上海市高考数学二轮复习：例析圆锥曲线中定点问题“多视角解析”

【学生版】例析圆锥曲线中定点问题“多视角解析”

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻

辑思维能力、计算能力等要求很高，重点考查学生方程思想、函数思想、数形结合、转化与化归思想的应

用；圆锥曲线中定点问题是圆锥曲线位置关系的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效

率；本文以2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）第20题为例，“多视角”地进行分析、

解答、比较，让同学们在体验解析几何的通性通法以及运算技巧基础上，发现与寻找更恰当与创新的解题

“切入点”，以此拓宽同学们的审题视野，锻炼解题能力，提高解决解析几何综合题的素养。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）

2

20.（12分）已知A,3分别为椭圆E:占+y2=l（α>l）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG-GB=8;

a~

P为直线x=6上的动点，与E的另一交点为C,P3与E的另一交点为

（1）求E的方程；

（2）证明：直线Co过定点.

【通性通法基本视角】方法1：

分析；

解析如图示：

说明本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆相交问题，第二问为圆锥曲线中的定点问题，第二问中

需证明直线CD经过定点，并求得定点的坐标，难度适中，思路较清晰；定点（定值）是圆锥曲线的代表

题型，定点（定值）问题也是历年来高考中重点考查的题型；本解法通过直接求C,D两点的坐标来表

示直线CD,计算量较大。

【待定相关点的坐标之代数视角】方法2：

分析(1)同方法1;(2)由题意设定C,。的坐标，结合根与系数关系，适当简化计算;

解析如图示：

说明本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆相交问题；利用了动直线/过定点问题的解题步骤；

第一步：设直线y=kx+m,联立曲线方程得根与系数关系；第二步：由题意寻找“等量关系”，得一次

函数A=∕(ffi)或者m=fik);第三步：将Ar=∕i>)或者m=Jlk)代入y=kx+m,得y=k(χ-χ定)+y定；特点

是：利用代数方法解决“直线与圆锥曲线的位置关系”思路简单，但是“计算量”庞大；是“通性通法”，

但不适宜“应试”与呈现思维水平与能力创新。

【巧设动直线方程减少计算量视角】方法3：

分析(1)同方法1;(2)通过巧设动直线方程结合结合图形的对称性与根与系数关系，减少代数计算

量;

说明本解法只是在设动直线I时，微调一下；解题步骤如下；第一步：设直线x=ky+m,联立曲线方

程得根与系数关系；第二步：由题意寻找“等量关系”，得一次函数A="")或者m=∕(A);第三步：将M

=∕(∕n)或者(A)代入X=Ay得X=A(J—y定)+x定；特点是：注意点在曲线上，点的坐标适合方程

的“隐含条件”，观察“等量关系”的代数特征并结合根与系数关系，则可“明显地”减少计算量。

【利用向量的坐标运算找等量视角】方法4：

分析(1)同方法1:(2)利用平行向量的坐标运算与“几何图形”的对称性找：等量关系;

解析

说明本题其他与前3种解法“类似”，特点就是：巧用向量的坐标表示，结合几何图形的“对称性”，更方

便地“寻找”待定坐标的“等量关系”；

【利用向量共线的充要条件”设参而不求"视角】方法5：

分析(1)同方法1;(2)引入参数λ,μ来表示直线CD的方程从而

说明本题的特点是：结合本题的题设与结论具有“动”引起“定”的特点，结合几何图形的“对称性”，

解之向量工具也具有“数、形”的特征，利用“设参而不求”代数变换突出“定”而简化代数计算；

综上，对于直线与圆锥曲线位置的综合题，一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图

形角度求解；联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个

常用的方法，但是，“巧”设动直线方程与灵活利用向量的坐标表示及其平行、共线与垂直的充要条件，

目标“定点（定值）”，借助“设参而不求”的技巧，往往可以“事半功倍”从容应考。

【教师版】例析圆锥曲线中定点问题“多视角解析”

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻

辑思维能力、计算能力等要求很高，重点考查学生方程思想、函数思想、数形结合、转化与化归思想的应

用；圆锥曲线中定点问题是圆锥曲线位置关系的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效

率；本文以2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）第20题为例，“多视角”地进行分析、

解答、比较，让同学们在体验解析几何的通性通法以及运算技巧基础上，发现与寻找更恰当与创新的解题

“切入点”，以此拓宽同学们的审题视野，锻炼解题能力，提高解决解析几何综合题的素养。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）

2

20.（12分）已知A,3分别为椭圆E：A+y2=i（a>i）的左、右顶点，G为E的上顶点，AG∙G3=8;

a^

P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D；

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

【通性通法基本视角】方法1：

分析（1）求出AG∙GB="7=8,解出α,求出E的方程即可；（2）联立百级和椭圆的方程求出C.

。的坐标，求出直线CD的方程，判断即可；\2

解析如图ZK：

(1)由题意A(-α,0),β(a,0),G(OJ),

所以，AG=(aJ),Gβ=(a,-1),AGGB=a2-1=8,解得：a=3,

故椭圆E的方程是］+f=l;

(2)由(1)知A(-3,0),8(3,0),设P(6,m),则直线上4的方程是y=∕(x+3),

22

联立n(9+A√)x+6∕√x+9∕Π-81=0,

W-81-3∕√+27

由韦达定理-3XC=

代入直线出的方程为尸章'+3）得：耗,即α*⅛,占”

直线只5的方程是y=g（x-3）,

X2,

7+»=11

联立方程=>(1+m2)x2-6nι2x+9w2-9=0,

y=-(χ-3)

g2-Q

由韦达定理3%=也wVnXD_3疗-3

l+∕n2

代入直线所的方程为y号…得加=I^,即以告-2m

l+w2

则①当XC=XD时，即27—3"=即二时,有加2=3,此时XC=而=2,即直线CD的方程为X=』；

9+m*^m+122

4m

②当乙≠/时，直线CD的斜率KCD=A如=ɔ

xc-XD3(3一")

所以‘直线8的方程是W]≡=V⅛x一需)‘整理得:4/n3、

y=---------5-z(x—),

-3(3-W2)2

故直线8过定点(3,0):

2

说明本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆相交问题，第二问为圆锥曲线中的定点问题，第二问中

需证明直线CD经过定点，并求得定点的坐标，难度适中，思路较清晰；定点(定值)是圆锥曲线的代表

题型，定点(定值)问题也是历年来高考中重点考查的题型：本解法通过直接求C,D两点的坐标来表

示直线CD,计算量较大。

【待定相关点的坐标之代数视角】方法2：

分析(1)同方法1;(2)由题意设定C,。的坐标，结合根与系数关系，适当简化计算;

解析如图不：

(1)同方法1,故椭圆E的方程是/+y=i;

(2)由(1)知A(-3,0),β(3,0),

当CO_LX轴，不妨设C(X,χ),D(xl,-yl),

则直线Q4的方程为：y=」一(x+3),

x1+3

则直线PS的方程为：y=W^(x-3),

xl-3

由P为直线x=6上的动点，不妨令x=6,则由题意，得2」=口-,解得玉=3,

xl+3xl-32

3

即直线CD的方程为X=3；

2

当Co不垂直X轴时，设C(Jq，M),Z)(x2,y2),直线Co的方程为：y=kx+m9

rnʌɪɪ-n-i—+y2=1,,,.ISkm9m-9

联立方程J9=>(1÷9⅛72)x27+1Sknvc+9???92-9=0,则r玉+/=-------,XX=-------

9k129k

y=κfx+m1+1+

又由则直线Q4的方程为：y=-^-(χ+3),则直线总的方程为：y=上一(X-3),

Xj+3X2-3

令x=6,则由题意，得21—=且ɪ-,整理得3々b一9)，「玉%-3%=0，

x1+3x2-3

所以3%("I+加)-9(履］+m)-x1{kx2+m)-3(A^2+m)=0,

-mχ

整理得2处/3^(∙^∣+x2)÷3(∣+⅞)-(6Λ+4m)xl-12m=0,

Q/77^—Q—1Rkm

将(**)代入，得2k∙：+(3加一3&)—^-(6⅛+4m)x-12m=0

1+9/1+9Pτ11

即-9km(3k+2m)-3(3⅛+2m)-(3k+2∕n)(l+9A?)Xl=O,

则3Z+2m=0,即机=一T女，则直线CD的方程为：γ=⅛(%-∣),

a

故直线CZ)过定点(；，0)；

说明本题主要考查椭圆的标准方程和直线与椭圆相交问题；利用了动直线/过定点问题的解题步骤；

第一步：设直线y=kx+m,联立曲线方程得根与系数关系；第二步：由题意寻找“等量关系”，得一次

函数A=∕(wι)或者m=/泳)；第三步：将A=∕(nι)或者,〃=大朽代入y=Ax+机，得y=&(X-X定)+yjg;特点

是：利用代数方法解决“直线与圆锥曲线的位置关系”思路简单，但是“计算量”庞大；是“通性通法”，

但不适宜“应试”与呈现思维水平与能力创新。

【巧设动直线方程减少计算量视角】方法3：

分析(1)同方法1;(2)通过巧设动直线方程结合结合图形的对称性与根与系数关系，减少代数计算

解析(1)同方法1,故椭圆E的方程是《+丁=1;

9•

(2)由(1)知A(-3,0),8(3,0),

设C(Xl,χ),D(X2,y2),P(6,f)

当点P在X轴上时，直线Co为X轴；

当点P不在X轴上时，设直线CD的方程为：x=ky+m,

2

联立方程(3"+)^>(9+k2)y2+2kmy+m2-9=0,则X+%=一2kmm-9

9+氏29+公

[x=ky+m

又由直线B4的方程为：vnɪɑ+?),则直线P6的方程为：y=*-(无-3),

x1÷3x2-3

令x=6,则由题意，得2」=2L,整理得二2L=3V(***),

x∣÷3W—3x∣÷3W—3

又W-+%2=l,即々?一乡=—%:整理得(***)为3^=土电，

9x2-3-9y2

结合为-=且“，通过等量传递得-^ɪ-=土2,整理得-27y%=(x∣+3)(x,+3),

x1+3x2-3xl+3-9y2

9(/?72-A:2)18m

又xx=(⅛y+InXky+m)=x+Λ=(ky+m)+(ky+m)=

l2129+公l2i29+k2

ɔɔm-9%m~-k)54m(m+3)(2w-3).)、

所tx以ιu一27-=-ɔ—++9,即-----J——-=0n(由题意据图加。-3)

9+k29+k29+k279+k2

所以加=三3，

2

a

综上，直线CD过定点(；，0)；

说明本解法只是在设动直线/时，微调一下；解题步骤如下；第一步：设直线联立曲线方

x=ky+m,

程得根与系数关系；第二步：由题意寻找“等量关系”，得一次函数％=/(，")或者机=TlA);第三步：将发

=人机)或者机=//)代入X=Ay+wι,得X=Wy—y定)+x定；特点是：注意点在曲线上，点的坐标适合方程

的“隐含条件”，观察“等量关系”的代数特征并结合根与系数关系，则可“明显地”减少计算量。

【利用向量的坐标运算找等量视角】方法4：

分析(1)同方法1;(2)利用平行向量的坐标运算与“几何图形”的对称性找：等量关系;

解析(1)同方法1,故椭圆E的方程是方+>2=1；

(2)由(1)知A(-3,0),8(3,0),

设C(X1,χ),P(6,f)

D(X2,y2),

当点P在X轴上时，直线Co为X轴；

当点P不在X轴上时，设直线Co的方程为：x=ky+m,

设P(6,f),

C(6∣+"Z,M),D(ky2+m,y2),

2

ττιz.._—+y=17972kmm-9

联立方程｛9'=>(9+公)>2+26)，+机~-9=0,则弘+%=一^~万，%%=Q.，

>yK

X=κy+m9+K

又由AC//AP,贝!19χ=(6]+m+3)，①，由DB/1BP,则3%=(@2+加一3)，②

由①、②消去，得2。1%+3(m-3)(χ+为)=2(2加-3)为(****)，

..2kmm2-9,.ʌʌ,、

将x+%=一∙^T'Xy2=^T代入(****)

7T7_ɔɜ

整理得(2加一3)(万七一%)=0,所以2〃?一3=0,即加=;，

综上，直线C£＞过定点(2,0)；

2

说明本题其他与前3种解法“类似”，特点就是：巧用向量的坐标表示，结合几何图形的“对称性”，更方

便地“寻找”待定坐标的“等量关系”；

【利用向量共线的充要条件”设参而不求"视角】方法5：

分析(1)同方法1;(2)引入参数λ,μ来表示直线CD的方程从而得出定点，由此简化代数运算。

解析(1)同方法1,故椭圆E的方程是土+V

9-

由⑴知A(-3,0),8(3,0),设C(x,,yl),D(x2,y2),

(x,+3,γ)=Λ(9√)

设AC=；IAP,BD=KBP,贝人l

*2-3,弘)=〃(3,/)'

x=9A—3X=3〃+3

由向量相等，可解得《l2