2023年贵州省贵阳市高考理科数学模拟试卷及答案解析

2023年贵州省贵阳市高考理科数学模拟试卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.（5分）集合A={小224},集合B={-3,-2,-1,1,2,3},则A∩B=（）

A.{2,3）B.{-2,-1,1,2,3}

C.{-3,-2,2,3}D.{-3,3}

2.（5分）已知i是虚数单位，复数（1-2加2的共粗复数的虚部为（）

A.4zB.3C.-4D.4

3.（5分）在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为Xi,8.1,8.4,8.5,

9.0,9.5,X7（X7WlO）,若去掉一个最高分刈和一个最低分Xi后的平均分与不去掉的平

均分相同，那么最低分Xl的值不可能是（）

A.7.7B.7.8C.7.9D.8.0

4.（5分）等差数列{斯}中,02+04+分7=12,则数列{斯}的前9项之和为（）

A.24B.27C.48D.54

5.（5分）香农-威纳指数（H）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公

式是"=-∑⅛1pi-log2pi,其中n是该群落中生物的种数，pi为第i个物种在群落中的

比例，如表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中

数据，该群落的香农-威纳指数值为（）

物种甲乙丙合计

个体数量300150150600

6.(5分)如图，在AABC中,A8=6,AC=3,∆BAC=J,访=2位,则Λ⅛∙G=()

7.（5分）棱锥的内切球半径R=甘，其中S锥分别为该棱锥的体积和表面积，如图

,锥

为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为1的等腰三角形，则该三棱锥内切球

俯视图

13-√33-√31

A.-B.C.----D.-

3268

8.（5分）“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路

线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A,B,C为节点，若

研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该

9.（5分）以双曲线%"一V三=l（α>O,b>0）的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别

交于A,B,C,。四点，若四边形ABCo的面积为ga2,则该双曲线的离心率为（）

A.√5或2B.2或独C.­D.√3

33

10.（5分）函数/'（%）=4S讥（3%+口）（4〉0,ω>0,附V*）的部分图象如图所示，则下列

关于函数y=f（x）的说法正确的是（）

φf（χ）的图象关于直线X=对称

@f（x）的图象关于点（一90）对称

③将函数y=2s讥（2XY）的图象向左平移£个单位长度得到函数fCO的图象

④若方程火X）=根在［-90］上有两个不相等的实数根，则根的取值范围是（-2,-√3］

A.①④B.②④C.③④D.②③

11.（5分）如图，在四棱锥A-BCo中，平面平面8CZλZsBCC是边长为2√5的等

边三角形，AB=AD=I,则该几何体外接球表面积为（）

12.（5分）己知正实数a,b,c,若电g-=-lrr-,b>e,则a,b,c的大小关系为（）

abcc

A.a>c>hB.a>b>cC.h>c>aD.b>a>c

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.（5分）函数/（x）=In（x+1）+2χ-1在点（0,-1）处的切线方程为.

14.（5分）正实数”,〃满足4α+6=4",则”+48的最小值为.

15.（5分）赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为

第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形ABC。是由4个

全等的直角三角形和小正方形481CId拼成，现连接AO”当正方形48∣ClDl的边长

为1且其面积与正方形ABCD的面积之比为1：5时，cos∕D4Oι=

AD

16.（5分）抛物线E：y2=4x,圆M：Λ2+√-4χ-2y+4=0,直线/过圆心M且与抛物线E

交于A,B与圆M交于C,。若Hq=IBo|,则霍=.

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字

说明，证明过程或演算步骤.

17.（12分）已知等比数列｛."｝的前〃项和为S”S3=*,且ɑɪ,2B，4四成等差数列.

（1）证明数列｛S,-2｝是等比数列；

（2）若brt=nan,求数列｛为｝前“项和方.

18.（12分）2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居

家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，

发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进

行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降，

在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”（每天使用手机娱乐2

个小时以上）的学生.

（1）根据以上信息，完成下面的2X2列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下

降”与“长时间使用手机娱乐”有关？

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱合计

乐

成绩下降———

成绩未下降———

合计90—200

（2）在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12

人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，

再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X,求X的分布

列和数学期望E（X）.

参考公式：Y=g+b遥踪?[b+d）,其中〃=α+Md∙

P(K2>0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.（12分）如图（1）,在梯形ABCQ中，AD//BC,AD±AB,AD=2AB=2BC,E为AD

中点，现沿BE将AABE折起，如图（2）,其中F,G分别是BE,AC的中点.

（1）求证：打;1.平面4。£）；

（2）若AB=AC=五,求二面角B-AC-D的余弦值.

20.（12分）已知（1,孝），（L—坐），（^^L一孝）点中有两点在椭圆C；a+方=

l（α>h>0）±,椭圆C的右顶点为A,过右焦点的直线/与C交于点M,N,当/垂直于

X轴时IMNl=√2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线AM与y轴交于P点，直线AN与），轴交于。点，在X轴是否存在定点S,

使得前•d=0,若存在，求出点S,若不存在，说明理由.

2

21.(12分)已知函数f(x)=α∕n(x—1)+1,^(x)=y(x)+—(^x—I).

（1）当a=-l时，求函数/G）的极值；

（2）若任意Xi,x2∈（1,+8）且XlWX2,都有空"皿≥1成立，求实数”的取值

X2-X1

范围.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.（10分）如图，在极坐标系OX中，圆。的半径为2,半径均为1的两个半圆弧C∣,C2

所在圆的圆心分别为0式1,分，。2（1，岑），M是半圆弧Cl上的一个动点.

（1）若点A是圆。与极轴的交点，求IMAI的最大值;

(2)若点N是射线。=与，(PNO)与圆O的交点，求AMON面积的取值范围.

选修4-5：不等式选讲

23.已知α2+4⅛2=4.

(1)求α+b的取值范围；

(2)若α>0,⅛>0,求证：—+—≥V2.

a2b

2023年贵州省贵阳市高考理科数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

I.（5分）集合A=MX224},集合8={-3,-2,-I,1,2,3},则A∩8=()

A.{2,3}B.{-2,-1,I,2,3)

C.{-3,-2,2,3}D.{-3,3}

【解答】解：由得：XW-2或x》2,即A=(-8,-2]U[2,+8),

.∙.A∩8={-3,-2,2,3）.

故选：C.

2.（5分）已知i是虚数单位，复数（I-2/）2的共知复数的虚部为（）

A.4zB.3C.-4D.4

【解答】解：；(1-2i)2=1-4z+(2/)2=-3-4/,

Λ(1-2z)2的共辗复数为-3+4i,

.∙.复数(1-2ι)2的共匏复数的虚部为4.

故选：D.

3.（5分）在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为制，8.1,8.4,8.5,

9.0,9.5,Xj（x7≤10）,若去掉一个最高分X7和一个最低分Xi后的平均分与不去掉的平

均分相同，那么最低分R的值不可能是（）

A.7.7B.7.8C.7.9D.8.0

O1IOΛ∣Or.LQΛIQr

【解答】解：因为去掉最高分与最低分后平均分为一一::~~-=8.7,

所以t」%I-+-8-∙-1-+-8-.-4-+-8-.-5-+-9-.-0-+-9-.-5-+-%-7-=8.7,解.得.X二1+口X7=8.7,

72

由于得分按照从低到高的顺序排列的，

故Xl≤8.1,9.5≤jc7lO,

当xι=7.7时，X7=9.7,满足上述条件，故A错误；

当xi=7.8时，M=9.6,满足上述条件，故8错误；

当H=7.9时，Λ7=9∙5,满足上述条件，故C错误；

当Xl=8.0时，X7=9.4,不满足上述条件，故。正确.

故选：D.

4∙（5分）等差数列｛斯｝中，42+O4+2R=12,则数列｛即｝的前9项之和为（）

A.24B.27C.48D.54

【解答】解：在等差数列｛斯｝中,42+。4+2々7=12,

则“6+48=2〃7,

所以。2+〃4+。6+。8=12,

又。1+。9=。2+。8=。4+。6，

所以"1+49=6,

所以Sg=9（出；的）=27

故选：B.

5.（5分）香农-威纳指数（，）是生态学中衡量群落中生物多样性的一个指数，其计算公

式是"=-2忆1pi-log2pi,其中〃是该群落中生物的种数，p,∙为第i个物种在群落中的

比例，如表为某个只有甲、乙、丙三个种群的群落中各种群个体数量统计表，根据表中

数据，该群落的香农-威纳指数值为（）

物种甲乙丙合计

个体数量300150150600

3333

A.-B.-C.-ʒD.-7

2424

【解答】解：由题意知：”=-(湍X/O92部+濡x的2温+温Xlog2温)=

11I11Iill3

11=

-(2Iog22+4°∂24+4°924)=~^~2~2~?)2-

故选：A.

.,—⅜—>—⅜—>

6.(5分)如图,在AABC中,4B=6,AC=3,∆BAC=ɪ,BD=2DC,贝∣J48・4。=()

【解答】解：：靛)=2儿，.∙.∕⅛=:β⅛,

：.AC-AD=^BC=^AC-AB),

：.AD=i∕l⅛+∣ΛC,AB-AD=AB∙⅛A⅛+∣ic)=ɪA⅛2+∣AB∙ΛC,

又4B=6,AC=3,Z5∕1C=≡,

2

ΛA⅛∙G=^AB+∣∕⅛∙i4C=1×36=12.

故选：D.

3,

7.（5分）棱锥的内切球半径R=瞽，其中Vf8,Sfe分别为该棱锥的体积和表面积，如图

锥

为某三棱锥的三视图，若每个视图都是直角边长为1的等腰三角形，则该三棱锥内切球

俯视图

13-√33-√31

A.-B.-------C.-------D.一

3268

【解答】解：由三视图可还原三棱锥如下图所示,

AB=AC=PA=I,

1111

所以％T8C=^SΔABC∙PA=^×^×1×1×1=^

棱锥表面积芍

S=3SΔ4SC+SAPBC=3×i×l×l+∣×√2×√2×^=g

设该三棱锥内切球半径为R,

由等体积法可知Vp-ABC=I∙S•/?,

所以R=也铲风=祭=等

ɔ3+√36

故选：C.

8.(5分)“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过，但连接节点间的路

线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏的图形，其中A,B,C为节点，若

研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点或者以C为起点A为终点完成，那么完成该

图“一笔画”的方法数为()

A.6种B.12种C.24种D.30种

【解答】解：以A为起点时，三条路线依次连接即可到达8点，共有3X2=6种选择;

自B连接到C时，在C右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择，

以A为起点，C为终点时，共有6X2=12种方法；

同理可知：以C为起点，A为终点时，共有12种方法；

.∙.完成该图“一笔画”的方法数为12+12=24种.

故选：C.

X2y2

9.(5分)以双曲线-7-9=l(α>0,b>0)的实轴为直径的圆与该双曲线的渐近线分别

交于A,B,C,。四点，若四边形ABCQ的面积为Ba2,则该双曲线的离心率为()

A.百或2B.2C.—D.√3

33

【解答】解：依题意，根据双曲线与圆的对称性，可得四边形ABCO为矩形，如图，

不放设点A(X(),>,o)(xo>O,jυ>O)位于第一象限，则SABCD=2x()X2χ)=4royo,

22

因为双曲线三-⅞=l(a>b>O)的渐近线方程为y=±⅛x,则y°=£沏，

αzDΔAA

%2y2

22

以双曲线=-B=l(α>b>O)的实轴为直径的圆的方程为/+/=/,则赌÷y0=α,

将Vo=代入以+7o2=α2>得以+(∣)2Xo=a?,

π2ιu2r24L

2

则∙%θ=ɑ2，即W'XQ=a,所以以=多贝Ho=故>0=一，

OzazCJCC

又SABCD=Ba2,所以4&弘)=V5Q2,则4χ2χg=√^Q2,贝ιj40b=V^C2,

所以1602⅛2=3c4,则16a2(c2-02)=3c4,BP3c4-1602c2+16a4=0,

所以3xg—164+16=0,即3/-16/+16=0,解得/=4或?2=才

因为e>l,所以e=2或e=竽.

故选：B.

10.(5分)函数/"(%)=As讥(S;+0)(4>O,ω>0,|口|VW)的部分图象如图所示，则下列

关于函数y=∕(x)的说法正确的是()

Φf(X)的图象关于直线％=-当对称

②KX)的图象关于点(一90)对称

③将函数y=2sin(2x-1)的图象向左平移;个单位长度得到函数f(x)的图象

④若方程/(x)=m在0］上有两个不相等的实数根，则，"的取值范围是(-2,-遍］

1πTTI2,TTTTTT

【解答】解：由图象可知，A=2,-T=即--------------，解得3=2,

43124ω312

又函数过点(金，2),

-TT-JT

所以2Xγ2+9=2∕cτr+ɪ,kWZ,

又1乎1V看得W=X

所以函数f(%)=2sin(2x+,

当X=—竽时,/(-ɪ)=2sin[2×(-ɪ)÷^]=2cos^=1,故①错误；

当X=Y时，f(χ)=0,即/⑴的图象关于点(一90)对称，故②正确；

将函数y=2sin(2x-5)的图象向左平移1个单位长度得到y=2sin[2(x÷^)-f]=

-2sin(2x—,故③错误；

当X∈[-ɪ/0],贝∣J2%+]∈[―f刍，

令2%+^∈[-当—刍，解得,W[-1,-ɪɪ]9此时s⅛ι(2%+，W[-1,—ɪ]f即

/(x)E[—2,—V3]»

令2%+等∈[―3,5]»解得%E[-，0],此时SiTI(2%÷5)∈[-If孚]，即/(x)∈[—2，

ɔ乙ɔɪ乙ɔ乙

√3],

所以/G)在[-9一箱上单调递减，在[一招，0]上单调递增，

因为方程八X)=机在[―W，0]上有两个不相等的实数根，即y=f(x)与y=用在[一5,0]

上有两个交点，

所以τn6(—2,—V3].故④正确；

故选:B.

11.(5分)如图，在四棱锥A-BCD中，平面平面BC。，ZsBCO是边长为2旧的等

边三角形，A8=AO=2,则该几何体外接球表面积为()

【解答】解：在四棱锥A-BC。中，平面A8O_L平面BCE>,Z∖BCO是边长为2百的等边

三角形，AB=AD=I,

取8。的中点E,

则AE_L平面BCD,CEj_平面4BD,

设48Cz)的外心为Oi,∕∖ABD的外心为。2，四棱锥A-BCD的外接球的球心为O,

连接0。1，Oo2，OB,

由正弦定理可得2C。］=福H=4,

则COl=2,

又CE=^x2√3=3）

则EoI=1,

即OO2=EOi=B

T7ORC—BD_2①_4

o

乂%—Sin/_BAD~sinl20~

即802=2,

222

SPBO=BO2+OO2=5,

则该几何体外接球表面积为4π×BO2=20π,

故选：A.

12.（5分）已知正实数若詈>詈=V.b>e,则C的大小关系为（

）

A.a>c>hB.a>h>cC.h>c>aD.b>a>c

【解答】解：令/(%)=詈，则/(X)=三卢，・・.当χ∈(O,e)时，/(x)>0；当x∈

(e,+o°)时，f(X)VO,

・・/(%)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，.•・/(%)7nαχ=/(e)=；,

又/(1)=0,当x>l时，/(x)>0恒成立，可得/G)图象如下图所示,

O∖∖Ch?

InaInbInb11IncInc

*/----->------,b>e,Λ1<Λ<⅛;∙.*-----=~/n-=-.......>0,----VO,Λ0<c<1.

abbcccc

综上所述：b>a>c.

故选：D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.(5分)函数/(x)=In(x+l)+2r-1在点(0,-1)处的切线方程为y=3χ-l.

【解答】解：'：f(x)=In(x+l)+2χ-l,

"=击1+2,

.∙./(0)=3,又/(0)=-1,

所求切线方程为y+l=3(X-0),即y=3χ-l.

故答案为：y=3χ-1.

25

14.(5分)正实数”，〃满足4α+6=4%则α+4〃的最小值为一.

-4-

【解答】解：Vtz>O,⅛>0,4a+b=4ab,

11

+—=1,

b4a

.∙.α+4b=(α+4h)(∣+^)=孝+g+,≥芋+2］上∙=竽(当且仅当α=b=5时取

等号)，

25

即a+4b的最小值为一.

4

__25

故答案为：—.

4

15.(5分)赵爽是我国汉代数学家，他在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”被选为

第24届国际数学家大会的会徽.如图所示，“赵爽弦”图中的大正方形ABCZ)是由4个

全等的直角三角形和小正方形AIBIClOI拼成，现连接AG，当正方形的边长

为1且其面积与正方形ABCZ)的面积之比为1：5时，cos/DWI="

【解答】解：由题意得SlE方形ABC£>=5,

二直角三角形斜边A8=4,

设直角三角形中较短直角边长为m,

图中831=/",...较长直角边长为m+1,又ABI=朋+1,

则由勾股定理可得m2+(τn+I)2=(√5)2,解得m=∖,

.".sin∆DAA1=卷=答，coSZ.DAA1=爰=咯,

VAA∣=AιD∣,.∖^A1AD1=^,

ΛcosZDADI=Cos(NDAAI-ZAιΛD∣)

=cosZZ)Λ4∣cosZAιAD∣+sinZDΛ4ιsinZA∣ΛD∣

√5√2ɪ2√5√23710

=TsxzT+-xszT=Io--

故答案为：-3√ɪ1-0.

10

16.(5分)抛物线E：√=4x,圆M：x2+y2-4x-2y+4=0,直线/过圆心M且与抛物线E

交于A,8与圆M交于C,。若IAcl=IBz则瑞=_季_.

【解答】解：由圆M：Λ2+Γ-4x-2y+4=0,得(X-2)2+(y-1)2=1,

由IACl=I得加为AB的中点，设AB所在直线方程为y=火(χ-2)+l,

联立『2=YX-2）+1,得於r2-（4必-2A+4）X+4必-4⅛+l=0.

（片=4%

设A（XI，Jl）,B（X2，＞2），

则%1+%2=轨3"+4=%解得k=2∙

,

ΛX1X2=~—v~~~z得HBl=√1+4142-4X-=V35.

则幽=经

ICDl2

∕35

故答案为：―y―.

2

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各IO分.解答应写出文字

说明，证明过程或演算步骤.

17.（12分）已知等比数列｛〃”｝的前"项和为S,S3=p且m,Ia2,成等差数列.

（1）证明数列｛%-2｝是等比数列；

（2）若bn=na“,求数列｛4｝前〃项和刀,.

【解答】证明：（1）:｛斯｝是等比数列，且S3=41+α2+α3=%+%q+的q2=套①,

Xa∖,2。2，4。3成等差数歹U.∙.4α2=αι+4α3,.∙.401q=α∙1+4%q2②，

fɑi=1

联立①②解得I,

W=2

•C_αi(l-q")_IY)n_2_An-l

,∙Sn~1-q-IT-2一卬，

n

ΛS,,+∣=2-(∣),

.Sn+ι-2_Y'_1

(∕ι≥l),

"Sn-2--φn-ι-2

.∙.数列｛S,-2｝是首项为-1,公比为［的等比数歹U；

解：（2）由（1）知z=（｝nτ,.∙.b"=〃.弓尸-1,

1

T11=IX(1)°+2×(I)+3×(；)2+…8尸-1①，

21

∖τn=IX(ɪ)ɪ+2×(|)+.-•+(/2-1)∙(∣r-+〃•&)"②，

1n171nn

①-②得：~Tn=(-)°+(―)+∙∙∙+(ɪ)-n∙(ɪ)=----n∙(ɪ)=2-2∙(^)-n∙

(∣)n=2-(2+n)∙(∣),,,

,T"=4-(〃+2)∙(f)n^^1.

18.(12分)2022年9月3日至2022年10月8日，因为疫情，贵阳市部分高中学生只能居

家学习，为了监测居家学习效果，某校在恢复正常教学后举行了一次考试，在考试中，

发现学生总体成绩相较疫情前的成绩有明显下降，为了解学生成绩下降的原因，学校进

行了问卷调查，从问卷中随机抽取了200份学生问卷，发现其中有96名学生成绩下降,

在这些成绩下降的学生中有54名学生属于“长时间使用手机娱乐”(每天使用手机娱乐2

个小时以上)的学生.

(1)根据以上信息，完成下面的2X2列联表，并判断能否有99.5%把握认为“成绩下

降”与“长时间使用手机娱乐”有关？

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱合计

乐

成绩下降———

成绩未下降———

合计90—200

(2)在被抽取的200名学生中“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的女生有12

人，现从“长时间使用手机娱乐”且“成绩未下降”的学生中按性别分层抽样抽取6人，

再从这6人中随机抽取3人访该，记被抽取到的3名学生中女生人数为X,求X的分布

列和数学期望E(X).

参考公式∙K2=-----n(αd"0)----------,其中n=a+h+c+d

2芍么八,A(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)'丹一n〃十“十

PCK2>0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko)

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【解答】解：根据题意可得(1)2X2列联表如下：

长时间使用手机娱乐非长时间使用手机娱合计

乐

成绩下降544296

成绩未下降3668104

合计90110200

•2_"ad-be]_200x(54x68-42x36)2

∙*λ一(α+b)(c+d)(α+c)(b+d)--90×110×96×104-~∙s

.∙.有99.5%把握认为“学习成绩下降”与“长时间使用手机娱乐”有关;

（2）：在抽取的6人中，女生有6XH=2人，男生有6X寡=4人,

・・・这6人中随机抽取3人进一步访谈，女生被抽到得的人数X可取0,1,2,

又p（x=。）=警=京4P（X=D=警=1H,P（x=2）=⅛μ=⅛=i

G6G6G6

.∙.X的分布列为：

X012

P131

555

131

.∙.E(X)=0×^+l×∣+2×^=l.

19.(12分)如图(1),在梯形ABCD中，AD∕∕BC,AD±AB,AD=2AB=2BC,E为AD

中点，现沿BE将BE折起，如图（2）,其中EG分别是BE,AC的中点.

（1）求证：FG_L平面AC。：

（2）若4B=4C=√Σ求二面角B-AC-O的余弦值.

【解答】（1）证明：取AO中点儿连接CE,AF,FC,EH,GH,

因为E为AO中点，AD=2BC,所以DE=BC,又DE//BC,

所以四边形BcDE为平行四边形，所以BE〃C。，BE=CD,

1

因为G,H分别为AC,AO中点，所以GH〃C£>,GH=BD,

1

又尸为BE中点，所以所〃CD,EF=^CD,所以EF〃GH,EF=GH,

所以四边形EFGH为平行四边形，所以FG〃EH,

因为AE=QE,”为AO中点，所以EHLAO,所以尸GLAO,

因为AE〃BC,AE=AB=BC=^AD,ABLAD,所以四边形ABCE为正方形,

所以AF=FC,所以IFG_LAC,又AC∩AO=A,AC,AoU平面ACQ,

所以FG，平面ACD

（2）解：由（1）知：CE=AB=^AD,所以4C_LCQ,又BE"CD,所以BE_LFC,

因为48=AE,尸为BE中点，所以AELBE,

所以AF_LFC,又BEnFC=尸，BE,FCU平面BCQE,所以AEL平面BCQE,

以F为坐标原点，以，FC,∕¾所在直线为X,y,Z轴，可建立如图所示空间直角坐标系,

11

贝Ij3(1,0,0),A(0,0,1),C(0,1,0),F(0,0,0),G(0,一，-),

22

TTTll

所以SB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1),FG=(0,一，-),

22

设平面ABC的法向量£=（x,z）,

所以"∙[=x-z=0,令χ=ι,解得y=z=ι,所以£=([,1,1),

AC•九=y-z=0

→11

因为EG，平面AC。，所以平面ACo的一个法向量为尸G=(0,-),

22

所以ICoS<FG,n>|=呼可=—ɪʒ==ɪ.

∖FG∖∖n∖√3×^3

由图形知，二面角B-AC-O为钝二面角，所以二面角B-AC-。的余弦值为一等.

20.（12分）已知（1,孝），（1，—空），（—1，—孝）点中有两点在椭圆C；%+方=

l（a>6>0）±,椭圆C的右顶点为A,过右焦点的直线/与C交于点M,N,当/垂直于

X轴时IMNl=√2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线AM与y轴交于P点，直线AN与y轴交于。点，在X轴是否存在定点S,

使得赤•6=0,若存在，求出点S,若不存在，说明理由.

【解答】解：(1)由(1,ɪ)/(1,—ɪ)/(—1，一孝)点中有两点在椭圆C；^2+ɪ2=

l(α>6>0)±,

必然是(1,y),(-1,-ɪ)两点在椭圆C：各度=l(α>b>O)上，

11

Λ~+—z=1,

a22b2

、c2y2b2

把x=c代入I陶圆方程可得方+—=1,解得y=±—，

a2bza

-2b2r

又当/垂直于X轴时IMM=√Σ,.∙.—=√2,

a

解得〃2=2,庐=1.

・,・椭圆C的方程为万+),2=1.

(2)右焦点、F(1,0),设M(xι,yι),N(必丫2),

直线A例的方程为y=U⅛(x-√2),可得P(0,X⅛);

x1-√2x1-√2

直线AN的方程为y=-¾(x-√2),可得。(0,二⅞)∙

X2-√2x2-y∣2

设直线/的方程为，町，=X-1,

fmy=X-I

联立,化为(川+2)y2+2my-1=0,

(∙τ+y2=ι

∆>0,

2m1

ML府哀’3一肃哀,

假设在X轴上存在定点S60),使得居∙(⅛=0,

,/V⅞X1、/®2、

则rπlG,------产)•(/,----尸)=0λ,

ɪɪ一y2%2—v2

■2.2yy_

zr+120，

∙∙(x1-√2)(x2-√2)-

：・F(wyi+1—V2)(∕72>,2÷1—√2)+2yi)2=0,

化为3n(1—V2)(j1+y2)+(∕2m2+2)yι)⅛+∕2(l—V2)2=0,

•∙P^tn(I-V2)(----)-----------2+2X(尸加2+2)+及(1-=o,

化为/=V2+1.

・•.在X轴上存在定点S(a+1,0),使得∕⅛∙(⅛=0.

1Il

21.(12分)已知函数f(x)=Q"—1)+//+1,g(%)=/(久)+/—(2%—I7.

(1)当。=-1时，求函数/(x)的极值；

(2)若任意XI，X2∈(1,+8)且XlWΛ2,都有g6Ξll≥1成立，求实数”的取值