地理教学材料－地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法_第1页
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地球上任意两点间最短距离计算公式的推导方法解析：在讲《世界地理》下册的“世界的交通和联系”一节时，课文中有这样一段：“越过北冰洋的航空线是联系亚、欧和北美三大洲的捷径。从东京到伦敦，沿北极圈飞行，比经过莫斯科能缩短1100公里。现在从东京到西欧和美国已开辟有穿过北极上空的航线”。当讲到此时，学生们便常问：为什么沿纬线飞行反而要远些？第八章“南极洲”讲到交通位置的重要性时，也常提到同样的问题。对这个问题我们知道，地球上的两点的最近距离应是这两点的大圆弧，而除赤道以外的其它任何同在一条纬线上的两点，它们的纬线并不是经过这两点的大圆弧，所以要远些。那么地球上任意两点间的最短距离（大圆弧）又怎样计算呢？对上面这一问题，可通过用几何和三角作一个简单的推导，如下：分别相交于A′和B′。分别用直线连接这四点成四条弦，这四条弦构成了一个等腰梯形AB′BA′，即两腰AA′=BB′。然后以这梯形的两腰分别作底边，以地心O点作顶点，又可做出两个等腰三角形，△BOB′和△AOA′。而这两个三角形的顶角：∠BOB′=∠AOAc可用平面三角法，求出梯形的两腰：又设图中r1和r2分别为B和A的自转半径而△AO2B′和△A′O1B又是以δ2-δ1为顶角的等腰三角形，通过平面三角法又可求得梯形的上下两底长：将②③或分别代入上两式即得：在求出等腰梯形四边的长度后，再计算其对角线AB（弦）的长度。通过图中所引的辅助线后，可算出：在直角三角形ACA′中：AC2=AA′2-A′C2在直角三角形ACB中：AB2=AC2+BC2将⑥、⑧式代入上式：即：AB2=AA′2+AB′·A′B……⑨若再设AB弦对应地心○点的圆心角为θ，则△AOB又是以地球半径R为两腰的等腰三角形：将此式和前面的①④⑤代入⑨式：由上面公式即可求得地球上任意两点分别与地心连线的夹角θ，只要求出θ，就可求出过这两点间最大圆弧长，也就是这两点最近距离

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