第九章 导体和电介质中的静电场例题详解

例9-1两个半径分别为R和r的球形导体（R>r），用一跟很长的细导线连接起来，使这个导体组带电，电势为V，求两球表面电荷面密度曲率的关系。

RrQq

说明：细导线很长,忽略两球之间的静电感应,

两球可近似看成孤立导体。1）导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大）

电荷面密度较大2）导体表面平坦的地方（曲率较小）

电荷面密度较小3）导体表面凹进去的地方（曲率为负）

电荷面密度更小结论：

对于孤立带电体，其电荷分布将只取决于导体自身的形状。一般导体电荷的分布与导体形状有关附近其它带电体有关例9-2在内外半径分别为R1和R2的导体球壳内，有一个半径为r1

的导体小球，小球与球壳同心，让小球与球壳分别带上电荷量q和Q。试求：（1）小球的电势Vr，球壳内、外表面的电势；（2）小球与球壳的电势差；（3）若球壳接地，再求小球与球壳的电势差。qQr1

解：球壳内表面均匀分布电荷-q，球壳外表面均

匀分布电荷q+Q。（1）小球的电势为球壳内、外表面的电势为r1球壳为等势体场强积分法

球壳内、外表面的电势为r1电势叠加法（1）小球的电势为导体组可看成三层均匀带电球面（3）若外球壳接地，球壳外表面上电荷为零，但

导体球表面和球壳内表面上的电荷分布不变，

两球的电势分别为（2）两球的电势差为两球的电势差仍为（1）不管外球壳接地与否，两球的电势差恒保持不变。

当q为正值时，小球的电势高于球壳；

当q为负值时，小球的电势低于球壳。（2）球壳与小球的电势与小球在壳内的位置无关。（3）如果两球用导线相连或小球与球壳相接触，电荷q总是全部迁移到球壳的外边面上。两球的电势差为:可见：例9-3三个电容器按图连接，其电容分别为C1

、C2和

C3。当电键K打开时，将C1充电到U0，然后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。U0+q0-q0KC1C2C3解：已知在K闭合前,C1极板上所带电荷量为q0=C1

U0

，C2和C3极板上的电荷量为零。K闭合后，C1放电并对C2

、C3充电，整个电路可看作为C2、C3串联再与C1并联。设稳定时，C1极板上的电荷量为q1，C2和C3极板上的电荷量为q2。U1U2U3q1q2q2q1Kq1q2C1C2C3U1U2U3q2q2解两式得因此，得C1

、C2和C3上的电势差分别为由此可知，右半球面上左半球面上解：1）球面上任一点极化电荷面密度为例9-4半径R

的介质球被均匀极化，极化强度为

。

求：1）介质球表面极化面电荷的分布；

2）极化电荷在球心处的场。2）在球面上取环带由对称性可知，在球心处的场只有x轴方向的分量R环带上的极化电荷元为沿x轴负方向。由于是均匀极化，所以介质球内为匀强电场。例题9-5

一半径为R的金属球，带有电荷q0，浸埋在“无限大”均匀电介质中（相对电容率为

r），求：球外任一点P的场强及极化电荷分布。解:如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定理知：rS,所以离球心r

处P点的场强为因Rq0

rP极化面电荷分布在与金属球交界处的电介质界面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为因为εr>1，σ

恒与q0反号，在交界面处，自由电荷和极化电荷的总电荷量为离球心r处场强减小到真空时的1/

r倍的原因RrSPq0例题9-6

平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层均匀电介质，电容率分别为

1

和

2

，厚度分别为d1

和d2

，电容器两极板上自由电荷面密度为±

。求（1）在各层电介质的电位移和场强；（2）电容器的电容。+++++++++++-----------------++++++++++++------解（1）先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S，在此高斯面内的自由电荷为零。由电介质时的高斯定理得S可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和电容率率（或相对电容率）成反比。

为了求出电介质中电位移和场强的大小，可另作一个高斯闭合面S

，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，由电介质时的高斯定理，得匀强电场-----++++++++++--------------++++++++++S（2）正、负两极板A、B间的电势差为q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为电容的大小与电介质的放置次序无关++++++++++--------------++++++++++-----S例题9-8如图所示，在一边长为d的立方体的每个顶点上放有一个点电荷-e，立方体中心放有一个点电荷+2e。求此带电系统的相互作用能量。+2e-e-e-e-e-e-e-e-ed解:任一顶点处的电势为

在体心处的电势为根据公式可得这个点电荷系的总相互作用能为+2e-e-e-e-e-e-e-e-ed例9-9求半径为R

带电量为Q的均匀带电球的静电能。r

处电场解：利用来计算RrOQ球外为真空例题9-10一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为±Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为ε0）。板极上带电±Q时所储的电能为解：（1）两极板的间距为d

和2d

时，平行板电容器的电容分别为（2）设两极板之间的相互吸引力为F

，拉开两极板时所加外力应等于F

，外力所作的功A=Fd

，所以故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量为例9-11平行板空气电容器每极板的面积S=3×10-2m2

，极板间的距离d=3×10-3m。今以厚度为d

=1×10-3m的铜板平行地插入电容器内。（1）计算此时电容器的电容；（2）铜板离极板的距离对上述结果是否有影响？（3）使电容器充电到两极板的电势差为300V后与电源断开，再把铜板从电容器中抽出，外界需作功多少功？d1d2dd

+

-

C1C2AB

设平行板电容器两板极上带有电荷±q,铜板的两表面上将分别产生感应电荷，面密度也为±σ，此时空气中场强不变，铜板中场强为零。两极板A、B的电势差为所以铜板插入后的电容C'

为（2）由上式可见，C

的值与d1和d2无关（d1增大时，d2减小。d1+d2=