2023年高考数学一轮复习讲义：第八章 8-4直线、平面平行的判定与性质

§8.4直线、平面平行的判定与性质

【考试要求】1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系，并加以证明.

2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用.

-落实主干知识

【知识梳理】

1.线面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定平面外一条直线与此平面内的一条直

7t>Ua'^a//a

定理线平行，那么该直线与此平面平行Z≡

a∕∕b.

一条直线与一个平面平行，则过这条直4〃Ot

性质

线的任一平面与此平面的交线与该直∙=^a∕∕h

定理

线平行aCB=b

2.面面平行的判定定理和性质定理

文字语言图形语言符号语言

au6、

一个平面内的两条相交直线与另bus

判定

一个平面平行，那么这两个平面aCb=P>^β∕∕a

定理

平行Z74〃a

b//a>

a∕∕β1

性质如果两个平行平面同时和第三个

=>a∕∕b

定理平面相交,那么它们的交线平行£Gy=)

【常用结论】

(I)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a±β,则α〃及

(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α〃夕，β∕∕γ,则a〃y.

(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即。_1&,⅛±α,则A

(4)若α〃夕，“uct,∣J∣∣Ja∕∕β.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（X）

（2）若直线平面α,PGa,则过点P且平行于直线α的直线有无数条.（X）

⑶若直线“u平面a,直线bu平面.，a∕∕b,则α〃4.（X）

（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（√）

【教材改编题】

1.下列说法中，与“直线”〃平面a”等价的是（）

A.直线。上有无数个点不在平面a内

B.直线a与平面a内的所有直线平行

C.直线“与平面a内无数条直线不相交

D.直线a与平面a内的任意一条直线都不相交

答案D

解析因为a〃平面a,所以直线a与平面a无交点，因此a和平面a内的任意一条直线都

不相交.

2.己知不重合的直线a,和平面a,则下列选项正确的是（）

A.若a〃a,⅛Ca,则

B.若a〃a,b//«.贝!]a〃b

C.若al∕b,bUa,则a〃a

D.若a〃b,aCa,则b〃a或6Ua

答案D

解析若a〃a,bUa,则a〃人或异面，A错；

若a〃a,b//a,则“〃人或异面或相交，B错；

若a〃匕，⅛Ca,则a〃a或aUa,C错；

⅛a∕∕b,aUa,贝!|b〃a或bu%D对.

3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFG”为截面，则四边形EFGH的形状为

答案平行四边形

解析,/平面ABFE〃平面DCGH,

又平面E尸G”C平面ABFE=EF,

平面EFG”n平面DCGH=HG,

.∙.E尸〃HG.同理EH〃FG,

.∙.四边形EFGH是平行四边形.

■探究核心题型

题型一直线与平面平行的判定与性质

命题点1直线与平面平行的判定

例1如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABC。是平行四边形，E,尸分别是8C,PD的中

点，求证:

(I)PB〃平面4CF；

(2)EF〃平面PAB.

证明（1）如图，连接B。交AC于0,连接。匕

,.∙四边形ABCD是平行四边形,

。是8。的中点,

又：尸是尸D的中点,

.∙.OF//PB,

又,/OFU平面ACF,PBa平面ACF,

,PB〃平面ACF.

⑵取以的中点G,连接GF,BG.

Y尸是PO的中点,

GIF是△/¾O的中位线,

GF

；底面ABC。是平行四边形，E是8C的中点,

:,BE^AD,:,GF^BE,

：.四边形BEFG是平行四边形，

J.EF//BG,

又「ERI平面以8,BGU平面∕¾8,

.∙.EF〃平面PAB.

命题点2直线与平面平行的性质

例2如图所示，在四棱锥P-ABC。中，四边形ABC。是平行四边形，M是PC的中点，在

OM上取一点G,过G和孙作平面交BO于点H.

求证：PA//GH.

证明如图所示，连接AC交8。于点0,连接0M,

∙.∙四边形ABCD是平行四边形,

二0是AC的中点，

又M是PC的中点，

J.PA//OM,

又OMU平面8Λ”>,HW平面BMD,

.∙.B4〃平面BMD,

又平面∕¾HG∩平面BMD=GH,

:,PA//GH.

【教师备选】

如图，四边形ABC。是矩形，网平面A8C。，过BC作平面BCFE交AP于点E,交DP于点

F,求证：四边形BCFE是梯形.

证明四边形ABCQ为矩形，

BC//AD.

YAOU平面7¾O,Bat平面∕¾o,

BC〃平面PAD.

；平面BCFEC平面PAD=EF,

BCU平面BCFE,

：.BC//EF.

"：AD=BC,AD≠EF,

：.BC≠EF,

四边形BCFE是梯形.

思维升华(1)判断或证明线面平行的常用方法

①利用线面平行的定义(无公共点).

②利用线面平行的判定定理(Hα,⅛Cβ,CJlb=Oj心*

③利用面面平行的性质(α〃夕，a<≡a=>a∕/β).

④利用面面平行的性质(α〃夕，a<tβ,a//a≠>a∕/β).

(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确

定交线.

跟踪训练1如图所示，已知四边形ABC。是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF

的中点.

(1)求证：AM〃平面BOE；

(2)若平面4。MrI平面BAE=/,平面ABMrl平面BDE=H7,试分析/与机的位置关系，并证

明你的结论.

⑴证明如图，记Ae与Bo的交点为0,连接OE

因为O,M分别为AC,EF的中点，四边形ACE尸是矩形,

所以四边形AOEM是平行四边形，

所以AM〃OE.

又因为OEU平面BDE,AMC平面BDE,

所以AM〃平面BDE.

⑵解l∕∕m,证明如下：

由⑴知AM〃平面BDE,

又AMU平面AoM,平面AoMn平面BoE=/,

所以l//AM,

同理，AM〃平面BDE,

又AMU平面ABM,平面ABMC平面BOE=∕n,

所以机〃AM,所以/〃丸

题型二平面与平面平行的判定与性质

例3如图所示，在三棱柱ABC—4BιG中，过BC的平面与上底面4BlCl交于G”(GH与

BlG不重合).

⑴求证：BC〃GH；

(2)若E,F,G分别是AB,AC,4B∣的中点，求证：平面E∕¾ι〃平面BCHG.

证明(1)；在三棱柱A8C—A山ICl中，

平面4BC〃平面A1B1C1,

又；平面BCHGC平面A8C=BC,

且平面BC"G∩平面4BιG=HG,

由面面平行的性质定理得BC〃GH.

(2)VE,F分别为AB,AC的中点，

.'.EF//BC,

YERJ平面BCHG,BCU平面BCHG,

.∙.EF〃平面BCHG.

又G,E分别为分刑,AB的中点,AB—4分

.∙.A∣G统EB,

四边形4E8G是平行四边形，.∖A↑E∕∕GB.

「AiRI平面3C7/G,GBU平而BCHG,

,AiE〃平面BCHG.

又∙.∙A∣E∩EF=E,AiE,EFU平面EN,

.∙.平面Eah〃平面BCHG.

延伸探究在本例中，若将条件“E,F1G分别是AB,AC,AIBl的中点”变为“点、D,Di

An

分别是AC,ACl上的点，且平面平面ABI，试求发的值.

解如图，连接A由交ABl于0,连接ODi.

由平面BCQ〃平面AB∣D∣,

且平面48Cm平面BClD=BcI,

平面Aι8C∣∩平面ABiDi=DlO,

所以BG〃八。，则船=黑=L

ZJ∣C∣OD

r.yA∖D∖DC

又v由理设tQG一而,

区—一AD.

所以高一L即反一L

【教师备选】

如图，在三棱柱A8C-48C∣中，E,F,G分别为B∣C∣,AiBl,AB的中点.

⑴求证：平面AlGG〃平面BEa

⑵若平面AlClGCBC=H,求证：”为BC的中点.

证明(I)VE,用分别为BiG,AIBl的中点，

C.EF∕∕A∖C∖,

；4GU平面AIClG,ERl平面AlCIG,

.∙.EF〃平面AiGG,

又F,G分别为4/1,AB的中点，

：.AiF=BG,

又AI尸〃BG,

四边形AlGBF为平行四边形，

则BF//A1G,

•；AiGU平面AIClG,BRl平面AlClG,

...B/〃平面AiGG,

又EFCBF=F,EF,BFU平面BEF,

，平面4GG〃平面BEF.

(2)；平面ABC〃平面AlBlC平面AIGGrI平面AlBlCl=AICι,

平面4GG与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线，设交BC于点H,如图，

则AlCi〃G”，#GH//AC,

：G为AB的中点，为BC的中点.

思维升华证明面面平行的常用方法

(1)利用面面平行的判定定理.

(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(/_La,Ilga〃[S).

(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α〃夕,

β∕∕γ^>a∕/γ).

跟踪训练2如图，四棱柱A8C。一AlBlGol的底面ABCD是正方形.

⑴证明:平面48£>〃平面CnB|；

(2)若平面ABCDn平面Cf>∣B∣=直线/,证明：BιDι∕∕L

证明(1)由题设知BE统。Oi,所以四边形BBIG。是平行四边形，所以

又BOa平面CQlB1,BQlU平面CQIB],

所以80〃平面CA8∣.

因为AIDl统BICI统BC,

所以四边形AlBCd是平行四边形，

所以48〃DC

又AlBQ平面CAS,OlCU平面CDIB],

所以A山〃平面CAB∣.

又因为BonAl8=B,BD,48U平面AIBD,

所以平面AIBD〃平面CD1Bi.

(2)由(1)知平面AlBO〃平面CDiBi,

又平面ABCZ)∩平面CABl=直线I,

平面ABCorl平面AlBQ=直线BD,

所以直线/〃直线BD,

在四棱柱A8CO-4∣BICIDl中，四边形BDDIBI为平行四边形,

所以BIZ)1〃双),所以BlDi〃/.

题型三平行关系的综合应用

例4如图，在正方体A8CD-A∣8GQι中，E为QCl的中点.

(1)求证：Bn〃平面AEC；

(2)CG上是否存在一点凡使得平面AEC〃平面8FA，若存在，请说明理由.

⑴证明如图，连接B。交AC于O,连接EO.

因为A8CZ)—Aι8∣CQ∣为正方体，底面ABC。为正方形，

对角线AC,BO交于。点，

所以。为B。的中点，

又因为E为。口的中点，

所以在aC8Ql中，OE是aOBDi的中位线，

所以OE〃BO∣.

又因为OEU平面AEC,8。Q平面AEC,

所以BDl〃平面AEC.

(2)解当CG上的点F为中点时，即满足平面AEC〃平面BFA.

连接BF,DR

因为尸为CG的中点，E为ODi的中点，

所以CF^ED1,

所以四边形CFD1E为平行四边形,

所以D↑F∕/EC,

又因为ECU平面AEC,DIF(I平面AEC,

所以OlF〃平面AEC.

由⑴知BQl〃平面AEC,

又因为BDIr∣O∣F=O∣,BDι,GFU平面8FZ)∣,

所以平面AEC〃平面BFDi.

【教师备选】

如图，四边形ABCO与AoEf■均为平行四边形，M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求

证：

(I)BE〃平面DMF；

(2)平面BQE〃平面MNG.

证明(1)如图，连接AE,则AE必过。尸与GN的交点0,

连接M。，则M。为AABE的中位线，所以BE〃M0.

又BEQ平面DMF,MoU平面DMF,

所以BE〃平面DMF.

(2)因为MG分别为平行四边形AoEF的边A。，EF的中点，所以DE〃GN,

又DEa平面MNG,GNU平面MNG,

所以QE〃平面MNG.

又M为AB的中点，

所以VN为AABQ的中位线，所以BD〃MN,

又MNU平面MNG,BZXt平面MNG,

所以8。〃平面MNG,

又DE,8。U平面BOE,DECBD=D,

所以平面BDE〃平面MNG.

思维升华证明平行关系的常用方法

熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题

的关键.面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法.

跟踪训练3如图所示，四边形EFG4为空间四边形ABC。的一个截面，若截面为平行四边

形.

⑴求证：AB〃平面EFG/7；

(2)若A8=4,CZ)=6,求四边形EFGH周长的取值范围.

(1)证明四边形EFGH为平行四边形，

:,EF//HG.

平面ABQ,EF(I平面ABD,

.∙.EF〃平面ABD.

又；EFU平面ABC,

平面ABO∩平面ABC=A8,

.,.EF//AB,

又YABQ平面EFG”，EFU平面EFGH,

.∙.AB〃平面EFGH.

⑵解设EF=Mo<x<4),

由(1)知EF//AB,

.Cf=空=人

"CB~AB~4,

与(1)同理可得C£>〃FG,

•FG_BF

"'^CD~~BC,

.∙.四边形EFG”的周长

L=+6-2x)~12—x.

XV0<x<4,

Λ8<L<12,

故四边形EFG”周长的取值范围是(8,12).

课时精练

立基础保分练

1.（2022・宁波模拟）下列命题中正确的是（）

A.若α,人是两条直线，且。〃b,那么。平行于经过〃的任何平面

B.若直线“和平面ɑ满足a〃a,那么。与ɑ内的任何直线平行

C.平行于同一条直线的两个平面平行

D.若直线“，和平面α满足a〃6,aUa,Met,贝!∣6〃a

答案D

解析A中，。可以在过Z?的平面内；B中，α与α内的直线也可能异面；C中，两平面可能

相交；D中，由直线与平面平行的判定定理知6〃a,正确.

2.设/是直线，α,S是两个不同的平面，则下列能判断/〃α的是（）

A.l∕∕β,a∕∕β

B./与平面ɑ内无数条直线平行

C.iczβ,a∕∕β

D.l±β,a±β

答案C

解析对于A,/可能在α内，故不能判断/〃α,故A不正确；

对于B,/可能在α内，故不能判断/〃α,故B不正确；

对于C,因为∕u.,a∕∕β,由面面平行的定义得/〃α,故C正确；

对于D,/可能在α内，故不能判断/〃α,故D不正确.

3.（2022•成都模拟）如图，在三棱柱48C-A山IG中，AM=2MAl,BN=2NBl,过MN作一

平面分别交底面4ABC的边BC,AC于点E,F,贝∣J（）

A.MF//EB

B.AiBi//NE

C.四边形MNEF为平行四边形

D.四边形MNEF为梯形

答案D

解析由于B,E,F三点共面，F∈平面BEF,M隹平面BEF,故MF,EB为异面直线,

故A错误；

由于S,N,E三点共面，Bi∈平面8∣NE,Al阵平面BiNE,故AIB∣,NE为异面直线,故B

错误；

：在平行四边形AΛ∣8由中，AM=2MAl,

BN=2NB∖,

:,AM//BN,AM=BN,

故四边形AMNB为平行四边形，

C.MN//AB.

又MNQ平面ABC,ABU平面A8C,

...MN〃平面ABC.

又MNU平面MNEF,

平面MNEFC平面ABC=EF,

J.MN∕∕EF,.'.EF//AB,

显然在AABC中，EF≠AB,

.∖EF≠MN,

四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确.

4.（2022・杭州模拟）已知P为aABC所在平面外一点，平面α〃平面A2C,且α交线段%,

PB,PC于点A',B',C',若%'：44'=2：3,则SMBC：SAASC等于（）

'a:

A.2：3B.2：5

C.4：9D.4：25

答案D

解析:平面ɑ〃平面ABC,

,,,,,

J.AC//AC,AB//AB9BC//BC9

∙'∙S∆A'BC:SAABC=（弘':孙ι）∖

又Rl':AA'=2：3,

.,.∕¾,:PA=I:5,

∙*∙S∆A,B'C:SAABC=4:25.

5.如图，在下列四个正方体中，A,B为正方体的两个顶点，M,N,Q为所在棱的中点，则

在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（）

答案D

解析A项，由正方体性质可知A8〃N°,NQU平面MNQ,ABC平面MΛQ,AB〃平面MNQ,

排除；

B,C项，由正方体性质可知AB〃MQ,MQU平面MV。，A3。平面MNQ,AB〃平面MNQ,

排除；

D项，由正方体性质易知，直线AB与平面MN。不平行，满足题意.

6.如图，透明塑料制成的长方体容器ABC。-A出∣GO∣内灌进一些水，固定容器一边AB于

地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下面几个结论，其中正确的是()

D1C1

(3)

①没有水的部分始终呈棱柱形；

②水面EFGH所在四边形的面积为定值：

③随着容器倾斜程度的不同，A1C,始终与水面所在平面平行；

④当容器倾斜如图(3)所示时，AEAH为定值.

A.①②B.①④

C.②③D.③④

答案B

解析根据棱柱的特征(有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的

公共边都互相平行)，结合题中图形易知①正确；由题图可知水面EFG//的边EF的长保持不

变，但邻边的长却随倾斜程度而改变，可知②错误；因为4G〃AC,ACU平面4BC。，AiCl

d5FffiABCD,所以AICl〃平面A8CQ,当平面EfGH不平行于平面ABCD时，AlCl不平行

于水面所在平面，故③错误；当容器倾斜如题图(3)所示时，因为水的体积是不变的，所以棱

柱AEH-BFG的体积V为定值，又V^SΛAEHAB,高AB不变，所以SAAE〃也不变，即AEAH

为定值，故④正确.

InUa]l//m

7.考查①②两个命题，①l∕∕m∖=>l∕∕a;②m∕∕a¼l∕∕a,它们都缺少同一个条件,

补上这个条件就可以使其构成真命题（其中/,也为直线，α为平面），则此条件为

答案I（Ia

解析①由线面平行的判定定理知/Qα;②由线面平行的判定定理知∕（Iα.

8.如图所示，在正四棱柱ABC。一AIBlCQl中，E,F,G,”分别是棱CC∣,C↑D∖,D∖D,

Oe的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件

就有MN〃平面B山。A.（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案点M在线段FH上（或点M与点”重合）

解析连接"N,FH,FM图略），

则FH〃DDi,HN//BD,

平面FHN//平面BIBDDI,只需MWFH,

则MNU平面FHN,：.MN//平面B↑BDDi.

9.如图，在正方体ABC。-ABlGd中，E,F,G,”分别是BC,CCl,C∖D∖,AAl的中点,

求证：

(I)BF〃HDi;

(2)EG〃平面BBBD;

(3)平面30F〃平面B↑D↑H.

证明如图.

(1)取B山的中点M,

连接”M,MC1,易证四边形4MGA是平行四边形,

：.HDi/∕MCi.

又MGHBF,

.∖BF∕∕HD↑.

⑵取Bo的中点。，连接0E,ODi,

则OE晶。C.

又9G统;。C,

：.OEDtG.

四边形OEGz)I是平行四边形，

J.EG∕∕D∖O.

又。IoU平面BB∣Q∣Q,EGa平面BBιO∣Q,

...EG〃平面BBQiD.

(3)由(1)知8尸〃"O∣,由题意易证BD

又BiDi,HRu平面BQiH,BF,8。U平面BOR且BQm⅛D∣=O∣,DBCBF=B,

.∙.平面B。尸〃平面B↑D↑H.

10.如图，在四棱锥P-ABCO中，AD∕∕BC,AB=BC=^AD,E,F,H分别为线段AO,PC,

CO的中点，AC与BE交于。点，G是线段。尸上一点.

⑴求证：4P〃平面BEF；

⑵求证：GH〃平面PAD.

证明(1)如图，连接EC,

因为40〃BC,BC=^AD,

所以BC〃AE,BC=AE,

所以四边形ABCE是平行四边形,

所以。为AC的中点.

又因为F是PC的中点，

所以FO//AP,

因为FoU平面BEF,

ARI平面BEF,

所以AP〃平面BEF.

（2）连接F4,0H,因为F,，分别是尸C,CC的中点,

所以FH//PD,

因为PoU平面∕¾O,FHQ平面加。,

所以FH〃平面PAD.

又因为。是BE的中点，”是CO的中点，

所以OH//AD,

因为4。U平面PAD,平面PAD,

所以。“〃平面PAD.

又FHeOH=H,FH,。”U平面0,尸，

所以平面OHF〃平面PAD.

又因为GHU平面OHF,

所以GH〃平面PAD.

注技能提升练

11.（2022•福州检测）如图所示，正方体4BCD-48ιC∣A中，点E,F,G,P,。分别为棱

AB,C∣D1,DiAl,DDGC的中点，则下列叙述中正确的是（）

A.直线BQ〃平面EFG

B.直线AlB〃平面ErG

C.平面APC〃平面EFG

D.平面A∣8Q〃平面EFG

答案B

解析过点E,F,G的截面如图所示（H,/分别为A4∣,BC的中点），连接48,BQ,AP,

PC,易知8Q与平面EFG相交于点Q,故A错误；

'CA∖B∕∕HE,AlBa平面EFG,HEU平面EFG,

.∙.AιB〃平面EFG,故B正确；

APU平面AOOiAi,"GU平面AQQ∣Aι,延长”G与∕¾必相交，故C错误；

易知平面ABQ与平面EFG有交点。，故D错误.

12.如图所示，正方体ABCD-AIBlCIQl的棱长为3,M,N分别是棱A∣3,Blel的中点，P

是棱AD上的一点,AP=T,过P,M,N的平面交上底面于P。,Q在C。上，则PQ=.

答案2小

解析因为平面ABCD〃平面45GA,平面ABCz）∩平面PQMW=PQ,

平面A,BlCιD∣∩平面PQNM=MN,

所以MN//PQ,

又因为MN〃AC,所以PQ〃Ac

又因为AP=I,

6符、疼_理_理_2

m^AD~CD~AC~3,

99

所以PQ=^^AC=z^×2>y∣2=2-∖∣2.

13.在正四棱柱ABC。-4B∣CQ∣中，。为底面ABC。的中心，P是。。的中点，设。是

Cel上的点，则点。满足条件时，有平面G8Q〃平面∕¾0.

答案。为CG的中点

解析如图所示，设Q为CG的中点，

因为P为ODl的中点，

所以QB〃/¾.连接DB,

因为P,。分别是。5,OB的中点，所以DIB〃尸0,

又Qi困平面公。，QBa平面∕¾0,PoU平面必。，∕¾U平面BA0,

所以。归〃平面∕¾0,QB〃平面∕¾0,

又O∣8C08=B,D∖B,QBU平面O∣BQ,

所以平面OlBQ〃平面PAO.

故。为CG的中点时，有平面OIBQ〃平面巩0.

14.在三棱锥产一ABC中，PB=6,AC=3,G为的重心，过点G作三棱锥的一个截

面，使截面平行于PB和AC,则截面的周长为.

答案8

解析如图，过点G作E尸〃AC,分别交％,PC于点、E,F,过点、E作EN〃PB交AB于点、

N