空间向量与立体几何-五年（2018-2022）高考数学真题汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编18-空间向

量与立体几何（含解析）

一、单选题

1.（2022•全国•统考高考真题）在正方体ABCz）-AgG。中，E,尸分别为AB,BC的中

点，贝!I（）

A.平面平面B.平面B∣EF，平面A∣BO

C.平面用EF//平面AACD.平面4所//平面ACQ

2.（2018•全国•高考真题）在长方体ABCo-A耳CQ中，AB=BC=∖,AA,=√3,则

异面直线ADx与。片所成角的余弦值为

A.-B.正C.在D.—

5652

二、多选题

3.（2021•全国•统考高考真题）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=A4,=1,点P满足

BP=λBC+JLiBBl,其中几40』],〃e[0,l],则（）

A.当4=1时，4A8∣P的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当2=；时，有且仅有一个点P,使得AlPLBP

D.当〃=；时，有且仅有一个点P,使得A/，平面A3/

三、解答题

4.（2022•全国•统考高考真题）如图，直三棱柱ABC-ABG的体积为4,A出C的面积

为2&•

小

B

⑴求A到平面ABC的距离；

(2)设。为AC的中点，AA,=AB,平面ABC，平面ABB0,求二面角A—30—C的正

弦值.

5.(2022•全国•统考高考真题)如图，四面体ABeQ中，

AD工CD,AD=CD,ZADB=NBDC,E为AC的中点.

A

(1)证明：平面8EZ)J_平面ACD；

(2)设43=30=2,NAce=60。，点F在Be)上，当AAFC的面积最小时，求CF与平面

A8A所成的角的正弦值.

6.(2022.全国.统考高考真题)在四棱锥P-AfiCD中，PDL底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6

(1)证明：BDlPAi

(2)求PQ与平面R4B所成的角的正弦值.

7.(2022•全国•统考高考真题)如图，Po是三棱锥P—48C的高，PA=PB,ABlAC,

E是总的中点.

(1)证明：OE//平面PAC；

(2)若NABO=NCBo=3()。，Po=3,PA=5,求二面角C-A£-3的正弦值.

8.(2022.浙江.统考高考真题)如图，已知ABCZ)和CDEF都是直角梯形，ABHDC,

DCHEF,AB=5,DC=3,EF=LNBAD=NCDE=60。,二面角尸一DC-B的平

面角为60。.设M,N分别为AE,BC的中点.

(1)证明：FNLAD；

(2)求直线BM与平面AoE所成角的正弦值.

9.(2022.北京.统考高考真题)如图，在三棱柱ABC-ABe中，侧面8CC∣4为正方形,

平面8CCqJ_平面4BBM，AB=BC=2,M,N分别为4蜴，AC的中点.

(1)求证：MV〃平面BCCIBl；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成

角的正弦值.

条件①：ABlMNi

条件②：BM=MN.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

10.(2022•天津•统考高考真题)直三棱柱ABC-中,

AAi-AB-AC=2,AAtLAB,AC1AB,。为AiBl的中点，E为AAl的中点，F为Cf）的

中点.

⑴求证：M〃平面A8C；

(2)求直线BE与平面CcID所成角的正弦值；

(3)求平面A1CD与平面CGD所成二面角的余弦值.

11∙(2021∙全国.统考高考真题)已知直三棱柱ABC-AAG中，侧面AA8/为正方形,

AB=BC=2,E,F分别为AC和CG的中点，。为棱A冉上的点.BF±ʌfi,

(1)证明：BF±DE;

（2）当BQ为何值时，面BBCC与面。庄所成的二面角的正弦值最小？

12.（2021.全国•统考高考真题）如图，四棱锥P-ABcD的底面是矩形，Pr），底面

ABCD,PD=DC=I,"为BC的中点，且

（1）求8C；

（2）求二面角A-PM-B的正弦值.

13.（2021.全国•统考高考真题）在四棱锥Q-A8C。中，底面是正方形，若

AD=2,QD=QA=EQC=3.

（1）证明：平面QA。，平面ABeD；

（2）求二面角B-QO-A的平面角的余弦值.

14.（2021・浙江•统考高考真题）如图，在四棱锥P-ABco中，底面ABa）是平行四边

形，ZABC=120o,AS=1,BC=4,PA=√15,M,N分别为8C,PC的中点，

PDLDC,PMLMD.

(1)证明：ABlPM;

(2)求直线AN与平面尸ZW所成角的正弦值.

15.(202卜北京•统考高考真题)如图：在正方体A8CA4G。中，E为AA中点，BC

与平面CoE交于点F.

(1)求证：尸为8£的中点；

(2)点M是棱A4上一点，且二面角"-FC-E的余弦值为更，求普的值.

3Aq

16.(2021.天津.统考高考真题)如图，在棱长为2的正方体4BC。-AAcQ中，E为

棱BC的中点，尸为棱CO的中点.

(I)求证：。尸//平面AEG；

(II)求直线AG与平面AEG所成角的正弦值.

(III)求二面角A-Ae-E的正弦值.

17.（2020.全国.统考高考真题）如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，AE为

底面直径，AE^AD.ABC是底面的内接正三角形，P为。。上一点，PO=-DO.

6

（2）求二面角B-PC-E的余弦值.

18.（2020・海南・统考高考真题）如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，PoJ■底面

ABCD.设平面以。与平面PBC的交线为/.

（1）证明：/_L平面PDC-.

（2）已知PD=AO=1,。为/上的点，求PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值.

19.（2020.天津・统考高考真题）如图，在三棱柱ABC-A4G中，CGjL平面

ABC,ACBC,AC=BC=2,CQ=3,点。，E分别在棱AA和棱CG上，且

AD=∖CE=2,M为棱4用的中点.

(I)求证：C∣Λ∕1B,D;

(ID求二面角B-BlE-。的正弦值；

(JII)求直线AB与平面DB也所成角的正弦值.

20.(2020・北京•统考高考真题)如图，在正方体ABCABCQ中，E为BBI的中点.

(II)求直线AA与平面AAE所成角的正弦值.

21.(2020•海南♦高考真题)如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，底面ABCD.设

平面心£＞与平面PBC的交线为/.

(1)证明：/，平面产。c；

(2)已知Po=A0=1,Q为/上的点，QB=6,求尸B与平面QC。所成角的正弦值.

22.(2020・江苏•统考高考真题)在三棱锥A—BC。中，已知CB=C£>=逐,80=2,。为

BO的中点，Aoj_平面BCD,Ao=2,E为AC的中点.

(1)求直线AB与。E所成角的余弦值；

(2)若点尸在BC上，满足BF=LBC,设二面角F—QE—C的大小为仇求sin。的值.

4

23.(2019•全国•高考真题)如图，直四棱柱ABCAA向C/O/的底面是菱形,A4∕=4,AB=2,

ZBAD=GO0,E,M,N分别是BC,BB∣,A/O的中点.

(1)证明：MN〃平面C/OE；

(2)求二面角A-MA/-N的正弦值.

24.(2018・全国•高考真题)如图，在三棱锥尸-4?C中，AB=BC=20，

PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.

(1)证明：P。，平面ABC；

(2)若点M在棱8C上，且二面角M-PA-C为30。，求PC与平面24〃所成角的正

弦值.

25.(2018•全国•高考真题)如图，四边形ABa)为正方形，E,尸分别为AO,8C的中点,

以QF为折痕把二。RC折起，使点C到达点P的位置，且

(1)证明：平面尸£尸_1_平面ΛBFD;

(2)求£)P与平面ABH)所成角的正弦值.

26.(2019•全国•统考高考真题)图1是由矩形AoEB,Rt△A8C和菱形BFGC组成的一

个平面图形，其中AB=I,BE=BF=2,NFBC=60。,将其沿AB,BC折起使得BE与BF

重合，连结QG,如图2.

(1)证明：图2中的A,C,G,。四点共面，且平面ABC，平面BCGE；

(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.

图1图2

27.（2019•浙江・高考真题）如图，已知三棱柱ABC-ABe,平面AAGe_L平面

oo

ABC,ZABC=90,^BAC=30,A1A=AtC=AC,E,F分别是4C,A,B∣的中点.

(1)证明：EFJ.BC；

(2)求直线针与平面ABC所成角的余弦值.

28.(2018•全国・高考真题)如图，边长为2的正方形ABa)所在的平面与半圆弧C。所

在平面垂直，M是CO上异于C,。的点.

(1)证明：平面AME>_L平面8A/C；

(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MC。所成二面角的正弦值.

29.(2019・北京•高考真题)如图，在四棱锥P-ABCf)中，朋，平面ABCDADLCD,

PP1

AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E为PZ)的中点，点尸在PC上，且正=§.

(I)求证：CZ)_L平面PAD；

(II)求二面角F-AE-P的余弦值；

(In)设点G在PB上，且P寡G=：2.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由.

PB3

30.(2019•天津•高考真题)如图，AE_L平面ABC。，CF//AE,AD//BC,

ADlAB,AB=AD=I,AE=BC=2.

(I)求证：BF〃平面ADE；

(II)求直线CE与平面53E所成角的正弦值；

(HI)若二面角£—尸的余弦值为g,求线段CF的长.

31.(2018•浙江・高考真题)如图,已知多面体46C-A4G，AAB]B,GC均垂直于平面

o

ABC,ZABC=120,Λ1A=4,C1C=IMB=βC=B1B=2.

4

(I)求证：AA，平面ABC:

(II)求直线ACl与平面A88,所成角的正弦值.

32.(2018•北京♦高考真题)如图，在三棱柱ABC-ABC中，CC∣∙L平面ABC,D,E,

F,G分别为AA,AC,AtCl,BBl的中点，AB=BC=亚,AC=Aa=2.

(2)求二面角8-8-G的余弦值；

(3)证明：直线FG与平面BCD相交.

33.(2018•江苏・高考真题)如图，在正三棱柱ABe-A/B/C/中，AB=AA/=2,点P,Q分

别为A∕B∕,BC的中点.

(1)求异面直线B尸与AG所成角的余弦值；

(2)求直线CG与平面AQG所成角的正弦值.

34.(2018•天津•高考真题)如图，AD∕∕BCS.AD=2BC,AZ)_LC£>,EG〃A。且EG=AQ,

CD∕∕FG艮CD=2FG,DG15PffiABCD,DA=DC=DG=I.

(I)若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

(II)求二面角E-8C—F的正弦值；

(III)若点P在线段DG上，且直线BP与平面4。GE所成的角为60。，求线段OP的

长.

参考答案：

1.A

【分析】证明叱工平面8。。，即可判断A；如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系,

设AB=2,分别求出平面片正尸，A1BD,ACQ的法向量，根据法向量的位置关系，即可判

断BCD.

【详解】解：在正方体ABCo-A4G。中，

AClB。且，平面ABCD,

又EFU平面ABCO,所以EfLOR,

因为EF分别为A3,BC的中点，

所以历〃AC,所以EFJ_%＞，

又BDDD1=D,

所以EFl平面BOR,

又EFU平面片EF,

所以平面片EFL平面BOR,故A正确；

选项BCD解法一：

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,

则4(2,2,2),E(2,l,0),F(l,2,0),B(2,2,0),A(2,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),

C1(0,2,2),

则EF=(T,l,0),E6=(0,l,2),OB=(2,2,0),OA=(2,0,2),

M=(0,0,2),AC=(-2,2,0),A1C1=(—2,2,0),

设平面BlEF的法向量为机=(x∣,y∣,z∣),

m∙EF=-X÷y=O

则有11可取加=(2,2,—1),

m∙EBT=M+2Z]=O

同理可得平面ABC的法向量为勺=(1,-1,-1),

平面AIAC的法向量为%=0,1,0),

平面ACQ的法向量为n,=(1,1,-1),

贝

∣JZM∙M1=2-2+1=1WO,

所以平面用EF与平面ABO不垂直，故B错误;

UU

因为用与〃2不平行，

所以平面与EF与平面A1AC不平行，故C错误;

因为加与〃3不平行，

所以平面BEF与平面AG。不平行，故D错误,

故选：A.

选项BCD解法二：

解：对于选项B,如图所示，设48BIE=M,EFBD=N,则MN为平面AE尸与平面

A8。的交线，

在，BMN内,作BPLMN于点P,在二EMN内,作GPJ_MN,交EN于点G,连结BG,

则ZBPG或其补角为平面BIEF与平面A1BD所成二面角的平面角,

由勾股定理可知：PB2+PN2=BN2,PG2+PN2=GN2,

底面正方形ABCf)中，E,尸为中点，则防_L8D,

由勾股定理可得NB2+NG-=BG2,

从而有：NB2+NG-=(PB2+PN2)+(PG2+PN2)=BG2,

据此可得PB2+PG1≠BG1,即ZBPG≠90,

据此可得平面gEF_L平面不成立，选项B错误;

对于选项C,取Ag的中点“，则A"B∣E,

由于AH与平面AAC相交，故平面与EF〃平面AAC不成立，选项C错误;

对于选项D,取AO的中点M,很明显四边形ABLM为平行四边形，则AMBiF,

由于AM与平面ACQ相交，故平面BIE尸〃平面ACQ不成立，选项D错误;

故选：A.

2.C

【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根

据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.

详解：以D为坐标原点，DA,DC,DDi为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

zχo,0,0),41,0,0),与(1,1,6),0(0，。，K),所以AA=(To，6),。与=(1,1,6),

/,c∖AQ•明-1+3√5

因为COS(AA,3)=M阈=女方=—,所以异面直线A。与四所成角的余弦值为

手，选C.

点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破"建系关”，构建恰当的空间

直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出

平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

3.BD

【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将尸点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点

的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点

的个数.

【详解】

易知，点P在矩形8CG4内部（含边界）.

对于A,当4=1时，BP=BC+juBB∣=BC+juCC∣,即此时PW线段CG，用尸周长不是定

值，故A错误；

对于B,当〃=1时，BP=λBC+BB=BBi+/14G,故此时P点轨迹为线段AG,而B1C1//BC,

BCH平面A/C,则有P到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当/!=；时，BP=；BC+〃BB「取BC,8£中点分别为。，H,则8尸=80+〃。"，

所以P点轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，AlqQ1］，

12）

p（o,o,∕z）,8（o,；,o）则AP=_曰,0,〃_1,BP=（0,_；,〃），APBP=1）=0,

所以〃=0或〃=1.故",Q均满足，故C错误；

对于D,当〃=；时，BP=4BC+gBB-取BB∣,CG中点为Λ√,N.BP=BM+aMN，所

1λ

以P点轨迹为线段MN.设P（O,%,5,因为A乎,0,0,所以AP=

加2-

AB=,所以;+；%-；=OnyO=-；，此时P与N重合，故D正确.

、乙乙）-NN乙

故选：BD.

【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.

4.(1)√2

Q)&

2

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得BC上平面ABBM,建立空间直角坐标系，利用空间向

量法即可得解.

【详解】(1)在直三棱柱ABC-AAG中，设点A到平面ABC的距离为力，

则匕-ABC=；SABC/=半/?=9-A%=/SA%∙AA=+0C-AB&

解得〃=√∑,

所以点A到平面A8C的距离为亚；

(2)取4出的中点E,连接AE,如图，因为AA=A8,所以AELAf,

又平面ABCj_平面ABBM，平面ABCC平面ABB/=AB,

且AEU平面ABA4,所以AEL平面A8C,

在直三棱柱ABC-ABiG中，BBlJ.平面ABC,

由BCu平面ABC,56'匚平面48(7可得/1£_18。，BB11BC,

又AE,叫U平面A8AA且相交，所以BC1平面ABBlA1,

所以8C,BA,B与两两垂直，以8为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(I)得AE=√L所以AA=AB=2,Λ,β=2√2,所以BC=2,

则A(0,2,0),A(0,22),8(0,0,0),C(2,0,0),所以AC的中点D(IJl),

则BO=(IJl),BA=(0,2,0),3C=(2,0,0),

设平面AaD的一个法向量机=(x,y,z),则〈c',

'z[tnBA=2y=0

可取加=(1,0,-1),

设平面BDC的一个法向量”=(α,"c),则'二;;

可取，=(0,1,-1),

则8SM>丽=W=5，

所以二面角A—如一C的正弦值为，_(；[=曰.

5.(1)证明过程见解析

⑵B与平面由所成的角的正弦值为挈

【分析】(1)根据已知关系证明得到AB=CB,结合等腰三角形三线合一

得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；

(2)根据勾股定理逆用得到BEiZ)E,从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则

进行计算即可.

(1)

因为Ar)=CO,E为AC的中点，所以ACLDE；

在△Μ£>和ACBD中，因为A。=8,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以aABZ泾ACBO,所以AB=C8,又因为E为AC的中点，所以AC_L5E；

又因为。£,8EU平面BE£>,DECBE=E,所以ACJ-平面8匹，

因为ACU平面AeD,所以平面，平面ACZX

(2)

连接EF,由(1)知，ACj■平面BED,因为防U平面BED,

所以AC_LE尸，所以SA"C=∕AC∙EF,

当£FJ_Bz)时，EF最小，即AAFC的面积最小.

因为AAB恒ACBD,所以CB=AS=2,

又因为NAce=60。，所以「ABC是等边三角形，

因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=B

因为AO_LC£),所以。E=JAC=I,

在右DE8中，DE2+BE2=BD2所以BKIDE

以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-冲z,

则A(l,θ,θ),8(θ,后0),D(0,0,l),所以AQ=(TO,I),AB=卜l,"θ),

设平面ΛBA的一个法向量为"=(x,y,z),

n∙AD=-X+z=0L/r\

则J-,取y=G,则"=(3,j3,3),

n∙ΛB=-x+√3y=017

又因为C(-1,O,O),F0,日,|,所以B=用,,

cf,64√3

所以COS∕∕¾,CF∖=Λ,.

'/HICFIv∑τ×

设CF与平面ABD所成的角的正弦值为(0≤。≤

所以Sine=^os(〃,C尸，=,

所以C尸与平面ABO所成的角的正弦值为生g.

7

6.(1)证明见解析;

⑵络.

【分析】(1)作QE1ΛB于E,CF上A3于尸，利用勾股定理证明45工3。，根据线面垂

直的性质可得PDLBD,从而可得平面P4O,再根据线面垂直的性质即可得证；

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.

(1)

证明：在四边形ABCD中，作Z)ElAB于E,CF上AB于F,

因为Cr>∕∕A8,AZ)=α>=CB=l,A8=2,

所以四边形ABCD为等腰梯形，

所以AE=B/=4，

2

故OE=*,BD=NDE?+BE?=6,

所以A£>2+Bh=AB?,

所以AO工3£),

因为PL)L平面A8C。，3。u平面ABC。,

所以叨_L3£>,

又PDcAD=D,

所以BZ)I平面P4。，

又因为BAu平面尸Ar),

所以BD_L24；

(2)

解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,

BD=6,

则A(I,O,O),B(O,百,o),p(o,o,ʌ/ŋ,

则4P=(-l,0,g),BP=(O,-6,G),OP=(0,0,6),

设平面QAB的法向量〃=(x,y,z),

,n∙AP=-x+∖∕3z=0IL、

则有｛L，可取"=G,革,

∕7∙BP=-√3γ+√r3z=O',

n-DP√5

则COS(几E)P)=

HIDPI5，

所以与平面皿所成角的正弦值为手.

P

7.(1)证明见解析

【分析】(1)连接BO并延长交Ae于点。，连接。4、Pr>,根据三角形全等得到OA=O8,

再根据直角三角形的性质得到AO=OO，即可得到。为8。的中点从而得到OE〃/吟，即可

得证；

(2)建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同

角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】(1)证明：连接BO并延长交AC于点。，连接。4、PD,

因为PO是三棱锥P-ABC的高，所以P。工平面ABC,40,3。<=平面46<7,

所以POLA。、POlBO,

MA=PB,所以4P04三Z∖P03,即04=03,所以NOAB=NO84,

又AB工AC,即N8AC=90°,所以NoA3+/04。=9()°,/054+NOZM=90°,

所以ZWA=NQW

所以AO=D0,即Ao=Z)O=08,所以。为8。的中点，又E为依的中点，所以OE//PD,

又OEa平面PAC,Pz)U平面PAC,

所以OE〃平面PAC

(2)解：过点A作Az〃OP,如图建立平面直角坐标系,

因为PO=3,AP=5,所以Q4=JA"-PO2=4,

又NOBA=/OBC=30。，所以33=204=8,则Ar>=4,AB=4√3,

所以AC=12,所以006,2,0),β(4√3,θ,θ),P(26,2,3),C(0,12,0),

所以E06,1,∣),

贝IJAE=AB=(4√3,O,θ),AC=(0,12,0),

ɔ

n∙AE=3>∕3x+y+—z=O

设平面A£»的法向量为"=(x,y,z),则■'2,令z=2,则产-3,

n∙AB=4∖∣3x=O

X=O,所以〃=(0,-3,2)；

-3

,…L-=/∕77∙AE=3Λ∕3^÷⅛÷-c=0

设rt平面AEC的法向量II为f机=(〃,》,cx),则<2

m∙AC=12〃=O

令α=JJ,则C=—6,b=0,所以加=(6,0,—6)；

4√3

所以"÷/÷∖in≠-mf而-1询2

^^I3-∙

4√3

设二面角C-AE-B的大小为θ,则ICoSM=gs(","U

ɪ

所以Sine=Jl-cos2j=^,即二面角C-ΛE-B的正弦值为j∣.

y

8.(1)证明见解析；

(2)5"

14

【分析】(1)过点E、。分别做直线DC、A8的垂线EG、O”并分别交于点G、H,由

平面知识易得FC=3C,再根据二面角的定义可知，∕BCF=60,由此可知，FNlBC,

FNLCD,从而可证得尸Nj•平面ABCZ),即得FNL4)；

(2)由(1)可知RVJ•平面ABa),过点N做A8平行线NK,所以可以以点N为原点，NK,

NB、NF所在直线分别为X轴、N轴、Z轴建立空间直角坐标系N-DZ,求出平面ADE的

一个法向量，以及8M，即可利用线面角的向量公式解出.

【详解】(1)过点E、。分别做直线DC、A8的垂线EG、。”并分别交于点G、H.

；四边形ABCD和EFCD都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=],

Z-BAD=ACDE=60°,由平面几何知识易知，

DG=AH=2,AEFC=ADCF=NDCB=ZABC=90°,则四边形EFCG和四边形DCBH是矩

形，在Rt-EG3和Rt.Z)∕Z4,EG=DH=26

VDCLCF,DClCB,且BCeB=C,

.∙.£>CJ•平面BCF,NBCF是二面角K-OC-B的平面角，则/BCF=60,

...△8CF是正三角形，由Z)CU平面4BC。，得平面ABa)I平面BCF,

：N是BC的中点，・•.∙RVJ_BC,又OCj"平面Bb,FNU平面BCF,可得RV_LCZ),

而BeCa)=C,二RV，平面ABCD,而45U平面ABC。；.RV_LAD.

(2)因为FNL平面ABC£),过点N做A8平行线NK,所以以点N为原点，NK,NB、

Nf'所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系N-孙Z,

设A(5,6,0),8(0,6,0),0(3,-6,0),E(1,0,3),则M3,-,-,

:.BM=3,-芋，之,AD=(-2,-2^,O),DE=(-2,√3,3)

设平面AoE的法向量为〃=(X,y,Z)

〃∙AD=O/口-2x-2√3j=0

⅛∙,得《¾w=(√3,-l,√3),

nDE=O-2x+∖∣3y+3z=0

设宜线BM与平面ADE所成角为。,

9.(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)取AB的中点为K,连接MKNK,可证平面MKN〃平面8CC4,从而可证MW/

平面.

(2)选①②均可证明8片_L平面ABC,从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间

向量可求线面角的正弦值.

【详解】(1)取AB的中点为K,连接用KNK,

由三棱柱ABC-AAC可得四边形ABBlAt为平行四边形，

而耳M=M41'BK=KA,则MKilBB

而雄仁平面8。。由，B8∣u平面8CC4,故MK〃平面BCG与，

而CN=NA,BK=KA,则NK〃8C,同理可得NK〃平面3。6片，

而NKnMK=K,NK,MKU平面MKN,

故平面MKV〃平面BCC4，而MNU平面MKN,故MN〃平面BCGB∣,

(2)因为侧面BCC向为正方形，故CBIB片,

而CeU平面BCCM,平面CBBtCt，平面ABB∣A,

平面CBBcC平面ABBiAt=BB1,故CBJ_平面ABB0，

因为NKHBC,椒NKl平面ABBtAi,

因为ABU平面ABBIA,故NKJ_A3,

若选①，则ABjL脑V,而NKJ.AB,NKMN=N,

故AB/平面MNK,而MKU平面MNK,故AB_LMK,

所以ABLB耳，而CBLBB∣,CBcAB=B,故，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(U,0),M(0,l,2),

故颜=(0,2,0),8N=(1,1,0),BM=(0,1,2),

设平面BNM的法向量为n=(x,y,Z),

n∙BN=0[x÷y=0.、

则八，从而C八，取Z=—1,则”=z-2,2,-1,

n-BM-0[y+2z=0

设直线AB与平面BNM所成的角为。，则

sinθ=∣cos(〃,AB)I=Jʒ=∙∣.

若选②，因为NK〃8C,故NKJ_平面48B∣A,而KMU平面MKN,

故NKlKM,而片例=BK=I,NK=I,故B、M=NK,

而BlB=MK=2,MB=MN,故BB1M=MKN,

所以NBgM=NMKN=90。，故ABlJ∙8与，

而C8JL8A，CBcAB=B,故3线，平面ABC,

故可建立如所示的空间直角坐标系，则3(0,0,0),A(0,2,0),N(l,l,0),M(0,1,2),

故BA=(0,2,0),BN=(1,1,0),8M=(0,1,2),

设平面3MW的法向量为"=(x,y,z),

n∙BN=Qx+y=Q

从而取z=-l,则”=(-2,2,-1),

n∙BM=Oy+2z=0

设直线A8与平面BMW所成的角为。，则

10.(1)证明见解析

⑶巫

10

【分析】(I)以点4为坐标原点，A|A、AM、AG所在直线分别为X、y、Z轴建立空间

直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；

(2)利用空间向量法可求得直线BE与平面CC1D夹角的正弦值；

(3)利用空间向量法可求得平面A1CD与平面CG。夹角的余弦值.

【详解】(1)证明：在直三棱柱ABC-ABlG中，AA，平面ABc,且ACJ.ΛB,则AGɪAB1

以点A为坐标原点，AA、A与、AG所在直线分别为X、y、Z轴建立如下图所示的空间

直角坐标系,

则A(2,0,0)∖8(220)、C(2,0,2)∖A(O，。，。)、名(0,0,2)、C(0,0,2)、O((U,0)、£(1,0,0)、

FD,则EF=(O

易知平面ABC的一个法向量为m=(l,0,0),则E尸.”=0，故EF_L〃z,

EFa平面ABC,故E∕j7/平面ABC.

(2)解：GC=(2,0,0),C1D=(0,1,-2),EB=(1,2,0),

设平面CCQ的法向量为"=α,y,zj,则“ff=2x∣U

U-CxD=yx-2zl=0

LnEB∙u4

取y=2,可得〃=(0,2,1),C°S<E8,M>=同刊=g.

因此，直线BE与平面CCQ夹角的正弦值为

(3)解：AC=(2,0,2),Λ,D=(0,l,0),

设平面AcD的法向量为j=(W，%，Z2)，则。，

./u∙V1Vio

取X0,可得v=(l,0,-l),则c°s<"，"=丽=-瓦/=-记

因此，平面ACD与平面CCQ夹角的余弦值为画.

10

11.(1)证明见解析；(2)BQ=；

【分析】（I）方法二：通过己知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标

系，借助空间向量证明线线垂直；

（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进

而可以确定出答案；

【详解】（1）［方法一］：几何法

因为BFIABI,Aιq//AB,所以3b,AB.

又因为4B188∣,BFnBBi=B,所以ABl平面BCC∣8∣.又因为AB=BC=2,构造正方

体ABCG-ABCG∣,如图所示,

过E作AB的平行线分别与AGBC交于其中点",N,连接司/出加，

因为E,尸分别为AC和CG的中点，所以N是BC的中点，

易证RtBCF=RtBxBN,则NCBF=NBBIN.

又因为NBB∣N+NB∣NB=90°,所以NCB尸+/4NB=90°,BFIB1N.

又因为BFIABI,B∣NA1B1=B1,所以平面AMNg.

又因为Er）U平面AMN片，所以BFJ_£>E.

［方法二］【最优解】：向量法

因为三棱柱ABC-ASe是直三棱柱，.∙.BBl1底面ABC,：.BBlIAB

AtBl//AB,BFIABI防J_AB,又BBlCB尸=B,.：ABl平面BCGq.所以BA,8C,BB∣

两两垂直.

以8为坐标原点，分别以848C,3q所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.

.∙.B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),Λ1(2,0,2),C,(0,2,2),E(1,1,O),F(0,2,l).

由题设D(α,0,2)(0≤a<2).

因为BF=(0,2,1),E>E=(1-a］,—2),

所以BF∙C>E=0x(l-4)+2x1+lx(-2)=0,所以Bfr>E.

［方法三］:因为8FLA4，AlBt∕∕AB,所以BF_LAB,故5尸44=0,BFAB=O,所

以

BF∙ED=BF(EB+BBi+B、D)=BF-BlD+BF^EB+=BFEB+BFBB1

=BF∖--BA--βC∖+BFBB.=--BF-BA--BF-BC+BF-BB=--BF-BC+BF-BB.

I22J22'121

1ɪ2I

=-ʌIBF∣∙∣βC∣cosZFBC+∣BF∣∙∣ββl∣cosZFBB1=--×√5×2×-^+√5×2×-^=0,所以

BFA.ED.

(2)［方法一］【最优解】：向量法

设平面DFE的法向量为m=(x,y,z),

因为EF=(T,1,1),DE=(J41,-2),

［m-EF,=0f-x+y+z=O

所咪"=0'K(.-φ÷,v-2z=0∙

令z=2-α,则"z=(3,l+α,2-α)

因为平面BCGBI的法向量为BA=(2,0,0),

设平面BCC1B1与平面DEF的二面角的平面角为6,

'1'一冲网2×√2α2-2α+14√2a2-2a+14'

127

当ɑ=］时，2/一2α+4取最小值为奇，

3_√6

此时CoSe取最大值为yy-5.

所以(Sin九=卜闺一等此时他总

［方法二］:几何法

如图所示，延长E尸交AG的延长线于点S,联结DS交Be于点7,则平面OFE平面

作4"IFT,垂足为从因为。4_L平面BAGC,联结。〃，则NDHBl为平面84GC与

平面DFE所成二面角的平面角.

设4。=f,/€［0,2］,BtT=S,过Cl作C1G//44交。S于点G.

CS1CG1

由京1二二右1得GGF2T)∙

又=M：,即］0八一2-s，所以S=S^.

C1GC1/t+v

B,HBTBlHsS

又评=万'即丁="一尸所以及D”LJ=Jι+(2.s)>

所以的=廊E=忌丁：=IS1.

DΓ)=-=^=

KlJsinZDWB1=-I-

DHAI.

∖2r-2t+5

所以，当r=g时，(Sin∕OH8),m=g.

［方法三］：投影法

如图，联结FB∖,FN,

J)EF在平面BBCC的投影为一B∣NF,记面BBGC与面DFE所成的二面角的平面角为8,

则CoSe=2.

、“DEF

222

设BID=f(0≤f≤2),在RtOBI/中，DF=λ∣B1D+B1F=√r+5.

在Rt-ECF中，EF7EC?+FC?=百，过。作用N的平行线交EN于点Q.

222

在RtZ∖QEQ中，DE=yJQD+EQ=√5+(I-Z).

在..DEF中，由余弦定理得cosNDFE=DF士EF2二DE?=+D,

2DFEF3(r+5)

.z_∣2t^—2z+14ɪ1I~~；-----------3

SlnNDFE=­~ʌ-,S=-DF-EFsinZDFE=-√2r2-2r+14,SHNF=一，

]∣3(r2+5)nDFEF22b'w2

SBNF3.C[9~

cosθɪ-ɪ=,,sɪn0ɪl--ττ;--------γ,

SDFE√r2∕2-2r+14N2[t2-t+7)

当f=J,即8Q=；,而B8CC与面OFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为立.

223

【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适

的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解：方法三利用空间向量加减法

则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学

生的思维.

第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，

也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面BBCC与面。在所成的二面角，并求

出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面OEE在面BBCC上的投影三角形

的面积与ADFE面积之比即为面BBCC与面OFE所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最

小值，进而求出二面