（江苏专用）高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第20课 导数的综合应用 文-人教版高三全册数学试题

第20课导数的综合应用(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修2-2P27习题15改编)如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250cm时，水波面的圆面积的膨胀率是cm2/s.(第1题)【答案】25000π【解析】设时间t对应的水波面的圆的半径为r，面积为S，则r=50t，S=πr2=2500πt2，当r=250时，t=5，故有s'=(2500πt2)'=5000π·t=25000π(cm2/s).2.(选修1-1P83习题3改编)若做一个容积为256的方底无盖水箱，为使它的用料最省(全面积最小)，则它的高为.【答案】4【解析】设高为h，底边长为x，则x2h=256，所以S=4hx+x2=4x·+x2=+x2，S'=-+2x.令S'=0，解得x=8，此时h=4，S取最小值.3.(选修2-2P34习题4改编)设函数f(x)=x-lnx(x>0)，则y=f(x)的最小值为.【答案】1-ln3【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由f'(x)=-=0，得x=3，所以f(x)在(0，3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，所以f(x)min=f(3)=1-ln3.4.(选修1-1P79例2改编)设计一种体积为v0的圆柱形饮料罐，为了使它的用料最省，则它的高为.【答案】【解析】设圆柱的高为H，底面半径为R，则表面积为S=2πRH+2πR2，又πR2H=v0，H=，故S=2πR·+2πR2=+2πR2，由S'=-+4πR=0，解得R=，此时S最小，H==.5.(选修2-2P35例1改编)用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻折90°角，再焊接而成，则该容器的高为cm时，容器的容积最大.【答案】10【解析】设容器的高为xcm，即小正方形的边长为xcm，该容器的容积为V，则V=(90-2x)(48-2x)x=4(x3-69x2+1080x)，0<x<12，V'=12(x2-46x+360)=12(x-10)(x-36)，当0<x<10时，V'>0；当10<x<12时，V'<0，所以V在(0，10]上是增函数，在[10，12)上是减函数，故当x=10时，V最大.1.最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：不等式类型与最值的关系任意的x∈D，f(x)>M任意的x∈D，f(x)min>M任意的x∈D，f(x)<M任意的x∈D，f(x)max<M存在x∈D，f(x)>M任意的x∈D，f(x)max>M存在x∈D，f(x)<M任意的x∈D，f(x)min<M任意的x∈D，f(x)>g(x)任意的x∈D，[f(x)-g(x)]min>0任意的x∈D，f(x)<g(x)任意的x∈D，[f(x)-g(x)]max<0(续表)不等式类型与最值的关系任意的x1∈D1，任意的x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)max任意的x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)min存在x1∈D1，任意的x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)max存在x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)min2.实际应用题(1)解题的一般步骤：理解题意，建立函数模型，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题.(2)注意事项：注意实际问题的定义域；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是最值点.【要点导学】要点导学各个击破利用导数研究函数的性质例1设函数f(x)=clnx+x2+bx(b，c∈R，c≠0)，且x=1为f(x)的极值点.(1)若x=1为f(x)的极大值点，求f(x)的单调区间(用c表示)；(2)若f(x)=0恰有两解，求实数c的取值范围.【思维引导】(1)条件：x=1为f(x)的极大值点；目标：确定函数f(x)的单调区间；方法：利用f'(1)=0使用c表示b后确定导数大于零和小于零的区间.(2)条件：使用c表达的函数解析式；目标：c的取值范围；方法：讨论函数的单调性和极值点，根据极值点的位置和极值大小确定方程有解的条件.【解答】f'(x)=+x+b=，又因为f'(1)=0，所以b+c+1=0，所以f'(x)=且c≠1，b+c+1=0.(1)因为x=1为f(x)的极大值点，所以c>1.当0<x<1时，f'(x)>0；当1<x<c时，f'(x)<0；当x>c时，f'(x)>0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)，(c，+∞)；单调减区间为(1，c).(2)①若c<0，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，要使f(x)=0恰有两解，如图(1)所示，只需f(1)<0，即+b<0，所以-<c<0；图(1)图(2)图(3)(例1)②若0<c<1，则f(x)极大值=f(c)=clnc+c2+bc=clnc--c，f(x)极小值=f(1)=+b=--c，显然f(c)=clnc-c-<0，f(x)极小值=--c<0，如图(2)所示，所以f(x)=0只有一解；③若c>1，则f(x)极小值=clnc-c-<0，f(x)极大值=--c<0，如图(3)所示，所以f(x)=0只有一解.综上，使f(x)=0恰有两解的c的取值范围为.【精要点评】本题中讨论方程实数根的个数的基本思想是数形结合思想，在定义域区间端点函数值达到无穷大的、有两个极值点的函数类似三次函数，当其中两个极值都大于零或者都小于零时函数只有一个零点，当其中一个极值点等于零时函数有两个零点，当极大值大于零、极小值小于零时有三个零点.如果函数在定义域区间端点的函数值不是无穷的，还要结合端点值和极值的情况进行综合比较.变式(2015·哈尔滨三中模拟)已知函数f(x)=x3+ax2-a2x+m+2(a>0).(1)若f(x)在[-1，1]内没有极值点，求实数a的取值范围；(2)当a=2时，方程f(x)=0有三个互不相同的解，求实数m的取值范围.【思维引导】(1)若f(x)在[-1，1]内没有极值点，则f'(x)=0的根不在区间[-1，1]上；(2)方程f(x)=0有三个互不相同的解，则函数f(x)的极大值大于零、极小值小于零.【解答】(1)因为f'(x)=3x2+2ax-a2=3(x+a)，令f'(x)=0，得x=或-a，因为f(x)在[-1，1]内没有极值点，而且a>0，所以解得a>3，故实数a的取值范围是(3，+∞).(2)当a=2时，f'(x)=3(x+2)=0的两根为，-2，要使方程f(x)=0有三个互不相同的解，需使解得-10<m<-，所以m的取值范围为.利用导数解决实际生活中的优化问题例2在综合实践活动中，因制作一个工艺品的需要，某小组设计了如图所示的一个门(该门为轴对称图形)，其中矩形ABCD的三边AB，BC，CD由长为6dm的材料弯折而成，BC边的长为2tdm.曲线AOD拟从以下两种曲线中选择一种：曲线C1是一段余弦曲线，在如图所示的平面直角坐标系中，其解析式为y=cosx-1，此时记门的最高点O到BC边的距离为h1(t)；曲线C2是一段抛物线，其焦点到准线的距离为，此时记门的最高点O到BC边的距离为h2(t).(1)试分别求出函数h1(t)，h2(t)的表达式；(2)要使得点O到BC边的距离最大，应选用哪一种曲线?此时，最大值是多少?(例2)【思维引导】(1)可以通过求点D的坐标求出点O到BC边的距离；(2)利用导数的方法求出最大值，并进行比较.【解答】(1)对于曲线C1，因为曲线AOD的解析式为y=cosx-1，所以点D的坐标为(t，cost-1)，所以点O到AD的距离为1-cost，而AB=DC=3-t，则h1(t)=(3-t)+(1-cost)=-t-cost+4，1≤t≤.对于曲线C2，因为抛物线的方程为x2=-y，即y=-x2，所以点D的坐标为，所以点O到AD的距离为t2，而AB=DC=3-t，所以h2(t)=t2-t+3，1≤t≤.(2)由(1)知h'1(t)=-1+sint<0，所以h1(t)在上单调递减，所以当t=1时，h1(t)取得最大值3-cos1.又h2(t)=+，而1≤t≤，所以当t=时，h2(t)取得最大值，因为cos1>cos=，所以3-cos1<3-=.故选用曲线C2，当t=时，点O到BC边的距离最大，最大值为dm.【精要点评】用导数解决实际问题的注意事项：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值舍去.(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得f'(x)=0的情形，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值，就是问题的最优解.(3)在列函数关系式解决优化问题中，不仅要注意函数关系式表达要恰当，还要注意自变量的实际意义，依此确定定义域.变式(2014·南京、盐城一模)如图，现要在边长为100m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”.以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为xm(x≥9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60m，绕岛行驶的路宽均不小于10m.(1)求x的取值范围(注：取1.4)；(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax元/m2，其余区域的造价为元/m2，问：当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低?(变式)【解答】(1)由题意得解得即9≤x≤15.所以x的取值范围是[9，15].(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得y=a×π×+ax×πx2+×=.令f(x)=-x4+x3-12x2，则f'(x)=-x3+4x2-24x=-4x，由f'(x)=0，解得x=0(舍去)或x=10或x=15.列表如下：x(9，10)10(10，15)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以当x=10时，y取最小值.答：当x=10m时，可使“环岛”的整体造价最低.导数在研究方程、不等式中的应用例3已知函数f(x)=2x2，g(x)=alnx(a>0).(1)若不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围；(2)求证：++…+<.【思维引导】(1)条件：已知函数f(x)，g(x)的解析式；目标：在不等式f(x)≥g(x)恒成立时求参数a的取值范围；方法：构造函数F(x)=f(x)-g(x)，只要函数F(x)在(0，+∞)上的最小值大于0即可得参数a的不等式，解此不等式即得所求.(2)条件：(1)的求解结果；目标：证明(2)中的不等式；方法：根据(1)中结果得到不等式，使用特殊赋值法和放缩法可得.【解答】(1)令F(x)=f(x)-g(x)=2x2-alnx，a>0，x>0，则F'(x)=4x-，令F'(x)=0，得x=，所以F(x)的单调减区间为，单调增区间为，F(x)min=F(x)极小值=F=-aln，只要-aln≥0即可，得a≤4e且a>0，即a∈(0，4e].(2)由(1)得2x2≥4elnx，即≤，所以++…+≤<++…+<.【精要点评】含有参数的不等式恒成立问题是高考的一个热点题型，解决这类试题的基本思想是转化思想，即把含参不等式的恒成立问题转化为函数的最值或者值域问题，根据函数的最值或者值域找到参数所满足的不等式，即得到了参数的取值范围.变式(2016·苏州期中)已知函数f(x)=x2-2ax+1.(1)若函数g(x)=loga[f(x)+a](a>0，a≠1)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)当x>0时，不等式>lnx恒成立，求实数a的取值范围.【解答】(1)由题意知，对任意的x∈R，f(x)+a>0恒成立，即x2-2ax+1+a>0恒成立，即Δ=4a2-4(1+a)<0，即a2-a-1<0，解得<a<.又因为a>0，a≠1，所以实数a的取值范围是(0，1)∪.(2)当x>0时，不等式>lnx等价于x-2a+>lnx，即2a<x+-lnx.设g(x)=x+-lnx(x>0)，则g'(x)=1--=，令g'(x)=0，得x=，当0<x<时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>时，g'(x)>0，g(x)单调递增.故当x=时，g(x)取得极小值，也是最小值，且g(x)min=g=-ln.因为2a<x+-lnx，所以2a<-ln，所以实数a的取值范围是.1.(2015·全国卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(-1)=0，且当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是.【答案】(-∞，-1)∪(0，1)【解析】记函数g(x)=，则g'(x)=，因为当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，故当x>0时，g'(x)<0，所以g(x)在(0，+∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，且g(-1)=g(1)=0.当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞，-1)∪(0，1).2.(2015·启东调研)要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为cm.【答案】【解析】设圆锥的高为xcm，则底面半径为，其体积V=πx(202-x2)(0<x<20)，V'=π(400-3x2)，令V'=0，解得x1=，x2=-(舍去).当0<x<时，V'>0；当<x<20时，V'<0，所以当x=时，V取最大值.3.(2014·苏锡常镇连徐调研(一))已知函数f(x)=g(x)=f(x)+2k，若函数g(x)恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为.【答案】∪(第3题)【解析】当x≤0时，f'(x)=(2-x2)ex，当x=-时取得极小值f(-)=-2(+1)·.当x<0时，f(x)<0，且f(0)=0，函数f(x)的图象如图所示，函数g(x)恰有两个不同的零点，就是f(x)的图象与直线y=-2k有两个不同的交点，所以3<-2k<7或-2k=0或-2k=-2(+1)，即k∈∪.4.(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5km和40km，点N到l1，l2的距离分别为20km和2.5km，以l1，l2所在的直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=(其中a，b为常数)的模型.(1)求a，b的值.(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短?求出最短长度.(第4题)【解答】(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)，将其分别代入y=，得解得(2)①由(1)知，y=(5≤x≤20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l交x轴、y轴分别于A，B两点，y'=-，则直线l的方程为y-=-(x-t)，由此得A，B.所以f(t)==，t∈[5，20].②设g(t)=t2+，则g'(t)=2t-.令g'(t)=0，解得t=10.当t∈(5，10)时，g'(t)<0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g'(t)>0，g(t)是增函数.从而，当t=10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min=300，此时f(t)min=15.答：当t=10时，公路l的长度最短，最短长度为15km.【融会贯通】融会贯通能力提升(2014·南京学情调研)已知函数f(x)=ax2-lnx(a为常数). (1)当a=时，求f(x)的单调减区间；(2)若a<0，且对任意的x∈[1，e]，f(x)≥(a-2)x恒成立，求实数a的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=2ax-=.当a=时，f'(x)=.………………………2分由f'(x)<0及x>0，解得0<x<1，所以函数f(x)的单调减区间为(0，1). ………4分(2)方法一：设F(x)=f(x)-(a-2)x=ax2-lnx-(a-2)x.因为对任意的x∈[1，e]，f(x)≥(a-2)x恒成立，所以当x∈[1，e]时，F(x)≥0恒成立.F'(x)=2ax--(a-2)==.因为a<0，令F'(x)=0，得x1=-，x2=<1.………………7分①当0<-≤1，即a≤-1时，因为x∈(1，e)，所以F'(x)<0，所以F(x)在(1，e)上单调递减.因为对任意的x∈[1，e]，F(x)≥0恒成立，所以F(x)min=F(e)≥0，即ae2-1-(a-2)e≥0，解得a≥.因为>-1，所以此时a不存在.…………10分②当1<-<e，即-1<a<-时，因为x∈时，F'(x)>0；x∈时，F'(x)<0，所以F(x)在上单调递增，在上单调递减.因为对任意的x∈[1，e]，F(x)≥0恒成立，所以F(1)=2>0，且F(e)≥0，即ae2-1-(a-2)e≥0，解得a≥.因为-1<<-，所以≤a<-.……………13分③当-≥e，即-≤a<0时，因为x∈(1，e)，所以F'(x)>0，所以F(x)在(1，e)上单调递增，由于F(1)=2>0，符合题意.……………15分综上所述，实数a的取值范围是.………………16分方法二：因为f(x)≥(a-2)x在x∈[1，e]上恒成立，即a(x2-x)≥lnx-2x在x∈[1，e]上恒成立.当x=1时，此不等式恒成立，故此时a∈R.……………6分②当x∈(1，e]时，a≥在x∈(1，e]上恒成立，令g(x)=，x∈(1，e]，则g'(x)=，…………………9分令h(x)=x+1-lnx，x∈(1，e]，则h'(x)=1-=>0在x∈(1，e]上恒成立，故h(x)在x∈(1，e]上单调递增，从而h(x)>h(1)=2>0.……12分从而知，当x∈(1，e]时，g'(x)>0恒成立，故g(x)在(1，e]上单调递增， 14分所以g(x)max=g(e)=，故a≥，又a<0，故实数a的取值范围是.…………………16分【精要点评】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析，验证其不符合题意，即可确定所求.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第39~40页.【检测与评估】第20课导数的综合应用一、填空题1.若函数y=ax3-x在R上是减函数，则实数a的取值范围是.2.已知函数f(x)=x3-3a2x+1的图象与直线y=3只有一个公共点，那么实数a的取值范围是.3.(2015·无锡模拟)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为万件.4.若函数y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为.5.(2015·海门中学)若对任意的x∈[1，e]，都有alnx≥-x2+(a+2)x恒成立，则实数a的取值范围是.6.已知a∈R，且函数y=ex+ax，x∈R有大于零的极值点，那么实数a的取值范围是.7.(2014·河北质检)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，那么当正六棱柱的体积最大时，其高为.8.(2015·汇龙中学)现有一张长为80cm，宽为60cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一个无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失.如图，若长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，则该铁皮盒体积V的最大值为cm3.(第8题)二、解答题9.(2014·南京一中)甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(单位：元)与年产量t(单位：t)满足函数关系x=2000.若乙方每生产1t产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格).(1)将乙方的年利润ω(单位：元)表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润时的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(单位：元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少?10.(2015·曲塘中学)设函数f(x)=x3-x2+6x-a.(1)若对于任意实数x，f'(x)≥m恒成立，求实数m的最大值；(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.11.(2015·全国卷)已知函数f(x)=lnx+a(1-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求实数a的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.(2015·福建卷)已知函数f(x)=lnx-.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)求证：当x>1时，f(x)<x-1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x0>1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x-1).【检测与评估答案】第20课导数的综合应用1.(-∞，0]【解析】y'=3ax2-1，因为函数y=ax3-x在R上是减函数，所以3ax2-1≤0在R上恒成立，所以a≤0.2.(-1，1)【解析】f'(x)=3x2-3a2，令f'(x)=0，则x=±a.由题意知当a<0时，f(a)=a3-3a3+1<3，即a3>-1，所以-1<a<0；当a=0时，成立；当a>0时，f(-a)=-a3+3a3+1<3，即a3<1，所以0<a<1.故实数a的取值范围为(-1，1).3.9【解析】因为y'=-x2+81，所以当x>9时，y'<0；当x∈(0，9)时，y'>0，所以函数y=-x3+81x-234在(9，+∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x=9是函数的极大值点.又因为函数在(0，+∞)上只有一个极大值点，所以函数在x=9处取得最大值.4.(-2，2)【解析】y'=3(1-x)(1+x)，令y'=0，得x=±1，所以y极大值=2，y极小值=-2，作出函数y=3x-x3和y=m的大致图象如图所示，根据图象知-2<m<2.(第4题)5.(-∞，-1]【解析】由alnx≥-x2+(a+2)x，得(x-lnx)a≤x2-2x.由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时取得，所以lnx<x，x-lnx>0.从而a≤恒成立，即a≤.设t(x)=，x∈[1，e].求导，得t'(x)=，x∈[1，e]，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx>0，从而t'(x)≥0，t(x)在[1，e]上为增函数，所以t(x)min=t(1)=-1，所以a≤-1.6.(-∞，-1)【解析】y'=ex+a，由y'=0，得x=ln(-a).因为x>0，所以-a>1，所以a<-1，即实数a的取值范围是(-∞，-1).7.2【解析】设正六棱柱的底面边长为a，高为h，则可得a2+=9，即a2=9-，那么正六棱柱的体积V=6×a2×h=×h=×.设y=-+9h(0<h<6)，则y'=-+9，令y'=0，得h=2.易知当h=2时，y取得最大值，此时正六棱柱的体积最大.8.32000【解析】设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，则x2+4xy=4800，即y=，0<x<60.铁皮盒体积V(x)=x2y=x2·=-x3+1200x，令V'(x)=0，得x=40，因为当x∈(0，40)时，V'(x)>0，V(x)是增函数；当x∈(40，60)时，V'(x)<0，V(x)是减函数，所以V(x)=-x3+1200x在x=40时取得极大值，也是最大值，其值为32000cm3.9.(1)因为赔付价格为s元/t，所以乙方的实际年利润为ω=2000-st.因为ω=2000-s()2=-s+，所以当t=时，ω取得最大值.所以乙方取