2023年湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷及答案解析

2023年湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷

一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.（3分）已知复数Z满足Z（1-i）=3-i,则IZl=（）

A.√3B.√5C.2√2D.√10

2.（3分）设集合A={x∣log2（x+l）>2},集合B={x∣∕-3x-10<0},则A∩8=（）

A.{x∣-2<x<3}B.{x∣x>3}C.{x∖-2<x<5}D.{Λ∣3<X<5}

3.（3分）已知平面向量Z=（-2,1）,b=（3x,x+1）,若；，了，则X的值为（）

1132

A.—ɔB.—C.—D.—

3525

4.（3分）某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班

级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名

领队中至少有1名男生的概率为（）

74139

A.—B.-C.—D.—

1551510

5.（3分）下列函数的图像关于y轴对称的是（）

pXΛ-p-Xp-X-pX

A./（%）=B./（%）=

C.f（x）=In（X2+2X）D./（X）=

12

6.（3分）已知正实数小y满足x+2y=2,则一+一的取值可能为（）

Xy

7.（3分）在正三棱柱ABC-AlBIej中，AA∖=2AB=2,点〃为棱CCl的中点，则异面直

线AB与AIM所成角的余弦值为（）

√5√7√2√6

A.—B.—C.—D.一

5343

8.（3分）设。、⅛∈R,记p：a-b<0fq：lna<lnb,则P是q的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

9.（3分）己知函数/（χ-l）的定义域为[-2,1],则函数/（2x+l）的定义域为（）

A.[-2,-i]B.[-3,0]C.[-1,0]D.[-2,1]

10∙（3分）方程d-2工-3=0的正实数根所在的区间为（）

133

A.弓，1）B.（1,mC.（会2）D.（2,3）

11.（3分）已知tanθ=-2,则sin20-cos2θ的值为（）

322I

A.--TB.—C.—D.—∙p

4355

12.（3分）在矩形ABCD中，点E为边A。的中点，点M为对角线AC上一点，且AM=

2MC,记族=5，CD=q,则薪=（）

4→24→2→4→2→412—

A--WP-WqB.-P+-QC∙-P--QD.-ɜp+ɜ?

13.（3分）某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现有IOOO名考生达到该

校最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这IOoO名考生组织了

一次数学学科能力测试（满分100分），按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩的

频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为（）

处

14.（3分）现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1

个，从两个盒子各取出I个球，记事件A为“从甲盒子中取出红球”，记事件B为“从乙

盒子中取出红球”，记事件C为“从两个盒子中取出的球颜色相同”.下列说法正确的是

()

A.4与8,A与C均相互独立

B.A与B相互独立，A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.4与B互斥，A与C相互独立

15.（3分）将函数/（x）=Sin（2x+φ）（∣φ∣<⅞）的图像向右平移W个单位长度后得到的函

/3

数图像关于y轴对称，则实数φ的值为（)

二、选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的得O分.）

（多选）16.（3分）下列函数，在区间（1,+8）上单调递增的是（）

2r—ς

A./（x）=∖ln（x+l）IB.f（x）=gɪɪ

C.f（x）=∖ex-2∖D.f（Λ）=2z2-x-2

（多选）17.（3分）设“、6是两条不同的直线，a、β是两个不同的平面，下列说法错误

的是（）

A.若a_L匕，bua,则LaB.若α〃3，⅛⊂β,则。〃Ot

C.若αuα,⅛⊂β,a±β,则a_L6D.若a_La,a∕∕β,则a,β

（多选）18.（3分）已知函数/（x）=Zogl（-X+2）-log2（x+4）,下列说法正确的是（）

2

A.函数f（x）的定义域为（-4,2]

B.函数/（χ-1）为偶函数

C.函数/（x）的单调递增区间为（-1,2]

D.函数/（X）的图像关于直线X=-1对称

三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分.）

19.（4分）函数/（x）=sin（2*T）的单调递减区间为.

20.（4分）在三棱锥P-A8C中，侧棱相、PB、PC两两垂直，PA=2,PB=√3,PC=3,

则该三棱锥的外接球的表面积为.

TTAFTT

21.（4分）已知平面内两个向量a=（2k,1）,b=（l,为，若a与b的夹角为钝角，则实数

k的取值范围是.

22.（4分）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数依次记为机、〃，则使得函数

f（x）=∕-m+”-3在区间（2,+8）上不单调且该函数与y轴交点的纵坐标大于1的

概率为.

四、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.）

TITTT

23.（10分）已知平面向量Q=（2cosθ,2—Sin28）,b=QiStnθ,2）,记函数f（汽）=a∙Z?+

m.

(1)若/4)=遮-1,求胆的值；

(2)求函数/(x)的对称轴方程、单调递减区间和最小值.

24.(10分)在四棱锥P-ABCQ中，底面ABCQ为矩形，PA=PB,平面，平面A8CQ,

点M为CO中点.

(1)证明：Aβ±PM↑

√15

(2)若A¾=4O=248,四棱锥P-ABC。的体积为一，求直线PC与平面ABCf)所成

3

角的余弦值.

(1)用定义法证明：函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增：

(2)判断函数/(x)在(-8,0)上的零点个数(不需要证明).

2023年湖北省普通高中学业水平合格性模拟考试数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.）

1.(3分)已知复数Z满足Z(1-i)=3-i,则IZl=()

A.√3B.√5C.2√2D.√10

【解答】解：Z(I-i)—3-/,

r,∣,∣3—i(3—i)(l+i)ɔ.

则Z7=口=(1口)(1+9=2+,,

故IZI=√22+I2=√5.

故选:B.

2.(3分)设集合A={刈0g2(Λ+1)>2},集合3={4χ2-3χ-10V0},则A∩3=()

A.{x∖-2<x<3}B.{x∖x>3}C.{x∣-2<x<5}D.{x∣3<x<5}

【解答】解：集合A={x∣log2(x+l)>2}={x∣x>3},

集合B=**-3x-10V0}={R-2<x<5},

则A∩8={W3<XV5}.

故选：D.

3.(3分)已知平面向量或=(一2,1),b=(3x,x+1),若；则X的值为()

1132

A.B.C.D.

3525

【解答】解：Va=(-2,1),b=(3x,x÷l),alb,

：.-2×3x+（x+l）=0,

Λ5x=1,即x=卷，

故选:B.

4.（3分）某校高一（6）班有男生30人，女生20人，现采用分层随机抽样的方法从该班

级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答，且这10人中要选取2人担任领队，则2名

领队中至少有1名男生的概率为（）

74139

A.—B.-C.—D.—

1551510

【解答】解：从该班级抽取10人参加“楚天杯”有奖知识竞答的男人数X3O=6

20+30

人，女生10-6=4人；

则2名领队中至少有1名男生的概率P=鱼舆=!|,

Clo

故选：C.

5.(3分)下列函数的图像关于y轴对称的是()

pXΛ,p-XP-X-PX

A./(X)=B./(%)=幺2且

C.f(X)=In(√+2x)D.f(x)=碧

,-X-L-pXX∆-o-X

【解答】解:对于4,函数的定义域为(-8,0)U(0,+8),且/(—X)=f=匕0专一=

(一%)x

/W-

则/(χ)为偶函数，图像关于y轴对称，符合题意；

对于B,函数的定义域为R,且/(—%)=竺号==-/(χ),

则/(x)为奇函数，图像不关于y轴对称，不符合题意；

对于C,函数的定义域为(-8,-2)U(0,+8),定义域不关于原点对称，图像不

关于y轴对称，不符合题意;

对于D,函数的定义域为(-8,])U(1,+8),定义域不关于原点对称，图像不关

于y轴对称，不符合题意.

故选：A.

12

6∙(3分)已知正实数X、y满足X+2产2,则U/取值可能为()

【解答】解：∙.∙χ>0,y>0,且x+2y=2,

1211212x2V1=会当且仅当巴=—•

・・・一+—=-(x+2y)(-+-)=4(5+—+^^)≥⅜(5+2

7v

Xy2%y2yx2-乙yX

即x=)=∣时，等号成立，

129

，一+一的最小值为:，

Xy2

9

只有选项。符合，其余选项都小于二.

2

故选：D.

7.(3分)在正三棱柱ABC-AIBlCI中，AAl=2A5=2,点M为棱Ca的中点，则异面直

线A8与AlM所成角的余弦值为()

√5√7√2√6

A.—B.—C.D.—

5343

【解答】解：在正三棱柱ABe-AlBlCI中，A4ι=2AB=2,点M为棱CCI的中点,

以A为坐标原点，在平面ABC中，过点A作AC的垂线为X轴，AC所在直线为），轴,

A4所在直线为Z轴，建立空间直角坐标系,

√31

则A(0,0,0),B(―0),Ai=(0,0,2),M(0,1,1),

22

1

AB=(0),AM=(0,1,-1),

221

设异面直线AB与4M所成角为0,

则异面直线AB与AiM所成角的余弦值为:

1

MBSM一段

cosθ=—>T=TT=W

∖AB∖-∖A1M∖

故选：C.

8.(3分)设。、⅛∈R,记p：a-b<0fq：lna<lnbf则〃是g的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：4-6<0,，“<6,但4,b可能为负数，不能得到

若可得到则P是4的必要不充分条件.

故选:B.

9.（3分）已知函数/（χ-1）的定义域为[-2,1],则函数/（2x+l）的定义域为（）

A.[-2,-1]B.I-3,OJD.I-2,1]

【解答】解：由题意可得，-2<xWl,

所以-3WX-IW0,

1

令-3W2x+lW0,可得一2≤%≤—2»

所以函数f（2x+l）的定义域为[一2,-ɪ].

故选:A.

10.（3分）方程3=0的正实数根所在的区间为（）

133

A.（乔1）B.（1,PC.（弄2）D.（2,3）

【解答】解：令/（尤）=∕-2χ-3,

33

因为/（2）=e2-7>0,f（-）=e2-6<D,

3

所以/（5）/（2）<0,

3

则函数/（x）的零点在（3,2）内，

所以方程，-2χ-3=0的实数根所在的区间为（|,2）.

故选：C.

11.（3分）已知tan0=-2,则sin28-cos20的值为（）

3221

A.-7B.-C.-D.-ʌ

4355

【解答】解：∙∙∙tanθ=-2,

:∙sin2θ-cos2θ

_2sinθcosθ-CoS2e+siτizθ

cos2θ+sin2θ

_2tanθ-l-{-tan2∙θ

l+tan2θ

1

5

故选：D.

12.(3分)在矩形A5C。中，点E为边AQ的中点，点M为对角线AC上一点，且AM=

2MC,记Λ⅛=p,CD=qf则/=()

4—2―4→2

A.-ɜp-ɜgB.-p+-q

3κ3

【解答】解：：在矩形ABCC中，点E为边AO的中点，且AM=2MC,

T2TT2-4T4→2→

=

•∙AMzzAC=Q∙(.AB~∖~AD)=-qC0+q4E=qp—至q,

ɔɔɔɔɔɔ

故选：C.

13.(3分)某高校数学与应用数学专业计划招收190名本科新生，现有IOoO名考生达到该

校最低录取分数线且均填报了该校数学与应用数学专业，该高校对这IOoo名考生组织了

一次数学学科能力测试(满分100分)，按成绩由高到低择优录取，并绘制了考试成绩的

频率分布直方图，据此可以估计该校数学与应用数学专业的最低录取分数线为()

【解答】解：设该校数学与应用数学专业最低录取分数线为X,

由题意得(90-x)×0.03+0.0l=0.19,则X=87,

故选：B.

14.(3分)现有甲、乙两个不透明的盒子，里面均装有大小、质地一样的红球和白球各1

个，从两个盒子各取出1个球，记事件A为“从甲盒子中取出红球”，记事件8为“从乙

盒子中取出红球”，记事件C为“从两个盒子中取出的球颜色相同”.下列说法正确的是

()

A.A与8,A与C均相互独立

B.A与3相互独立，A与C互斥

C.A与B,A与C均互斥

D.A与B互斥，A与C相互独立

【解答】解：根据题意，从两个盒子各取出1个球，记事件A为“从甲盒子中取出红球”，

记事件B为“从乙盒子中取出红球”，记事件C为“从两个盒子中取出的球颜色相同”.

由于A事件发生与否对于B、C事件是否发生不产生影响，故4与B,A与C是相互独

立的，

故选：A.

15.(3分)将函数/(x)=Sin(2x+φ)(∣φ∣<5)的图像向右平移W个单位长度后得到的函

数图像关于y轴对称，则实数年的值为()

TrTc5TTτc

A・-B∙-C.—D.一

34126

【解答】解：对于函数/(x)=sin⑵+φ)(∣φ∣V*),

将函数/(x)的图象向右平移三个单位长度，可得y=sin(2x-⅞+φ)的图象，

再根据得到的函数的图象关于y轴对称，可得-冬+φ=*+Kι,⅛∈Z,

即(P=-ɜ—F2^+⅛τr=-g—kEZ,∙*∙k——1时，(P=G

故选：D.

二、选择题(本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求，全部选对得3分，部分选对得2分，有选错的得O分.)

1

(多选)16.(3分)下列函数，在区间(-，+8)上单调递增的是()

2

A.f(x)=∖ln(x+l)IB.f(x)=∣~y

C.f(x)=∖ex-2∖D./(x)=2χ2"x"2

【解答】解：对于4,当x>2时，f(x)=In(x+l),在(士+8)上单调递增，故正

确；

对于B,/(x)=奈V=I-五生〒在(3+8)上单调递增，故正确；

JZx-IZx-I2

11

对于C,由于e2V2,当x∈q，)2)时，/(x)=2-，是减函数，故错误；

11

对于。，二次函数y=/-X-2的对称轴为¥当x>今时，y=/-X-2是增函数，根据

复合函数的单调性可得/(x)也是增函数，故正确.

故选：ABD.

(多选)17.(3分)设“、A是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，下列说法错误

的是()

A.若a_Lb,bua,则αJLαB.若a〃β,⅛⊂β,则6〃a

C.若aua,⅛cβ,a±β.贝!∣a_LbD.若._!_0(,a∕∕β,则a-Lβ

【解答】解：“、b是两条不同的直线，a、B是两个不同的平面，

对于4,若a_L6,〃ua,则a与a相交、平行或qua,故A错误；

对于8,若a〃由Zx=0,则由面面平行的性质得b〃a,故8正确;

对于C,若αuα,huβ,α±β,则〃与人相交、平行或异面，故C错误；

对于£),若a_La,〃〃p,则由面面垂直的判定定理得a_Lp,故。正确.

故选：AC.

(多选)18.(3分)已知函数/(x)=Zogl(-X÷2)-log2(x+4),下列说法正确的是()

A.函数/(x)的定义域为(-4,2]

B.函数F(X-I)为偶函数

C.函数/U)的单调递增区间为(-1,2]

D.函数/G)的图像关于直线冗=-1对称

【解答】解：对于A,函数的定义域应满足，(^"+2>0,解得-4<x<2,

(x÷4>0

所以函数的定义域为(-4,2),选项A错误；

对于B,设g(x)=/(x-1)=∕ogι(3-%)-log2{x+3),则函数的定义域为(-3,3),

2

关于原点对称，

且g(r)=IogI(3+x)-log2(-x+3)=-log2(x+3)÷log↑(3-x)=g(x),则g(x)

22

=/α-l)为偶函数，选项8正确；

对于C,函数在x=2处无意义，则选项C错误；

对于D,由选项B可知，/(ɪ-1)的图像关于y轴对称，则f3的图像关于K=-1

对称，选项。正确.

故选：BD.

三、填空题(本题共4小题，每小题4分，共16分.)

19.(4分)函数f(%)=s讥(2%T)的单调递减区间为_[kπ+ɪ/r,kπ+y∣ττ](fc∈Z)_.

【解答]解:y=sm(2x-,

令2kτι+2^≤2.x—ɜ-≤2∕cτrH—Q(kGZ)»

解得∕cττ+≤%≤kτιH—ɪ^-(fcEZ),

故函数/(%)=sin(2x-勺的单调递减区间为依花+月兀，kπ+y∣ττ](∕c∈Z),

c11

故答案为：[∕cτr+麦Ti,kττ+行τr](A∈Z).

20.(4分)在三棱锥P-ABC中，侧棱必、PB、PC两两垂直，B4=2,PB=√3,PC=3,

则该三棱锥的外接球的表面积为16n

【解答】解：如图，将三棱锥P-ABC补全为长方体，

则长方体的外接球就是所求的外接球，长方体的体对角线即为外接球的直径2R,

由长方体体对角线公式可得4/?2=(2R)2=PA2+PB2+PC2=22+(√3)2+32=16,

球的表面积S=4πR2=16τt.

故答案为：16n.

TTkTT

21.(4分)已知平面内两个向量α=(2k,1),b=(l,今，若α与b的夹角为钝角，则实数

X的取值范围是(-8,-1)u(-1,0).

【解答】解：阳与了的夹角为钝角，

(TTI

CL∙bVO(r)b4."■Un

则1,即2k+l<U,解得ZV-I或-l<%<0,

2fc∙5≠1×1U≠±1

故实数Z的取值范围是(-8,-1)U(-1,0).

故答案为：(-8,-Du(-1,0).

22.(4分)将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数依次记为机、〃，则使得函数

f(x)=Λ2-,A+,L3在区间(2,+8)上不单调且该函数与y轴交点的纵坐标大于1的

1

概率为-.

-9-

【解答】解：根据题意可知，要使函数/(x)=X2-mx+n-3在区间(2,+∞)上不单

调且该函数与)，轴交点的纵坐标大于1,

(n-3>1(m>4

则m，即I，

(y>2(n>4

由于m,n∈{l,2,3,4,5,6),数对(切，〃)共有36个，即样本点总数为36,

满足，〃>4,〃>4的有(5,5),(5,6),(6,5),(6,6),共4个，

满足函数f(x)=/-mx+n-3在区间(2,+∞)上不单调且该函数与y轴交点的纵

41

坐标大于1的概率为77=3.

369

故答案为：

9

四、解答题(本题共3小题，每小题10分，共30分.)

TITTT

2

23.(10分)已知平面向量α=(2cosθ,一sinθ),b=(y∕3sinθf2),记函数f(%)=α∙δ+

m,

(1)若f(/=遮一1,求相的值；

(2)求函数/G)的对称轴方程、单调递减区间和最小值.

【解答】解：(1)/(ɪ)=Q∙b+m=2cosx∙V3sirtι÷(--sin2x)×2+∕H=V3sin2x+cos2x+w

=2sin(2x+5)+m

Of

•**/(—)=2Sin(2×彳+/)+m=√3—1,即2×^C^+"?=V3-1»

j446Z

解得ιn=-I；

(2)由(1)可得/(x)=2sin(2x+≡)-1,

由2/+&=1+kτι,kWZ,

解得九屋+竽，*∈Z,

则函数/(x)的对称轴方程为X=髀竽，A∈Z,

.τcπ3TT

由—+2kπ<2x+τ∙≤-ɔ-+2fcπ,Λ∈Z,

262

解得一+kπ≤x≤冬+⅛π,Z∈Z,

6ɔ

Tr2TT

...函数f(x)的单调递减区间为［一+kτr,—+hτj,⅛∈Z,

63