大学高等数学第二册复习资料

高等数学第二册

第七章空间解析几何与向量代数

在这一章中，首先建立空间直角坐标系，引进自由向量，

并以坐标和向量为根底，用代数的方法讨论空间的平面和直

线，在此根底上，介绍一些常用的空间曲线与曲面。通过这

一章的学习，培养空间想象能力，娴熟的向量代数的计算能

力和推理、演绎的逻辑思维能力。也为学习多元微积分做准

备。

重点：曲面方程，曲线方程

难点：较深刻地理解曲面〔平面〕、曲线〔直线〕方程，

并能把握方程所表示的图形的特征。

（一）

1.空间笛卡尔坐标系的构成：空间的一个定点。，连同三

个两两互相垂直的有序向量组，称为笛卡尔坐标系。当心心

的相互关系和右手拇指、食指、中指相同时，称为右手坐

标系。在通常的讨论中，常用右手笛卡尔坐标系。关于一般

的坐标系称为仿射坐标系，有兴趣的同学可参阅《空间解析

几何》这类专业教材。

2.空间向量可以从两个途径来认识：

①由定义：具有大小和方向的量称为向量，因此可由方向

（可由方向角来确定〕连同大小1模长〕来确定〔注意，这

样定义的向量称为自由向量，简称向量，自由向量与起点和

终点无关〕。书上往往用黑体字母表示，手写时用黑体并不方

便，常在字母上面加一个箭头表示，例：而，G等。

②可由向量的坐标来把握向量。必须分清向量坐标与点坐

标这两个概念，一般情况下，设六｛a*｝的始点的坐标分别为

（%,无2,无3）,（%，为，%）,那么方=｛%2-再,%-Zj,即向量的坐标与向

量的起点及终点的坐标间有以下关系：

X=丁=为-%,z=Z2-4。因此，假设确定了向量的坐标，

那么这个向量就确定了。

当向量的起点与坐标系的原点重合时，向量的坐标与向

量的终点的坐标在数值上相等。

3.在学习向量的代数运算时，利用几何或物理模型比拟

容易掌握。如求向量的加法和减法可以平行四边形或以力的

相加或相减为模型，求两向量的数量积可以求力在某段路程

上所作的功为模型，求两向量的向量积可以求力关于某点的

力矩为模型，并要熟练掌握每种运算的算律。

4.一个平面具有各种形式的方程，如点法式，三点式，

截距式，一般式。在学习平面的各种形式的方程时，对方程

中常数的几何意义应引起充分的注意。如：平面方程

为+Cz+D=O,那么｛A,BC｝为平面的一个法向量，建立平面的

方程时应根据条件灵活处理。点法式方程是应用较方便，常

用的方程类型，这是因为在讨论平面问题时，平面的法向量

常常起着关键性的作用。

5.确定空间一条直线的方法很多，在《高等数学》中把

它归结为由直线上的一个定点和与直线平行的一个非零向量

来确定，或将它看成两个平面的交线。空间直线的标准式方

程与参数式方程，二维空间中的直线均有对应的形式，但要

注意，只有空间直线可看成两个平面的交线。

6.在《高等数学》中，常用的曲面方程为:

x2y2z2

椭球面靛+乒+/=,当或b=c或c=a时为旋转椭

方程球面，当"〃=c时，为球面方程。

双曲面/*V+Z?_1,单叶双曲面

方程【T，双叶双曲面

锥面方222

%yz7

--------11-0八,obcw0八

程a--b---c

'22

抛物面二+二,椭圆抛物面

2z=Wpq

22

方程二-”,双曲抛物面—一

[pq,其中网＞o

柱面方网y，z)=。，母线平行于x轴的柱面方程

程/x,z)=o,母线平行于y轴的柱面方程

旋转面母线

,绕Z轴旋转所得旋转面方程"221=0

方程"(y,z)=o<¥+y,z

Vx2+z2)

d=0.绕y轴旋转所得旋转面方程f凶土=0

(二)

1.向量在轴上的投影是个常用的概念，要注意向量在轴

上的投影是一个数量而不是一个向量，也不是一个线段。

设向量盛，其中投影轴为，，点A,5在轴上的投影分别为

4,B，,假设取与轴同方向的单位向量为那么有同=晅称

x为而在轴/上的投影。因此向量Q在轴上的投影不是有向线

段德，而是一个数值，记为自力AB,易知Pr//A3=|Q|cos0,其

中。为通与轴/的夹角。

2.向量在坐标轴上的投影称为向量的坐标。

3.向量的数量积，向量积一览表：

a-baxb

—►*—(-►人-»\*

axb^a\\b\sin[〃/?Jzz0-g.

a-b=\a\\b\co{〃

中“。是同时垂直于"B

定义

的单位向量，且加

”。按右手系排列

a=\ax,%“},b=机,％也｝

]b={b,b,b}

坐标xyz

ijk

a-b=axbx+ayby+azbzaxb=axaya,

么bybz

特征万上Bo万・B=oallbo五xB

性质即。也+ayby+azbz=0%_%_az

即bxbybz

点到平面乃的点到直线/的

距离为~=|%.叫)峪|,距离为d=l/°x"oMI,

(*1)，其中"。为平面乃(*2),其中，。为直线/上

几何

的单位法向量，场是〃的单位向量,是直线

应用

上的任一点，当d=0/上的任一点。当〃=。

时，(*1)式给出动点M时,(*2)式给出动点M

所满足的平面的方程。所满足的直线的方程。

4.要熟练掌握平面，直线的各种形式的方程互化，关键

在于明确在各种形式的方程中，各个量〔常量、变量〕的几

何意义以及它们之间的关系，在此根底上，互化是容易做到

的。如建立平面的三点式方程时，假设硬记公式那么不容易

记牢的，但从三个向量共面的角度去思考就能牢牢地记住。

5.要深刻理解空间直角坐标系下平面的方程是一个关于

x,y,z的一次方程。反之，任何一个关于x,V,Z的一次方

程都表示一个平面。

6.平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系

均是通过平面的法向量间，直线的方向向量间，或平面法向

量与直线的方向向量间的位置关系来讨论，因此可归结为向

量问题来解决。如：两个平面间的夹角问题通过它们的法向

量的夹角来解决。

7.常用的曲面方程见1A〕中6,要真正掌握这些曲面的

形状、特征，可以用“平行平面截割法〃，也就是用一族平

行平面〔一般平行于坐标面〕来截割曲面，研究所截得的一

族曲线是怎样变化的，从这一族截线的变化情况即可推想出

所表示的曲面的整体形状，这是认识曲面的重要方法，它的

根本思想是把复杂的空间图形归结为比拟容易认识的平面曲

线。

8.空间曲线一般由两个曲面相交而得，这样的曲面有无

穷多个，假设曲线的形状不易把握时，可先将两个曲面方程

通过消去未知数的方法得两个过曲线的射影柱面的方程，而

射影柱面的形状是较容易把握的。

9.空间曲面和曲线除了利用图形上的点的坐标所满足的

关系建立方程外，还常用参数方程来表示。参数方程的特征

是方程中既有表示坐标的变量，也有坐标以外的其他变量〔称

参数〕，且坐标变量X,y,Z分别可以表示成参数的函数。

10.曲线〔直线〕的参数方程均含一个参数，曲面〔平面〕

的参数方程含两个参数。简单的参数方程消去参数后可化得

普通方程，但并不是所有的参数方程都能化成普通方程的。

（三）

1.三个向量相乘有混合积（五外工和双重向量积如办3其

中双重向量积的讨论可见《空间解析几何》这类专业教材,

对于混合积在高等数学中应用较多，它具有一个十分重要的

几何意义，即当",不共面时，伍,B㈤的绝对值等于a,

万为棱的平行六面体的体积。因此利用混合积可以解决求一类

体积的问题。

2.三个以上的向量相乘的问题总可转化为三个向量相乘,

因此可归结为三个向量相乘来讨论。

3.混合积的坐标表示与特征性质

设值={4，%,。」，3=机自力」，5=3-J,那么

。工c.vL,卜石㈤=0=g,b,1共面。

4.在学习曲面与空间曲线时，应注意两点：

①空间曲面方程的定义与平面曲线方程的定义相类似，

通常将曲面看成具有某种特征性质的空间点的轨迹，用方程

网%.)=0来表示，从集合的观点来看，曲面就是所有满足方

程尸("z)=0的点(Qz)的集合。

②要充分理解空间曲线一般方程的定义。这里强调用通

过空间曲线/的任意两个曲面的方程来表示，即用通过空间曲

线/的两个曲面方程联立起来表示空间曲线。假设由方程

E(x,y,z)=0

片(x,y,z)=0和工(x,y,z)=0表示的两个曲面，除去曲线/：［工(乂％z)=o

上的点是它们的公共点外，再也没有别的公共点，那么用

片(x,y,z)=O

优(x,y,z)=O表示它们交线的方程。但要注意，联立任意的两个

x2+,y2+,z2=1

—一...............—―一―{/+V+Z2=2,

从代数上看这是一个矛盾方程组，不存在解；从几何上看，

这是两个同心的球面，它们没有任何的公共点。

第八章多元函数微分法及其应用学习指导

一、知识脉络

二、重点和难点

1.重点：求极限、求偏导数、求全微分、求极值。

2.难点：极限存在、连续、偏导数存在、可微之间的关

系，复合函数求偏导数。

三、问题与分析

1.之"3)与‘沿勰超升八》)仅当前者存在时，才相等。

2.二重极限、连续、偏导数存在、可微间的关系

3.多元函数中极限、连续、

偏导数的运算法那么、一阶

微分形式的不变性、初等函

数的连续性、最值定理、介

值定理均与一元函数中相应内容和结论对应。

4.二重极限与二次极限是本质不同的两个概念。

(1)当动点My)沿任意路径趋于a，%)时，假设人”)都以同

一数值为其极限，那么这样得到的极限为二重极限；当X,V

先后相继地趋于X。，儿时的极限为二次极限。

(2)两个二次极限存在且相等，不能得出二重极限存在。

f(.=孙

例如：x‘力必+F,容易验证两个二次极限

㈣吧小加吧吧/(内)=°,但是州"2不存在。

(3)二重极限存在，不能得出二次极限存在。

例如：""6…)心叫，因为小㈤在不含有两个坐标轴

的平面点集上有定义，当P(x,y)f(o,o)时，有x+y-O。由于有界

变量与无穷小量的乘积仍是无穷小量，可得

limfix.j；)=lim(x+y)sin—sin—=0

-o树x，」,对任意给定的"。，由于

limxsin-sin—=0__limjsin-sin-lim(x+y)sin-sin-

x%V,而Q。xV不存在，所以、f。'x》不存在。

因此先对x后对，的二次极限理鹭小㈤不存在。同理㈣理小㈤

也不存在。

5.学习二次极限应注意以下三个问题：

(1)两个二次极限分别存在时不能保证它们一定相等，因

此不能任意地交换求极限的先后顺序。

例："工上!^,那么鸣曾加加-i,吧吧/(内)=1。

(2)二次极限中一个存在，另一个可以不存在。

1

一+y

例：“2)—x+y,容易验证

曾曾川,y)=l,而吧吧市，“不存在。

(3)两个二次极限都可以不存在。

雪吧小,y)与吧蓼/(%,“都不存在。

6.学习多元复合函数的求导应注意的问题:

求多元复合函数的导数，关键是搞清各个变量之间的复合

关系，常用一种“树形图〃的图形直观地给出因变量、中间

变量及自变量的关系，帮助我们记忆公式，以便进行正确运

例如:2=/(x,y),"=M(x,y),V=v(x,y)

画出“树形图〃

dzdzdudzdv

那么dxdudxdvdx

7.学习方向导数应注意的问题

(i)M是单侧极限。因为展河FF,所以夕一。实际上

是"°+。

(2)&是双侧极限。&-0时，心可正、可负，因此夕=0时,

dfdf_7rdfdf

至与瓦不一定相等，八万时，及与法也不一定相等。

（3）梯度.卜"唱出是一个向量，当/的方向与梯度方

向相同时，方向导数。/到达最大值lg“r（"）i。

8.最小二乘法在数学建模中有广泛的应用，要注意领会

其精神实质。

四、解题示范

lim三叵丑

例L求，盯

4Xy

=limi-^r^L.=]im=

解：原式，孙Q+而百）,2+而94

limf（x,y）

一般地，用定义证明；益二重极限不存在有二种途径：

（1）找到两条特殊的途径，得出（X。）沿这两条途径趋于

（%，＞0）时,f（x,y）的极限值不等.

（2）找到一条特殊的途径证明（内）沿此途径趋于（X。。。）时，

心》）的极限不存在。

22

例2：求二“）+（”7）

解：当动点Mx，y）沿kX趋于（。，。）时，那么

当动点p（x»）沿y=2x趋于（o,o）时，那么

故原极限不存在。

例3：求z=in(i+/+y2)当户1,y=2时的全微分。

8z2xdz2y

解：因&l+/+y2,dyl+/+y2

dz_13z_2

dxx=i3dyx=i3

y=2,y=2

,,Jz|x=i=-dx+-dy

故233

例4:求〃=/(x，孙，町z)的一阶偏导数，其中/具有一阶连续偏

导数。

解：将三个中间变量按顺序编为1,2,3号，画出“树形

图〃

31A

x(l)》x

例5：求函数〃二孙z在点/A当&「⑷的方向

u=f

的方向导数。

»Z

解：/=(9-5,4-1,14-2)=(4,3,12)

cos。,cos"acos「超

13,13,13

dududu万bu

-——cosa+——cospH---cosy

因为树dxdydz

du，2+，10+25=电

所以正(5,1,2)13131313

22

_U-V

例6.设y="y,取〃，"作为新自变量，试变换方

d2zd2z

-rr~r--T---T+〃2Z2=0

程氏dy-

dzdzdxdzdydzdzdzdzdxdzdydzdz

角星•dudxdudydudxdydvdxdvdydvdxdy

日口仁+2+。2+a1(u2+v2)z=0

BPdu2dv2

7,设z=z(x,y)由z+Mz-J：d"=0确定，求&②。

解：由z+Mz-卜-‘4=0两边对x求导：

dzze*

从而加=二？(1)

原式两边对丁求导

dzze~y

从而分z+1(2)

(1)式两边对丁求导

将⑵代入得：

第九章重积分学习指导

一、知识脉络

二、、重点和难点

1.重点：求二重积分、求三重积分

2.难点：将二重积分化为二次积分，将三重积分化为三

次积分

三、问题与分析

1.重积分中有4个关键步骤：①任意分割积分区域；②

在分割后的小区域中任意取点；③求和；④求极限；

2.计算重积分的关键是化为累次积分，根据具体题目，

要能正确选择坐标系以及要正确考虑积分的先后次序；

3.二重积分的几何意义：①当/•（-”0时，表示以

曲面z=4"）为顶，以。为底的曲顶柱体体积；②当/'（x,y）三1时,

[[da=D,,.

D的面积；

4.二重积分的物理意义：当心，y）表示平面薄片。的面密度

时，射（内山表示。的质量；

5.三重积分的物理意义：当，（羽印）表示空间立体Q的体

密度时，可&表示Q的质量。

四、计算二重积分时，应注意的问题

1.选系：当积分区域是圆域或圆域的一局部，被积分函

yX

数含有必+v或两个积分变量之比"7时，一般可选用极坐标

系来计算；

2.选序：中选用直角坐标系时，要考虑积分次序，先对

哪个变量积分较好；

3.积分区域的对称性与被积函数的奇偶性的正确配合，

例如当积分区域关于X轴对称时，应配合被积函数关于，的奇

偶性；

4.特例：当被积分函数的变量可别离，并且积分区域为

两邻边分别与两坐标轴平行的矩形时，那么二重积分可化为

两个定积分的乘积。

五、解题示范

例L改变二次积分「时;"u超的积分次序。

0<%<4

0<y<2L

解:积分区域。:[Wy改写为0：

,,y)dx=J：dxj：f(x,y)dy

故，2

例2：计算L"干'\其中。是由直线kx及抛物线x=F所

围成的区域。

0<y<l

解：积分区域。为：卜㈠"，于是

0<x<1

注意：如果先对>后对x积分，此时。为「〈”五，于是

/心产”。

siny

由于〒的原函数不能用初等函数表示，积分难以进行，

故本积分不能按此次序。

例3：计算/=其中。为/+

0<r<1

解：用极坐标，此时。为：乃

工^曰/=errdrdO=

于ZE。°I切

注：如用直角坐标，那么由于1"'”不能用初等函数表示,

积分就难以进一步计算。

rrrdxdydz

例4：计算!(i+x+y+z)3,其中Q为平面x=o,y=0,z=0,

%+y+z=i所围成的四面体。

0<x<l

<0<^<1-x

解：积分区域。为\于是

f17f1-X7f1~x~ydz

原式7。q。M。(l+x+y+z)3

例5：求M",其中。是由曲面z=G^及z=/+y2所围

成的区域。

Q<e<2K

<0<r<1

解：积分区域Q为1七z〈H\于是

p2%p1pV2—r2

原式=J。叫。叫bzdz

例6：求其中。由不等式必+黄+卜-。)%〃，/+所

确定。

0<0<2TT

<0<^<—71

解：直角坐标变换为球面坐标，于是。为展『Seos。

=fffrcos69-r2smcpdrdcpdO

故原式Jn

二/

6o

第十章曲线积分与曲面积分学习指导

一、内容提要

（一）对弧长的曲线积分

1.定义：力（羽团=哨/的M，,其中金（』,2,…㈤表示第，.个

小弧段的弧长八嗯RJ。

2.性质：具有与定积分类似的性质。如线性性质，对积

分路径的可加性等。

3.计算：

（1）假设曲线〃的界数方程为尤=削,y=M）（aVK/）且双）,

刈在卜，身上连续,，（无，力在L上连续,那么

JJ（X，y）ds=J：f[x（t\y（t^J\x'（t）2+y\t）2}lt

（2）假设曲线L的方程为一y（x）（a「"）且如在[a，U连续,

上连续,那么

（3）假设曲线比的极坐标方程为。“⑻（a«”£）,且「‘⑹在

［a,同上连续,D在L上连续,那么

ff（x,y）ds=『/［pcos6>,psin外J炉+"（8））四

（4）假设空间曲线L的方程为四），9），z3在［a,£］上连续

f（x,y,z）在L上连续，那么

/（x,y,2）办=J：/MO,M），zG）］V13（++［z3『出

（二）对坐标的曲线积分

1定义.L0&y^dx+Q（"'=图"M3a）M+Q©，〃）“』苴物理音

义是变务户=Mx，或+Q（x方沿有向弧段L所作的功，即

2.性质：除了与弧长的曲线积分相同的性质外，应注意

方向性

3.计算：

（1）假设曲线乙的参数方程为-MD,y=M）,且曲线L的起

点和终点所对应的/的值为a和夕，又皿）,y3在［a，例或股a］上

连续，P（X»）,。（7）在L上连续，那么

（2）假设曲线L的直角坐标方程为尸心），且曲线L的起点

和终点所对应的X的值为a和。，又加）在卜㈤或上司上连续，那

么

（3）假设空间曲线L的参数方程为x=x”），广则，z=z%且

曲线L的起点和终点所对应的珀勺值为a和万，又皿），了⑺，*/）

在心，例或欣a］上连续，那么

（三）格林公式，曲线积分与路径无关的条件

1.格林公式

设Ma）和如,y）及一阶导数在闭区域。上连续，那么有

其中分段光滑曲线L是区域。的正向边界。

2.四个等价命题

假设MD）,。（“）在单连通区域。内有一阶连续偏导数，那

么在。内以下四个命题相互等价：

（1）曲线积分与路径无关，其中乙是。中分

段光滑曲线；

（2）沿。中任一分段光滑闭曲线L有了（2）公+。（2上=。。

dPdQ

（3）对。内的任一点GM有曲=诙。

（4）在。内存在一函数u（x，y）使du=P（x，y）dx+Q（x，y）dy,那么有

3.两种曲线积分之间的关系

J；P（x,y）dx+Q（x,y）dy=J/Pcosa+Qcos分）为其中，cos尸是L上任一点L

方向上的切向量的方向余弦。

（四）对面积的曲面积分

1.定乂：？3G,其中州（=i，2「・，"）是曲面

块2上的第，个块的面积人愕圆｝。

物理意义是密度，（…a的曲面块s的质量当

，（x,y,z）=l时为面积。

2.计算

假设曲面E可用单值函数z=z（x,y）表示设％为在卬平面上

的投影区域，那么

假设曲面E的方程为单值函数x=M'z）假设>=心/）,设以和乙

为E在W平面和皿平面上的投影，那么曲面积分可类似地化

成重积分:

/（X，y，z）ds=jjf{x,y（x,z）,z]Jl+y：+yfdxdz

或DDxz

（五）对坐标的曲面积分

j、r、jjP（x,y.z）dydz+Q（x,y,z）dxdz+7?（x,y.z）dxdy

1•:2

其中（加入表示E的第,•子块用在卬平面上的投影，（纯）"，国人含

义类似八嚅｛州的直径｝。

物理意义：设流体密度为1,流速为

v（x,y,z）=P（x,y,z）;+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k,那么单位时间内流进有向曲

面'指定一侧的流量为

2.计算

假设曲面2的方程为z=z（x,y）,那么

jjP（x,z）dydz-±jj7?[x,z（x,y^lxdy

（当2为曲面的上、下侧时分别取

正、负号）

类似地，假设曲面£的方程为-My*）那么

!"/叩氏"土用（当工为曲面的前、后侧时分别取正、

负号）

假设曲面'的方程为y=Mx,z）那么

好（…M土产….（当z为曲面的右、左侧时分别取正、

负号）

3.两类曲面积分的关系

其中cosa,cos分，cos/是有向曲面2上点（x,y,z）处的法向量的方向

余弦。

（六）高斯公式

设空间闭区域。由分片光滑的闭曲面2所围成，函数

P（x,y,z）、Q（x,y,z）、M%3）在Q上是有一阶连续偏导数，那么

其中2中Q的整个边界的外侧。

（七）斯托克斯公式

设「为分段光滑的有向空间闭曲线，E为以「为边界的分

片光滑的有向曲面，「的正向与E的侧符合右手法那么，函数

P（x,y）、Q（x,y,z）、凤苍％z）在包含曲面£在内的一个空间区域内是

有一阶连续偏导数，那么有

（八）通量与散度、环量与流量

设向量场式（X,y,z）=P（x，y，z）7+Q（x,y,z）j+R（x,y,z）k通量（或流量）

①=]1而ds…//…、，，、、，，『

I,其中t心仙。伸尸伸/｝为£上t点t（”2）处的单位法向重。

.一dPdQdR

titi、.d7ivcc--------1---------1-------

散度：&②Oz

对坐标的曲面积分与E的形状无关的充要条件是散度为

零。

1]k

rota=A±£

dxdydz

旋度：PQR

环流量：向量场1沿有向闭线「的环流量为f「w+3y+叔z

二、根本要求

（一）理解曲线、曲面积分的定义，掌握曲线、曲面积分

的计算方法；

（二）掌握第二类曲线、曲面积分与路径、形状无关的条

件及其判断方法；

（三）了解通量与环流量与旋度的概念，并掌握它们的计

算方法；

（四）掌握各类曲线、曲面积分之间的关系；

（五）掌握曲线、曲面的积分的有关应用（求面积、求曲

线段和曲面块的重心坐标等）;

（六）掌握高斯公式和斯托克斯公式及其应用。

三、注意的几点

（一）第一类曲线积分的计算应掌握弧长微分的根本公式

=所有形式的计算公式均可由此推出，第一类曲面

积分也有类的公式。

（二）第二类曲线积分与积分曲线的方向有关

第二类曲面积分与曲面空间有关

（三）第一类曲面积分的计算时，应注意“一投、二代、

三换〃以及利用积分区域的对线性和被积函数的第二类曲面

积分的计算应注意“一投、二代、三定号〃。

（四）利用第二类曲线积分求平面图形面积是格林公式

的一个简单应用可利下面各式计算

面积：A=xdy-ydx-jxdy-ydx

（五）利用格林公式时，要注意条件：

1.曲线是闭曲线，录不封闭那么应添加曲线使其封闭；

2.函数P（X，＞）和。（3）在封闭曲线围成的区域。内应具有一

阶连续偏导数；

3.曲线积分的方向是正向，即逆时针方向。

利用高斯公式时也应注意类似问题。

（六）有关重心公式

线度夕的空间曲线「的重心公式

面度为夕的空间曲面E的重心坐标

第十一章无穷级数学习指导

重点：数项级数、函数项级数的根本概念和根本性质，数

项级数收敛性、函数项级数收敛域的讨论，函数的暴级数

展开及其应用

难点：数项级数收敛性的判断，函数项级数收敛域的讨论、

一致收敛性的判断，将函数展开为塞级数，求函数项级数

的和函数，将周期函数展开为傅里叶级数

（一）

00

A1无穷级数是形如［""*+的+…+…的无穷和式，简

称级数。其中乙称为级数的一般项或通项。假设（"=1,2，…

00

V'U

都是数，那么称级数为数项级数；假设

孙口〃（%）"=1,2,…），都是定义在某个区间/上的函数，那

00

Vu（x）

么称级数占n为函数项级数。

_0000

A2级数1"〃（1”"⑴）的前刀项的和：

称为数项级数（函数项级数）的局部和。对于数项级数

00

M>U,假设

吧s”二s（有限值），那么称级数收敛,并称S为级数的

0000

___00

和,记为s二，并称级数为级数占“〃第〃项后的余

00

项。假设吧S”不存在，那么称级数5""发散。对于函数项

00

7u（X）

级数，假设%。〃T使函数项级数对应的数项级数占"n收

敛（发散），那么称%。为函数项级数的收敛点（发散点）；一

切收敛（发散）点的集合，叫做函数项级数的收敛（发散）

oo

域。在收敛域上，记s⑴=哩"%）,称为函数项级数［"〃⑴

oooo

的和函数，并称此（x）=I""°）为函数项级数1”"⑺的余项。

A3数项级数敛散性的判断是本章的重点，容易证明数项

00

级数收敛的必要条件是级数的通项（满足吧二°,

因此假设通项不趋于零，那么级数必发散。除了定义，以

下根本性质也有助于我们判别数项级数的敛散性。

00000000

（1）假z'设S'."”收"人敛，,那么,之ku"亦、.收"人敛，,且l>，ku,二七u;

000000

（2）假设占""与"〃均收敛，那么自亦收敛，且

000000

E（w«±VJ_SM«Sv«

n=\——n=l+n=l;

（3）在级数前面添加或去掉有限项后所得的级数与原级

数的敛散性相同；

（4）收敛级数的各项按规那么加括号后所得的级数仍然

收敛。按某规那么加括号后所得的级数发散，那么原

级数发散；

（5）柯西收敛原那么。

A4以下几个重要的数项级数，其敛散性已经明确：

00

⑴等比级数牛尸，当@<1时收敛，当止1时发散;

00]

调和级数自力

⑵发散;

00]

⑶P-级数自R"°),当。〈院1时发散；…时收敛;

00]

(4)倒阶乘级数自获收敛.

A5函数项级数收敛域的讨论也是本章的重点之一。本章我

们着重研究两种函数项级数：塞级数和傅里叶级数。募级数

00

是形如自明”一3的级数。幕级数的收敛域，除端点外是关于

X。对称的区间5-R，x°+R),两端点处是否收敛需单独检验，其

中尺称为收敛半径。黑级数我们着重讨论与=。的情况，即级数

0000

W因为塞级数一般形式>grj可以通过变量替换

X=xf化为力,。此级数收敛区间的求法为：先求,

R=—

那么收敛半径夕；再检验两端点处是否收敛，从而收敛域

二(与一氏/+7?兀收敛的端点。

A6掌握函数项级数一致收敛的定义及其判别方法，最常用的

00

方法是维尔斯特拉斯判别法：设函数项级数⑴定义在数

00

>v

集D上，是收敛的正项级数，假设对一切相。有

oooooo

那么""一致收敛。其它还有阿贝尔判别法

和狄利克雷判别法。一致收敛的函数项级数，逐项微分或逐

项积分运算后的函数项级数，其和函数等于原函数项级数和

函数的微分或积分。此性质在求函数项级数的和函数及函数

的嘉级数展开中有着重要应用。

（二）

Bl正项级数就是通项的级数。它是数项级数中比拟

简单的一类级数，其收敛的充要条件是局部和S"有上界。

8

判断正项级数自心的敛散性，除了上述收敛的充要条件，

还有如下常用方法：

(1)比拟法：

0000

假设七而》"收敛，那么4"收敛；假设打

0000

而自孙发散，那么自""发散。

比拟法的极限形式如下：

lim旦U=/V00V00

假设…匕，(0</<+8),那么白M"与白v"同时收敛或同时发

散。

8

在比拟法中，正项级数1明的敛散性常借助于一些的

00]

正项级数的敛散性来判断。如二力发散，由此推得假设

0000]

吧(。<"+8),那么?"发散。又如P-级数[露，当…时

收敛，由此推得假设吧<+8),且”1,那么自"

收敛。

(2)比值法

<1，收敛;

limA”。卜1yM发散;

假设，当—时，那么白〃待定•

(3)根值法

<1,收敛;

_p<>1§发散;

假设嗯必=8当.，时，那么马””待定.

B2关于事级数的代数运算,设"了与=""的收敛半径分

别为R和乃，那么在N<min{R,"内有

000000

£a/"£2x"_Z(4,±2卜"

n=0±n=0-n=0•

000000

£a”x"、2b"x"、工"

(n=0J(n=0J—n=0,

其中Cn=a0bli+哂_1+…+anb0。

在比N<可能小得多的区间内有

00

-=0

0000

n-0-〃=0

其中an=bocn+b]*+…+么分。

B3嘉级数在其收敛域内还可以进行逐项微分和逐项积

00

分运算，例如在收敛域（-&&内，对收）=牙”进行逐项微分

00

Vx"T

可得新的嘉级数马na"二s⑴；逐项积分可得新的嘉级数

COc

y^^x"+1=['S(x)dx

注1、在收敛域（一氏&内对嘉级数逐项微分或逐项积分后所

得新的嘉级数，其收敛半径与原级数相同，但在收敛域两

端点处的敛散性有可能改变。

注2、逐项微分和逐项积分法是求募级数的和函数的重要

方法。根本思路是对于给定的暴级数，进行逐项微分或逐

项积分，将其化为其和函数的事级数。以下寨级数的和函

数在计算中经常用到：

oo1oo1ooooH+1

2九"=不2（一心"=不32（一1）"=51+乃

n=0工人；〃=01~rA•n=QLA•n=Q〃十J.•

产一_oo_2n-l_oo2n

V:—=exV(-1)"-1--------=sinxV(-l)n----=cosx

士加；£(2n-l)!,£2nl

例:求以下寨级数在收敛域内的和函数：

00004H+1

(-i<x<i]；(2〕S4”+1(-1<X<1]