2023年高考数学总复习第9讲：空间向量与立体几何（附答案解析）

2023年高考数学总复习第9讲：空间向量与立体几何

选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.（5分）（2022春•虹口区期末）如图，在斜四棱柱/8CA-小81C1O1中，底面/8C。是

平行四边形，M为小。与81。的交点.若不^J=W'A^^D7=b）不=展则而=

1-TDl_*1：—

JrIb+-clj∙—a-^τ^b÷c

2222

2.（5分）（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底G,E,c）-若m=a-b+c⅛

W=XZ+yE+^^共线，则冗+7的值为（）

A.2B.-2C.1D.0

3.（5分）（2022春•永昌县校级月考）若向量Z=（ι,-2,3），b=（-2,3,则

Ia+2bI=（）

A.2√7B.5C.√26D,4√2

4.（5分）（2022春•南京月考）如图：在平行六面体48CZ）-∕ι8ιCιDι中，"为小。，8ιG

,

的交点•若A/；=TA1Dj=bA1A=C则向量BM=（）

ʌ--ɪab+cb∙-ʌa-+ɪb-cc∙-ɪa-ɪb+cd∙ɪab+c

5.（5分）（2022春•龙岩期中）在平行六面体NBCD-NiBiCbDi中，点E是线段Si的中

.∙lI-'♦-♦，.—♦.6

点，AC=3AF.设AB=a，AD=b.AAI=c，贝IJEF=（）

第1页（共60页）

A5-2r1-B-τ1-a^2b;τ1-c

c.⅛1-D.

6a2c

6.（5分）（2022•浙江学业考试）如图，正方体ABC。-4出CMl中，N是棱。。的中点,

则直线CN与平面O88∣D∣所成角的正弦值等于（）

B∙9D.曜

ʌ-2C-f

7.（5分）（2022春•南通期中）如图所示，空间四边形0/8C中，0A=a，OB=b，0C=c>

点M在。/上，且M为。/中点，N为8C中点，则而等于（）

B-程亭亭

l-∙Ir1-

nh7∙-a~^rb÷τrc

222

8.（5分）（2022∙浙江）如图，已知正三棱柱∕8C-4ι8ιCι,AC^AA∖,E,F分别是棱8C,

出。上的点.记E尸与441所成的角为α,Q■与平面/8C所成的角为β,二面角尸-BC

-A的平面角为丫，则（）

A.α≤β≤γB.β≤a≤γC.β≤γ≤aD.a≤γ≤β

第2页（共60页）

9.（5分）（2022•甲卷）在长方体ABCD-A∖B∖C∖D∖中，已知B∖D与平面ABCD和平面AA∖B∖B

所成的角均为30°,则（）

A.AB=2AD

B./8与平面ZBCi。所成的角为30°

C.AC^CB↑

D.囱。与平面881。C所成的角为45°

10.（5分）（2022春•成都期中）已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且诬

=-2OA^xOB+-yOC）若加，A,B,C四点共面，则x+y的值为（）

A.0B.1C.2D.3

二.多选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

（多选）11.（5分）（2022•济南二模）在棱长为1的正方体N8C7）-NIBICQI中，E,F,

G分别为线段CG,CD,C8上的动点（£,F,G均不与点C重合），则下列说法正确的

是（）

A.存在点E,F,G,使得ZiEL平面EFG

B.存在点E,F,G,使得NFEG+NEFC+/EGC=n

C.当小UL平面EEG时，三棱锥出-E尸G与C-EPG体积之和的最大值为工

2

D.记CE,CF,CG与平面ErG所成的角分别为α,β,γ,则siiAt+si/p+si/Y=1

（多选）12.（5分）（2022•开福区校级一模）在棱长为1的正方体∕8CO-ZiBiCi。中,

点P满足而=λDD；+3X;入qo,1],μ∈[0>1]，则以下说法正确的是（）

A.当人=μ时，5"〃平面CB∖D∖

B.当口」寸，存在唯一点尸使得JoP与直线CBi的夹角为工

a23

C.当人+μ=l时，DP+PB的最小值为√2啦

D.当点尸落在以Si为球心，血为半径的球面上时，入+μ的最小值为2-√^

（多选）13.（5分）（2022•德州模拟）如图，边长为2的正方形N88中，E,尸分别是

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AB,8C的中点，将△/£）£,ACDF,ABEF分别沿DE,DF,EF折起，使力，B,C重

合于点R则下列结论正确的是（）

B.三棱锥P-DEF的外接球的体积为2√^π

C.点P到平面。E尸的距离为2

3

D.二面角P-E尸的余弦值为工

4

（多选）14.（5分）（2022•汕头二模）如图，在正方体力BCD-ZIBICIDI中，点尸在线段

8C上运动，则（）

A.直线8。平面小

B.三棱锥尸-小的体积为定值

C.异面直线NP与小。所成角的取值范围是「工，—1

l42j

D.直线CIp与平面小。。所成角的正弦值的最大值为逅

4

（多选）15.（5分）（2022♦广州二模）如图，圆柱的轴截面N8CZ）是正方形，E在底面圆

周上，AE=BE,AFVDE,尸是垂足，G在80上，DG=IBG,则下列结论中正确的是

（）

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A.AFLBD

B.直线OE与直线ZG所成角的余弦值为工

2_

C.直线OE与平面NBCD所成角的余弦值为近

6

D.若平面4尸Grl平面NBE=/,则/〃/G

Ξ.填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）

16.（5分）（2022春•淮安区期中）已知平面Z8C,Aβ=（1,2,3）,M=（4,5,6）,

写出平面/8C的一个法向量n=.

17.（5分）（2022•黄浦区二模）在长方体向ClOI中，设标=2，AD=b荷=：

若用向量a、b、C表示向量AC,则AC；=-

18.（5分）（2022春•东丽区期末）如图，正方体Z8CO-Nι8∣CιOι的棱长为1,E、尸分别

为棱8C的中点，则平面Ci。IE/与底面/8CO所成的二面角的余弦值为.

19.（5分）（2022春•浦东新区校级期末）已知点N（1,-2,0）,向量g=（-i,2,2）且

AB=2^＞则点8的坐标为.

20.（5分）（2022•齐齐哈尔二模）矩形/8C。中，ABS,BC=I,现将aZCO沿对角线

NC折起，得到四面体。-48C,若异面直线8C与ZO所成角为生，则田Z）I=；

3

第5页（共60页）

若二面角D-AC-B的大小为三，则IjSz）I=.

3

四.解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）

21.（10分）（2022•浙江）如图，已知/8CD和CDEE都是直角梯形，AB∕∕DC,DC//EF,

AB=5,OC=3,EF=I,NBAD=NCDE=60°,二面角尸-OC-8的平面角为60°.设

M,N分别为∕E,8C的中点.

（I）证明：FNVAD-,

（II）求直线5A/与平面/OE所成角的正弦值.

22.（10分）（2022•新高考I）如图，直三棱柱ZBC-小明。的体积为4,△小8C的面积

为ML

（1）求“到平面A∖BC的距离；

（2）设。为小C的中点，AA∖=AB,平面小BC，平面/881小，求二面角Z-8。-C

的正弦值.

23.(10分)(2022•甲卷)在四棱锥P-/8C0中，PO_L底面/8CO,CD//AB,AD=DC

=CB=l,AB=2,Z)P=√3∙

(1)证明：BD±PA↑

(2)求PD与平面B18所成的角的正弦值.

第6页（共60页）

24.（10分）（2022•乙卷）如图，四面体NBC。中，ADVCD,AD=CD,N4DB=NBDC,

E为ZC的中点.

（1）证明：平面BEZ）JL平面/CC；

（2）设48=8。=2,NACB=60°,点尸在8。上，当尸C的面积最小时，求CF与

平面48。所成的角的正弦值.

A

25.（10分）（2022•新高考∏）如图，PO是三棱锥P-N8C的高，PA=PB,ABLAC,E

为PB的中点.

（1）证明：OE〃平面C；

（2）若NABo=NCBO=30：Po=3,PA=5,求二面角C-/£-8的正弦值.

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2023年高考数学总复习第9讲：空间向量与立体几何

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1.（5分）（2022春•虹口区期末）如图，在斜四棱柱/8C£>-DI中，底面48C。是

平行四边形，M为小。与BiZ）I的交点.若碰ɪ=:，A^EΓJ=b>不=展则就=

cIfl7一ClTl’一

-

J22+c-2a^^2τb+c

【考点】空间向量及其线性运算；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示.

【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；逻辑推理.

【分析】利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出.

【解答】解：因为斜四棱柱/8C。-mBiCiOi的底面是平行四边形，

又M为AlCI,BlZ）I的交点,

所以耐（AIBj硒P=/ɑ-b）.

所以BH=-（MB）—^（儿B；+BE=-[∙^∙（a-b）+c]--ɪa+-^-b^c>

故选:B.

【点评】本题考查向量的运算，解题关键是熟悉向量的三角形法则，平行四边形法则,

属于基础题.

2.（5分）（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底G,E,c},若\=7-E+W与

E=XZ+yb+^J共线，则AV的值为（）

A.2B.-2C.1D.0

【考点】共线向量与共面向量.

【专题】计算题：转化思想；向量法：平面向量及应用；数学运算.

第8页（共60页）

【分析】根据，与常线可得出E=k∖再根据G,E,3｝为基底，从而根据空间向量

基本定理可得出χ+y的值.

【解答】解：因为［与凝线，空间的一组基底G,E,W卜

所以xa+yb+c=k（a-b+c）,

所以x+y=O.

故选：D.

【点评】本题考查了共线向量基本定理和空间向量基本定理，考查了计算能力，属于基

础题.

3.（5分）（2022春•永昌县校级月考）若向量Z=（1,一2,3），b=（-2,3,-1）＞则

Ia+2bI=（）

A.2√7B.5C.√26D.4√2

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】利用空间向量的坐标运算求解即可.

【解答】解：∙Y=（1,-2,3）＞b=（-2,3,-1）＞

∙*∙a+2b=（-3,4,1）,

.∙.∣I+2b=√9+16+l=√26-

故选：C.

【点评】本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

4.（5分）（2022春•南京月考）如图：在平行六面体∕8C∏-∕ι8ιClDl中，M为小Ci，BlDI

则向量BM=（）

第9页（共60页）

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用：数学运算.

【分析】根据空间向量基本定理结合平行六面体的性质求解.

【解答】解：由题意得：

BM=西+彳

=-AIA卷（AIDl-AIBl）

Z=4^M]-⅛AIDI'M

=Jʃd;二

2a^^^bC

故选:B.

【点评】本题考查向量的线性运算，是基础题.

5.（5分）（2022春•龙岩期中）在平行六面体Cr）-//IeI。中，点E是线段C£>1的中

点，AC=3AF.设标=Z，AD=bk=Z则而=（）

A5-27I-R1-271-

n∙-a+τrb-,τrco∙-τra-src

632632

c1-2：1-D5-2：1-

632632

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】直接利用向量的加法和减法运算的应用求出结果.

【解答】解：在平行六面体/8C。-IClDl中，

如图所示：

第10页（共60页）

点E是线段Cz）I的中点，AC=3AF1设标=Z，AD=b-k=Z

所以：AC=a+bAF=^^AC=ya+yb,

【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，向量的加法和减法运算，主要考查学

生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

6.（5分）（2022•浙江学业考试）如图，正方体/3CD-4团。。1中，N是棱。Dl的中点,

则直线CN与平面OBBbDi所成角的正弦值等于（）

A.1B.&C.逗D.2√∑

2555

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】计算题；方程思想；综合法；空间角；数学运算.

【分析】通过连接/C,8C交于。的辅助线，确定CN与平面。58∣JDl所成的角，再设

正方体棱长为2,根据CN与CO长度的关系，即可得出所求角的正弦值.

【解答】解：连接/C,BD交于O,由正方形的性质可得C0J_8£）,

又∙.∙88ι,平面∕2CZ）,CoU平面/38,BB↑LCO,

又BB∖CBD=B,J.C0L3F^DBB∖D∖,

ZCNO是CN与平面DBBiDi所成的角，

设正方体的棱长为2,则CW=√m,Co=√5,,SinNCNO=St="=1Σ.

CN√55

.∙.直线CN与平面DBB∖D∖所成角的正弦值为H∙

5

故选：B.

【点评】本题考查线面角的求法，属基础题.

7.（5分）（2022春•南通期中）如图所示，空间四边形。IBC中，QA=1，QB=bQC=c>

点M在。!上，且“为。/中点，N为BC中点、,则诵等于（）

D1-lr1-*

lj,-a÷τrc

222

【考点】空间向量及其线性运算.

【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可.

【解答】解：-Al为。/中点，N为BC中点,

.∖OT=I0A=^XON=ɪ（0B+0C）=Ab+^c.

22222

∙∙∙M=ON--攵，

222

故选：A.

【点评】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题.

8.（5分）（2022•浙江）如图，已知正三棱柱∕8C-N∣8ιCι,AC^AA∖,E,尸分别是棱8C,

小Cl上的点.记E厂与/小所成的角为α,E尸与平面Z8C所成的角为β,二面角厂-BC

-4的平面角为丫，则（）

第12页（共60页）

AlCl

B

A.α≤β≤γB.β≤a≤γC.BWYWaD.a≤γ≤β

【考点】二面角的平面角及求法.

【专题】转化思想；综合法；空间角；立体几何；逻辑推理；数学运算.

【分析】根据线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，转化即可求解.

【解答】解：：正三棱柱ZBC-481。中,AC=AAi,

正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1,

如图，过F作EGLNC,垂足点为G,连接G£,^∖A∖A∕∕FG,

：.EF与AAI所成的角为∕EFG=a,且tana=S^∙=GE?

FG

又Gf6[0,1].tana∈[O,1],

E尸与平面/8C所成的角为NFEG=β,且tanβ=空hɪe[l,+∞),

GEGE

tanβ>tana,…①，

再过G点作GbJ_8C,垂足点为，，连接，尸，

又易知FG，底面∕8C,SCcJKffiABC,

.'.BCLFG,又FGCGH=G,；.8C_L平面GZZF,

二面角∕7-8C-Z的平面角为NG”尸=γ,且tanγ=空hɪ,又G∕∕∈[0,1],

GHGH

Λtanγ∈[l,+o0),.∙.tanγ2tanα,…②，

又GE,GH,.∙.tanβ≤tanγ,…③，

由①②③得tanα<tan0Wtanγ,又α,β,γ∈[0,.ZE_),y=tanx在[0,-2L)单调递增,

22

Λα≤β≤γ,

故选：A,

第13页(共60页)

B

【点评】本题考查线线角的定义，线面角的定义，面面角的定义，考查了转化思想，属

中档题.

9.（5分）（2022•甲卷）在长方体ABCD-A∖B∖C∖D∖中，已知B∖D与平面ABCD和平面AA∖B∖B

所成的角均为30°,则（）

A.AB=IAD

B./8与平面/81。。所成的角为30°

C.NC=C

D.81。与平面831。C所成的角为45°

【考点】直线与平面所成的角.

【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离：空间角；直观想象.

【分析】不妨令“m=1,可根据直线与平面所成角的定义，确定长方体的各棱长，即可

求解.

【解答】解：如图所示，连接∕8ι,BD,不妨令43=1,

D1________________Ci

AB

在长方体∕8CA-//Ci。1中，/Z)_L面44ι8ι5,面4BCD,

所以N囱。8和NO8M分别为BlD与平面ABCD和平面AAιB↑B所成的角,

即N51Z)8=NO8ι4=30°,

第14页（共60页）

所以在Rta8O8ι中，88ι=44ι=l,BD=V§,B∣D=2

在RtZ∖4O8ι中，DBl=2,ʌŋ=1,AB]=百，

,1

所以/8=&，CB1=V2AC=V3

故选项4C错误，

由图易知，/8在平面/BiClZ）上的射影在N81上，

所以NBMB为AB与平面AB∖C∖D所成的角，

..BB1Iʌ/o

a-,

在RtZMBBi中，SinNB1AB=τz=^7T^="V

ɪABɪ√33

故选项8错误，

则阴。在平面88∣ClC上的射影为8∣C,

所以NOBiC为8Q与平面88∣Cle所成的角，

在RtADBiC中，BlC=我=Da所以NO8C=45°,

所以选项。正确，

故选：D.

【点评】本题考查了直线与平面所成角，属于中档题.

10.（5分）（2022春•成都期中）已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，且M

=-2OC）若M,A,B,C四点共面，贝!lx+y的值为（）

A.0B.1C.2D.3

【考点】共线向量与共面向量；平面向量的基本定理.

【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.

【分析】由共面向量定理能求出x+y.

第15页（共60页）

【解答】解：M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线,

且而=-2亍京x^55己M,A,B,C四点共面，

则由共面向量定理得：-2+xty=l.解得x+y=3.

故选：D.

【点评】本题考查两数和的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，

是基础题.

二.多选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

（多选）11.（5分）（2022•济南二模）在棱长为1的正方体/8CD-小81ClDl中，E,F,

G分别为线段CG,CD,CB上的动点（E,F,G均不与点C重合），则下列说法正确的

B.存在点£,F,G,使得/尸EG+NE尸C+/EGC=Tr

C.当小。，平面EFG时，三棱锥小-EFG与C-EFG体积之和的最大值为工

2

D.记CE,CF,CG与平面E尸G所成的角分别为ɑ,β,γ,贝IJSin2a+si∏2β+sin2γ=1

【考点】直线与平面所成的角；命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、

棱台的体积.

【专题】计算题；对应思想；分析法；空间角；数学运算.

【分析】以点。为原点建立空间直角坐标系，设b=a,CG=b,CE=c,（a,b,c∙∈（0,

1］）,对于/,当FG时，易证得FG_L/i£,则要使小E，平面£FG,只需AlELEF

即可，利用向量法即可得出结论；对于8,要使

NFEG+NEFC+NEGC=n,只需要/bEG=/PEC+/GEC即可，判断/FEG和/尸EC+

NGEC是否相等，即可；对于C,根据/C_L平面EFG,可得a,h,C的关系，由

vACS

A-EFG+Vc-EFG4-∆EFG×，只要求出S丛口的最大值即可；对于。，利用等体

ɪo

积法求出C到平面EFG的距离d,分别求出Sina,sinβ,sinγ,即可判断.

【解答】解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系，设CF=a,CG=b,CE=c,

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h,c∈(O,1]),

对于/,因为44ι，平面/88,ABCD,

所以A4J8O,

又因/C_L8£>,AC∩AA∖=A,

所以8O_L平面44ιCιC,

又出EU平面44ιCC,所以ADL41E,

当8。〃尸G时，FGLA∖E,此时C尸=CG,

要使NiEL平面EFG,只需小EF即可，

Ai(1,0,1),F(0,1-a,0),E(0,1,c),

则A]E=(-1,1,c-1),EF=(0,-a,-CA

则内T靛=-a-c(c-l)=G即α=c-d,

当』寸，ɪ,

4c2

故存在点E,F,G,使得ZIEJL平面EFG,故/正确；

对于8,ZEFC=ɪ-ZFEC,ZEGCɪy-ZGEC-

则NFEG+NEFC+NEGC=Tτ+"EG-NFEC-NGEC,

要使NFEG+NEFC+NEGC=π,

只需要ZFEG=ZFEC+ZGEC即可，

EF=√a2+c2,EG=√b2+c2,FG=√a2+b2j

/»2+(：«62甘2二(@2吵2)c2

2√a2+c2∙Vb2+c2Va2+c2∙√b2+c2

cosZFECɔ-rʒ"-->COSZGEC=→===".

√a+cVb+c

则SinNFEC=。1一；—;、sinz^GEC",J5>

Ma+c"√b+c

故cos(ZFEC+ZGEC)»工"尸

Va+cWb+c

因为必>0,所以COS(NFEC+NGEC)≠cos/FEG,

所以NFEGWZFEC+ZGEC,

第17页(共60页)

所以不存在点E,F,G,使得NFEG+NMC+/EGC=n,故8错误;

对于C,因为ZICJ•平面E/G,

所以+v,

VAl-EFGC-EFGWAC%EFG=-^-SΔEFG

AI(1,0,1),F(0,1-a,0),E(0,1,c),GQb,1,0),C(0,1,0),

则而=(b,a,0),EG=(b,0,-c),AɪC=(-1,1,-I);

f••

AiC,FG=-b+a=0

则,_____k.所以α=b=c,

A1C∙EG=b-c=O

要使S&EFG最大，则a=h=c=∖,此时S^EFGɔɪ-'

所以体积之和的最大值为工，故C正确；

J2,2,/2,,2\2

Yab+(a+b)c

对于。，由8,SinNFEG=

7a2+c2∙√b2+c2

则SZiEFG卷，EF∙EG∙sinZFEG=y√a2b2+a2c2+c2b2,

因为VE-FCGqabe，

sinβ=,

CF∖∕2Γ2722~2Γ2

Vab+ac+cb

CG-√a2b2÷a2c2÷c2b2

222222

所以si∏2α+sin2B+si∏2γ=at>+ac+cb故。正确.

故选：ACD.

第18页（共60页）

【点评】本题考查空间向量的应用，考查学生的综合能力，属于难题.

（多选）12.（5分）（2022•开福区校级一模）在棱长为1的正方体/8C。-由81CIol中，

点尸满足而=入西+∣1X,λ∈[0,1],μ∈[0,1],则以下说法正确的是（）

A.当人=μ时，80〃平面CBlDI

B.当口」寸，存在唯一点尸使得。尸与直线CBI的夹角为

μ23

C.当入+μ=l时，DP+PB的最小值为√2屈

D.当点尸落在以81为球心，√5为半径的球面上时，入+μ的最小值为2-&

【考点】空间向量的夹角与距离求解公式.

【专题】转化思想：综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值，能求

出结果.

【解答】解：当入=μ时，如图（1）,P的轨迹线段。小，由正方体的结构特征，可知平

面C8iOi〃平面小8。，

BPU平面小肛

.∙.8尸〃平面CBiDi,故4正确；

当Il年时，如图（1）,点尸的轨迹为线段EE,直线CBi〃直线D4ι,

当尸与E重合时,。尸与直线。/1所成角最大，即。尸与直线CBl所成角最大,最大为工,

4

故8错误;

第19页（共60页）

当人+μ=l∏寸，如图（2）,P点轨迹为线段Z）ι∕,将AODM旋转到平面。1/8。内,

可知DP+PB∖DB=个2x[i,故C正确；

当点P落在以S为球心，√5为半径的球面上时，

点P的轨迹为以A1为圆心，1为半径的四分之一圆弧市,

取圆弧中点时，（入+μ）,”加=2-J5，故。正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查推理论证能力，是中档题.

（多选）13.（5分）（2022•德州模拟）如图，边长为2的正方形48C。中，E,尸分别是

AB,8C的中点，将△/£)£,/XCDF,ABEF分别沿DE,DF,EF折起，使4B,C重

合于点P,则下列结论正确的是（）

B.三棱锥尸-OEF的外接球的体积为2√^π

第20页（共60页）

C.点P到平面DEF的距离为2

3

D.二面角P-M-。的余弦值为工

4

【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算.

【专题】计算题：整体思想：综合法：立体几何：数学运算.

【分析】取跖中点H,连接P”,DH,由线面垂直的判定定理可得EFL平面POH,再

由线面垂直的性质定理可判定出构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥P-OE厂的

外接球，长方体的体对角线就是外接球的直径，计算可得外接球的半径和体积，即可判

断8:因为P£,PF,尸。三线两两垂直，由等体积法可判断C；由题意为二面角

P-EF-D的一个平面角，禾I］用COSNPHDq•可判断d∙

DH

【解答】解：对于Z选项，作出图形，

取EF中点H,连接P”，DH,

由原图知48EF和4OEF均为等腰三角形，故PHLEF,DHLEF,

又因为PHCDH=H,

所以£7JL平面P。”，

又U平面PDH,所以PDLEF,A正确；

由尸E,PF,三线两两垂直，如下图构造长方体，长方体的外接球就是三棱锥P-OEE

的外接球,

长方体的体对角线就是外接球的直径，设为2R,

则(2R)2=i2+l2+22=6,则

所以所求外接球的体积为呈KR3=√6π›B错误;

O

根据题意，可知PE,PF,三线两两垂直，且PE=PF=1,PD=I,

、23√2

在APHD中,

'2

由等体积法可得上XLXIX1×2

×y×√2ΓL×⅛解得C正确;

32×⅛

由题意如上图，PE=PF,DE=DF,

则PHLEF,DHLEF,

第21页（共60页）

所以NP”£）为二面角尸-EF-。的一个平面角，

因为P£>_LZ）F,PDVDE,且Z）F∩Z?E=Z）,

所以PCl.平面PEF,则PO_LPH,即/0/77=90°,

在Rt△尸"D中，CoSNPHD=^^。不正确•

DH3

故选：AC.

【点评】本题考查了立体几何的综合问题，属于中档题.

（多选）14.（5分）（2022•汕头二模）如图，在正方体NBCO-出81ClZ）I中，点尸在线段

8iC上运动，则（）

A.直线跳54平面小

B.三棱锥尸-小。。的体积为定值

C.异面直线NP与小O所成角的取值范围是W-,ɪ

第22页（共60页）

D.直线CIP与平面4G。所成角的正弦值的最大值为1

4

【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直

线与平面垂直.

【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、

三棱锥的体积性质逐一判断即可求出结果.

【解答】解：以。为坐标原点，建立空间直角坐标系，设/8=1,如图，

ʌ▲

DICl

—

B(1,1,O),Dl(0,0,1),A∖(1,0,1),Ci(0,I,1),

D(0,0,0),BI(1,1,1),C(0,1,0),A(0,1,1),

设尸(x,y,Z),设B[g=χB1Q=(X-1,ʃ-1,Z-D=入(-1,0,-1),λ∈[0,

1]，

"x=l-λ

解得.y=ι,：.p(I-λ,1,1-λ),

z=l-λ

对于Z,BD；=(-1，-1,1),ŋʌɪ=(ɪ.0.1),DC；=(0,1,1),

；BD「DA「-lx1+1Xi=。，BDjDC[=-IX1+1X1=°，

'可1西'BDɪ1DC7,^^D∖^DA∖,BD∖LDC∖,

,JDA∖C∖DC∖=D,.∙.直线BDl_L平面由Cjo,故N正确；

对于8,侧面BCCiBi的对角线交于点O,...CB」。。，OCHIl-J=亨,

平面BCClBI,OcIU平面BCGB1，J.A∖B∖LOC∖,

；4BICeBI=BI,.∙.OCι-L平面ZiBiCD,

第23页（共60页）

VVSC*3×sABCDX^=

P-A1C1D=C1-PA1D≡⅛∆PA1D∙10⅛×⅛11

1B1CD

为定值，故8正确；

对于C，AP=(-λ,L1-λ),(1，0,1),

设异面直线/P与4。所成角为。(θ∈(0,ɪ])-

则COSe=.」AP∙AlD1_=________∣-λ+l"I__!12"

2

IAPlTAIDl7(-χ)2+12+(1,λ)2.γι2+122√λ-λ+l

当入』寸，cosθ=0,解得Θ=2L,

22

当人卢1•时，cosθ=I===「O

2，4.2-4.+4/]+-----ɜ-------

22

V4λ-4λ+lV(2λ-l)

Vλ∈[0,ɪ)U(ɪU，.∙.(2λ-1)2∈(0,1],

22

-----ɪ21,；?>O,Λl+?------24,

(2λ-ι)2----------(2λ-ι)2--------------(2λ-ι)2

H------ɜ------22,Λ0<

(2λ-l)2

(2λ-l)2

∙'∙θ<Ccosθ≤4^,∙-∙θel-^,

综上，θ∈[2L,ɪ],故C错误；

32

对于。，设平面NICl。的法向量为Ir=(Xo,”，zo),3(1-λ,0,2-λ),

+zx

m∙DA1=0x∩oθ-

，解得Ir=(-1,7,1),

+z

m∙DC1=07oo=0

线ClP与平面4。。所成角的正弦值为:

Im-CiPlI入-]+2一入I

V(l-λ)2+(2-λ)2∙7(-l)2+(-l)2+l2

∣m∣∙∣C1P∣

]

√3•小2λ2-6λ+5

∙.∙χ∈[0,1],.∙.入=1时，,2(λ^)2，有最小值为点考

第24页(共60页)

∙∙.直线CIP与平面小CbD所成角的正弦值的最大值为——」==近，故。错误.

3

M吗

故选：AB.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础

知识，考查运算求解能力，是中档题.

（多选）15.（5分）（2022•广州二模）如图，圆柱的轴截面N5CZ）是正方形，E在底面圆

周上，AE=BE,AFlDE,尸是垂足，G在80上，DG=IBG,则下列结论中正确的是

A.AFlBD

B.直线OE与直线ZG所成角的余弦值为工

2_

C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为近

6

D.若平面∕FG∩平面/8E=/,贝U/〃尸G

【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角.

【专题】计算题：方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观

想象；数学运算.

【分析】选项上由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；选项&平移

法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；选项C：找出线面垂直，作出

线面角，再求解三角形可得；选项。：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质

定理可得.

【解答】解：对于/：由圆柱的性质得：DAL^AEB,Vfβ⊂fflAEB,.'.DALEB,

又AB是下底面圆的直径.∙.4E"LE8,

又∙.∙Λ0∏NE=4Dτ4⊂SDAE,DAE,

Λf51≡DAE,DAE：.EB