宿迁市沭阳县2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案

宿迁市沭阳县2021年高一下学期《数学》期中试卷与参考答案一、单项选择题1．设复数z＝a﹣2+（2a+1）i（其中i是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数a＝（）A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3答案：A．2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a2﹣b2+c2+ac＝0，则B＝（）A． B． C． D．答案：D．3．coscos+cossin的值是（）A．0 B． C． D．答案：C．4．已知，，向量与的夹角为60°，则＝（）A． B． C．6 D．答案：C．5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝60°，a＝，则＝（）A． B．2 C． D．答案：B．6．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（）A． B． C． D．答案：A．7．已知2sin（π﹣α）＝3sin（+α），则sin2α﹣sin2α﹣cos2α＝（）A． B． C． D．答案：B．8．现有如下信息：（1）黄金分割比（简称：黄金比）是指把一条线段分割为两部分，较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比，其比值为．（2）黄金三角形被誉为最美三角形，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．（3）有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形．由上述信息可求得sin126°＝（）A． B． C． D．答案：D．二、多项选择题本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上。9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在线段DC上，且满足CE＝2DE，则下列结论中正确的有（）A． B． C． D．答案：ABD．10．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A＝45°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解，则a的值可以为（）A．a＝7 B．a＝8 C．a＝9 D．a＝10答案：BC．11．已知＝（3，﹣1），＝（1，﹣2），则正确的有（）A．＝5 B．与共线的单位向量是（，） C．与的夹角为 D．与平行答案：AC．12．已知函数f（x）＝sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R，则下列结论正确的有（）A．﹣2≤f（x）≤2 B．f（x）在区间（0，π）上只有1个零点 C．f（x）的最小正周期为π D．若g（x）＝f（x），x∈（，），则g（x）单调递减区间为（，）和（，）答案：ACD．三、填空题本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上。13．已知复数z＝（1﹣i）﹣m（1+i）是纯虚数，则实数m＝1．答案：1．14．tan10°+tan20°+tan10°•tan20°•tan30°的值是．答案：．15．如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，OA＝，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边△ABC，则四边形OACB的面积的最大值为．答案：2．16．已知单位向量，满足＝，则与夹角的大小为；|﹣x|（x∈R）的最小值为．答案：．四、解答题本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知向量＝（2，1），＝（3，﹣1），＝（3，m）（m∈R）．（1）若向量与共线，求m的值；（2）若（﹣2）⊥，求m的值．答案：（1）∵，，向量与共线，∴.2m＝3∴（2）∵，，∴∵，∴∵，∴（﹣4）×3+3m＝0解得m＝4。18．在①（b+a）（b﹣a）＝c（b﹣c）；②；③sin（+2A）+2cos2＝1这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求△ABC的面积．问题：已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinC＝2sinB，b＝2，_____？答案：因为sinC＝2sinB，b＝2，所以c＝2b＝4，选①：因为（b+a）（b﹣a）＝c（b﹣c），所以b2+c2﹣a2＝bc，所以，又因为A∈（0，π），所以，所以△ABC的面积．选②：若，故，则，∵A∈（0，π），故，所以△ABC的面积．选③：若，则cos2A+cosA＝0，故2cos2A+cosA﹣1＝0，解得（cosA＝﹣1舍去），∵A∈（0，π），故．所以△ABC的面积．19．如图，在平面四边形ABCD中，AD⊥CD，∠BAD＝，2AB＝BD＝4．（1）求cos∠ADB；（2）若BC＝，求CD．答案：（1）△ABD中，由余弦定理得，cos∠DAB＝，cos∠ADB＝，因为∠BAD＝，AB＝2，BD＝4，故AD＝，cos∠ADB＝，（2）由（1）得sin∠ADB＝＝，因为AD⊥CD，即∠ADC＝90°，所以cos∠ADC＝cos（∠ADB+∠BDC）＝0，解得，cos∠BDC＝，根据余弦定理得，cos∠BDC＝，所以＝，故CD＝3或CD＝﹣（舍），故CD＝3．20．已知．（1）求的值；（2）若，且，求α+β的值．答案：（1）∵，∴．∴＝＝＝．（2）∵，且∴∴，∴＝＝，∴．∴．∴，又∵，∴．21．如图，在扇形POQ中，半径OP＝2，圆心角∠POQ＝，B是扇形弧上的动点，矩形ABCD内接于扇形．其中CD在半径OQ上，记∠BOC＝α．（1）当∠BOC＝45°时，求矩形ABCD的面积；（2）求当角α取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大值．答案：（1）在Rt△OBC中，，．在Rt△ADO中，，所以，所以。设矩形ABCD的面积为S，则S＝CD⋅BC＝。（2）在Rt△OBC中，BC＝2sinα，OC＝2cosα．在Rt△ADO中，，所以，所以设矩形ABCD的面积为S，则S＝CD⋅BC＝＝＝＝由，得，所以当，即时．因此，当时，矩形ABCD的面积，最大面积为。22．如图，扇形AOB所在圆的半径为2，它所对的圆心角为，C为弧的中点，动点P，Q分别在线段OA，OB上运动，且总有OP＝BQ，设，．（