平面向量五年高考数学真题分类汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编

9-平面向量（含解析）

一、单选题

1.（2022•全国.统考高考真题）在ABC中，点。在边A3上,

BD=2DA.记CA=m,CD=n,则CB=()

A.3m—2nB.-2m+3nC.3∕n+2nD.2m+3n

2.(2022•全国•统考高考真题)已知向量6满足

∣α∣=l,∣⅛∣=√3,∣α-2⅛H3,则“力=()

A.—2B.-1C.1D.2

3.(2022•全国•统考高考真题)已知向量a=(3,4),b=(l,0),c=α+仍，若

<a,c>=<b,c>,则，=()

A.—6B.—5C.5D.6

rr

4.(2022•全国•统考高考真题)已知向量。=(2,1)乃=(-2,4),贝Ij卜-0

()

A.2B.3C.4D.5

5.(2022・北京・统考高考真题)在ABC中，AC=3,BC=4,ZC=90o.P

为ABC所在平面内的动点，且FC=I,则PA∙P3的取值范围是

()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

6.（2021•浙江•统考高考真题）已知非零向量4,6,c,则“α∙c=6c”是

“的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

7.（2020•全国•统考高考真题）已知向量入。满足1止5,∣⅛∣=6,

a∙b=-6,贝UCOS<〃,〃+/?>=（）

A∙-3-5B-3-5cC∙—35D—35

8.（2020.全国•统考高考真题）已知单位向量〃，b的夹角为60。，

则在下列向量中，与。垂直的是（）

A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b

9.（2020.海南.统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形

ABCO石尸内的一点，则APAB的取值范围是（）

A.(-2,6)B,(-6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

10.(2020・海南•高考真题)在ABC中，。是AB边上的中点，则

CB=()

A.2CD+CAB.CD-ICAC.2CD-CAD.CD+2CA

11.（2020・山东・统考高考真题）已知平行四边形ABC，点E,F

分别是A8，Be的中点（如图所示），设AB=α,AD=b,则E尸等于

（）

A.-[a+b^B.C.ɪ(⅛-ɑ)D.ga+b

12.(2020•山东•统考高考真题)已知点A(4,3),B(T2),点P在函

数y=V-4x-3图象的对称轴上，若则点尸的坐标是（）

A.(2,~6)或(2,1)B.(-2,-6)或(-2,1)

C.（2,6）或（2,一1）D.(―2,6)或(―2,-1)

13.（2019•全国•高考真题）已知非零向量她满足H=2M,且

（a-b）1b,则α与b的夹角为

14.（2018・全国•高考真题）在^ABC中，AD为BC边上的中线，E

为的中点，则EB=

3113

A-AB--ACB-AB--AC

44・44

31

C-AB+-ACD-AB+-AC

4444

15.(2019•全国•高考真题)已知AB=(2,3),AC=(3,t),IBq=1,则

ABBC=

A.-3B.-2

C.2D.3

16.(2018・全国•高考真题)已知向量a.b满足同=1,ab=-l,则

a∙(2a-b)=

A.4B.3C.2D.0

17.(2019•全国・高考真题)已知向量。=(2,3)0=(3,2),则∖a-b∖=

A.√2B.2

C.5√2D.50

18.（2018.北京•高考真题）设向量。力均为单位向量，贝IJ

“Iα-3〃∣=∣3α+W是"α_Lb"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

19.（2018•天津•高考真题）如图，在平面四边形ABe。中，

AB±BC,AD±CD,ZBAD=120,AB=AD=],

若点E为边上的动点，则AEBE的最小值为

二、多选题

20.（2022•全国.统考高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线

CV=2px（p>0）焦点F的直线与C交于A,8两点，其中A在第一象

限，点M（p,0）,若IAFHAΛf∣,则（）

A.直线AB的斜率为2而B.∖OB∖=∖OF∖

C.∖AB∖>^∖OF∖D.AOAM+AOBM<∖^

21.（2021•全国.统考高考真题）已知。为坐标原点，点

COSaf,sinα),B(COS0-sin∕),"(cos(α+齐),sin(a+/?)),A(I5O),则

A.∖OP1∖=∖OP2∖B.阿=网

C.OA-OP.=OP,OP2D.OA-OP,=OP1-OPi

三、填空题

22.（2022•全国.统考高考真题）设向量”，6的夹角的余弦值为

~,且忖=1,1|=3

,贝Jj(2α+b"=.

23.(2022•全国•统考高考真题)已知向量4=g3),b=(l,m+l).若

alb,贝Ij机=.

24.(2022•浙江•统考高考真题)设点尸在单位圆的内接正八边形

A44的边A4上，则PA；+PA/++户区的取值范围是.

25.(2021.全国.统考高考真题)已知向量α=(L3),b=(3,4),若

(a-λb)±b,贝.

26.(2021•全国•统考高考真题)已知向量

α=(3,l),0=(l,0),c="+H.若OJLc,贝(Jk=.

27.(2021•全国•统考高考真题)已知向量α+A+c=O,M=I,

W=H=2,ah+hc+c∙a=.

28.(2021•全国•高考真题)若向量润满足W=3,p-q=5,α%=ι,则

∖b∖=----------

29.(2021•全国•统考高考真题)已知向量”=(2,5),6=(44),若

allb,则儿=•

30.(2021・浙江•统考高考真题)已知平面向量0,6,c,(*0)满足

同=1,忖=2,7〃=0,@叫.£=0.记向量4在葡方向上的投影分别为X,

y,di在C方向上的投影为Z,贝IJf+V+Z?的最小值为.

31.(2020•全国•统考高考真题)设一为单位向量,且∣α+6∣=ι,则

∖a-b∖=.

32.(2020•全国•统考高考真题)已知单位向量U的夹角为45。，

力，与;垂直，则七.

33.(2020•全国•统考高考真题)设向量α=(l,-l),6=G"+l,2"L4),若

a±b,贝（Jm=

34.（2020•江苏・统考高考真题）在AABC中，

AB=4AC=3,/8AC=90。,。在边BC上，延长AD到P,使得AP=9,若

PA=mPB+（2）PC（〃2为常数）,则CO的长度是.

35.（2020.浙江•统考高考真题）设q,e?为单位向量，满足

I2el-e21<>∕2,a=el+e2,b=3el+e2,设a,B的夹角为夕,则CoS的最小

值为.

36.（2019•全国•统考高考真题）已知”,6为单位向量，且a∙b=0,

若c=2α-&,贝（Jcos<α,e>=.

37.（2018•全国•高考真题）已知向量α=（l,2）,5=（2,-2）,

C=（L九）.若C（2〃+/?）,贝Ij4=.

38.（2019・全国•高考真题）已知向量。=（2,2）,5=（-8,6）,则

cos（ɑ,b）=.

39.（2019・天津•高考真题）在四边形ABCD中，AD//BC,

AB=26,AD=S,ZA=30。，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,

则BO∙AE=.

四、解答题

40.（2020•山东•统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点。，

2

椭圆£+丁=1的顶点分别为A,4,B,B,其中点4为抛物线的焦

4l2

(1)求抛物线的标准方程；

(2)若过点A的直线/与抛物线交于M,N两点，且

(OM+0N)∕∕B∣A2,求直线/的方程.

五、双空题

41.(2022・天津•统考高考真题)在.ABC中，CA=a,CB=b,。是AC

中点，

CB=IBE,试用α,b表示。E为,若AB_LZ)E,则/AC8的

最大值为____________

42.(2021•天津.统考高考真题)在边长为1的等边三角形ABC

中，。为线段BC上的动点，DE/AB且交AB于点及OΛ7Mβ且交

AC于点£则∣2BE+Z)F∣的值为；(DE+OF)3的最小值为

43.(2021・北京・统考高考真题)已知向量α∙c在正方形网格中的

位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

(a+b)∙c=；a∙b=.

44.(2020•天津•统考高考真题)如图，在四边形中，

ZB=60°,AB=3,BC=6,ɪAD=ABC,ADAB=--,则实数2的值为

，若KN是线段BC上的动点，且IMNl=1,则OMQN的最

小值为.

45.(2020・北京・统考高考真题)已知正方形ABC。的边长为2,点

P满足AP=g(AB+AC),贝！JlPDl=；PBPD=.

参考答案：

1.B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA,所以Bf>=2OA,即

Cf)-CB=2(CA-CZ)),

所以CB=3CD-2CA=3rt-2∕n=-2w+3π.

故选：B.

2.C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：∙.∙∣"-26∣2=∣αF-44∕+4M,

XV∣α∣=Ufel=MIa-2。|=3,

∙>∙9=l-467∙⅛÷4×3=13-46f⅛,

•・d`b=\

故选：C.

3.C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简

即可求得

【详解】解：d=(3+f,4),cos(α,c)=cos(6,9,即公^=露,解得f=5,

故选：C

4.D

【分析】先求得a-b,然后求得∣"∣∙

【详解】因为a-b=（2,IH-2,4）=（4,-3）,所以卜i=〃“3f=5.

故选：D

5.D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P（COSaSin。），表示出PA,

PB,根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可

得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0),A(3,0),

8(0,4),

因为PC=I,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设尸(COSθ,sin夕)，夕∈[0,2π∖,

所以Λ4=(3-cos0,-sin0),Pβ=(-cos0,4-sin0),

所以PA-产区=(一COSe)X(3-COSe)+(4-Sine)X(-Sine)

=cos20-3cos0-4sin0+sin2θ

=1-3cos6-4si∏e

=1—5sin(9+0),其中sin。=],CoS0=g

因为-l≤sin(8+e)≤l,所以-4≤l-5sin(e+o)≤6,即PA∙PB∈[-4,6]；

故选：D

6.B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所示，OA=α,OB=ROC=C,BA=α-Z>,当AfiLOC时，a-b

与C垂直，W∕>)∙C-0,所以Iw成立，此时

九；,不是α=b的充分条件，

当α=b时，a-b=O,Λ(Ω-⅛)∙C=O∙C=O,成立,

∙∙∙7i=M是d=b的必要条件，

综上，“7Wc：”是%户的必要不充分条件

故选：B.

7.D

【分析】计算出Ma+4、卜+4的值，利用平面向量数量积可计算出

cos<a,a+b>的值.

【详解】W=5,,卜6,α∙b=-6,∙∙∙0∙(α+b)=∣d+α∕=52-6=19.

∣tz+⅛∣=y∣(a+bj=y∣a"+2a∙b+b-=V25-2×6+36=7,

a∙(a∙3fb∖1919

因此,c°s<*+b>=丽同=Mr不.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面

向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

8.D

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量

垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.

【详解】由已知可得：a∙Z?=忖∙W∙cos60=Ixlxg=;.

A:因为(α+26)∙b="∙b+2z∕=g+2χl=∣xθ,所以本选项不符合题意；

B:因为(2α+%)m=2α∙∕7+Z/=2xg+l=2≠=0,所以本选项不符合题意;

C:因为(α-2b)∙b=α∙。-2∕∕=g-2χl=-∣wO,所以本选项不符合题意；

D:因为(2α-b)∙b=2(7∙b-∕√=2xg-l=0,所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两

平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了

数学运算能力.

9.A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到”

在AB方向上的投影的取值范围是(T3),利用向量数量积的定义式,

求得结果.

AS的模为2,根据正六边形的特征，

可以得到”在AB方向上的投影的取值范围是(T3),

结合向量数量积的定义式，

可知APAB等于AB的模与AP在AS方向上的投影的乘积，

所以APAB的取值范围是(-2,6),

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值

范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.

10.C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CB=CA+AB=CA+2AD=-CA+2^CD-CA)=2CD-CA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

11.A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结AC,则AC为ABe的中位线，

.∙.EF=-AC=-a+-b,

222

故选：A

12.C

【分析】由二次函数对称轴设出尸点坐标，再由向量垂直的坐标表

示计算可得.

【详解】由题意函数y=χ2-4x-3图象的对称轴是x=2,设P(2,y),

因为PAJ_屈,所以PApB=(2,3-y)∙(-6,2-y)=-12+(3-y)(2-y)=0,解得

丫=6或y=-l,所以P(2,6)或P(2,-l),

故选：C.

13.B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与

垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养.先由

(α-Z?)得出向量α,6的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式

即可计算出向量夹角.

【详解】因为(a-b)_L〃，所以(“-力力=q∙6-∕f=0,所以C=H,所以

cos(9=ΓΓΓ∣=yr⅛=2,所以α与人的夹角为g,故选B.

∖a∖'W巳1。IZ3

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的

摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向

量夹角范围为［OH.

14.A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特

征，求得BE='A+；BD,之后应用向量的加法运算法则——三角

A1

形法则，得至UBC=BA+AC,之后将其合并，得到BE=1BA+/C,下

一步应用相反向量，求得EB=WAB-IAC,从而求得结果.

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]

222424v>

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

a1

所以砂=/8-/。，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到

的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量

的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一

步运算.

15.C

【分析】根据向量三角形法则求出3再求出向量的数量积.

【详解】由8C=AC-A8=(l*-3),Bq=JF+(/-3)2=1,得r=3,则

BC=(1,O),AB.BC=(2,3).(1,0)=2×l+3×0=2.故选C.

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技

能，难度不大.

16.B

【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

详解：因为"Q-b)=242-4∙6=2∣αF-(-1)=2+1=3,

所以选B.

点睛：向量加减乘：a+b=(xl±x2,yt+y2),cr=∖a^,a-h=∖a[∖h∖cos^a,b^

17.A

【分析】本题先计算α-b,再根据模的概念求出l"A∣∙

【详解】由已知，α-⅛=(2,3)-(3,2)=(-1.1),

所以∣α-b∣=J(T)2+『=近,

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础

知识、基本计算能力的考查.由于对平面向量的坐标运算存在理解

错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错.

18.C

【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义

进行判断即可.

【详解】因为向量。力均为单位向量

所以∣α-38∣=∣3α+6∣o(a-34=(3〃+”

22.22

OQ-6a∙b+9b=9α+6ab+b

Ol-6。人+9=9+6。/?+1

0a∙b=OaLb

所以“∣α-36∣=∣36+M”是“a_Lb”的充要条件

故选：C

【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于

基础题.

19.A

【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，A38为等边三角

形，把数量积AEBE分拆，设DE=⑺C(O≤f≤l),数量积转化为关于t

的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而

ABLBC,ADLCD,所以4B8为等边三角形，BD=√3o设

DE=tDC(O<t<∖)

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=AD-8D+DE(AD+BD)+DE2=→BD-DE+DE

=3r2--∕+-(0≤r≤l)

22

所以当公；时，上式取最小值音，选A.

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合

适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为

函数求最值。

20.ACD

【分析】由IAFl=IAM及抛物线方程求得A（子,冬），再由斜率公式即

可判断A选项；表示出直线AB的方程，联立抛物线求得

B（f,-⅛）,即可求出目判断B选项；由抛物线的定义求出

∣A8∣=^^即可判断C选项；由OA∙OB<0,M4∙MB<0求得NAO8,

“仍为钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得F%,0）,由IAFI=IAMl可得点A在FM的垂直平

P.n

分线上，则A点横坐标为5+P_3p,

24

代入抛物线可得y'2p号=则A（乎,专），则直线48的斜率为

4242

y/^p

32=2J,A正确；

~T~2

对于B,由斜率为26可得直线AB的方程为x=4"5,联立抛物

线方程得），-表所Pj，

设8（”），则手p+y=当p,则乂=-埋，代入抛物线得

263

对于C,由抛物线定义知：IABI=学+g+p=等>2p=4∣O尸C正确;

对于D,OA加丹马）看一争号勺与卜明=岑<0,则

NAoB为钝角,

又MAE=与坐).(_§,一季)=2_5+季卜当卜一手<0,则

ZAA四为钝角，

XAAOB+ΛAMB+ZOAM+AOBM=360,贝∣J/OAM+NOBM<180,D正确.

故选：ACD.

21.AC

【分析】A、B写出。［,OP2ʌ崩，崩的坐标，利用坐标公式求

模，即可判断正误；C、D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐

标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OPx=(COSa,sina),OP1=(cosA-Sinβ),所以

2222

IOP11=Vcosa+sina=1,∣OP11=y∣(cosβ)+(-sin/?)=1,故IOPxHOP11,正

确；

B:APx=(cosa-1,sina),AP2=(cosy5-l,-sin∕?),所以

22222

IAF∖∣=ʌ/(eosɑ-l)+sinɑ=>∕cosa-2cosa+l+sina=λ∕2(l-cosa)=siny=2∣sin^∣

,同理ABI=J(CoS/7-1)2+sin?£=21sin，I,故IMIJAEl不一定相等，错

误；

C:由题意得：OA-ORi=IXCoS(α+6)+0XSin(α+/7)=COS(α+尸)，

OPxOP1=COSa∙cos∕?+Sina•(—Sin尸)=8s(α+/7),正确；

D:由题意得：(9A∙O[=1XCoSa+。XSina=CoSa,

OP1∙OP3=cosβ×cos(<z+/7)+(-sinβ)×sin(α÷β)

=cos(β+(α+β))=cos(α+2β),故一般来说OA.。片WoRR故错误;

故选：AC

22.11

【分析】设α与人的夹角为。，依题意可得cos，=g,再根据数量积的

定义求出α步,最后根据数量积的运算律计算可得.

【详解】解：设〃与b的夹角为巴因为“与人的夹角的余弦值为：，

即COS。=g,

又忖=1,W=3,所以am=M，Wcosd=lx3xg=l,

^f∣2Z(2a+⅛)∙⅛=2fl∙⅛+⅛2=2α∙⅛+∣⅛∣2=2×l+32=ll.

故答案为：U.

23.-4##-0-75

4

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

3

【详解】由题意知：a-b=m+3(m+l)=0,解得加=-j.

故答案为：-∣∙.

24.[12+2√2,16]

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，所在

直线为X轴，AA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各

顶点的坐标，设P(χ,y),再根据平面向量模的坐标计算公式即可得

到Λ√+Λ4"+PAS=8(X2+Γ)+8,然后利用cos22.5≤∣0P∣≤1即可解出.

【详解】以圆心为原点，44所在直线为X轴，AA所在直线为)，轴

建立平面直角坐标系，如图所示：

A(0,1)，4(等,#)4(1,。)，44日OA-当,-当,A(-I,O)

79

Λ一¥，¥，设尸(无，y),于是PA；+PA；++PAδ=8(x2+γ2)+8,

\7

因为COS22.5≤∣OP∣≤1,所以匕曰竺_32+)'24，故P.+PA；++%；的

取值范围是U2+20,16J.

故答案为：U2+2√Σ,16].

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出

方程，即可解出.

【详解】因为劝=(1,3)T(3,4)=(1-343-44),所以由("训。可

得，

3(l-3λ)+4(3-4λ)=0,解得24.

故答案为：|.

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设

α=(%,y∣),b=(毛,％),

arb^a-h=0^>xix2+yiy2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量C的坐标，利用向量的

数量积为零求得％的值

【详解】a=(3,1),6=(l,θ),.∙.c=α+A⅛=(3+⅛,l),

±c,.∙.tz∙c=3(3+Λ)+l×l=0,解得Z=一■—9

故答案为：

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属

基础题，利用平面向量p=α,y),q=(χ2,%)垂直的充分必要条件是其

数量积砧+>M=0.

27.-

【分析】由已知可得(〃+"C)-=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得

(α+"c)=a-∖-b+C2+2(α∙b+∕7∙c+c∙α)=9+2(o∙h+b∙c+c∙0)=0,

______9

因止匕，ab+bc+ca=-—,

故答案为：-∣.

28.3√2

【分析】根据题目条件，利用”〃模的平方可以得出答案

【详解】∙.∙H=5

.∙.卜-闿=«'+fe^-2α∙⅛=9+∣⅛∣-2=25

Λ∣⅛∣=3√2.

故答案为：3亚.

29∙I

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于几的方程，解方程

即可求得实数2的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2X4-A×5=0,

解方程可得：4

故答案为：|.

30.I

【分析】设α=(LO)力=(0,2),c=(见〃)，由平面向量的知识可得

2x+y-√5z=2,再结合柯西不等式即可得解.

【详解】由题意,设α=(1,0),6=(0,2),c=(八〃)，

则(α-6)∙c=m-2"=0,即〃?=2",

又向量〃在方向上的投影分别为X,%所以d=(χ,y),

所以乙〃在C方向上的投影Z=七二用岁=?，

ICly∣m2+n2÷√5

BP2x+y三ʌ/ʒz=2,

所以Y+y2+z2=:22+l2+(±√5)2(x2+√+z2)≥-ɪ(2x+y.√5Z)2=∣,

2

X二­

X_y_z5

当且仅当5=7=苕即＜ʃɪɪ时，等号成立,

Λ∕5Z

2x+ʃi=2一也

1.5

2

所以/+V+z2的最小值为一

5,

故答案为:∣∙.

【点睛】关键点点睛：

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出χ,y,z之间的等量关系，

再结合柯西不等式变形即可求得最小值.

31.√3

【分析】整理已知可得：∣α+*J]+”,再利用为单位向量即可

求得2α∙6=-l,对。-目变形可得：Ia-0=M~-2α/+W,问题得解.

【详解】因为例为单位向量,所以FI=M=I

故答案为：√3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档

题.

32.@

2

【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条

件即可求得实数女的值.

【详解】由题意可得：=IXIXCoS45=#,

由向量垂直的充分必要条件可得：二=°，

即：k×a-a-b=k-^-=0,解得：k•

故答案为：乎.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂

直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能

力.

33.5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂

直的坐标表示，求得结果.

【详解】由4∙L∕>可得“∙8=0,

.又因为。=(1,-1),6=(〃?+1,2机-4),

所以“∙6=l∙Q*+l)+(-l)∙(2nz-4)=0,

即“2=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直

的坐标表示，属于基础题目.

34.T或O

【分析】根据题设条件可设PA=λPD(λ>O),结合「A=,"PB+('-'")PC与

BQC三点共线，可求得2,再根据勾股定理求出BC,然后根据余

弦定理即可求解.

【详解】∙∙∙AO,P三点共线，

可设PA=2PO(∕i>0),

,/PA=mPB+^-n^PC,

.∙.λPD=mPB+[^-m∖pC,即",pB+UZ]

若加工0且，"X∣,贝!]BQC三点共线，

Λ-+(M-1,即几=\

λλz

;AP=99：.Az)=3,

∙/AB=4,AC=3,Zβ4C=90o,

.∖BC=5,

^CD=X9ZCDA=θ,贝∣j8O=5-%,ZBDA=Jr-θ.

根据余弦定理可得c。Se=A七霁产2

ZAIJClJO

AD2+BD2-AB2(57)2-7

CoS(乃一6)=

2ADBD-6(5-x)

∙,∙COSJ+cos(乃-J)=0,

.X(5-√-7q汨18

∙∙JkΓ'解得X=不，

,C婷的长度为g∙

当〃?=0时∙，Λ4=∣PC,C,。重合，此时8的长度为0,

当机=|时.，PA=^PB,B,。重合，此时E4=12,不合题意，舍去.

故答案为：。或g∙

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求

解运算能力，解答本题的关键是设出"=WD(∕>0).

35—

29

IfITQ

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得4∙4≥(,再

根据向量夹角公式求c。S*函数关系式，根据函数单调性求最值.

IIU

【详解】Q2e1-¾∣≤√2,

UU

/.4—4q•,+142,

ιrU3

.∙.q之“

rruiɪIrU

22

，a(α∙⅛)(A+4el-e2)4(l+⅛∙¾)

..COSσ=ɪ-ɔr2=-------—■--tfιr=--------------⅛IT

α~.%~(2+2e1∙e2)(10+6e1∙e2)5+3el∙e2

------⅛F-tF∙)≥-(l-----------T)=—

5+3eγ35+3×-29

4

故答案为：.

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹

角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.

36.|.

【分析】根据ICF结合向量夹角公式求出国，进一步求出结果.

【详解】因为c=2α-λ∕⅛,ab=O,

所以α∙c=Ia1-yβa∙⅛=2,

∣c∣2=4∣Λ∣2-4√5d∙⅛+5∣⅛∣2=9,所以∣c∣=3,

所以cos<α,c>=而I=Tlr|.

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数

学运算、直观想象素养.使用转化思想得出答案.

37.I

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可.

【详解】由题可得2"b=(4.2)

c/l(la+b^,C=(I㈤

1

.∙.4λ-2=0,即λ.

故答案为T

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关

系，属于基础题.

38.

10

【分析［根据向量夹角公式可求出结果.

a∙b2x(—8)+2x6√2

cos<a,b>=∣=Y---/——

【详解】γtγ2222

卜卜Wλ∕2+2×λ∕(-8)+610•

【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是

破解问题的关键.

39.-1.

【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解.

【详解】建立如图所示的直角坐标系，则8（26,0）,。（竽,|）.

因为AO〃BC,ZBAD=30°,所以NCBA=I50。，

因为ΛE=BE,所以NBAE=ZABE=30。，

所以直线秋的斜率为玄，其方程为广¥（尤_26）,

直线AE的斜率为-率其方程为>=一生.

y=-(x-2∖f3),

⅛'r得X=6，y=-1

y=----X

3

所以E（省,-1）.

【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于

建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便.

40.（1）y2=8x；（2）（√6-2）x-^-4+2√6=0.

【分析】（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出

直线/的方程为y=Mχ+2）,与抛物线方程联立，并利用韦达定理表

示OM+ON,并利用(OM+ON)∕∕8H,求直线的斜率，验证后，即可

得到直线方程.

【详解】解：(1)由椭圆4+V=ι可知“2=4,拄=1,

4

所以α=2,b=l,则4(2,0),

因为抛物线的焦点为4,可设抛物线方程为/=2PX(P>0),

所以5=2,即p=4.

所以抛物线的标准方程为Y?=8x.

(2)由椭圆γ+V=ι可知A(-2,o),β2(0∙-ι),

若直线/无斜率，则其方程为X=-2,经检验，不符合要求.

所以直线/的斜率存在，设为k,直线/过点A(-2.0),

则直线/的方程为y=Mχ+2),

设点Ma,X),N(X2,%),

联立方程组RUr之

消去y,得公丁+(叱-8卜+4/=00

因为直线/与抛物线有两个交点，

fi.2≠()f⅛≠0

所以：3即k，Ng，厂「，

Δ>0(4攵--8)-4⅛-×4⅛->0

解得T<%<l,且心0.

由①可知X∣+3=8,

K

3—4^2Q

所以％+%=%(西+2)+人(*2+2)=4(±+±)+4%=---+4火=工，

KK

则OM+ON=(xl+x2,yl+y2)=[H,]J,

因为(OM+CW)∕∕44,且=(2,0)-(0,-1)=(2,1),

二匚[、]8—4攵~8

所以k"χ厂。,

解得&=-2+指或Z=-2-"，

因为T<A<1,且k≠0,

所以4=-2-#不符合题意，舍去，

所以直线/的方程为y=卜2+网Q+2),

即("_2)X_y_4+2a=0.

λ137Iπ

4i∙2b-ιaτ

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出。E,

以｛“，H为基底，表示出/尻必，由A3,DE可得37+7=4力”,再根据

向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设

E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),由Afi，Z)E可得点A的轨迹为以M(TO)为圆

心，以r=2为半径的圆，方程为(x+1)?+/=4,即可根据几何性质可

知，当且仅当C4与M相切时，NC最大，即求出.

【详解】方法一：

31

DE=CE-CD=-h--a,AB=CB-CA=b-a,AB±DE(3b-a)(b-a)=0,

Si+4。片CM3窗=与扁≥桨！争当且仅当距碎

时取等号，而。Sb-所以NACBe（吟.

故答案为：^b~^a;~Σ∙

ZZO

方法二：如图所示，建立坐标系:

E(0,0),B(l,0),C(3,0),A(x,y),DE=(ɪ),AB=(1—x,-y),

DE±AB=>(ɪ)(X-1)+ɪ=0=>(X+1)2+∕=4,所以点A的轨迹是以

M(TO)为圆心，以r=2为半径的圆，当且仅当C4与M相切时，/