2023年安徽省合肥市新站区中考二模数学试卷（含答案与解析）

2023年安徽省合肥市新站区中考二模试卷

数学试题

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

I.下列各式运算结果是负数的是（）

A.（-1）^2023B.∣-2023∣C.J（-l）2D.（-2023）°

2.下列计算正确的是（）

A.χ+χ=χ2B.（-ɪ）---X2C.X4÷X2=X2D.X4-X2=X2

3.2023年春节假日期间，合肥市共接待游客458.6万人，全市旅游综合收入27.23亿元，其中数据458.6万

用科学记数法可表示为（）

A458.6×104B.45.86XIO5C.4.586×IO6D.4.586×107

4.如图是一个正方体截去一角后得到的几何体，它的主视图是（）

-2-1O12

A.x+1>0B.x—1<0C.2x>2D.1—X<O

o

6.如图，直线相〃〃，在等腰JgC中，AB=AC1ZA=40,顶点B在直线〃上，直线加交AB于

点E,交AC于点凡若Nl=α,则N2的度数是（）

A.a—110。B.a—100°C.a—70。D.a—40。

7.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如UC与：c、『。与X='.在一次制取

Co的实验中，fC与的原子个数比为2：1,1。与X=（的原子个数比为］：］,若实验恰好完全反应

生成CO,则反应生成fC；6。的概率（）

112I

A.-6B.3-C.3-D.2~

8.如图，在菱形ABCD中，点E在AC的延长线上，ZACD=ZABE,AC=4,CE=S,求Cr）的

长（）

9.甲、乙两车从A城出发前往8城，其中甲先出发Ih,如图是甲、乙行驶路程外（km）,y乙（km）与

时间X（Λ）变化图像，下列说法不正确的是（）

A.乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km处B.乙车的平均速度是8（）km∕h

C.在距离4城24Okm处，乙车追上甲车D.乙车比甲车早20min到B城

10.矩形ABC。中，AB=4，BC=2,点E是AB边上的一个动点，连接OE，NDEB的角平分线

EF交CD边于点F,若DWLE尸于M点，连接40、BM,则AΛ∕+8M的最小值是（）

A.√∏B.2√5C.√2+√WD.5

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.若Q有意义，则X的取值范围是；

12.中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，“一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思

考.古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律.现在请你根据所学知识观察：（1）

JFl=告；设）SJ=告；°）U=宫…根据规律写出第5）个等式:

13.如图，在半径为1的。。上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE,若

ZfiAE=55o,NCQD=50°，则扇形QBC与扇形OEQ的面积之和为（结果保留万）

14.已知函数y=V+〃优（成为常数）的图形经过点（-5,5）.

（1）m=.

（2）当-5≤x≤〃时，y的最大值与最小值之和为2,则〃的值

三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

15.化简：3（矿+2出?）一2（aZ?—4~）

16.如图，在平面直角坐标系中，TWC的三个顶点分别是A。/），B（4,l）,C（5,3）.

(1)请画出_ABC关于X轴对称的4G，点A、B、C分别对应4、B］、C1;

(2)将一ABC以。为旋转中心，顺时针旋转90°,点4、B、C分别对应A一层、C2,请画出旋转后

图形AA2与G.

(3)直接画出BCl与AA/C关于直线对称的对称轴/.

四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

17.科技是国家强盛之基，创新是引领发展第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，

革新技术实现产值三连增.第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的

月平均增长率.

18.反比例函数y=K与一次函数)=一X+，〃的图像交于A、B两点，A坐标为(1,2)

(1)求出8点坐标；

(2)若Ma,χ)是反比例函数y=勺图像上的点，"(马,必)是一次函数丁=一%+加图像上的点，当点

M在点N下方时，判断自变量X的取值范围.

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19.某滑雪场建造了全省最长的一条滑雪道，其对外宣传说，此雪道AB的长度超过500米，春节期间，

某校“综合与实践”活动小组的同学利用无人机，根据自己的所学知识，设计了如下测量方案：无人机在

距地面高度为450米的点尸处测得滑雪道起点8处的俯角为22。，测得滑雪道的终点4处的俯角为50°

(即NCA4=50°),沿水平方向由点P飞行525米到达点C处，此时测得起点B处的俯角为45。，其中

P、A、8、C均在同一竖直平面内，根据以上数据，该滑雪场的宣传是否属实，请说明理由.

(参考数据sin50°a0.77,sin22o≈0.37,tan50o≈1.2,tan22o≈0.4)

B

H

20.如图，以AB为直径的。经过一ABC的顶点C,AE,BE分别平分/84C和/ABC,AE的延

长线交一。于点。，连接BD.

D

（1）判断aBDE的形状，并证明你的结论；

（2）若AB=I0,BE=2回,求BC的长.

六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

21.学校开展“校园读书月”活动，收到了良好的效果.随机调查部分同学，将读0本书、1本书、2本

书、3本书、4本书的人数用条形统计图和扇形统计图统计如下：

4

2

0

8

6

4

2

O

（1）本次调查的样本容量是,中位数是；

（2）补全条形统计图，并完成扇形统计图的填空："?=,〃=；

（3）按照上面调查结果，试估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了多少本书？

七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

22.问题背景：如图1,在等腰JWC中，AB^AC,ADlBC,垂足为点在跖中，

NAER=90°，ZEAF=-ZBAC,连接M是BF中点，连接EM和。M,在△AM绕点A旋转

2

过程中，线段和。M之间存在怎样的数量关系？

观察发现：

（I）为了探究线段EW和ZW之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将AAEF绕点A旋转，使

AE与AB重合，如图2,易知EW利ZW之间的数量关系为；

操作证明：

（2）继续将4AE尸绕点A旋转，使AE与AD重合时，如图3,（1）中线段EM和DW之间的数量关系

仍然成立，请加以证明.

问题解决：

（3）根据上述探究经验，我们回到一般情况，如图1,在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立

吗？请说明你的理由.

八、（本大题共1小题，每小题14分，共14分）

23.如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台AB宽为3,AB前方有六

个台阶工~《（各拐点均为90。），每个台阶的高为2,宽为2,楼梯平台到X轴距离OA=I4,从），轴上

的点C处向右上方弹射出一个小球尸（小球视为点），飞行路线为抛物线L:y=-JX2+2χ+16,当点P

2

落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与L形状相同的抛物线.

（1）通过计算判断小球P第一次会落在哪个台阶上；

（2）若小球P第二次的落点在台阶T5中点M上，求小球P第二次飞行路线的解析式;

（3）若小球P再次从点M处弹起后落入X轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），

接收装置最大截面为矩形EFG”，点E横坐标为16,EF=I,EH=L求出小球第三次飞行路线的顶

点到X轴距离最小值∙

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)

1.下列各式运算结果是负数的是()

A.(T)WB.∣-2023∣C.J(-l)2D.(-2023)°

【答案】A

【解析】

【分析】根据负整数指数幕的运算，绝对值的化简，零指数幕，算术平方根的意义计算选择即可.

【详解】A、(-1)=m砺=-j∙=-ι,是负数，符合题意；

(-1)T

B、卜2023|=2()23,是正数，不符合题意；

c、E1,是正数，不符合题意；

D、(―2023)°=l,是正数，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了负整数指数基的运算，绝对值的化简，零指数'幕，算术平方根的意义，熟练掌握运算

法则是解题的关键.

2.下列计算正确的是()

A.χ+X=X2B.(-%)^--X2C.X4÷X2=X2D.X4-X2-X2

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用合并同类项法则、同底数基的除法法则、积的乘方法则分别计算即可.

【详解】解：A、χ+χ^2x≠χ∖本选项不符合题意；

222

B、(-Λ)=Λ≠-X,本选项不符合题意；

C、χ4÷χ2=χ2,本选项符合题意；

D、/与/不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数基的除法、积的乘方，正确掌握相关运算法则是解题关键.

3.2023年春节假日期间，合肥市共接待游客458.6万人，全市旅游综合收入27.23亿元，其中数据458.6万

用科学记数法可表示为()

A.458.6×IO4B.45.86×IO5C.4.586×IO6D.4.586×IO7

【答案】C

【解析】

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为“χlθ",其中l≤∣α∣<10,〃为整数.

【详解】解：数据458.6万用科学记数法可表示为4.586x106.

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法表示形式为αX10"的形式，其中l≤∣α∣<10,〃为整

【答案】C

【解析】

【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的

用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线.

【详解】解：从正面看，是一个正方形，正方体前面截去一角后的棱可以看到，呈现在主视图中就有一条对

角线，

故选：C.

【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

5.一个不等式的解集如图所示，则这个不等式可以是（）

-2-1012

A.x+l>0B.X—1<0C.2x>2D.1—x<0

【答案】B

【解析】

【分析】根据解一元一次不等式步骤求出每个不等式的解，再进行判断即可.

【详解】解：A.不等式x+l>0的解集为：χ>-l,故A不符合题意；

B.不等式x—l<0的解集为：x<l,故B符合题意；

C.不等式2x>2的解集为：x>l,故C不符合题意；

D.不等式1—χ<0的解集为：Λ>1,故D不符合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，利用不等式的解集在数轴上表示出来（>,≥向右画；

<,≤向左画）是解题关键.

6.如图，直线加〃“，在等腰.ABC中，AB=AC,NA=40°,顶点8在直线〃上，直线皿交AB于

点E，交AC于点尸，若Nl=α,则N2的度数是（）

A.C一110。B.<z-IOO0C.a-70°D.a—40。

【答案】A

【解析】

【分析】利用等边对等角求得NABC=70。，利用平行线的性质得到NAEr=70。+/2,再根据三角形的

外角性质列式计算即可求解.

【详解】解：VAB^AC,NA=40。，

1800-40°

・・・ZABC=————=70°，

2

直线m//n,

：.ZAEF=ZABC+Z2=70°+Z2，

：Nl=NA+NAEF,即a=40°+70°+N2,

Z2=a-110o,

故选：A.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟记各图形的性质并准

确识图是解题的关键.

7.同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如;2。与：C、与X=（..在一次制取

CO的实验中，fc与的原子个数比为2:1,；6。与x的原子个数比为1:1,若实验恰好完全反应

生成CO,则反应生成，C,。的概率（）

11

121

----

A.XB.33D.2

o

【答案】B

【解析】

【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成;2Of。的结果数,

然后根据概率公式求解..

占燃

【详解】解：反应的化学方程式为2C+O/n.2CO，

IC与的原子个数比为2：1,与X=：1的原子个数比为ri,

反应后生成的：cl6o中"c来自于反应物c,而;60来自于反应物0,

共有6种等可能的结果数，其中反应生成;2。；6。的结果数为2,

21

.∙.反应生成Cl6O的概率为-=

63

故选：B.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃，再从中选出符

合事件A或8的结果数目m,然后利用概率公式计算事件4或事件8的概率.

8.如图，在菱形ABC。中，点E在4C的延长线上，ZACD=ZABE,AC=4,CE=5,求Co的

C∙5√2D.6√2

【答案】B

【解析】

【分析】利用菱形的性质、平行线的性质得到NACD=NABE=NCAB=NACB,推出AE=BE=9,

证明ABEs-ACB,利用相似三角形的性质求得A8=6,据此即可求解.

【详解】解：；四边形ABCD菱形，

ΛCD^AB,CD//AB,ZACD=ZACB,

：.ZACD=NC4B,

∙.∙ZACD=ZABE,

：.ZACD=ZABE=NCAB=ZACB,

；.AE=BE，AB=BG，

VAC=4,CE=S,

AE-BE-9,

,：ZABE=ZCAB=ZACB,

_ABESJACB,

ABAEHAB9

/.---=——，即rI——=——，

ACAB4AB

.".AB=6.

ʌCO的长为6,

故选:B.

【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，证明.ABESCAcg是解题的关键.

9.甲、乙两车从A城出发前往B城，其中甲先出发Ih,如图是甲、乙行驶路程》中(km),y乙(km)与

时间X(A)变化的图像，下列说法不正确的是()

A.乙车开始行驶时，甲车在乙车前60km处B.乙车的平均速度是8()km∕h

C.在距离4城24Okm处，乙车追上甲车D.乙车比甲车早20min到8城

【答案】D

【解析】

【分析】先分别确定函数解析式，利用解析式,结合函数图像判断即可.

【详解】设甲的解析式为y="+b,

4k+b=3QQ

根据题意,得《

-k+b=Q

Z=60

解得V

b=60

故甲的解析式为y=6()x+60,

甲车的速度为60km∕h,

∙.∙甲先出发Ih,

.∙.乙车开始行驶时，甲车在乙车前60knVh×lh=60km处,

故A正确，不符合题意；

当x=3时，y=60x+60=240,

240

故乙车的速度为寸=80(km/h),

故B正确，不符合题意；

根据图像，得到乙车出发3小时追上甲车，

故在距离A城24()km处，乙车追上甲车正确,

故C正确，不符合题意；

根据图像，乙车罂

=3∙75(h)至胭目的地,

o()

故乙车比甲车早4一3.75=0.25h=15min到B城

故D错误，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了函数图像，一次函数解析式，正确确定解析式，获取函数图像信息是解题的关键.

10.矩形ABCQ中，A3=4,BC=2,点E是AB边上的一个动点，连接DE，Nr)EB的角平分线

EF交CD边于点F,若Z)MD'于M点，连接AM、BM,则AΛ∕+8M的最小值是()

A.√∏B.2√5C.√2+√WD.5

【答案】B

【解析】

【分析】作MGJ_£陀，MH±AB，证明Z∖M4"g∆MDG(AAS),推出M4=ME>,当M、B三

点共线时，AM+8/0有最小值，最小值是8。的长，利用勾股定理即可求解.

【详解】解：作MG_LoE,MH±AB,

∙∙∙EE是NDEB的平分线，

.,.MG=MH,

•：ADAE=ZDME=90°，

ΛΛ>D、M、E四点共圆，

.∙.NMAH=ZMDG，

.∙.ΛMAH^ΛMDG（AAS）,

：.MA=MD,

.,∙AM+BM=DM+BM,

当。、M、B三点共线时，ΛM+BM有最小值，最小值是8。的长，

AM+BM的最小值是√22+42=2√5，

故选：B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，证明

名ZXMDG是解题的关键.

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.若J与有意义，则X的取值范围是；

【答案】x≤0

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件得出-XN0,解不等式即可求解.

【详解】解：∙.∙Q有意义,

∙,∙—X≥0>

解得：x≤0,

故答案为：x≤0.

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键.

12.中国数字文化源远流长，“万物莫逃乎数”，”一切皆有定数”…，是古人对自然、社会的一种观察和思

考.古籍《孙子算经》中也记录了很多古人发现的数字规律.现在请你根据所学知识观察：（1）

JD书:（2）口-5=W；（3）QT=二根据规律写出第（"）个等式:

,g如、√2tt+l

［答案］而而

【解析】

【分析】观察已知的三个等式可得第n个等式.

正.

【详解】解：：第1个等式

M,

正

第2个等式

2×3

√7

第3个等式

374

I11_缶+1

.∙.第〃个等式:M(n+l)2n(n+l)

2n+l

故答案为:

/?(/!+1)

【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，观察所给的等式得到规律是解题关键.

13.如图，在半径为1的。。上顺次取点A,B,C,D,E,连接AB,AE,OB,OC,OD,OE,若

ZBAE=55o,ZCOD=50°,则扇形OBC与扇形OED的面积之和为（结果保留万）

【解析】

【分析】先利用圆周角定理求得NBoE=Il0。，再根据扇形面积公式即可求解.

【详解】解：；ZBAE=55。，

.∙.ZBoE=2NBAE=110。,

.∙.扇形OBC与扇形OED的面积之和为（"°一‘°）乃于=£

3606

故答案为：二.

6

【点睛】本题考查了扇形面积公式，掌握圆心角为“。的扇形面积公式S扇形=算是解题的关键.

14.已知函数y=V+WU（相为常数）的图形经过点（-5,5）.

（1）m=.

（2）当一5≤x＜〃时＜＞的最大值与最小值之和为2,则"的值.

【答案】①.4②.〃=一3或〃=√Tδ-2

【解析】

【分析】（I）把已知坐标代入解析式计算即可.

（2）根据抛物线额性质，分类计算.

【详解】（1）°.♦函数y=V+MC（m为常数）的图形经过点（-5,5）.

:.5=（-5）2-5m,

解得“2=4,

故答案为：4.

（2）∙.∙函数y=∕+mx（机为常数）的图形经过点（-5,5）.

.∙.5=（-5）2-5m,

解得m=4,

・・・函数的解析式为y=∕+4x,

.*.y=x2+4x=（x+2）--4,

故抛物线的对称轴为直线X=-2,二次函数的最小值为-4，

（-5,5）的对称点为（1,5）,

当一5≤x≤〃时，y的最大值与最小值之和为2,

当一5W/V-2时，最大值为5,X=〃时，取得最小值，且为y=∕+4”,

根据题意，得/+4α+5=2,

解得“=一3,〃=一1（舍去），

故〃=—3；

当一2≤"≤1时，最大值为5,x=-20't.取得最小值，且为-4，

根据题意，得5—4=1,不符合题意；

当心1时，x=-2时，取得最小值，且为-4，%=〃时，取得最大值，且为y=/+4”，

根据题意,得小+4〃一4=2,

解得”=J记一2,〃=—Ji6—2（舍去），

故n=ʌ/lθ—2;

故答案为〃=-3或“=VlO—2.

【点睛】本题考查了抛物线的对称性，增减性，熟练掌握函数的性质是解题的关键.

三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

15.化简：3(。一+2出?)一2(ab一a~

【答案】5a2+4ab

【解析】

【分析】先去括号，然后合并同类项即可.

【详解】解：3(a2+2ab)-2(ab-a2)

=3α2+6ab-2ab+2a2

-5a2+4ah∙

【点睛】本题主要考查了整式加减运算，解题的关键是熟练掌握去括号，合并同类项法则，准确计算.

16.如图，在平面直角坐标系中，C的三个顶点分别是A(l,l),8(4,1),C(5,3).

(1)请画出JWC关于X轴对称的点4、B、C分别对应4、4、C,;

(2)将-ABC以。为旋转中心，顺时针旋转90°,点4、B、C分别对应&、层、C2,请画出旋转后的

图形AA2为C2.

(3)直接画出BIG与ZXA2BaG关于直线对称的对称轴/.

【答案】(1)见解析(2)见解析

(3)见解析

【解析】

【分析】⑴根据4(1,1),8(4,1),C(5,3)确定关于X轴对称的对称点坐标A(l,τ),B1(4,-1),

C1(5,-3),描点画图即可.

⑵根据A(U),β(4,l),C(5,3)确定旋转后的坐标4(1,T),B2(1,-4),C2(3,-5),描点画图即

可.

(3)根据等腰三角形的性质作出底边的垂线即可.

【小问I详解】

VA(l,l),8(4,1),C(5,3)旋转后的坐标4(1,-1),B2(1,-4),C2(3,-5),(片出重合)画图如

下：

∙.∙AiBl=4-1=3=4为=(-1)-(7)，ΛlCl=Λ1C2

.∙.AA1B1C1与AA2BG关于直线对称的对称轴/是等腰三角形AGG底边上的高线所在的直线,

故连接GG过点4作/,CCz，

则/即为所求

【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称变换，熟练掌握变换的特点是解题的关键.

四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

17.科技是国家强盛之基，创新是引领发展的第一动力，某公司响应国家号召，在2023年加大科技创新，

革新技术实现产值三连增.第一季度产值总额为1655万元，其中二月份产值为550万元，求一月至三月的

月平均增长率.

【答案】10%

【解析】

550

【分析】设一月至三月的月平均增长率为X,根据题意,得+550+550(l+x)=1655,解方程即

(ι+χ)

可.

550

【详解】设一月至三月的月平均增长率为X,根据题意,得+550+550(l+x)=1655

(ι+χ)

整理，得Ilo(I+N)?-221(l+x)+110=0,

解得I+X=221±J(-221)2-4χll0χll0=221±21

220220

解得玉=0.LX2=-1+ɪɪʒ（舍去），

故一月至三月的月平均增长率10%.

【点睛】本题考查了平均增长率问题，正确列方程并熟练解答是解题的关键.

18.反比例函数y=±与一次函数y=r+〃，的图像交于A、B两点,A坐标为（1,2）

y

(1)求出8点坐标；

(2)若M(Xl,χ)是反比例函数y=X图像上的点，N(Λ2,%)是一次函数y=-x+m图像上的点，当点

M在点N下方时，判断自变量X的取值范围.

【答案】(1)(2,1)

(2)IVX<2

【解析】

【分析】(1)先确定函数的解析式，联立解方程组求解即可.

(2)结合函数图像解答即可.

【小问I详解】

∣cz

；反比例函数y=一与一次函数y=-x+机的图像交于4、8两点，A坐标为(1,2)

2=γ,2=-l+zπ

解得k=2,ZH=3

2C

y=-,y=r+3,

X

'2

.y=-

..1X，

y=-x+3

x=lfx=2

解得VCX

y=2Iy=I

故8(2,1).

【小问2详解】

结合函数图像，得当点历在点N下方时，lVχ<2.

【点睛】本题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握解题方法是解题的关键.

五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)

19.某滑雪场建造了全省最长的一条滑雪道，其对外宣传说，此雪道AB的长度超过500米，春节期间，

某校“综合与实践”活动小组的同学利用无人机，根据自己的所学知识，设计了如下测量方案：无人机在

距地面高度为450米的点尸处测得滑雪道起点B处的俯角为22。，测得滑雪道的终点A处的俯角为50。

(即NCPA=50°),沿水平方向由点P飞行525米到达点C处，此时测得起点B处的俯角为45°,其中

P、4、8、C均在同一竖直平面内，根据以上数据，该滑雪场的宣传是否属实，请说明理由.

(参考数据Sin50。=0.77,sin22o≈0.37,tan50o≈1.2,tan22o≈0.4)

【答案】滑雪场的宣传属实.理由见解析

【解析】

【分析】过点B作地面的垂线，垂足为E,交直线PC于点£>,过点P作地面的垂线，垂足为尸，则四边形

Pz)E户为矩形，设BO=DC=X,则Pr)=525+x,在RLPL归中，利用正切函数求得x=35O,

Pr)=875米，在RtZSP4E中，利用正切函数求得AF=375米，据此求解即可解答.

【详解】解：滑雪场的宣传属实.理由如下，

如图，过点B作地面的垂线，垂足为E,交直线PC于点C,过点P作地面的垂线，垂足为尸，则四边形

PDEF为矩形,

∙.∙N。CB=45°,

ADBC是等腰直角三角形,

.∙.设BO=L>C=x,则Po=525+x,

在RLPZ)B中，NZ)P3=22°，

DBX

tan22=-----即=0.4,

PD525+x

解得％=35(),

.∙.PD=875米,

在Rt尸中，ZPAF=ZCPA=50°,P尸=450米,

.∙.tan50°---->即=1.2,

AFAF

解得AF=375米，

.∙.AE=M—AF=PAb=875—375=500米，

二AB>AE=500,

；・滑雪场的宣传属实.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定，根据题目的已知条件并结合

图形添加适当的辅助线是解题的关键.

20.如图，以AB为直径的一。经过—ABC的顶点C，AE,跳分别平分/B4C和NA6C,AE的延

长线交二。于点3,连接80.

（1）判断ABDE的形状，并证明你的结论；

（2）若AS=IO,BE=2®，求BC的长.

【答案】（1）4BZ）E为等腰直角三角形，详见解析

（2）BC=S

【解析】

【分析】（1）由角平分线的定义、结合等量代换可得NBEZ）=NDBE，即Bo=E。；然后再根据直径所

对的圆周角为90°即可解答；

（2）如图：连接。C,CD,OD,OD交BC于点、F.先说明0。垂直平分8C∙进而求得BD、

OD、OB的长，设OF=t,则。F=5-r∙然后根据勾股定理列出关于t的方程求解即可.

【小问1详解】

解：45Z）E为等腰直角三角形，证明如下：

证明：：AE平分/B4C,防平分/ABC,

.∙.ZBAE=ZCAD=ZCBD,ZABE=NEBC.

'：ZBED=NBAE+ZABE，QBE=ZDBC+NCBE,

.∙.ZBED=ΛDBE.

.∙∙BD=ED∙

∙.∙AB为直径，

.∙.ZADB90°.

Z∖3Z)E是等腰直角三角形.

【小问2详解】

解：如图：连接。C,CD,OD,OD交BC于点、F.

,/ADBC=ZCAD=ZBAD=ZBCD,

：.BD=DC.

,/OB=OC,

：.0。垂直平分BC.

∙∙∙430E是等腰直角三角形，BE=2√iδ.

；•BD=2√5.

,/AB=IO,

二OB=OD=5.

设OF=/,则。9=5—f∙

在RtJBOF和RNBDF中,52-r=(2√5)2-(5-z)2.解得，t=3.

•••BF=A.

：.8C=8.

【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用、垂直平分线的判

定与性质、圆的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键.

六、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

21.学校开展“校园读书月”活动，收到了良好的效果.随机调查部分同学，将读0本书、1本书、2本

书、3本书、4本书的人数用条形统计图和扇形统计图统计如下：

人数/个

4,14

2

0

8

6

4

2^2

^^π

（1）本次调查的样本容量是，中位数是；

（2）补全条形统计图，并完成扇形统计图的填空：〃?=,n=；

（3）按照上面调查结果，试估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了多少本书？

【答案】（1）40,2

（2）图见解析，35,20

（3）估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了4400本书.

【解析】

【分析】（1）根据读0本书的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后计算得出读2本书、4本书

的人数，即可求解；

（2）根据扇形统计图中的数据，即可计算出〃八〃的值；根据（1）中的结果，从而可以将条形统计图补

充完整；

（3）部人数乘以样本中平均读书量即可得.

【小问1详解】

解：本次调查的样本容量为：2÷5%=40,

读2本书的人数40χl5%=6（人），读4本书的人数40—2—14—6-10=8（人），

中位数是第20、21的位置，都是读2本书，则中位数是2,

故答案为：40,2；

【小问2详解】

解：由（1）知：读2本书的人数有6人，读4本书的人数有8人，

补全的条形统计图如图所示

4

2

0

8

6

4

2

O

148

m%=~×100%=35%,"%=2χl(M)%=20%,

4040

.*.m=35,71=20,

故答案为：35,20；

【小问3详解】

~、~、2×0+l×14+2×6+3×10+4×8

解:2000×---------------------------------------=4400（本）,

40

估计在开展“校园读书月”活动期间，该校2000位学生共阅读了4400本书.

【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体、样本容量，利用数形结合的思想解答是解

答本题的关键.

七、（本大题共1小题，每小题12分，共12分）

22.问题背景：如图1,在等腰ABC中，AB^AC，ADlBC,垂足为点。，在ZvlE尸中，

ZAEE=90°，^EAF=-ΛBAC,连接BRM是中点，连接和。M,在AAEF绕点A旋转

2

过程中，线段EM和D0之间存在怎样的数量关系？

观察发现：

（1）为了探究线段EW和ZW之间的数量关系，可先将图形位置特殊化，将AAM绕点A旋转，使

AE与AB重合，如图2,易知EW和£）”之间的数量关系为；

操作证明：

（2）继续将AAE户绕点A旋转，使AE与AO重合时，如图3,（1）中线段EM和0M之间的数量关系

仍然成立，请加以证明.

问题解决：

（3）根据上述探究的经验，我们回到一般情况，如图1,在其他条件不变的情况下，上述的结论还成立

吗？请说明你的理由.

【答案】（1）EM=DM

（2）见解析（3）成立；理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进行证明即可；

（2）延长FE交AB于点G,根据等腰三角形的性质得出N84D=NC4D,BD=CD,证明

AEG会AEF(ASA),得出EG=所，AG=A/，证明BG=C尸，根据中位线性质得出EM=；BG,

DM=^CF,即可证明结论；

(3)延长在到点M使EN=EF,连接AN,BN,CF,证明,.A硒名AAEf得出AN=A尸，

ZEAN=ZEAF,证明,∙N46也，EAC(SAS),得出BN=CF,根据中位线性质得出EM=；BN,

DM=-CF,即可证明结论.

2

【小问1详解】

解；•：ADJ.BC,

：.ZBDF=90°,

为3尸的中点，

.∙.DM=LBF,

2

"：ZAEF=90o,

：.NBEF=180。—90°=90°,

：M为3户的中点，

.∙,EM=-BF,

2

LEM=DM.

故答案为：EM=DM.

【小问2详解】

证明：延长EE交AB于点G,如图所示：

AB=AC,ADJ.BC，

：.ZBAD=ZCAD,BD=CD,

∙.∙ZAEF=90°,

：.ZAEG=180o-90°=90°,

.∙.ZAEG^ZAEF,

VAEAE,ZGAE=ZFAE,

.∙.,AEGWAEF(ASA),

ΛEG=EF,AG=AF,

：.AB-AG=AC-AF,

即BG=CF,

为防的中点，E为GR的中点，

.∙.EM=-BG,

2

同理得：DM=-CF,

2

；•EM=DM.

【小问3详解】

解：成立；理由如下：

延长EE到点N,使.EN=EF,连接ATV,BN,CF，如图所示:

∖∙ZAEF=9Qo,

：.ZAEN=180o-90°=90°,

.∙,ZAEN=ZAEF,

VAE=AE,EN=EF,

：-AENAAEF,

ΛANAF,NEAN=NEAF,

：.NEAF=LNNAF,

2

∙.∙ZEAF=-ZBAC,

2

.*.ZNAF=NBAC,

.∙.ANAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF,

即NΛ½β=NE4C,

VAB=AC,AN=AF,

.∙..NAB^FAC（SAS）,

.∙.BN=CF,

为战的中点，E为NF的中点,

；.EM=LBN,

2

根据解析（2）可知，。为BC的中点，

.,.DM=-CF,

2