新疆昌吉州行知学校2023届高三年级上册期末考试数学（理）试题（解析版）

昌吉州行知学校2022-2023学年第一学期期末考试

高三年级数学试卷(理科)

(考试时间120分钟满分150分)

一、单选题(每题5分，共12题，总计60分)

1,已知集合A斗<2},集合6={x|xW0},则AB=()

A.(-1,0)B.(0,2)C.(-1,2)D.(-1,0]

【答案】D

【解析】

【分析】解不等式化简集合4再利用交集的定义计算作答.

【详解】A=|%2-x<21=1%|-1<x<2},B={j;|%<0},

所以A5=(—1,0]

故选：D

2.设复数z满足(l+i)z=I,则|z卜

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的运算法则，求出z,求z模即可.

【详解】因为(l+i)z=i—1,所以z=±=j=所以|z|=l,选A.

【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数模的概念，属于容易题.

3.已知cos(巴+a)=一'近,贝!|sin2cir=

48

,59

A.—B.------

816

95

C.—D.一

168

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角公式可得cos1]+2e),再利用诱导公式求得结果.

【详解】因为cos(2+a]=—述,

(4)8

(JI\9

所以sin2a=-cos15+2。J=一话.

故选B.

【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查.

4.设向量a=(2,x—1),〃=(尤+1,4),则“x=3”是”的

A,充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

2x—1

【详解】试题分析：由题意得，a//b-则——=—，解得*=±3,所以“％=3”是“a〃b”的充分不

x+14

必要条件，故选A.

考点：向量的运算.

5.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节

的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为

A.2升B.9升C,至■升D.马升

5112240

【答案】C

【解析】

【详解】设竹子自上而下各节的容积分别为％，4，，。9,且为等差数列,

根据题意得%+4+%+%=3,。7+g+49=4,

4卬+6d=31313

即C“，解得。1==，即最上面一节的容积为二升，故选C.

3q+21d=42222

2

6.函数/(x)=(——l)・cosx的图象的大致形状是()

1+e

【答案】B

【解析】

JT

【分析】判断函数为奇函数，排除AC,再计算％w(0,5)时/(x)V。，排除D,得到答案.

1_xx-1

【详解】7(%)=-----ecosx,/(-%)=e-----cos%=-/(%),，/(尤)为奇函数，排除AC.

l+e%ex+l

jr2

当xe(0,—),------1<0,cosx>0,故/(x)<。，排除D

2l+ev

故选：B.

7.已知a=logo.92019,b=2O1909，c=0.92019,则

A.a<c<bB.a<b<cC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出”,仇c的取值范围，从而可得结果.

【详解】由对数函数的性质可得a=log092019<log091=0,

由指数函数的性质可得

b=2O1909>2019°=1，0<c=O.92019<0.9°=1，

所以a<c<b,故选A.

【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问

题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间(-8,0),(0,1),(1,+8))；二是

利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

8.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录

用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是

（）

A.丙被录用了B.乙被录用了C.甲被录用了D.无法确定谁被录用了

【答案】C

【解析】

【分析】利用反证法,即可得出结论

【详解】假设甲说的是真话，即丙被录用，则乙说的是假话，丙说的是假话，不成立；

假设甲说的是假话，即丙没有被录用，则丙说的是真话，若乙说的是真话，即甲被录用，成立.故甲被录

用.

若乙被录用，则甲和乙的说法都错误，不成立.

故选:C.

9.一个直棱柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图，则几何体的体积为（）

«-2—►

正（主）视图

俯视图

A.9cm3B.10cm3

C.11cm3D.12cm3

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由三视图还原几何体是直四棱柱被平面截去一个三棱锥的几何体，再结合三视图所给

的数据，即可求出几何体的体积.

【详解】由题意中的三视图可还原的几何体为底面边长为2的正方形，高为3的正四棱柱被平面截去一个

三棱锥所得，（如图），其中/点为4用的中点,

所以几何体的体积为V=2义2义3—2x1x3=n(cn?)

故选：C

10.已知正三棱柱ABC-A与G所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为()

A.48兀B.60JIC.6471D.84兀

【答案】D

【解析】

【分析】如图，根据直棱柱外接球的性质可知OG//AA,,OG=^AAi,利用=Q(^+C(J2求外

接球的半径即得解.

【详解】如图，。为棱的中点，G为正△ABC的中心，。为外接球的球心

根据直棱柱外接球的性质可知OG〃A4],OG=^AAi=3,外接球半径R=OC,

•.•正△A5c的边长为6,贝ICG=2G

R2=OC-=OG2+CG2=32+(2舟=21

外接球的表面积S=4兀尺2=84兀.

故选：D.

B

11.已知函数/(x)=sin(2x+9)[-]<e<|J的图象关于直线x=；对称，则()

A/(0)=1

B.函数“X)在展,三上单调递增

c.函数/(%)的图象关于点成中心对称

D.若|/(七)一/(%)|=2,则上一光21的最小值为兀

【答案】B

【解析】

【分析】首先利用函数的值求出/(x)=sin(2x+。)，对于A：/(0)=-1,故A错误；对于B：

2X--G[0,-],故函数在该区间上单调递增，故B正确；对于C：洛=叵,故C错误；对于D：

62122

T兀

zl的最小值为5=5,故D错误.

【详解】对于函数/(X)=sin(2x+°)的图象关于X=g对称，

故/(三)=5皿(^+9)=土1,

,7171LLt、I兀2兀771r-Lt、I2兀71,,兀r-Lt、I/\./C71\

由于一大</<7，所以:<:一+0<^，所以二1+夕=不，故0=一二，所以/(%)=sm(2x-亳)；

226363260

万1

对于A：由于/(x)=sin(2x-*),所以y(0)=—故A错误；

对于B：由于xe[乌，当，故2x-26[0,二],故函数在该区间上单调递增，故B正确；

12362

对于c：当》=袈时，落=此,故c错误；

12122

T71

对于D：若|/(…)—/(%)|=2,则|占一无的最小值为w=]，故D错误.

故选：B

12.已知函数/(%)=2/一4》+2(6'—二)，若/(5a—2)+/(3/)<0,则实数a的取值范围是

()

A.B.[-1,--]C.勺,1]D.[_2,—]

【答案】D

【解析】

【分析】利用奇函数的定义可证明/⑴是奇函数，可得3储)，利用导数可得了(刈在R上

单调递增，即可得5a-2<-34,解不等式即可.

【详解】因为/(—x)=2(-x)3+4x+2(e-x-ex)=-f(x),

所以/(x)是奇函数，

由f(5a-2)+/(3a2)<0得：f(5a-2)<-f(3a2)=/(-3a2),

又因为''(%)=6x2-4+2(/+e-工)26九2—4+2x2&匕*=6%2>0-

所以/(X)在R上单调递增，

所以5a—2<—3a"即3a2+5a-2W0,解得：一2<aW§,

故选：D

【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题.

二、填空题(每题5分，共4题，总计20分)

'3x-2y>l

13.已知实数x,丁满足约束条件,则z=2x—3y最小值为.

x+y>2

【答案】-6

【解析】

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线在y轴上的截距最值即可.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示，

2z

2=2苫-3》表示直线丫=§兀-§,要求z=2x-3y的最小值，只需求出直线在可行域内使得y轴上的截距

3x—2y=1{x=3,.

取最大值即可，由图易知z=2x—3y在点A处取得最小值，由《，°,解得《，，故4(3,4),

4x-y=8[y=4、'

所以Zmin=2X3-3X4=-6.

故答案为6

【点睛】本题主要考查了简单的线性规划问题，考查了直线的截距问题，属于基础题.

14.已知数列｛诙｝是首项为1,公比为q(q>0)的等比数列，并且2m,-a.,z成等差数列.则公比q的

2

值为__________

【答案】2

【解析】

【分析】由等差中项性质及等比数列通项公式可得d=2+q,即可求公比.

【详解】由题设生=2q+%,则q2=2+<7，即“2-<7-2=(q-2)(4+l)=0,

又q>0,故4=2.

故答案为：2

15.己知正实数0,。满足a+b=4,则'的最小值为.

a+1Z?+3

【答案】I

【解析】

【分析】

由己知得=!('+」一)[(a+1)+(6+3)]=-(色4+史口+2),由此利用均值不

a+1b+38a+1b+38b+3a+1

等式能求出结果.

【详解】解：:正实数。，人满足a+A=4,

/?+3>3,〃+1+/?+3=8,

111a+1/?+3

----1--------1----)[(〃+1)+33)]二一----1----+2)

a+1/?+38a+1/?+38Z?+3a+1

1,/Q+1Z?+3、

>-(2J----x-----+2)

8vZ?+3a+12

当且仅当怨;然时，取等号，

11

----1---的-最小值为

6Z+1/?+3

故答案为：

【点睛】本题考查两式和的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用.

16.在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，上4,底面ABC。，A3,截面与直线尸C

平行，与E4交于点E，则下列判断正确的是

①E为的中点

JT

②PS与CD所成的角为一

3

③8。，平面PAC

④三棱锥C-BDE与四棱锥P-ABCD的体积之比等于1:4

【答案】①③④

【解析】

【分析】根据线面平行的性质定理，结合异面直线所成角的定义、线面垂直的判定定理、棱锥的体积公式逐

一判断即可.

【详解】连接AC,设ACBD=O,连接因为截面5DE与直线PC平行，

因为平面R4c,平面8£＞石=石。，尸Cu平面ACP,

所以尸C//OE,因为。是AC的中点，所以E为必的中点，故①正确；

因为A3CD是正方形，所以AB//CD,因此/P3A是PB与CD所成的角，

因为上4_L底面ABCD,ABu平面ABCD,所以因为B4=AB，

7T

所以NPA4=—,因此②不正确；

因为24,底面ABCD,BDu平面ABCD，所以？AL5D，

因为A3CD是正方形，所以5DLC4,因为ACPA=A,AC,PAu平面R4C,

所以平面PAC,因此③正确；

--PA-BA21

里以%-BCD二3——2——=_L,所以④正确，

VP-ABCD-.PAB^-PA-BA24

故答案为：①③④

p.

三、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题，总计70分）

17.已知函数/(x)=26COS•cosx-2sin2x.

（1）求人%）的最小正周期；

7T

（2）若xe[0,—],求函数Ax）值域.

2

【答案】（1）兀

(2)[-2,1]

【解析】

【分析】（1）根据诱导公式，结合降幕公式、辅助角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可;

（2）根据正弦型函数的单调性进行求解即可.

【小问1详解】

/(x)=2Gcosg-x)

•cosx-2sin2x=2A/3sinx-cosx-2x--

2

=sin2x+cos2x-l=2sin^2x+-^-j-l,

所以的最小正周期为-=71；

2

【小问2详解】

因为X£[0,—],所以2%+工£匕，二],所以—工<sin(2x+—)<1.

266626

717E

所以一1<2sin(2%十—)<2-2<2sin(2x+-)-1<1

66

.所以函数/⑺的值域是[-2,1].

18.在一ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c—屈=2bcosA

a)求A

(2)若b=3,sinC-y/3sinA，求a,c.

TT

【答案】（1）B=；

6

（2）a=3,c=35

【解析】

【分析】（1）根据正弦定理边化角即可求解；

（2）根据余弦定理和正弦定理角化边即可求解.

【小问1详解】

由2c-也a=28cosA边化角可得2sinC-百sinA=2sinBcosA，

因为sinC=sin［兀一（A+B）］=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

所以2sinAcos3+2cosAsinB-gsinA=2sin3cosA，

化简得2sinAcosB=V?sinA,

因为AG（0,兀），所以5布4/0,所以853=乎，

又因为3€（0,兀），所以8=9

【小问2详解】

由sinC=sinA可得c=6a>

又由余弦定理b2=a2+c2-2«ccos3得。2+—yfjac=9，

所以a?+3Y—3a?=9解得。=3，所以c=36.

19.设｛%,｝是等比数列，公比大于0,其前〃项和为5”（"eN*）,仍“｝是等差数列.已知4=1,%=%+2,

4=4+4，。5=4+2用.

（1）求｛4｝和｛2｝的通项公式;

（2）设—,求数列｛%｝的前〃项和北.

【答案】（1）4=2—b“=n；

【解析】

【分析】（1）利用已知条件得到方程组求出数列｛4｝和仍“｝的通项的基本量，即得解；

T1

（2）先求出0,=玄，再利用错位相减法求解.

【小问1详解】

设等比数列｛4｝的公比为g,由q=1,%=g+2,可得d—q—2=0.

因为q>0,可得4=2,故%=2"!

设等差数列｛%｝的公差为d,由。4=&+々，可得4+3d=4.

由〃5=。4+2%,可得的+13d=16,

从而4=l,d=L故仇=n.

所以，数列｛4｝的通项公式为%=2'i,数列｛么｝的通项公式为仇=几

【小问2详解】

,nn

由（1）知%=2,所以五-二牙

.12n-1n

T-—rH+H---H----，

"21222“T2"

一vi12,n—1n

两边同乘万，侍=域+^y+L+万1+产，

两式相减得+3—券=1一今兽，

乙乙乙乙乙乙

.1T_22"n1n-+2

,,2"~~~1尸——»一尸——2"1

1---

2

EC几+2/、〒八

♦乜=2—亍（〃eN）.

20.如图，在四棱锥P—ABCD中，ACLBRACcBDnaPOLABqPOD是以。。为斜边的等腰直

角三角形，且205=20。=00=2.

P

A

（1）证明:平面B4C_L平面尸BD;

（2）若四棱锥P-A6CD的体积为4,求线段AO的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）3

【解析】

【分析】（1）根据已知条件可以证明尸01平面A3CD,可得POLAC,再根据线面垂直的判定定理证明出

AC，平面尸,依据面面垂直的判定定理即可证明.

113

（2）因为AC13D,所以5488=34。-5。=3（40+1）（1+2）=5（1+40）,再根据四棱锥。—488的

体积为4即可求出结果.

小问1详解】

PQD是以PD为斜边的等腰直角三角形.

POLDO.

又POLAB.ABcOOuB,OOu平面ABC。,ABu平面ABC。，

•••尸01平面ABC。，

ACu平面ABCD,

PO±AC,

又ACLBD,BDcPO=O,瓦）匚平面尸班＞,。0匚平面「的》

AC_L平面PSD.

又ACu平面P4C,

平面PAC_L平面PBD.

【小问2详解】

ii3

因为5.0=54。.8。=5（40+1）（1+2）=5（1+40）,

由（1）知P01平面ABCD且尸O=8=2,

113

…^P-ABCD=15.8,。。=§*2*5。+4。）=1+4。=4,

解得40=3.

21.如图，在四棱锥A—3CDE中，ACJL平面BCDE,ADA.DE,BCE为等边三角形，

ZECD=60.

A

（1）求证：曾石工平面ACD,且BE〃平面ACO.

（2）已知AC=3,BC=2,求平面ADE与平面ABE所成锐二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵回

20

【解析】

【分析】（1）由线面垂直性质可得ACLOE,结合AD_L£>E可证得DE工平面ACD；根据BE〃CD,

由线面平行的判定可证得结论；

（2）以。为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.

【小问1详解】

AC,平面BCDE,£）石匚平面3。£）七，.・.4。，£）石，

又AD_LDE,ACAD=A,4。，^。匚平面^^^二小,平面人⑺；

CNBCE为等边三角形，：./BEC=60，又NECD=60，..BE//CD,

CDu平面ACD,BEa平面AC。，.•.BE〃平面AC。.

【小问2详解】

DEL平面AC。，。0匚平面4。0,..£>£，8；

以。为坐标原点，为乂丁轴正方向，作z轴//AC,可建立如图所示空间直角坐标系，

.•.DA=(1,0,3),DE=(0,A/3,0),AB=(l,A-3),BE=(-2,0,0),

设平面ADE的法向量”=(4,

DAn=M+3Z[=0

则〈L