【新高考地区】2023年高考数学冲刺讲义抛物线的综合问题（新高考）

未知驱动探索，专注成就专业【新高考地区】2023年高考数学冲刺讲义抛物线的综合问题（新高考）引言在新高考改革的背景下，高中数学的学习内容和考试形式都发生了重大变化。数学作为必修科目，对于学生来说是一个重要而必要的考核项目。而在数学的学习中，抛物线的综合问题是一个常见但也较难的考点。本文将针对2023年高考中的抛物线的综合问题进行分析和解答，帮助考生在考前进行有针对性的复习和冲刺。一、抛物线的基本概念1.1抛物线的定义抛物线是一种平面曲线，它的定义可以由以下几种方式给出：平面上一点P到定点F的距离等于它到定直线L的距离的两倍。这个定点F称为抛物线的焦点，定直线L称为抛物线的准线。平面上的点P(x,y)到定点F焦点(x₁,y₁)的距离等于它到定直线L准线的距离d的两倍。即\[PF=PL=2d\]。抛物线是平面上满足\[y=ax^2+bx+c\]（\(a

eq0\)）的所有点的轨迹。其中a，b，c为常数，且a为抛物线的开口（a>0则开口向上，a<0则开口向下）。1.2抛物线的性质抛物线具有以下几个重要的性质：抛物线的对称轴是准线L，且焦点F在对称轴上。焦点到顶点的距离是\[PF=\frac{1}{4a}\]。抛物线的顶点坐标为\[(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。抛物线开口方向与a的符号有关。当\[y=0\]时，抛物线的两个交点称为抛物线的零点。二、抛物线的综合问题2.1抛物线的焦点和准线的求解给定抛物线的方程\[y=ax^2+bx+c\]，如何求解出焦点和准线的相关信息呢？2.1.1求解焦点的坐标由抛物线的定义可知，焦点到顶点的距离是\[PF=\frac{1}{4a}\]。而抛物线的顶点坐标为\[(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})\)。因此，我们可以通过顶点坐标来确定焦点的坐标。具体步骤如下：计算出抛物线的顶点坐标\((-h,k)\)，其中\(h=-\frac{b}{2a}\)，\(k=\frac{4ac-b^2}{4a}\)。根据平移公式，焦点的坐标为\((h,k+\frac{1}{4a})\)。2.1.2求解准线的方程由抛物线的定义可知，准线的方程与抛物线的方程平行。因此，我们可以通过抛物线的方程求解出准线的方程。具体步骤如下：计算出抛物线的二次项系数a。准线的方程可以表示为\[y=d\]，其中d为准线的纵坐标。将抛物线的方程\[y=ax^2+bx+c\]代入准线的方程，解得\[x=\frac{d-c}{a}\]。2.2抛物线和直线的关系问题2.2.1抛物线与直线的交点问题给定抛物线的方程\[y=ax^2+bx+c\]和直线的方程\[y=mx+n\]，如何求解抛物线和直线的交点呢？具体步骤如下：将抛物线的方程和直线的方程相等，得到\[ax^2+(b-m)x+(c-n)=0\)。根据二次方程求根公式，解得\[x_1,x_2=\frac{m-b\pm\sqrt{(b-m)^2-4a(c-n)}}{2a}\]。将x的值代入抛物线或直线的方程，解得对应的y值，即得到交点的坐标。2.2.2抛物线与直线的位置关系问题给定抛物线的方程\[y=ax^2+bx+c\]和直线的方程\[y=mx+n\]，如何判断抛物线和直线的位置关系呢？具体步骤如下：求解抛物线和直线的交点坐标。判断交点是否存在，若存在则判断交点的纵坐标与两条直线的关系，若纵坐标大于两条直线则抛物线在直线上方，低于两条直线则抛物线在直线下方。若交点不存在，则判断抛物线的开口方向与直线的斜率的关系，若抛物线开口向上且直线斜率大于0，则抛物线在直线上方，若抛物线开口向下且直线斜率小于0，则抛物线在直线上方。三、结论抛物线的综合问题在高考中经常出现，掌握抛物线的基本概念和性质，以及解决抛物线与直线的关系问