2023届高考数学一轮复习讲义第三集：函数-部分奇偶性问题（含答案）

第三集:部分奇偶性问题或对称性1.已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0．推论1：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(－x)＋g(x)＝2c．推论2：若函数f(x)是奇函数，且g(x)＝f(x)＋c，则必有g(x)max＋g(x)min＝2c．2.函数的对称性1、函数自身的对称性(1)函数的图像关于点对称的充要条件是：，即。证明：(必要性)设点是图像上任一点，∵点关于点的对称点也在图像上，∴，即，故，必要性得证。(充分性)设点是图像上任一点，则，∵，∴，即。∴点也在图像上，而点与点关于点对称，充分性得证。推论：函数的图像关于原点对称的充要条件是。(2)函数的图像关于直线对称的充要条件是：，即。推论：函数的图像关于轴对称的充要条件是。典型例题例1．若对，．有，则函数在上的最大值和最小值的和为A．4 B．8 C．6 D．12解：，．有，取，则，故，取，则，故，令，则，故为奇函数，，设，则，，故为奇函数，故为奇函数，故函数在上的最大值和最小值的和是8，故选：．例2．已知函数，，，函数的最大值、最小值分别为，，则A．0 B．2 C．3 D．4解：，令，则，可知在，上为奇函数，又在，上为偶函数，在，上为奇函数，设在，上的最大值为，则最小值为，可得，，则．故选：．例3．已知，设函数的最大值是，最小值是，则A． B． C． D．解：，由复合函数单调性的判断方法，知此函数在上为增函数又为上的奇函数，其最大值加最小值为0（1）故选：．例4．已知函数在，上的最大值和最小值分别为、，则A．8 B．6 C．4 D．2解：设，因为奇函数，所以，所以，所以．故选：．例5．已知函数是不为0的常数），当，时，函数的最大值与最小值的和为A． B．6 C．2 D．解：函数，设，则在，上是奇函数，且为单调函数，所以（2）；当，时，函数的最大值与最小值的和为（2）（2）．故选：．例6．已知，函数，设函数的最大值是，最小值是，则A． B． C． D．解：，令，则是奇函数，的值域为对称区间，设，则，，，，故选：．例7．已知，（a），则A． B．0 C．1 D．2解：根据题意，，则，相加可得，则有（a），若（a），则，故选：．例8．已知函数，若，则（2）A．4 B．3 C．2 D．8解：根据题意，函数，则，则有，若，则（2）；故选：．例9．已知函数和均为奇函数，在区间上有最大值5，那么在上的最小值为A． B． C． D．5解：令，则为奇函数．时，，时，．又时，，．，故选：．例10．设函数的最大值为，最小值为，则A．1 B．2 C．3 D．4解：函数，设，定义域为，，则为奇函数，即有的最值为，．则．故选：．例11．已知，设函数的最大值为，最小值为，那么A．2020 B．2019 C．4040 D．4039解：函数．令，．由于在，时单调递减函数；（a）函数的最大值为；最小值为（a）；那么；故选：．例12．函数在，上的最大值与最小值的和为A． B．2 C．4 D．6解：函数，，的图象关于点对称，数在，上的最大值与最小值的和为：．故选：．例13．已知函数，，，若的最大值为，最小值为，则8．解：由题意可得，令函数，定义域为，关于原点对称，且，即函数为奇函数，其最大值和最小值的和为0，所以函数的最大值和最小值的和，故答案为：8．例14．已知函数在区间，的最大值为，最小值为，若，则2．解：，令，定义域，关于原点对称，，所以为奇函数，则在，和，上的单调性相同，当，上时，恒成立，所以在，单调递增，所以在，单调递增，且（a）所以在，上单调递增，所以，上（a）（a），由题意可得，解得，故答案为：2．例15．已知函数，则6．解：函数，设，，则，，，，，．故答案为：6．例16．已知函数，若（a），则．解：根据题意，设，则，则为奇函数，