（江苏专用）高考数学大一轮复习 第十一章 圆锥曲线与方程 第61课 椭圆的几何性质 文-人教版高三全册数学试题

第61课椭圆的几何性质(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-2-1P30例1改编)椭圆+=1的长轴长为，离心率为，右焦点坐标为.【答案】10(4，0)2.(选修1-1P35习题4改编)若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围为.【答案】(-∞，-1)∪【解析】由题意有2-m>|m|-1>0，解得1<m<或m<-1.3.(选修1-1P60复习题7改编)若以椭圆.+=1(a>b>0)的左焦点F(-c，0)为圆心、c为半径的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是.【答案】【解析】由条件得椭圆的左准线方程为x=-，从而由-c-<c，得a2<2c2，所以e∈.4.(选修1-1P35习题9改编)椭圆C：+=1上与两个焦点的连线互相垂直的点的坐标是.【答案】(-3，-4)，(-3，4)，(3，-4)，(3，4)【解析】由题知椭圆C的两个焦点的坐标分别是(5，0)，(-5，0)，所以所求的点即为以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆的交点，联立方程组解得或或或1.椭圆的标准方程及简单的几何性质条件2a>2c，a2=b2+c2，a>0，b>0，c>0标准方程及图形+=1(a>b>0)+=1(a>b>0)范围|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b对称性曲线关于原点、x轴、y轴对称顶点长轴顶点(±a，0)短轴顶点(0，±b)长轴顶点(0，±a)短轴顶点(±b，0)焦点(±c，0)(0，±c)长、短轴的长度长轴长2a，短轴长2b焦距F1F2=2c(c2=a2-b2)准线方程x=±y=±离心率e=∈(0，1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆2.点P(x0，y0)和椭圆+=1(a>b>0)的关系(1)点P(x0，y0)在椭圆外+>1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上+=1.(3)点P(x0，y0)在椭圆内+<1.【要点导学】要点导学各个击破求椭圆离心率的值例1在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO+∠BFO=90°，求椭圆的离心率.【思维引导】根据所给的几何条件，建立关于a，b，c的方程.【解答】方法一：因为∠BAO+∠BFO=90°，所以sin∠BFO=cos∠BAO=cos∠BAF.在△ABF中，由正弦定理得===，即=，所以=，所以a2=b，即a4=(a2-c2)(2a2-c2)，化简得e4-3e2+1=0，解得e2=，故e=(负值舍去).方法二：易知∠BAF=∠FBO，所以Rt△BFO∽Rt△ABO，则=，即=，所以ac=b2=a2-c2，所以c2+ac-a2=0，即e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).方法三：设椭圆右顶点为C，连接BC，则∠BCO=∠BAF，所以∠BCO+∠BFC=90°，则BF2+BC2=CF2，即a2+a2+b2=(a+c)2，所以2a2-c2=2ac+c2，即c2+ac-a2=0，所以e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).【精要点评】椭圆离心率的求解主要是将所给几何条件进行转化，建立关于a，b，c的齐次方程.本题对于所给条件∠BAO+∠BFO=90°采取了三种转化，分别是正弦定理、余弦定理以及相似三角形、直角三角形(勾股定理)，但目的都是一致的.【高频考点·题组强化】1.椭圆+=1的离心率为.【答案】2.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率等于.【答案】【解析】因为椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以a=2b，则有椭圆的离心率e==.3.(2015·苏北四市期末)已知椭圆+=1(a>b>0)，点A，B1，B2，F依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB2与直线B1F的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为.【答案】(第3题)【解析】如图，A(-a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)，F(c，0)，设点M.由=kAM，得=，所以yM=b.由=kFM，得=，所以yM=，从而b=，整理得2e2+e-1=0，解得e=或e=1(舍去).4.如图，已知F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点.若PF1⊥F1A，PO∥AB(O为椭圆中心)，求椭圆的离心率.(第4题)【解答】设椭圆方程为+=1(a>b>0)，F1(-c，0)，c2=a2-b2，则P.因为AB∥PO，所以kAB=kOP，即-=，所以b=c.又因为a==b，所以e===.求椭圆离心率的取值范围微课13●典型示例例2若椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是.【思维导图】【答案】【规范解答】由题意知，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，即点F到点P与点A的距离相等.而FA=-c=，PF∈[a-c，a+c]，于是∈[a-c，a+c]，即ac-c2≤b2≤ac+c2，所以解得又因为e=，e∈(0，1)，故e∈.【精要点评】(1)一般地，求解离心率的值或取值范围的问题，关键是将几何条件转化为a，b，c的方程或不等式，然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式应该是齐次式.(2)对于椭圆上或直线上的点，应该利用该点建立方程，转化为与该点相关的变量的方程的有解问题，这里要注意椭圆等图形本身的范围限制.●总结归纳1.存在性问题可转化为方程有解；2.求离心率范围可转化为求不等式(组)的解集或方程有解等问题；3.若点P在椭圆上，F为椭圆的一个焦点，则PF∈[a-c，a+c].●题组强化1.(2014·合肥三检)椭圆+=1的离心率e的取值范围是.【答案】【解析】由题知(a+1)2>a>0，所以e===≥，故e∈.2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P是椭圆上一点，l为左准线，PQ⊥l，垂足为Q.若四边形PQFA为平行四边形，则椭圆的离心率e的取值范围是.【答案】(-1，1)【解析】由题意知AF=PQ，即a+c=xP+，则xP=a+c-，所以有-a<a+c-<a，即c<<2a+c，左侧不等式显然成立，所以a2<2ac+c2，即e2+2e-1>0.又0<e<1，所以-1<e<1.3.已知点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q两点.若△PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是.【答案】【解析】由题意可知圆M的半径为，点M到y轴的距离为c，由于△PQM是等腰三角形，故只能是∠PMQ为钝角，从而只需>c即可，即ac<b2=a2-c2，两边同除以a2并整理得e2+e-1<0，解得<e<.又因为0<e<1，所以e∈.4.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0).若椭圆上存在点P，使得=，则该椭圆的离心率的取值范围为.【答案】(-1，1)【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知=，因为=，所以==，即PF1=ePF2.①又因为点P在椭圆上，所以PF1+PF2=2a，将①代入得PF2=∈(a-c，a+c)，同除以a得1-e<<1+e，解得-1<e<1.椭圆几何性质的综合应用例3(2015·南通、扬州、淮安、连云港二调)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1(a>b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，P(x0，y0)为椭圆上一点，且PA⊥PF.(例3)(1)若a=3，b=，求x0的值；(2)若x0=0，求椭圆的离心率；(3)求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切.【解答】(1)因为a=3，b=，所以c2=a2-b2=4，即c=2.由PA⊥PF，得·=-1，即=--x0+6.又+=1，所以4+9x0-9=0，解得x0=或x0=-3(舍去).(2)当x0=0时，=b2，由PA⊥PF，得·=-1，即b2=ac，所以a2-c2=ac，所以e2+e-1=0，解得e=(负值舍去).(3)依题意，椭圆右焦点到直线x=的距离为-c，且+=1，①由PA⊥PF，得·=-1，即=-+(c-a)x0+ca，②由①②整理得(x0+a)（x0+）=0，解得x0=-或x0=-a(舍去).所以PF==a+·=-c，所以以F为圆心、FP为半径的圆与右准线x=相切.【精要点评】关于椭圆性质的综合应用的题目都有一定的难度，充分利用或挖掘各种条件是解决问题的关键.但是，基本量的求解与基本关系的处理是解决问题的必要途径.变式(2015·福建卷改编)已知椭圆E：+=1(a>b>0)过点(0，)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线x=my-1(m∈R)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.【解答】(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为H(x0，y0).由消去x，得(m2+2)y2-2my-3=0，所以y1+y2=，y1y2=-，从而y0=.所以GH2=+=（my0+）2+=(m2+1)+my0+.====(m2+1)(-y1y2).故GH2-=my0+(m2+1)y1y2+=-+=>0，所以GH>，故点G在以AB为直径的圆外.1.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1=4，则点P到右准线的距离是.【答案】【解析】由PF1=4，知PF2=6，所以点P到右准线的距离d==.2.设F1，F2为两定点，F1F2=8，动点P满足PF1⊥PF2，且PF1+PF2=10，满足条件的点P的个数为.【答案】4【解析】由PF1+PF2=10，可知点P(x，y)在曲线+=1上.又因为PF1⊥PF2，根据对称性可知点P的个数为4.3.若过椭圆+=1(a>b>0)的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为a，则该椭圆的离心率是.【答案】(第3题)【解析】如图，设椭圆焦点为(c，0)，a2=b2+c2，点P的坐标为(c，0)，点M的坐标为，则=×=，即=，即=，所以e==.4.已知F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上总存在点M，使得·=0，则椭圆离心率的取值范围为.【答案】【解析】因为椭圆上总存在点M，使得·=0，且动点M位于椭圆上顶点时，∠F1MF2最大，所以90°≤∠F1MF2<180°，此时MF1=MF2=a，F1F2=2c.在△F1MF2中，由余弦定理得cos∠F1MF2==1-2=1-2e2∈(-1，0]，故e∈.【融会贯通】融会贯通能力提升已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△PF1F2的面积与椭圆短轴长有关.【思维引导】方法一：方法二：【规范解答】方法一：设椭圆方程为+=1(a>b>0)，P(x1，y1)，F1(-c，0)，F2(c，0)，c>0，由第二定义易知PF1=a+ex1，PF2=a-ex1.在△PF1F2中，由余弦定理得cos60°==，解得=……4分(1)因为∈[0，a2)，所以0≤<a2，即4c2-a2≥0…………6分所以e=≥.故椭圆离心率的取值范围是……8分(2)将=代入+=1，得=，即|y1|=…11分所以=F1F2·|y|=·2c·=b2.即△PF1F2的面积只与椭圆的短轴长有关………16分方法二：设PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，则α+β=120°.(1)在△PF1F2中，设PF1=m，PF2=n，∠PF2F1=α，∠PF1F2=β，由正弦定理得==，所以=……2分因为m+n=2a，所以=，…4分所以e====≥.当且仅当α=β时等号成立…………6分故椭圆离心率的取值范围是………………8分(2)在△PF1F2中，由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos60°=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn………10分因为m+n=2a，所以4c2=4a2-3mn，即mn=(a2-c2)=b2……………12分所以=mnsin60°=b2.即△PF1F2的面积与椭圆短轴长有关……………16分【精要点评】椭圆上的一点P与两个焦点F1，F2构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理.解题时通过变形，使之出现PF1+PF2的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a，c的关系式，使问题找到解决思路.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第121~122页.【检测与评估】第61课椭圆的几何性质一、填空题1.已知椭圆+=1，那么该椭圆的准线方程为.2.已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8，则该椭圆的方程是.3.若椭圆+=1的离心率为，则实数m的值为.4.已知F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则椭圆E的离心率为.5.在平面直角坐标系中，椭圆+=1(a>b>0)的焦距为2c，以原点O为圆心，a为半径作圆O，过点作圆O的两条切线互相垂直，则离心率e=.6.已知F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，点P在椭圆上，且满足PF1=2PF2，∠PF1F2=30°，则椭圆的离心率为.7.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为.8.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P的横坐标x0的取值范围为.二、解答题9.(2015·扬州期末)如图，A，B，C是椭圆M：+=1(a>b>0)上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC=2AC.(1)求椭圆M的离心率；(2)若y轴被△ABC的外接圆所截得的弦长为9，求椭圆M的方程.(第9题)10.已知椭圆的右焦点F(m，0)，左、右准线分别为l1：x=-m-1，l2：x=m+1，且l1，l2分别与直线y=x相交于A，B两点.(1)若离心率为，求椭圆的方程；(2)当·<7时，求椭圆离心率的取值范围.11.(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2=，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆的离心率e.(第11题)三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.在△ABC中，∠ACB=60°，sinA∶sinB=8∶5，则以A，B为焦点且过点C的椭圆的离心率为.13.设F1，F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x=上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是.【检测与评估答案】第61课椭圆的几何性质1.y=±4【解析】因为c2=a2-b2=8-4=4，所以准线方程为y=±=±4.2.+=1【解析】因为2c=8，所以c=4，所以e===，故a=8.又因为b2=a2-c2=48，所以椭圆的方程为+=1.3.1或16【解析】若焦点在x轴上，则m<4，即a2=4，b2=mc2=a2-b2=4-m，得到=m=1；若焦点在y轴上，则m>4，即a2=m，b2=4c2=a2-b2=m-4，得到=m=16.4.【解析】由题意可得PF2=F1F2，所以2=2c，所以3a=4c，所以e=.5.【解析】如图，四边形OAPB为正方形，所以OP=OA，所以=a，解得=，即离心率e=.(第5题)6.【解析】在△PF1F2中，由正弦定理得sin∠PF2F1=1，即∠PF2F1=90°.设PF2=1，则PF1=2，F2F1=，所以离心率e==.7.6【解析】由椭圆方程得F(-1，0)，设P(x0，y0)，则·=(x0，y0)·(x0+1，y0)=+x0+.因为P为圆上一点，所以+=1.所以·=+x0+3=+x0+3=(x0+2)2+2.因为-2≤x0≤2，所以·的最大值在x0=2时取得，且最大值等于6.8.【解析】由题意知F1(-，0)，F2(，0)，由P(x0，y0)，知=(--x0，-y0)，=(-x0，-y0)，所以·=-5+<0①.又因为+=1②，由①②得<，所以-<x0<.则点P的横坐标x0的取值范围为.9.(1)因为BC过椭圆M的中心，所以BC=2OC=2OB.又AC⊥BC，BC=2AC，所以△OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，则A(a，0)，C，B，AB=a，所以+=1，则a2=3b2，所以c2=2b2，e=.所以椭圆M的离心率为.(2)△ABC的外接圆圆心为AB的中点P，半径为a，则△ABC的外接