福建省龙岩市长汀县2023届九年级中考一模数学试卷(含解析)

2023年福建省龙岩市长汀县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.-13的倒数为(

)A.13 B.3 C.-3 D.2.在下面的四个几何体中，主视图是三角形的是(

)A.圆锥 B.正方体

C.三棱柱 D.圆柱3.某市有3万名学生参加中考，为了考察他们的数学考试成绩，抽样调查了2000名考生的数学成绩，在这个问题中，下列说法正确的是(

)A.3万名考生是总体 B.每名考生的数学成绩是个体

C.2000名考生是总体的一个样本 D.2000名是样本容量4.下列运算正确的是(

)A.2m-m=1 B.m2⋅m3=a5.将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为(

)A.70° B.75° C.80° D.85°6.如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，连接CC'，若CC'//AB，则∠CAB'的度数为(

)

A.45° B.60° C.70° D.90°7.习近平总书记指出，中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”.为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展名著阅读活动．用3600元购买“四大名著”若干套后，发现这批图书满足不了学生的阅读需求，图书管理员在购买第二批时正赶上图书城八折销售该套书，于是用2400元购买的套数只比第有批少4套．设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则符合题意的方程是(

)A.36000.8x-3600x=4 B.3600x8.如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足∠ADC=120°，AB=12，则BC的长为(

)A.π

B.2π

C.4π

D..6π9.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'.当五边形A'B'BCD为正五边形时，BPAP长为(

)A.1

B.5+12

C...10.已知抛物线y=(x-x1)(x-x2)+1(x1<x2)，抛物线与x轴交于(m,0)，(n,0)两点(m<n)A.x1<m<n<x2 B.m<x1二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.不等式x-13≤1的解集是

．12.小丽计算数据方差时，使用公式S2=15[(5-x-)13.如图，在△ABC中，BC=7，把△ABC沿射线AB方向平移4个单位至△EFG处，EG与BC交于点M.若CM=3，则图中阴影部分的面积为______．

14.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，则圆心O到顶点A的距离=

．

15.如图，A，C是反比例函数y=kx(x<0)图象上的点，过点A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别是点B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且E恰好是OC的中点．当△AEC的面积为32时，k的值是______

16.如图，正方形ABCD中，E是线段CD上一动点，连接AE交BD于点F，过点F作FG⊥AE交BC于点G，连接AG，EG，现有以下结论：①△AFG是等腰直角三角形；②DE+BG=EG；③点A到EG的距离等于正方形的边长；④当点E运动到CD的三等分点时，BGBC=12或BGBC=

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.计算：18-4cos45°+|-2|-(1-四、解答题（本大题共8小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.(本小题6.0分)

先化简，再求值：(1-22-x)÷(xx2-4x+4)，请在数-2，19.(本小题8.0分)

如图，在△ABC中，点P，Q分别在边BC及CB的延长线上，且BQ=CP．

(1)实践与探索：利用尺规按下列要求作图(不写作法，保留作图痕迹)．

①作∠PQM=∠CBA，且点M在QC的上方；

②在QM上截取QR=BA；

③连接PR．

(2)猜想与验证：试猜想线段AC和RP的数量关系，并证明你的猜想．20.(本小题10.0分)

如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，连接AB、AC、ED.若AE=AB，求证：AC=DE．21.(本小题10.0分)

某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A.器乐，B.舞蹈，C.朗诵，D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请结合图中所给信息，解答下列问题：

(1)本次调查的学生共有______人；扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是______，并补全条形统计图；

(2)该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？

(3)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．22.(本小题10.0分)

红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．

(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；

(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对：物价部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．

①求出y与x之间的函数解析式；

②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？23.(本小题12.0分)

如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径作⊙O，交AC于点F，过C点作CD⊥AC交AB延长线于点D，E为CD上一点，且EB=ED．

(1)求证：BE为⊙O的切线；

(2)若AF=2，tanA=2，求BE的长．24.(本小题12.0分)

已知菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在AB、BC上，BE=CF，AF与CE交于点P．

(1)求证：∠APE=60°；

(2)当PC=1，PA=5时，求PD的长；

(3)当AB=23时，求PD的最大值．25.(本小题12.0分)

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(4,0)，C(-1,0)与y轴交于点B，已知tan∠BAC=34．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，点P为抛物线上的点，且点P的横坐标为3，F是抛物线上异于点P的点，连接PA，PB，当S△PAB=S△FAB，求点F的横坐标；

(3)如图2，点Q为直线AB上方抛物线上一点，OQ交AB于点D，QE//BO交AB于点E.记△QDE，△QDB，△BDO的面积分别为S1，答案和解析1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

解析：解：如图，

∵∠2=90°-30°=60°，

∴∠3=180°-45°-60°=75°，

∵a//b，

∴∠1=∠3=75°，

故选：B．

利用三角形内角和定理和平行线的性质解题即可．

此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．

6.B

解析：解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△AB'C'，

∴AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，

∴∠ACC'=∠AC'C=40°，

∵AB//CC'，

∴∠BAC=∠ACC'=40°，

∴∠CAB'=∠BAB'-∠BAC=60°，

故选：B．

由旋转的性质可得AC=AC'，∠BAB'=∠CAC'=100°，由等腰三角形的性质可得∠ACC'=∠AC'C=40°，由平行线的性质可得∠BAC=∠ACC'=40°，即可求解．

本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了等腰三角形的性质和平行线的性质．

7.B

解析：解：设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，

依题意得：3600x-24000.8x=4．

故选：B．

设第一批购买的“四大名著”每套的价格为x元，则设第二批购买的“四大名著”每套的价格为0.8x元，利用数量=总价÷单价，结合第二批购买的套数比第一批少48.B

解析：解：如图，连接OC．

∵∠ADC=120°，

∴∠ABC=60°，

∵OB=OC，

∴∠COB=∠B=60°，

∵AB=12，

∴OB=6，

∴BC的长为60π×6180=2π，

故选：B．

由圆周角定理求出∠COB=∠B=60°，再根据弧长公式进行计算即可．9.B

解析：解：连接BC'，AC'，

∵五边形A'B'BCD为正五边形，

∴∠CDA'=(5-2)×180°5=108°，

∵菱形ABCD绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，

∴CD=AD=DC'=AB=2，AB//CD，A'D//B'C'，∠ADC=∠A'DC'=72°，∠CDC'=∠ADA'，

∴∠CDC'=∠ADA'=∠CDA'-∠ADC=36°，

∴∠ADC'=∠ADC-∠CDC'=36°，

∴∠CDC'=∠ADC'=36°，

∴DC'平分∠ADC，

∴点D，C'，B在同一条直线上，

∵AD=AB，

∴∠ADB=∠ABD=36°，

∵AD=DC'，

∴∠DAC'=∠DC'A=72°，

∵AB//CD，

∴∠DAB=180°-∠ADC=108°，

∴∠BAC'=∠DAB-∠DAC'=36°，

∴∠ABC'=∠BAC'=36°，

∴AC'=BC'，

设AC'=BC'=x，

∵∠ABC'=∠ABD，∠BAC'=∠ADB=36°，

∴△BAC'∽△BDA，

∴BABD=BC'BA，

∴2x+2=x2，

∴x=5-1或x=-5-1(舍去)，

∴AC'=BC'=5-1，

∵A'D//B'C'，

∴∠A'DC'=∠BC'B'=72°，

∴∠BPC'=180°-∠BC'P-∠ABD=72°，

∴∠BC'P=∠BPC'=72°，

∴BC'=BP=5-1，

∴AP=AB-BP=3-5，

∴BPAP=5-13-5=5+12，

故选：B．

连接BC'，10.A

解析：解：设y'=(x-x1)(x-x2)，则x1、x2是函数y'和x轴的交点的横坐标，

而y=(x-x1)(x-x2)+1=y'+1，

即函数y'向上平移1个单位得到函数y，

则两个函数的图象如下图所示(省略了y轴)，

从图象看，x1<m<n<x2，11.x≤4

解析：解：x-13≤1，

去分母，得：x-1≤3，

移项及合并同类项，得：x≤4，

故答案为：x≤4．

根据解一元一次不等式的方法，可以求得该不等式的解集．12.9

解析：解：∵S2=15[(5-x-)2+(8-x13.22

解析：解：由平移的性质可知：GF=BC=7，BF=4，△ABC≌△EFG，

∴S△ABC=S△EFG，

∴S△ABC-S△EBM=S△EFG-S△EBM，即S阴影部分=S梯形MBFG，

∵BC=7，CM=3，14.10解析：解：如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为r，

∵∠C=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=AC2+BC2=5，

∵⊙O是△ABC的内切圆，分别与AC、BC、AB相切于点D、E、F，

∴AC⊥OD，AB⊥OF，BC⊥OE，且OF=OD=OE=r，

∴四边形OECF是正方形，

∴CE=CD=OD=r，

∴AD=AF=AC-CD=4-r，BF=BE=BC-CE=3-r，

∵AF+BF=AB=5，

∴3-r+4-r=5，

∴r=1．

∴OD=CD=1，

∴AD=3．

∴AO=AD2+OD2=10．

故答案为：10．

如图，连结OD，OE，OF，设⊙O半径为15.-4

解析：解：∵AB⊥x轴，CD⊥x轴，E为OC的中点，

∴B为OD的中点，

∴BE为△CDO的中位线．

设点B的坐标为(b,0)，则D(2b,0)，A(b,kb)，C(2b,k2b)，E(b,k4b).

∴DB=|b|，AE=kb-k4b，

∴S△ACE=12|b|(kb-k4b)=32．

∵b<0，

∴-1216.①②③

解析：解：如图所示，延长GF交AD于点H，连接CF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADF=∠CDF=45°，AD=CD，AD//BC，

在△ADF和△CDF中，

AD=CD∠ADF=∠CDFDF=DF，

∴△ADF≌△CDF(SAS)，

∴AF=CF，∠DAF=∠DCF，

∵AD//BC，

∴∠AHF=∠CGF，

∵FG⊥AE，

∴∠HAF+∠AHF=90°，

∴∠HAF+∠CGF=90°，

∵∠DCF+∠GCF=90°，

∴∠CGF=∠GCF，

∴FG=FC=AF，

∴△AGF是等腰直角三角形，故①正确；

∴∠FAG=45°；

将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABM，过点A作AN⊥GE于点N，

由旋转的性质可知，∠MAE=90°，AM=AE，BM=DE，∠ABM=∠ADE=90°，

∴∠ABM+∠ABG=180°，即B、M、G三点共线，

∵∠FAG=45°，

∴∠MAG=∠MAE-∠FAG=45°，

在△AMG和△AEG中，

AM=AE∠MAG=∠EAGAG=AG，

∴△AMG≌△AEG(SAS)，

∴GE=MG，

∴GE=GM=BG+BM=BG+DE，故②正确；

∵△AMG≌△AEG，

∴AN=AB，

∵AN⊥GE，即AN为点A到EG的距离，

∴点A到EG的距离等于正方形的边长，故③正确；

设BC=CD=3x，BG=y，则CG=3x-y，

∵点E是点D的三等分点，

当CE=2x，DE=x时，

由②可知，EG=DE+BG=x+y，

在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，

∴(3x-y)2+(2x)2=(x+y)2，

整理得：y=32x，

∴BGBC=12；

当CE=x，DE=2x时，

由②可知，EG=DE+BG=2x+y，

在Rt△CGE中，CG2+CE2=GE2，

∴(3x-y)2+x2=(2x+y)2，

整理得：y=35x，

∴BGBC=15

综上所述，当点E运动到CD的三等分点时，BGBC=12或BGBC=15，故④错误，

故答案为：①②③．

如图所示，延长GF交AD于H，连接CF，根据正方形的性质，易证△ADF≌△CDF(SAS)，得到AF=CF，∠DAF=∠DCF，再利用平行线的性质，证明∠AHF=∠CGF，进而推出∠CGF=∠GCF，得到FG=FC=AF，即可证明△AGF是等腰直角三角形，故①正确；则∠FAG=45°，将△ADE绕点A顺时针旋转90°17.解：原式=32-4×22+2-1解析：先算开方、乘方化简绝对值，再代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．

本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的化简、“a0=1(a≠0)18.解：原式=(2-x2-x-22-x)⋅(x-2)2x

=xx-2⋅(x-2)2x

解析：根据分式的混合运算法则按原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．

本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

19.解：(1)如图所示：PR即为所求；

(2)AC=RP，理由如下：

∵BQ=CP，

∴BQ+BP=CP+BP，

∴QP=BC，

由作图过程可知：∠PQM=∠CBA，QR=AB，

∴△PQM≌△CBA(SAS)，

∴AC=RP．

解析：(1)根据基本作图方法即可完成作图；

(2)由作图过程可得∠PQM=∠CBA，QR=AB，证明△PQM≌△CBA(SAS)，即可解决问题．

本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．

20.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC．

∴∠DAE=∠AEB．

∵AB=AE，

∴∠AEB=∠B．

∴∠B=∠DAE．

在△ABC和△AED中，

AB=AE∠B=∠DAEAD=BC，

∴△ABC≌△EAD(SAS)，

∴DE=AC解析：在△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明△ABC≌△EAD，进而利用全等三角形的性质解答即可．

主要考查了平行四边形的基本性质和全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

21.100

144°

解析：解：(1)本次调查的学生共有：30÷30%=100(人)，

∴扇形统计图中表示D选项的扇形圆心角的度数是360°×40100=144°，

喜欢B类项目的人数有：100-30-10-40=20(人)，

故答案为：100，144°，

补全条形统计图如图所示：

(2)由题意得：1200×40100=480(人)，

答：估计选择“唱歌”的学生约有480人；

(3)画树形图如下：

共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，

∴被选取的两人恰好是甲和乙的概率是212=16．

(1)根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数，即可解决问题；

(2)用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的比例即可；

(3)画出树状图，共有12种等可能的情况，其中被选取的两人恰好是甲和乙的有2种情况，再由概率公式求解即可．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B22.解：(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，由题意得：

3120x=4200x+9，

解得x=26，

经检验，x=26是原方程的解，且符合题意，

∴x+9=26+9=35，

答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对．

(2)①y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470，

答：y与x之间的函数解析式为：y=-2x2+68x+1470．

②∵a=-2<0，

∴函数y有最大值，该二次函数的对称轴为：x=-b2a=17，

物价部门规定其销售单价不高于每对65元，

∴x+50≤65，

∴x≤15，

∵x<17时，y随x的增大而增大，解析：本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值，本题中等难度．

(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程可解；

(2)①利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；

②由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．

23.(1)证明：∵AC=BC，

∴∠ACB=∠ABC，

∵EB=ED，

∴∠EBD=∠D．

∵CD⊥AC，

∴∠A+∠D=90°，

∴∠ABC+∠EBD=90°，

∴∠CBE=180°-(∠ABC+∠EBD)=90°．

∴OB⊥BE，

∵OB是⊙O的半径，

∴BE为⊙O的切线；

(2)解：设CD与⊙O交与点G，连接BF，BG，如图，

∵BC为⊙O的直径，

∵∠CFB=∠CGB=90°，

∵∠ACD=90°，

∴四边形CFBG为矩形．

∴BG=FC．

在Rt△AFB中，

∵AF=2，tanA=2=BFAF，

∴BF=4．

设AC=BC=x，则CF=x-2．

∵CF2+BF2=BC2，

∴(x-2)2+42=x2，

解得：x=5，

∴FC=3，BC=5．

∴BG=3．

∵∠CBE=90°，BG⊥CE，

解析：(1)利用等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可；

(2)设CD与⊙O交与点G，连接BF，BG，利用圆周角定理，矩形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理求得BF，设AC=BC=x，则CF=x-2，利用勾股定理列出方程求得x值，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．

本题主要考查了圆的切线的判定，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线．

24.(1)证明：连接AC，如图1，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD//BC，AB=BC，

∵∠BAD=120°，

∴∠B=∠ADC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACF=∠CBE=60°，AC=CB，

∵CF=BE，

∴△ACF≌△CBE(SAS)，

∴∠CAF=∠BCE，

∵∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，

∴∠APE=∠ACE+∠CAF=60°；

(2)解：延长PC至G，使CG=AP，如图2，

由(1)可知∠AFC=∠CEB，

∵AD//BC，AB//CD，

∴∠DAF+∠AFC=180°，∠DCG=∠AEC，

∴∠CEB+∠DAF=180°，

∵∠AEC+∠CEB=180°，

∴∠DAF=∠DCG，

又∵AF=CG，AD=CD，

∴△ADF≌△CDG(SAS)，

∴DF=DG，∠ADF=∠CDG，

同理得出∠ADC=60°，

∴∠ADC=∠PDG=60°，

∴△PDG是等边三角形，

∴PD=PG=PC+PA=6；

(3)解：∵∠APE=60°，

∴∠APC=120°，

∵∠ADC=60°，

∴∠APC+∠ADC=120°+60°=180°，

∴A、P、C、D四点共圆，

∴当PD为直径时，PD最大，

设圆心为O，连接OA，OC，过点O作OM⊥AC于点M，如图3，

∴∠AOC=2∠ADC=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAM=30°，

∵AC=AB=23，O