2022-2023学年苏教版（2019）必修二第十三章 立体几何初步 单元测试卷（含答案）

苏教版（2019）必修二第十三章立体几何初步单元测试卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、如图，已知直四棱柱ABC。-44GA的底面ABCD为直角梯形，AD//BC,

ADLCD,且AD=28C=4,CD=2√3,P,O,E分别为AQ,AD,PC的中点,

△PAD为正三角形，则三棱锥E-POB的体积为（）

A.4B.3C.2D.1

2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖麝，在鳖SiA

中，ABJ_平面BCO,BC上CD,且45=6C=8,M为Ao的中点，则异面直线

与CZ）夹角的余弦值为（）

A.@B.也C.@D也

3322

3、在正方体ABCo-44GA中，P为4"的中点，则直线PB与所成的角为（）

A』B.巴C.-D.-

2346

4、已知四棱锥P-ABCO的体积是36√J,底面ABCD是正方形，ZXPAB是等边三角

形，平面PAB，平面ABCr>,则四棱锥ABCD的外接球的体积为（）

A.28√21πβ99√HπC.竺红兀D.108√3π

22

5、在三棱柱ABC-AgG中，A41_L平面ABC,ABLBC,AAsBC=IAB,则异面

直线48与耳C所成角的余弦值为（）

AmBG

555

6、已知正三棱锥P-ABC的四个顶点都在球。上，AABC的外接圆半径为1,三棱锥

P-ABC的体积为23,则球。的表-面积为（）

4

16πc,-8兀一，

A.B.4兀ɛ.—D.6兀

33

7、如图，已知圆锥CO的轴截面是正三角形，AB是底面圆。的直径，点。在AB

上，且ZAoD=2/B0D,则异面直线Ao与BC所成角的余弦值为（）

8、已知正四面体ABC。中，E是AB的中点，则异面直线CE与B。所成角的余弦值为

（）

λ1r,√3-1ɪʌ√3

A.-B.C.—D.

6633

9、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，是边长为1的正三角

形，SC为球0的直径，且SC=2,则此棱锥的体积为（）

A.立B至C.在D.旦

6632

10、我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中有这样一题：今有堤下广二

丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何?其意思是：现有堤坝，下底长为2

丈，上底长为8尺，高4尺，纵长12丈7尺，问这段堤坝的体积是多少？下列选项

中，与这段堤坝的体积最接近的是（注：一丈=十尺）（）

A.6800立方尺B.7110立方尺C.7117立方尺D.7120立方尺

二、填空题

11、已知多面体雨CBQ满足∕¾=P6=PC,QA=QB=QC,QA,QB,QC两两垂

直，且P,A,B,C,。在同一个球面上，则点P,。到平面ABC距离的比值为

12、如图，四棱台ABCQ-ABCD的底面是正方形，DAJ_底面ABC

DDl=AB=2A1B1,则直线AD1与BC1所成角的余弦值为.

13、在正四棱柱ABC。-A旦GA中,E是用G的中点,45=2,A41=JL则BE与平面

BBQQ所成角的正弦值为.

14、在棱长为6的正方体ABC。—44G。中，点E，尸分别是棱Ca，Be的中点，

过A,E,F三点作该正方体的截面，则截面的周长为.

15、如图,等边三角形SAB为该圆锥的轴截面,点C为母线SB的中点,。为通的中点,则

异面直线SA与Co所成角为.

16、在一次通用技术实践课上，木工小组需要将正方体木块截去一角，要求截面经过

面对角线AC上的点P（如图），且与平面gCA平行，已知44I=IOCm,AP=Gcm,

则截面面积等于cm2.

三、解答题

17、如图，AB为圆。的直径，点E,尸在圆。上，ABHEF,矩形ABC。所在平面和

圆。所在平面互相垂直，已知AB=3,EF=I,

(1)求证：平面4。尸，平面BeE

(2)设几何体产-ABC£),尸-BCE的体积分别为匕，V2,求匕：匕的值.

18、如图所示多面体中,底面是边长为3的正方形，/)E上平面

ABCD,AF/IDE,DE=3AF=3√6,M是BD上一点,BD=3BM.

⑴求派AM〃平面BE尸;

(2)求此多面体的体积.

19、图1是由矩形AOEB、RtAABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中

AB=LBE==2,NFBC=60。.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连接OG,如图2.

图1图2

(1)证明图2中的A,C,G,。四点共面，且平面43C_L平面BCGE.

⑵求图2中的四边形ACGQ的面积.

20、如图，在三棱锥A-BC。中，E,F,G,“分别是边AB,BC,CD,D4的中点.

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形

(2)当AC与80满足什么条件时，四边形EFGH是正方形.

参考答案

1、答案：C

解析：因为P,O分别为4。，AO的中点，所以由直棱柱的性质知POI.平面

ABCD,又为正三角形，AD=4,所以PO=走AO=26，连接C0,在直角

2

梯形ABC。中，易知S^iCO=LBC∙BO='x2x26=26，因为E为PC的中点，所

22

以瞑POB=-vCPOB=-vPBC。=LXLSABC。XPO=LX2下>义2#>=2,故选C.

22236

2、答案：A

解析：如图，取AC的中点为N,连接MN,BN,则MN//CD且MN=LCz),所以

2

NRWN即异面直线与CO的夹角或其补角.因为AS_L平面BCD,COu平面

BCD,所以ABL8,又BCLCD,ABBC=B,所以CO_L平面48C,所以MNL

平面ABC,所以MNLBN.设AB=5C=CD=2,则MN=1,BN=√Σ,BM=6

在RtMN中，cosZBW=-=—,所以异面直线与C。夹角的余弦值为

BM3

√3

3、答案：D

解析：如图，记正方体的棱长为α,则Ao=C/=AG=42=上α,

B_________[2

所以BlP=PCl=/a,BP=JBiP2+B∣B?=ga,在ABCE中，由余弦定理得

cosNPBel=0"蔻H第=亭，所以NPBG、.又因为AR/g，所以NPBCl

即为直线PB与Aa所成的角，所以直线PB与ADt所成的角为巴.故选D.

解析：由已知可得36G=LXABXABX且AB,则AB=6,设球心为。，。到平面

32

ABCQ的距离为X,球。的半径为H,则由OP=OA,得3?+Y+32=3?+(36-疗，

解得X=6,所以R=J32+3+32=后,l⅛=-π∕?3=28√ΣΓπ.⅛½A.

5、答案：D

解析：AAfmABC,:.AA11AB,又BBJIA%:.BB]±AB,又AB_L5C,

BBIBC=8,.∙.AB,平面BBCC,.∙.该三棱柱可以补形成长方体

ABCD-Λ1β1ClPl,连接CD∣,BR,则Λ1BHCDx,r.NgCO∣是A∣8与BC所成的角或

其补角.令AB=1,则AA=BC=2,在4BCA中，B1D1=CJD1=√5,B,C=2√2,由

余弦定理得cosZB1CD1=孚.故选D.

6、答案：A

解析：设aABC的外接圆的圆心为。I,连接P0∣,由于正三角形ABC的外接圆半径为

1,所以正三角形ABC的边长为6，三棱锥尸-ABC的体积

2

V=-×-×(y∣3)×POi=-POi得Pa=JL设球。的半径为R,则

3444

R2=F+(由一Rf,解得R=2,所以球。的表面积S=4兀R2=4πχd=啊.故选A.

λ∕333

7、答案：A

解析：如图，取AC的中点E,劣弧8。的中点FAO的中点G,连接OROE,易知

OEHBC,ADHOF,则异面直线AO与BC所成的角是NEoF'或其补角.连接EG,

OF,EF,易得EG上GF,不妨设OG=1,则0F=2,OE=2,EG=B

GF2=OG2+OF2-2×OG×OF×COS-=5+2√3,则EF?=EG?+GZ^=8+2百，所

6

以在aOE尸中，CoSNEoF=°E±"~^E尸=卫，故异面直线入。与BC所成角

2OE∙OF4

的余弦值为且.故选A.

解析：如图，取AO中点F,连接ERCF,因为E是AB中点，则EF∕∕BD,ACEF

或其补角就是异面直线CR8。所成的角，设正四面体棱长为1,则CE=CT=走，

2

ɪ1

EF=—,CoSNCEf'=2y⅛=1.故选B.

2√36

T

9、答案：A

解析：在RtZXASC中，AC=I,ZS4C=90o,SC=2,所以SA="≡I=√5;同

理，SB=VL过A点作SC的垂线交SC于。点，连接。8,因为△«SAC会z%S5C,

故5。LSC,故SCL平面ABD,且AABD为等腰三角形.因为NASC=30。，故

AD=-SA=-,则AABO的面积为LIXJAD2-仕AB1=—,则三棱锥的体积为

222YI2J4

1√2ɔ√2

—×----×2=----

346

10、答案：B

解析：该堤坝可看作一个棱柱，由题可知棱柱的高为12x10+7=127（尺），棱柱的

底面为梯形，所以棱柱的体积V=型&qχl27=7112（立方尺），故与所求堤坝

2

的体积最接近的是7110立方尺.故选B.

11、答案：2

解析：如图，将多面体∕¾C8Q放入正方体中，设正方体的棱长为1,则AB=VL设点

。到平面ABC距离为4,则gszλQBc∙AQ=}zv4Bc∙d,即

lχi×lxl=l×^×（√2）2×J,解得d=E.又正方体的体对角线长为G,则点尸到

32343

平面ABC的距离为百-虫=延，所以点P,Q到平面ABC距离的比值为

33~

2√3√3ɔ1ɔ

33

解析：设AB的中点为E,连接瓦小则易知BE〃CQ,BE=Gq,二四边形Egq

是平行四边形，∙∙∙BC∣//EQ,.∙.NARE为直线与BG所成的角•四边形ABCo是

正方形，.∙.BA±AD,∙.∙OD∣，底面ABC。，BA±DDt,又AODDi=D,.∖BAΛ.

平面AADQ,.∙.8ALA2,z∖AE0是直角三角形.设O?=AB=2A5=2α,则

A£>,=4AD?+DD；=J(24y+(2α)2=2√2a，

2222cos

EDl=7AD1+AE=7(2√2Π)+Π=3a，：.ZAD1E=也=.

EDl3

13、答案：-

4

解析:设底面ABen的中心为0,可证OG±平面BBlDQ,取OBl的中点H,连接EH,则

EHH0C,,所以EH，平面明"O,连接8”,则NHBE为BE与平面期所成的角.因

为AB=2,A41=√7,所以

21

EH=gθC∣=*,BE='(⑺+F=20,SinNHBE=器-

4-

14、答案：6√B+3√2

解析：如图，延长ERA4相交于M,连接AM交BBl于“，延长尸E,相交于

N,连接AN交。A于G,连接F77,EG,可得截面五边形A"FEG.因为

ABCo-ABCQ是棱长为6的正方体，且E,尸分别是棱GR,BIG的中点，所以

EF=3五,AG=AW=2√13.EG=FH=y∕↑3,截面的周长为

AH+HF+EF+EG+AG=6y[l3+3y[2.

15、答案：—

4

解析:略

16、答案：ɜðʌ/ɜ

解析：如图，连接8。交AC于点。，连接A。，4瓦由题易知平面48。〃平面

Bg,故截面平行于平面ABo.过点尸作与B。平行的直线分别交AO,AB于点M,

A0AMc

N.在AAl上取点。使AQ=AAQ=AM,—≈-=-----，.∙.∆AQM^∆ΛAlD,

AAiAD

:.QMHDA.又MN/IDB,

MNMQ=M,DBDAi=D,二平面MNQ〃平面。8%.易得,故

SAMNQ_，MN、2_,AP、2_，6\2_18

后=WF=石，

S…*W=捺gX10&X10&sin60。=36√3(cm2).

17、

(1)答案：见解析

解析：如图，矩形ABC。中，CBA.AB,

平面ABCZ)平面ABEF=45

平面ABCZ)，平面ABEF,

所以BC_L平面ABEF

又AEq平面ABEF

AFLBC,又AB为圆。的直径，

则AF，班'

BCBF=B,BC,BRq平面BCR

所以A/_L平面BCF,且A尸=平面ADF

所以平面ADE_L平面BCF.

（2）答案:6

解析：几何体E-ABCD是四棱锥，尸-8CE是三棱锥，过b点作FHJ.AB,交AB

于H

平面ABCr），平面ABE凡FHJ_平面ABa）

则X=gxABxBCxf7/,⅛=gx（；EEXE"）x8C,

团”V2AB，

所以一L1=----=6.

V2EF

18、答案：（1）见解析（2）外也

2

解析：⑴证明：过点M作MNiIDE,交BE于点、N,则-=—=MN=>∣6

DEBD3

因为Af∕ΛOE,所以AF//MN,且AF=MN,所以四边形AMNF为平行四边形,所以AM//NF.又

NF⊂平面BEF,AM丈平面BEF,所以AW//平面BEF.

(2)因为