国•高三专题练习)己知/(x)为二次函数，/(0)=0,/(2X+1)-∕(X)=X2+3X+2,求F(X)的

解析式.

【解】

解：因为“X)为二次函数，所以设/(X)=加+bx+c,因为"0)=0,所以C=O,

所以/(x)=OX2+云，

所以f(2x+l)="(2x+l)~+6(2x+l)=4αγ2+(4w+2⅛)x+(α+⅛),

16/25

因为/(2x+l)-∕(x)=x2+3x+2,所以30χ2+(4α+∕j)x+(α+Z?)=χ2+3x+2,

所以34=l,4a+b=3.a+b=2,所以a=g,ft=1,所以/(x)=gx?+gχ.

［举一反三］

1.(2022•全国•高三专题练习)若函数y=∕τ+2过定点P,以P为顶点且过原点的二次函数/(x)的解析

式为()

A./(x)=-3x2+6xB./(X)=-2X2+4X

C./(X)=3X2-6XD./(x)=2X2-4X

【答案】A

【解析】

对于函数y=α*τ+2,当X=I时，y=a0+2=3,

所以函数丫=。1+2过定点产(1,3),

设以P(l,3)为顶点且过原点的二次函数/(x)=α(x-球+3,

因为f(x)过原点(0,0),

所以0="(0-iy+3,解得：a=-3,

所以/(x)的解析式为：/(∙x)=-3(x-l)^+3=-3Λ2+6X,

故选：A.

2.(2022•全国•高三专题练习)已知/(x)为二次函数，K∕(x)=x2+∕,(x)-l,则F(X)=(???????)

A.X2-2x+lB.X2+2x+l

C.2x~—2x+1D.2f+2x—1

【答案】B

【解析】

设/(x)=oχ2+Zzr+c(α≠θ),则/'(X)=2衣+匕,

由/(x)=f+/'(X)-1可得加+bx+c=x2+2ax+(b-}^,

a=1f«=1

所以，,b=2a,解得"=2,因此，/(X)≈X2+2X+I.

c=b-lc=l

故选：B.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知/(x)是二次函数且满足/(0)=lJ(X+1)-/(X)=2x,则函数/(χ)的解

析式为.

【答案】/(x)=x2-x+l

【解析】解：由题意，设/0)=加+/顼+。("0),

因为/(0)=1，即c=l,所以f(x)=0χ2+⅛x+ι,

所以/(x+1)_/(X)=[α(x+1)2+b[x+1)+1]-(OV2+bx+1)=lax+a+b=2x,

_[^2α=2

从而有,八，解得"1力=-1,

[a+b=0

所以/(χ)=χ2-χ+ι,

故答案为：f(x)=x2-x+∖.

＞考点3二次函数的图象与性质

[名师点睛]

二次函数最值问题的类型及求解策略

(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动.

(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配

方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.

噢例I

ɪ.(2022•全国•高三专题练习)函数/(X)=欧2+6x+c(a≠0)和函数g(x)=c∙∕'(x)(其中/'(X)为F(X)的

18/25

【解析】易知r(x)=2αx+，，则g(x)=2ecr+儿.

由①②中函数g(x)的图象得｛：；：；，

fα<O,.b

若c<0,则%八，此时/(0)=c<0,-=>0,

[b>()2a

又α<O,所以/(x)的图象开口向下，此时①②均不符合要求；

[a>0..b

若c>0,则/八，此时，0=c>0,-—>0,

也<02a

又”>0,所以/(x)的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；

由③④中函数g(x)的图象得

若c>0,则此时/(0)=c>0,-二>0，

[⅛>02a

又“<0,所以/(x)的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求；

f4<O/、h

若C<O,则L八，此时/(0)=c<0,-白>0，

[b>∖J2a

又α>0,所以/(x)的图象开口向上，此时③④均不符合要求.

综上，②③符合题意，

故选：B.

2.(2022•全国•高三专题练习)二次函数/(x)=χ2+20r-l在区间(-∞,1)上单调递减的一个充分不必要条

件为(9999999)

A.α≤0B.α≤—C.α≤-1D.α≤—2

2

【答案】D

【解析】解：因为/(x)=χ2+20Ll的对称轴为x=-α,开口向上，所以一α≥l,解得ɑ≤T,所以二次函

数/(x)=f+2G:—1在区间(-8,1)上单调递减的充要条件为。≤T,

所以二次函数/(x)=χ2+201l在区间(γ,l)上单调递减的一个充分不必要条件为a≤-2;

故选：D

3.(2022•全国•高三专题练习)函数y=F-------在-2--上单调递增，则实数。的取值范围是_________.

X-ax-aL2_

【答案】-ι,∣］

【解析】y一在-2,-i上单调递增，

X-ax-aL2

∙'∙/(x)=χ2-必一。在-2，-；单调递减，

则-1≤=,即α≥T,

同时需满足f(-2)f(-3>0,g∣J^(α+4)(2a-l)<0,

24

解得一4<ɑ<(,

2

综上可知T'E)

故答案为：-1；)

4.(2022•湖南长沙•高三阶段练习)已知函数/O)=/,g(x)=2tz∣x-l∣,α为常数.若对于任意x/,心目0,

2］,且用〈必都有/(%)-∕(X2)Vg(再)-g(W)，则实数”的取值范围是.

【答案】［0,11

【解析】对于任意X/,X2G［0,2］,且X/<X2,都有/(%)-)Vg(XI)-g。2)，即<(xj-有Xl)Vf(X2)-g。2)，

令F(X)=/(x)-g(x)=Y-2αk-l∣,即F(XJVF区)只需在［0,2］上单调递增即可，

当x=l时，F(X)=1，函数图象恒过。,1)；

当x>l时∙，F(x)=x2-lax+2a；

当x<l时，F(Λ)=X2+2ax-2a；

要使F(X)在区间［0,2］上单调递增，则当lVχ≤2时，尸(X)=X2-20x+2”的对称轴

x=a<∖,即α≤l;

当0≤x<l时，F(X)=X2+2ɑr-2ɑ的对称轴x=—ɑ≤0,即α≥0:

且l+2αxl-2α≤l-2αxl+2α,

综上0≤α≤l

故答案为：［O1］.

［举一反=I

20/25

1.(2022•全国•高三阶段练习)已知函数/(X)=加+区+C,其中a>0,/(O)<0,α+6+C=0,则(？?????？)

A.Vxe（0,1）,都有/（x）>0B.VΛ∈（0,1）,都有〃x）<0

C.Hx0∈（0,1）,使得“ΛO）=OD.Hx0∈（0,1）,使得"x0）>0

【答案】B

【解析】

由4>0,/(0)<0,α+6+c=0可知”>0,c<0,抛物线开口向上.因为

/(O)=Cy0,/⑴=α+b+c=O,即I是方程Or?+fex+c=O的一个根，

所以VXe(0,1),都有"x)<0,B正确，A、C、D错误.

故选：B.

2.(2022•全国•高三专题练习)已知函数y=加+6x+c,如果α>b>c且α+%+c=O,则它的图象可能是

（999999?）

【答案】A

【解析】由题意，函数y=如2+fcv+c,

因为α+8+c=0,令x=l,可得y=α+"c=O,即函数图象过点(1,0),

又由α>b>c,可得a>0,c<0,所以抛物线的开口向上，可排除D项，

令X=0,可得y=c<O,可排除B、C项；

故选:A.

3.(2022•全国•高三专题练习)已知函数∕*)=2χ2-h-8在［-2,1］上具有单调性，则实数&的取值范围是

()

A.陋-8B.k≥4C.仁-8或泛4D.-8<⅛<4

【答案】C

【解析】函数f(x)=2xt-kx-8对称轴为X=。,

要使F(X)在区间［-2,I］上具有单调性，则

-<-2^-≥∖,：.k≤-8^k>4

4l4l

综上所述k的范围是：⅛≤-8或&≥4.

故选：C.

4.(2022•山东济南•二模)若二次函数/(x)=*+⅛r+c(α<0),满足F(I)=.f(3),则下列不等式成立的是

(999979?)

A./(1)<∕(4)<∕(2)B./(4)</(!)</(2)

C./(4)<"2)<∕(1)D./(2)<∕(4)<∕(1)

【答案】B

【解析】因为,"1)=/(3),所以二次函数F(X)=O%?+加+c的对称轴为X=2,

又因为α<0,所以为4)</(3)</(2),

又/(1)=/(3),所以f(4)<f(l)</⑵.

故选：B.

5.(多选)(2022•全国•高三专题练习)已知函数√(x)=αχ2+2G∙+4(α>0),若X∕<JQ,则(？?????？)

A.当x∕+x2>-2时，J(Xi)旗⑵

B.当Xl+X2=-2时，fiXl)=fiX2)

C.当X∣+X2>-2时，危/)次X2)

D.7U/)与兀⑵的大小与。有关

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【答案】AB

【解析】二次函数段)=OX2+2αχ+4(α>0)的图象开口向上，对称轴为X=-1,

当X∕+X2=-2时，XI,尤2关于4-1对称，则有.穴x∕)=√(x2),B正确；

当X∕+X2>-2时,而Λ7<X2,则X2必大于-1,于是得X2-(-l)>-l-X/,有∣X2-(-l)∣>∣-l-X∕∣,

因此，点X2到对称轴的距离大于点X/到对称轴的距离，即7U/)勺(m)，A正确，C错误；

显然当4>0时，y(x∕)与外2)的大小只与X/,X2离-1的远近有关，与α无关，D错误.

故选：AB

6.(多选)(2022•全国•高三专题练习)若函数y=d-4x-4的定义域为［0,α),值域为［-8,T］,则正整数

“的值可能是(？?????？)

A.2B.3C.4D.5

【答案】BC

【解析】

因为函数在［0,。)上的值域为［-8,T,结合图象可得2<q≤4,

结合”是正整数，所