2023-2024学年山西省忻州市原平子干乡联校高三数学理模拟试卷含解析

2023年山西省忻州市原平子干乡联校高二数学理模拟

试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

^-<-1

1.已知数列｛aj为等差数列，若,。，且它们的前n项和S.有最大值，则使得S“>0

的n的最大值为（）

A.11B.19C.20D.21

参考答案：

B

【考点】等差数列的性质.

【专题】计算题；压轴题.

Ri-2iii2ig<o

【分析】由力口可得&1口，由它们的前n项和Sn有最大可得aio>O,an+aio

VO,au<0从而有ai+ai9=2aio>Oai+a2o=au+aioVO,从而可求满足条件的n的值.

【解答】解：由aio可得a10

由它们的前n项和S”有最大值，可得数列的d<0

・・aio>O,aii+aio〈O,aii〈O

・・ai+ai9=2aio>O,ai+a2o=aii+aioVO

使得S„>0的n的最大值n=19

故选B

【点评】本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是由已知

氏k-i

a10及它们的前n项和Sn有最大

aio>O,au+aio<O,au<0,灵活利用和公式及等差数列的性质得到ai+ai9=2aio>O,

ai+a2o=an+aio<O是解决本题的另外关键点.

K21

<xIyi3

2.已知“>0,2满足约束条件3),若Z=2x°y的最小值为|,则。=

()

£1

A.2B.3C.1D.

2

参考答案：

A

3.设月，B为两个事件，且HM=03,则当()时一定有NB)=07

A.力与£互斥B.4与8对立C.AQBD.月不包含B

参考答案：

B

4.“自然数中a,b,c'有一个偶数”的否定

为()

A.自然数a,b,c都是奇数B.自然数a,b,c都是偶数

C.自然数a,b,c中至少有两个偶数D.自然数a,b,c都是奇数或至少有两个

偶数

参考答案：

D

略

5.函数/(动=2-3一・9曰1有()

A.极大值-1,极小值3B.极大值6,极小值3

C.极大值6,极小值-26D.极大值-1,极小值一26

参考答案：

【分析】

对原函数求导，通过导函数判断函数的极值，于是得到答案.

【详解】根据题意，"K)=3，TX-9=3<*+I)(X-3),故当xwg-l)时，

/Xx)>0;

当rw(-L3)时，/Xr)<0,当*七0»2)时，八*)>0,故/但在工=-1处取得极大值

，(T)=6；在x=3处取得极小值，⑶=一26,故选c.

【点睛】本题主要考查利用导数求函数极值，难度不大.

6.已知函数f(x)的导函数图象如图所示，若AABC为锐角三角形，则一定成立的是

()

A.f(cosA)<f(cosB)B.f(sinA)<f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)

D.f(sinA)>f(cosB)

参考答案：

D

【考点】函数的单调性与导数的关系.

【分析】根据导数函数图象可判断；f(x)在(0,1)单调递增，(1,+8)单调递减，

>兀〈耳〈冗

由AABC为锐角三角形，得A+BT,0T-B<AT,再根据正弦函数，f(x)单

调性判断.

【解答】解：根据导数函数图象可判断；f(x)在(0,1)单调递增，(1,+8)单调递

减，

〉兀<2L.兀

•「△ABC为锐角三角形，・・・A+BT,0T-B<AT,

71

.*.0<sin(2-B)<sinA<l,0<cosB<sinA<l

JT

f(sinA)>f(sin(2-B)),

即f(sinA)>f(cosB)

故选；D

7.下列五个写法中①同U°J，2},②J),③{oiZqhz。),@0e0,

⑤on0=0,错误的写法个数是()

A、1个B、2个C、3个D、4个

参考答案：

C

略

8.函数为定义在R上的偶函数，且满足/(x+1)+/(x)=l,当Xw[L2]时

/(x)=2-X则/(-2013)=()

A.-lB.1C.2D.-2

参考答案：

B

痴=±晟(x-iy(acJt)

9.已知函数2，若对区间[0,1]内的任意实数。“盯/3,都

有/'(%)'〃丐)2/(巧)成立，则实数。的取值范围是()

A.[1,2]B.[e,4]C.[l,2)U[e,4]D.[1,4]

参考答案：

D

对任意实数4T都有/(4)+/(!)则2/(力.

，(加一《/一勾，勺°』，分类讨论：①aVl时，/(X),恒成立，在[。』

单谓瀚戌〃心=〃】)嗓/(力・=〃o)=iR(九"㈤_二.

里调通喊，L

二a—l.②a“时，〃4"恒成立，〃工)在[°1]单调递增,

〃心=〃。)="«)一=〃1)=白2〃心N/(r)_.a44

二■4a44③l<a“时，在单调递增，单调递减,

/(Zm)=-ab^a-aina+0/(0)=L/(1)=?,

2V2

([)〃1)4/(0)即会2时，

v2/(r)^>/(x)<A2a-(Jna+a.・.14a4，：.】4.42.

(n)〃i)A〃o)即。>2时，.•・"(""㈤一2亭1j，

W(a)=-ab^a・WnaIa一入二F*(a)=—fa2a^0

令''22恒成立，

且(冬)=一・2<0.-2N-独i%必u.aCi一

22在aw(&cj恒成立，,2<。<。,综上可得，实

数a的取值范围是[L4],故选D.

1.9,

一+——1

10.设苞尸€尸且Ky，则x+y的最小值为()

A.12B.15C.16D.-16

参考答案：

C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设。是原点，向量°408对应的复数分别为2-3八-3+>,那么向量丽对应的复数

是；

参考答案：

5-5i

12.若函数/一】,则/1)=.

参考答案：

13.数列｛aQ中，已知ai=l,若an-an-i=2(n>2且n£N*),则an=，若

J=2（n>2且neN*）,贝ijan=

参考答案：

2n-1；2n-1

【考点】数列递推式.

【分析】由已知递推式an-an-=2,可得数列是公差为2的等差数列，由,可知

数列是公比为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案.

【解答】解：在数列⑥中，由&广1=23〉沮11€1），

可知数列是公差为2的等差数列，又由=1,

/.an=l+2（n-1）=2n-1；

.a.^-.=2（n>2fln€N*）

由2n-l,

可知数列是公比为2的等比数列，又ai=I,

.=iX2n_1=2n-1

••aIl•

故答案为：2n-1；211-1.

【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题.

14.对于函数/“）=（户二0）有以下说法：

①x=0是,/（x）的极值点.

②当a<0时，/W）在（一8,长。）上是减函数.

⑨/6）的图像与（L/。））处的切线必相交于，另一点.

④若a>0且xwO则有最小值是2a.

其中说法正确的序号是.

参考答案:

②③

15.若点P(3,-l)为圆5-2尸+丁=25的弦八8的中点，则直线AB的方程

是O

参考答案：

x-j-4=0

=_乙=[

16.已知耳,玛为双曲线C:1?20~的左、右焦点，点P在C上，若1M卜9,

则幽1=.

参考答案：

17

17.如图，球。的半径为2,圆a是一小圆，010=巾,A,£是圆a上两点.若

三(^F)

AA(hB=2,贝lj/、月两点间的球面距离为_________./

参考答案：

竺

T

略

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单

词随机抽取若干个进行检测(一周所学的单词每个被抽到的可能性相同)

(1)英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概

率；

(2)某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为对前两天所学过的单词每

个能默写对的概率为5,若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默

写对的单词的个数'的分布列和期望。

参考答案：

(1)见解析(2)见解析

【分析】

(I)根据古典概型概率公式求解，(II)先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得

分布列，最后根据数学期望公式得结果.

【详解】(I)设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为/,则

P(z)=当冲一

由题意可得qI】

(II)由题意可得自可取0,1,2,3,

c、fl?22

=0)=1-x_=——

则有If⑴5125

z~412flY319

PM=l)=Cx_x-x_+_x_=——

'，"555⑴5125,

MV2Z41356

P化=2)=|-x-+C?x-x_x-=-----

'5P555125,

小白Y348

所以4的分布列为:

40123

2195648

P

1251251251M

X.c2・19.56.48n

盟=0x——fix——42x——“x——=

故125125125125

19,设函数/(依■**+«c*+AX(«€R)已知曲线在点处的切线方

程是，=4X+3.

(I)求a”的值；并求出函数的单调区间；

(II)求函数/(其在区间［“川上的最值.

参考答案：

J/*(-l)-3+2«+A-0

解：(I)/'(x)=3x?+2ax+A,■-1+0+1--1,

a--l

・・、3—-1•..

...........3分

/(x)=x*-xl-x/*(^)=3X1-2X-1=(X-1)(3X+1)

_1_1

令八x)>0,得"<$或x>l；令八月<口，得

(-g-3，a.+y

/(*的递增区间为3,

人力的递减区间为“W'D..............7

分

(II)由(I)知列表得

-1(T-g)_1

X1

~3

/,(x)+0一0

〃x)-1递增极大递减-1

X=--/(X)=—

由表得当3时，1m

又/(-D=/(D=-l,=/(I)=-1

略

20.已知椭圆。一手+9''（■是大于1的常数）的左、右顶点分别为/、5,点『是椭圆

上位于X轴上方的动点，直线以、夕，与直线分别交于“、N两点（设直线以

的斜率为正数）.

（I）设直线以、内的斜率分别为4,求证彳-勺为定值.

（II）求线段2的长度的最小值.

（III）判断“及-2”是“存在点尸，使得AM是等边三角形”的什么条件？（直接写

出结果）

参考答案：

见解析

（I）设WR,则旨**、，即

'工

直线以的斜率4'"1,直线网的斜率耳”，

-***_।

产一审？，

故“与为定值一

（ID直线以方程为＞=4。+"），点坐标（*'*（■'+・））,

直线网